专题04 特殊四边形动点问题分类训练1（定值存在性最值5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题04 特殊四边形动点问题分类训练1 （定值存在性最值5种类型40道） 考点01 动点定值问题 考点02 存在性面积相关 考点03 存在性三角形相关 考点04 存在性四边形相关 考点05 动点最值问题 考点01 动点定值问题 1．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点． (1)如图，当点是的中点时，求证：． (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连接，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 2．【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 3．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 4．如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 5．如图所示，矩形中，，，P为上的一动点，过点P作于点M，于点N，试问当P点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 6．综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． (1)①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． (2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 7．如图1，在正方形中，，点P为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交，对角线于点E，F，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，试探究的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）随x的增大而增大； （ii）随x的增大而减少； （iii）为定值． 8．如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 考点02 存在性面积相关 9．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．如图1，已知正方形的边长为12，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为． (1)如图2，当时，___________； (2)如图3，当点在边上运动时，___________； (3)若点是边上一点且，连接．在点运动过程中，是否存在一点，使得与面积相等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）． (1)当点A与点O重合时，得到等腰直角（此时点P与点C重合），则______．当时，点P的坐标是______； (2)设动点A的坐标为． ①点A在移动过程中，作轴于M，于N，求证：四边形是正方形； ②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）； (3)在上述条件中，过点A作y轴的平行线交的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，使得的面积是的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图1，长方形的边分别在x轴、y轴上，B点坐标是，将沿对角线翻折得，与相交于点E．    (1)求证：； (2)求E点坐标； (3)如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得的面积等于四边形面积的一半，若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．    (1)求直线的解析式； (2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标； (3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 14．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点A出发，在线段上以的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形是矩形时，求t的值． (3)在整个运动过程中，是否存在t的值，使得平分四边形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，、两点之间的距离是13？ (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形？ (3)是否存在某一时刻，使直线恰好把直角梯形的周长和面积同时等分？如存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 16．如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)． (1)求证:△AEH≌△AGH； (2)当AB=12，BE=4时： ①求△DGH周长的最小值； ②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点03 存在性三角形相关 17．如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以的速度沿A→B方向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为t． (1)___________（用含t的代数式表示） (2)连接、、，求当t为何值时，的面积为？ (3)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的t的值：若不存在，请说明理由． 18．已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接． (1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 19．如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=18，BC=30，AB=DC=12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t=3时，求△APQ的面积； (2)若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点t的值；若不存在，说明理由． 20．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，BD所在直线与OA，x轴分别交于点D，F． (1)求线段BO的长； (2)求直线BD的解析式； (3)点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．在点M的运动过程中，是否存在以N、E、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过A点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y． （1）求y关于x的函数关系式； （2）探究：当x为何值时，BEPQ？ （3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由． 22．已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，在上取一点H，且，若以为x轴，为y轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 23．已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 24．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 考点04 存在性四边形相关 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒． (1)则______，四边形为平行四边形； (2)若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 29．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 30．如图1，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，且，． (1)求点D坐标； (2)如图2，连接，动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿的路线向终点O运动，点P的运动时间为t，连接，请求出的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，M是的中点，连接，Q是射线上一点．在P的运动过程中，是否存在t值，使A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由． 31．如图，四边形是矩形，点，分别在轴，轴上，点的坐标是，的垂直平分线分别与交于点． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)求直线的解析式； (3)连接，，相交于点，请求出点的坐标； (4)点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使得以为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 动点最值问题 33．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求边的长； (2)求点，的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 34．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 35．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 36．【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 37．如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． (1)如图，当点运动到中点时，直接写出的长； (2)如图，当时，过点作交于点，求证：； (3)如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 38．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为． (1)如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． (2)如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． (3)如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 39．如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点． (1)如图2，当点，重合时， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，求的最小值． (2)求的面积的取值范围． 40．问题提出： （1）如图①，为矩形的对角线，点为的中点，连接．若，．则______． 问题探究： （2）如图②，为菱形的对角线，，，为上任意一点，为上任意一点，求的最小值． 综合应用 （3）如图③，是李叔叔家的农场平面示意图．李叔叔欲将农场扩建．扩建部分为平行四边形．其中点在的延长线上．、分别为边、的中点．在四边形内养家禽，为一道栅栏，经测量，，，米，，、为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿、修建两条运输管道，问运输管道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊四边形动点问题分类训练1 （定值存在性最值5种类型40道） 考点01 动点定值问题 考点02 存在性面积相关 考点03 存在性三角形相关 考点04 存在性四边形相关 考点05 动点最值问题 考点01 动点定值问题 1．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点． (1)如图，当点是的中点时，求证：． (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连接，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（）取的中点，连接，证明即可求证； （）作交轴于，则，可证，得到，即得到四边形为平行四边形，当点在边上时，点在边上，由得，可知不可能为菱形，得到点在点的右侧，利用菱形的性质可得，再利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设相交于点，可证，得到点到直线的距离为定值且等于平行线之间的距离，再根据正方形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作交轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当点在边上时，点在边上，， ∴， ∴不可能为菱形， ∴点在点的右侧，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴的解析式为； （3）解：如图①或②，连，设相交于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵，， ∴， ∴点到直线的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∵， ∴点到的距离． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质等；正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 2．【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②四边形的面积是定值．证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由正方形的性质得到，，进而证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形； （2）①过E作于F点，过E作于G点，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； ②由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图： 由（1）知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②解：四边形的面积是定值． 理由：∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 3．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 4．如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）证可得，由此即可得出结论； （2）由题易得，可推，进而可得，则可证，即可得解； （3）先证明，求出，根据两点之间线段最短可得，由最小值求出最小值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点之间线段最短等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ； （2）解：的周长为8， ， 正方形ABCD的边长为4， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ， 在和中， ， ， ， 的大小是定值，定值为； （3）解：连接AM， 正方形ABCD的边长为4， ，， 是的高， ， 是的高， 由（2）得，， ， ， 由（2）得，， ， 为边BC的中点， ， ， ， ， 解得， 的最小值为 5．如图所示，矩形中，，，P为上的一动点，过点P作于点M，于点N，试问当P点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 【答案】不变，定值为24 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用面积法求的值是解题的关键． 由矩形的性质推出，利用勾股定理求出，进一步可得 ，再利用面积法求的值． 【详解】当P点在上运动时，的值不发生变化，理由如下： 如图，记，相交于点O，连接， 四边形为矩形，，， ，，， 由勾股定理得， ， ，， ， 又， ， 整理得， 当P点在上运动时，的值不发生变化，始终等于24． 6．综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． (1)①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． (2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的值是定值． 【分析】（1）①由平行四边形的性质可得，则；根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理可得即可证明结论；②由线段的和差以及菱形的性质可得，再根据三角形的外角的性质以及等量代换可得，易证可得，结合即可证明结论； （2）如图，延长至N，使，连接、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，如图：延长交于E，则，易得，最后由勾股定理得出，进而完成解答． 【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转α，得到，连接， ∴，， ∴． ∴； ②∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的外角，， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的值是定值． 如图，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， ∴是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ∵四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， ∵ ； 如图：延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，，， 在中，， ，即 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判的性质，菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7．如图1，在正方形中，，点P为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交，对角线于点E，F，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，试探究的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）随x的增大而增大； （ii）随x的增大而减少； （iii）为定值． 【答案】(1)见解析 (2)①②见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形外角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活作出辅助线． （1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可证明； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②：过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，证明四边形为正方形， 四边形为矩形，然后表示出面积和即可． 【详解】（1）证明：∵ 是线段的垂直平分线， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴． 在中， ， ∴， ∴； （2）解：①连接 ，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，且， ， ∴ ， 在等腰中和等腰中， ， ∴ ， ； ②选（iii）证明：过点E作交于点N， 由（1）得， ∵ ， ， ， 过点F作交于点R， 过点E作交于点T， 易证得四边形为正方形， 四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴保持不变． 8．如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)①，说明见解析；②的最小值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，垂线段性质，是解决问题的关键． （1）判定四边形为棱形，为直角三角形．由勾股定理得； （2）①连接，根据，得．得；②根据为定值，可知当最短时，最小．由垂线段最短可知，当点P与点O重合时, 最短，最小值为：． 【详解】（1）∵于点O，， ∴四边形为棱形，为直角三角形． ∴． 故答案为：13． （2）①如图所示：连接． ∵， ∴． 即． ∴． ∴． ②∵为定值， ∴当最短时，有最小值． ∵由垂线段最短可知， 当时，最短． ∴当点P与点O重合时, 有最小值． 最小值为：． 考点02 存在性面积相关 9．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 10．如图1，已知正方形的边长为12，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为． (1)如图2，当时，___________； (2)如图3，当点在边上运动时，___________； (3)若点是边上一点且，连接．在点运动过程中，是否存在一点，使得与面积相等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)42 (2)72 (3)4或32 【分析】本题考查了点的运动轨迹与三角形面积之间的关系，熟练掌握三角形的面积公式并分类讨论是解决本题的关键． （1）当时，则，再由三角形面积公式求解即可； （2）当点在边上运动时，的底为，高为，由三角形面积公式求解即可； （3）先求解的面积，再分类讨论点P分别在边上运动，在边上运动，以及在边上运动，根据面积相等求解x的值． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴； 故答案为：42； （2）解：当点在边上运动时，的底为，高为， ∴； 故答案为：72； （3）解：∵， ∴， 当点在边上运动时，点经过的路程为， ， 若与面积相等， 则，解得； 由（2）知，当点在边上运动时，，不相等； 当点在边上运动时，点经过的路程为， 则，即， 可得， ∴， ， 若与面积相等， 则，解得； 综上，当与面积相等时，的值为4或32． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）． (1)当点A与点O重合时，得到等腰直角（此时点P与点C重合），则______．当时，点P的坐标是______； (2)设动点A的坐标为． ①点A在移动过程中，作轴于M，于N，求证：四边形是正方形； ②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）； (3)在上述条件中，过点A作y轴的平行线交的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，使得的面积是的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②； (3)存在点，使得的面积是的面积的3倍 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得；根据，是等腰直角三角形，可证得四边形是矩形，从而得到，即可； （2）①先证明四边形是矩形，再证得，可得，即可；②由①得：，从而得到，再由四边形是正方形，可得，可求出，从而得到，即可； （3）设点A的坐标为，则，可得，由（2）②得：点P的坐标为，则，证明四边形是矩形，可得，然后根据的面积是的面积的3倍，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为； 故答案为：；； （2）解：①∵轴，轴， ∴， ∴，四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ②由①得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 故答案为：； （3）解：存在， 设点A的坐标为，则， ∴， 由（2）②得：点P的坐标为，则， 根据题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， 解得：或0（舍去）， 即存在点，使得的面积是的面积的3倍． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，一元二次方程的应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 12．如图1，长方形的边分别在x轴、y轴上，B点坐标是，将沿对角线翻折得，与相交于点E．    (1)求证：； (2)求E点坐标； (3)如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得的面积等于四边形面积的一半，若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论进行几何推理是解题关键． （1）证即可； （2）设，则，在中利用勾股定理即可求解； （3）根据算出四边形面积，即可得的面积；根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴由折叠可知：，， 又， ∴ ∴； （2）解：∵B，即． ∴设，则， 可得， 解得：， ∴ （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．    (1)求直线的解析式； (2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标； (3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式； （2）先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点，即可根据、的解析式，求出点P的坐标，即可解答； （3）存在，设点Q的坐标为，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设的解析式为， 则，解得：， ∴； （2）连接，交于点P，连接，交于点N，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， 由三角形三边关系可知：， ∴当A、P、D三点共线时，最小， 设的解析式为， 将、代入，得：， 解得：， ∴， 联立， 解得， ∴P点坐标为； （3）∵，， ∴， 如图，设交y轴于点E，则，设，    则 ， ∴， ∴或， ∴Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象性质和菱形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键． 14．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点A出发，在线段上以的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形是矩形时，求t的值． (3)在整个运动过程中，是否存在t的值，使得平分四边形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形是矩形； (3)． 【分析】（1）根据题意可列出代数式； （2）当时，四边形是矩形，得，即可解决问题； （3）根据梯形的面积公式分别表示出四边形和的面积，列出方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是矩形； （3）解：存在， 由题意知，四边形的面积， 四边形的面积， ∵平分四边形的面积， ∴四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，梯形的面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 15．如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，、两点之间的距离是13？ (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形？ (3)是否存在某一时刻，使直线恰好把直角梯形的周长和面积同时等分？如存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)或； (3)不存在；理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，根据，求出；过点作于点，根据，求出； （2）当时，没有运动到点时，根据，解得：；当时，运动到点后再运动时，根据，解得：； （3）求出直线恰好把直角梯形的面积等分时，，过点作于点，再求出直线恰好把直角梯形的周长等分时，，所以可知不存在某一时刻，使直线恰好把直角梯形的周长和面积同时等分． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，当、两点之间的距离是13时， ∴，即，，，， ∴，解得：； 如图2，过点作于点， ∵，当、两点之间的距离是13时， ∴，即，，，， ∴，解得：； 综上所述：当为或时，、两点之间的距离是13； （2）解：如图3，当时，没有运动到点时， 由题意可得出：，， ∴，解得：； 如图4，当时，运动到点后再运动时， 由题意可得出：，， ∴，解得：， 综上所述：当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； （3）解：不存在， 理由： ∵直角梯形的面积为：， ∴当梯形面积为111时，直线恰好把直角梯形的面积等分，即， ∴，解得：， 如图5，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∵直角梯形的周长为：，当梯形的周长为31时，直线恰好把直角梯形的周长等分， ∴，即，解得：， ∴不存在某一时刻，使直线恰好把直角梯形的周长和面积同时等分． 【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握一元一次方程的实际应用，平行四边形的性质，有关四边形动点问题．难度较大，要注意结合图形进行分析求解． 16．如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)． (1)求证:△AEH≌△AGH； (2)当AB=12，BE=4时： ①求△DGH周长的最小值； ②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②存在，或 【分析】（1）证明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再结合角平分线，即可利用SAS证明△AEH≌△AGH； （2）①根据题意可得点E和点G关于AF对称，从而连接ED，与AF交于点H，连接HG，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可； ②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形 ， ∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°， ∵BE=CG，AB=AC， ∴△ABE≌△ACG， ∴AE=AG， ∵AF平分∠EAG， ∴∠EAH=∠GAH， ∵AH=AH， ∴△AEH≌△AGH； （2）①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG， ∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG， ∴点E和点G关于AF对称， ∴此时△DGH的周长最小， 过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M， 由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°， ∴∠DCM=60°，∠CDM=30°， ∴CM=CD=6， ∴DM=， ∵AB=12=BC，BE=4， ∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14， ∴DE==DH+EH=DH+HG， ∴DH+HG+DG= ∴△DGH周长的最小值为； ②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N， 可知S△AON：S四边形HNEF=1:3， 即S△AON：S△AEC=1:4， ∵O是AC中点， ∴N为AE中点，此时ON∥EC， ∴， 当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N， 同理S△NOC：S四边形ONEA=1:3， ∴S△NOC：S△AEC=1:4， ∵O为AC中点， ∴N为EC中点，则ON∥AE， ∴， ∵BE=4，AB=12， ∴EC=8，EN=4， 过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P， ∵∠BCD=120°， ∴∠GCP=60°，∠CGP=30°， ∴CG=2CP， ∵CG=BE=4， ∴CP=2，GP=， ∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， 设EF=FG=x，则FC=8-x，FP=10-x， 在△FGP中，， 解得：x=， ∴EF=， ∴， 综上：存在直线OH，的值为或. 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题时要注意分情况讨论. 考点03 存在性三角形相关 17．如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以的速度沿A→B方向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为t． (1)___________（用含t的代数式表示） (2)连接、、，求当t为何值时，的面积为？ (3)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)当为1秒或秒时，的面积为； 【分析】（1）根据题意可知，，即可得出． （2）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （3）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明． 【详解】（1）解：根据题意：，， ∴． （2）解：当在上时， 如图：根据题意，得， ，，，， ， ， 整理，得， 解得． 当在上时，此时， ， ， ， ∴当为1秒或秒时，的面积为； （3）解：①当时，根据勾股定理，得， ， 解得，（不符合题意，舍去）； ②当时，根据勾股定理，得， ， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）． ∴存在这样的秒或秒，使得是以为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了特殊四边形的动点问题，正方形的性质、一元二次方程、等腰三角形，以及用代数式表示式相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． 18．已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接． (1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)3或13； (2)当或4或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）分两种情况讨论：此和为对应边时，如图，当和为对应边时，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）先利用勾股定理求解，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图： 此和为对应边时，≌，有， 此时； 如图，当和为对应边时，则， 点运动的距离为， 此时， 故t的值为3或13． 故答案为：3或13． （2）如图，连接， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， 若为等腰三角形， 则或或， 当时， ，， ， ， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， 在中，． ， ， ， ， ， 综上所述：当或4或时，为等腰三角形． 19．如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=18，BC=30，AB=DC=12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t=3时，求△APQ的面积； (2)若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)45 (2)12 (3)存在，10或 【分析】（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，证明△ABE≌△DCF（HL），从而求得EB=CF=6，进而根据勾股定理求得AE和DF的长，最后由三角形面积公式求解即可； （2）由AP=BQ列出方程求得结果； （3）分为AQ=PQ，AP=PQ，AQ=AP三种情形，当AQ=PQ时，作QN⊥AP，根据AP=2AN=2MQ，从而求得结果；当AQ=AP时，表示出AQ，进而得出方程，从而得出结果；当AP=PQ时，同样的方程求解． 【详解】（1）如图1，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∴四边形ADFE为矩形． ∴EF=AD=16． ∵AB=CD， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE=CF==6， ∴AE=． 当t=3时，PD=3， ∴AP=AD-PD=18-3=15， ∴； （2）∵， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴18-t=30-2t， 解得：t=12； （3）分类讨论：①如图2，当AQ=PQ时，作QN⊥AP于N，作AM⊥BQ于M， ∴AP=2AN， ∴AP=18-t，AN=MQ=BC-CQ-BM=30-2t-6=24-2t， ∴18-t=2(24-2t)， 解得：t=10； ②如图3，当AQ=AP时， ∵AE=，EQ=24-2t， ∴， ∴， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴这种情况不存在； ③如图4，当PQ=AP时，作PG⊥BC于G， ∵PG=DF=，QG=CQ-CF-GF= CQ-CF-PD=2t-6-t=t-6， ∴， ∴， 解得： 综上所述：t=10或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 20．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，BD所在直线与OA，x轴分别交于点D，F． (1)求线段BO的长； (2)求直线BD的解析式； (3)点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．在点M的运动过程中，是否存在以N、E、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)BO=10 (2)BD的解析式为： (3)存在，当ON=OE时，点N的坐标为（4，0）或（，0），相应的点M的坐标为（4，3）或（，7）；当EN=EO时，点N的坐标为（，0），相应的点M的坐标为（，）；当NE=NO时，点N的坐标为（，0），相应的点M的坐标为（，）． 【分析】（1）由矩形的性质得出∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，由勾股定理即可得出答案； （2）由折叠的性质得到AD=DE，AB=BE，∠BED=∠BAD=90°，进而求出OE的长，设DE=AD=x，则有OD=16-x，在直角三角形ODE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD的长，进而得到D的坐标，设直线BD解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BD解析式； （3）分当ON=OE时；当NE=OE时，当NE=NO时，三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由B（-6，8）可得OC=6，BC=8． ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BCO=90°， 由勾股定理可得：BO==10； （2）解：设D（0，b），则由题意可得：∠DEO=90°，DE=DA=8-b，BE=BA=6，EO=4． 在直角三角形DEO中由勾股定理可列：OE2+DE2=DO2， 即42+（8-b）2=b2， 解得b=5， 所以D（0，5）， 设直线BD的解析式为y=kx+b由B（-6，8），D（0，5）， 可列：，解得， 所以直线BD的解析式为：y=-x+5； （3）解：存在． 由（2）得OE=4． ①当ON=OE时， ∴ON=OE=4， ∴点N的坐标为（4，0）或（，0）， 相应的点M的坐标为（4，3）或（，7）； ②当EN=EO时，过点E作EG⊥轴于点G，过点E作EI⊥y轴于点I，如图： ∵∠GOI =90°， ∴四边形EIOG为矩形， ∵DE=8-b=3，EO=4．∠DEO=180°-∠DEB=180°-∠DAB =90°， ∴OD=5， ∵S△ODE=OD×EI=OE×ED=6， ∴EI=， ∴OG= EI=， ∵EN=EO，EG⊥ON， ∴NG=GO=， ∴点N的坐标为（，0）， 相应的点M的坐标为（，）； ③当NE=NO时，过点N作NH⊥OE于点H，连接DH，过点H作HK⊥x轴于点K，过点H作HJ⊥y轴于点J，如图： 则点H为EO中点，四边形HJOK为矩形， ∴OH=HE=OE=2，S△ODH=S△ODE=3， 同理利用等积法可得：HJ=OK=， 根据勾股定理得：HK=， ∵NH2=NK2+HK2=ON2-OH2，即NK2+()2=(NK+)2-22， 解得：NK=， ∴ON==， ∴点N的坐标为（，0）， 相应的点M的坐标为（，）． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过A点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y． （1）求y关于x的函数关系式； （2）探究：当x为何值时，BEPQ？ （3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）0s或s；（3）存在，x的值为s或s或s或s 【分析】（1）证△APE∽△ADC，得，即，即可求解； （2）由相似三角形的性质得，求出PE＝﹣x+3，AE＝﹣x+5，则QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5，再证△PEQ∽△BAE，得，即可求解； （3）分两种情况，①当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；②当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE＝QE列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝4， ∵PE∥DC， ∴△APE∽△ADC， ∴， 即， 解得：y＝﹣x+3， 即y关于x的函数关系式为：y＝﹣x+3； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝， 由（1）得：△APE∽△ADC， ∴， 即， 解得：PE＝﹣x+3，AE＝﹣x+5， ∴QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5， ∵BE∥PQ， ∴∠PQE＝∠BEQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∵PE∥DC， ∴PE∥AB， ∴∠PEQ＝∠BAE， ∴△PEQ∽△BAE， ∴， 即， 解得：x＝或x＝0， ∴t为0s或s时，BE∥PQ； （3）存在，理由如下： 分两种情况： ①当Q在线段AE上时，QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝﹣x+5， （i）当QE＝PE时，﹣x+5＝﹣x+3， 解得：x＝； （ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP， ∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°， ∴∠APQ＝∠PAQ， ∴AQ＝QP＝QE， ∴x＝﹣x+5， 解得：x＝； （iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，如图1所示： 则FE＝QE＝（﹣x+5）＝， ∵PE∥DC， ∴∠AEP＝∠ACD， ∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝， ∵cos∠AEP＝， 解得：x＝； ②当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示： ∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3， ∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5）， 解得：x＝； 综上，存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，x为s或s或s或s． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，结合一次函数解析式求解、相似三角形的判定与性质、矩形的性质和勾股定理计算即可． 22．已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，在上取一点H，且，若以为x轴，为y轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）通过的对应边相等知；然后由即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【详解】（1）证明：如图1， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图1， ∵平分是正方形的对角线， ∴， 由（1）知， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）存在，理由如下： 如图2， ， ， 当时，则， ， 设， ， 解得或， P的坐标为或； 当时，则， ， 是等腰直角三角形， P的坐标为； 当时， ， 是等腰直角三角形， P的坐标为 ， 综上所述，在直线上存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23．已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）通过的对应边相等知；然后由即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【详解】（1）证明：如图1， 在和中， ， ； （2）证明：如图1， 平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， （全等三角形的对应角相等）； （三角形内角和定理）， ； 在和中， ， ， ，（全等三角形的对应边相等）， ， ， ； （3）解：如图2，， ， ①当时，则， ， 设， ， 解得或， ∴P的坐标为或； ②当时，则， ， 是等腰直角三角形， ∴； ③当时，， 是等腰直角三角形， ∴； 综上，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）已知，当时，四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，设运动的时间是，可得关于的方程，解方程即可得到运动的时间； （2）当为等腰三角形，应分三种情况求解：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】（1）解：设运动的时间是， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， 从运动开始，使需经过； （2）解：当或或时，为等腰三角形， 如下图所示，过点 作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 是等腰三角形， 当时，， 解得：； 如下图所示， 当时， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了动点几何问题、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边之间的关系，再利用边之间的关系列方程求解即可． 考点04 存在性四边形相关 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒． (1)则______，四边形为平行四边形； (2)若四边形为平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)矩形，理由见解析 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）利用矩形的性质可得，根据平行四边形的性质得，构建一元一次方程，解方程，即可求解； （2）利用平行四边形的性质证得四边形为平行四边形，结合即可求证； （3）分点N在点P的左边，点N在点P的右边两种情况，利用菱形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∵动点P以2个单位长度/秒的速度由点C出发，沿运动至点B，设动点P的运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即， 解得：． 故答案为：3． （2）解：四边形为矩形，理由如下： 由（1）可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形． （3）解：存在，分两种情况： ①如图，当点N在点P的右侧时， 由（1）可知，，，， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②如图，当点N在点P左侧时， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当t的值为或时，以O、D、P、N为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，注意分类讨论是解题关键． 26．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）解：由一元二次方程， 得或， ，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处， ， 在矩形中，与平行， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由，， 同（1）得：直线解析式为， 设， 由折叠可知， ， 解得（不符合题意，舍去）或， ； （3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， 而，， 当为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得， ； 当，为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得或， 或（此时M和C重合，舍去）； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 综上所述，P的坐标为或或或． 28．如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标是 (2)见解析 (3)存在,点坐标或． 【分析】（1）由直线y与平行，且过点，列方程组解方程组即可得到直线的解析式，再求的坐标； （2）证明、，即可求解； （3）设点，根据，得出，，根据正方形的性质，证明，则，从而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与平行，且过点， ， 一次函数解析式为， 当时，， 点坐标是； （2）证明：轴，轴， 四边形是矩形， ，， ，，，， ，，，， 在和中， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形； （3）存在这样的点，理由如下： 设点 ∵， ∴， 当四边形为正方形时， 则，， 而，， ， 而， ， ， 即 解得：或， 所以：存在这样的点，点坐标是或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正方形的性质、三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 29．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①结合题意，根据矩形和含角直角三角形的性质计算，即可得到答案；②正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接，证明，进而推出四边形是正方形，求出，设，则，在中，，求出的值，结合图形即可解答； （2）根据题意，推导得，根据平行四边形和含角直角三角形的性质，推导得，再通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （3）结合题意，分点P在线段上和点P在的延长线上两种情况分析；结合（1）的结论，根据菱形的性质，通过列绝对值方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②如图，正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴，即，, 解得：或， 当时，则，， 此时，； 当时，则（舍去）， 综上，M点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵以和为边作平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时，，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴ ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，即，如图， ∴， 此时，点P在延长线上，不符合题意； 当点P在的延长线上时，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，和矛盾，故舍去； ∴存在点Q，使是菱形，t的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、直角三角形、平行线、菱形、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、含角直角三角形的性质，从而完成求解． 30．如图1，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，且，． (1)求点D坐标； (2)如图2，连接，动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿的路线向终点O运动，点P的运动时间为t，连接，请求出的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，M是的中点，连接，Q是射线上一点．在P的运动过程中，是否存在t值，使A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据勾股定理，求得，根据平行四边形的性质，得 根据，，确定，继而确定点D坐标； （2）当时，点B到的距离等于，； 当时， 过B作交的延长线于点K，得，继而得到，解答即可； （3）当Q为的中点时，连接，当时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形，计算；过点O作交于点Q，可以证明A、P、M、Q四点形成的四边形是菱形，更是平行四边形，故当点P与点O重合时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形，解得； 本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∵平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上， ∴，， ∵， ∴， ∴点D坐标为． （2）解：动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿的路线向终点O运动，点P的运动时间为t， 则，， 当时， ∵平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，，， ∴， ∴点B到的距离等于， ∴； 当时， ∵平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，，，，， ∴，， ∴， 过B作交的延长线于点K， 则， ∴， ∴； 综上所述，． （3）解：当Q为的中点时，连接， ∵M是的中点， ∴， ∵平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上， ∴， ∴， 当时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形， ∴； 过点O作交于点Q， 根据前面证明，得，，， ∵平行四边形的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上， ∴，， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、M、Q四点形成的四边形是菱形，更是平行四边形， 故当点P与点O重合时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形， ∴； 综上所述，当或时，A、P、M、Q四点形成的四边形是平行四边形． 31．如图，四边形是矩形，点，分别在轴，轴上，点的坐标是，的垂直平分线分别与交于点． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)求直线的解析式； (3)连接，，相交于点，请求出点的坐标； (4)点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使得以为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)解析式为； (3)； (4)点的坐标为或或． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，即为中点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是，，， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，，解得：， ∴点的坐标是， 故答案为：，，； （2）解：设解析式为，且过，， ∴，解得：， ∴解析式为； （3）解：如图， ∵， ∴， 设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴解析式为，解析式为， 联立得：，解得：， ∴； （4）解：如图，如图，以为边，时， ∴或， 如图，以为对角线，时，， ∴， 综上可得：以为顶点且以为边的四边形为菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标，解方程，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 32．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（1）把点的坐标代入中，求出的值，即可得到直线的解析式，根据解析式即可求出点的坐标； （2）根据、轴，可知，可得，解方程求出的值即可； （3）当为矩形的对角线时，利用三角形的面积公式可以求出，根据矩形的性质可知，设点的坐标是，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标；当时，根据矩形的性质可以直接得出点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：点在直线：上， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 解得：或， 当或时，； （3）解：已知点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示，当为矩形的对角线时， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 则直线的解析式为， 设点的坐标是， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 点的坐标是； 如下图所示，当时， 可得：，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 考点05 动点最值问题 33．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求边的长； (2)求点，的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）先求出一次函数与轴、轴交点、的坐标，再利用勾股定理求的长． （2）通过作辅助线，利用正方形的性质和三角形全等的判定与性质，求出点、的坐标． （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，求出周长的最小值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴，轴分别交于， 当时，， 解得，即； 当时，，即 ， ； （2）解：过作轴于；过作轴于， 是正方形 ， ， ， 在和中 ， ， ， ，则 同理，可证 ， ，则 （3）解：作关于轴的对称点连接，交轴于，此时的周长最小， 的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 34．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 35．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 36．【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，准确利用知识点进行计算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，交于点，作，则四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，当点在上时，即点与点重合时，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则，在中，由勾股定理得，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 正方形边长为， ，， ， 沿翻折得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案是：． （2）①当时，如图，作于点，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 又由折叠性质可得：， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点， 则，四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，， 由折叠可知，，， 则在中，， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理，得：， 解得， ， 综上所述，线段的长为或； （3）连接，，交于点，作，则四边形为矩形，，， 由折叠可知，，，，，， ，， ， 又，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接，连接交于点， 则，， ， 当点在上时，即点与点重合时，值最小； 如图： ，，， ， ， 为的中点， ， 设， 则， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ， ， ， ， ， ，即，，即， ，， ， ，， ， ，即， ． 37．如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． (1)如图，当点运动到中点时，直接写出的长； (2)如图，当时，过点作交于点，求证：； (3)如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在最小值， 【分析】（）过点作于点，证明四边形为平行四边形，得到，即得，进而可得四边形为矩形，再证明，得到，即可求解； （）证明四边形为矩形，得到，，即得，进而证明，得到，即得到，即可求证； （3）连接交于点，连接，可证，得到，，即得，又由得，得到，即得到，作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，，可得，可知即点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，进而由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ∵在正方形中，，点是中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ∴四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ； （3）解：存在最小值，最小值为，理由如下： 连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，， ∴， 即点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ， 在中，， 的最小值为， ∵， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 38．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为． (1)如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． (2)如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． (3)如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)，证明见解答 (2)，证明见解答 (3)存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造，可得，，然后根据点E的横纵坐标之间的关系求解答案． （2）延长，使，连接根据证明，得出，，然后再证明即可得出结论． （3）先根据（1）中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段上时有最小值，再根据的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据（1）中即可求解． 【详解】（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为： 理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为 是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 设点E坐标为， ，， 故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为 （2）解：结论： 证明：如图，延长，使，连接 根据题意可知，，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ， （3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式 点H为线段的中点， 点H横纵坐标为：，， ， 代入得： 点H在直线上． 当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度． 设此时点H的坐标为， ，，， 点H坐标为， ，， 由（1）知：， ， 点D的坐标为． 39．如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点． (1)如图2，当点，重合时， ①求证：四边形是菱形； ②设点为线段上一点，求的最小值． (2)求的面积的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）解：①当点，重合时，， 由折叠得，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②连接 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A，C，Q三点共线时，最小，此时， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）当点，重合时，， ∴的面积最小， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点P与点D重合时，过点M作于点G， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即， ∴ ∴的面积的取值范围是． 40．问题提出： （1）如图①，为矩形的对角线，点为的中点，连接．若，．则______． 问题探究： （2）如图②，为菱形的对角线，，，为上任意一点，为上任意一点，求的最小值． 综合应用 （3）如图③，是李叔叔家的农场平面示意图．李叔叔欲将农场扩建．扩建部分为平行四边形．其中点在的延长线上．、分别为边、的中点．在四边形内养家禽，为一道栅栏，经测量，，，米，，、为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿、修建两条运输管道，问运输管道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）米． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）如图：连接，过A作于E， ∵菱形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴点N和点E重合时，的最小值为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． （3）存在， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别为边、的中点， ， ∴四边形是平行四边形． ，F为边的中点， ， ∴四边形是菱形； 如图：连接，交于点，则、互相垂直平分， ， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， ∵， ， 为等边三角形，而米， ∴米， ∵为的中点， 米， ∴（米）． ∴的最小值为米． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $