专题02 特殊平行四边形相关的最值问题（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题02 特殊平行四边形相关的最值问题 （5种类型40道） 考点01 菱形相关最值问题 考点02 矩形相关最值问题 考点03 “斜中半”相关最值问题 考点04 正方形相关最值问题 考点05 折叠相关最值问题 考点01 菱形相关最值问题 1．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段上的任意一点，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 4．如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．4 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，点是边的中点，连接，．若，，则最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 6．如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 7．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 8．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 考点02 矩形相关最值问题 9．如图，在矩形中，，对角线交于点O，且，点E为上一个动点，点P为的中点，点F为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 11．如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 12．如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，得到 ， 点 恰好是 的中点， 为 上一动点，作 于 ，则 的最小值为 （    ） A． B．3 C． D． 13．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 14．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 16．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 考点03 “斜中半”相关最值问题 17．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 18．如图，在中，，D为上一点，连接，过点A作，垂足为E，连接，则线段的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 19．如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 21．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 22．已知，如图，在中，，D是的中点，点E在上，点F在，且，，则周长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 23．如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A．3 B． C． D． 24．如图，中，，，，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，则面积的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 考点04 正方形相关最值问题 25．如图，正方形的边长为，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点为直线上的一个动点，则，两点间距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 26．如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 27．如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 28．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 29．如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 30．如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 31．如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 32．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 考点05 折叠相关最值问题 33．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 34．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 35．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 36．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 37．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 38．如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 39．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 40．如图，在正方形中，，点为上一动点，将沿折叠得到，连接，则长的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形相关的最值问题 （5种类型40道） 考点01 菱形相关最值问题 考点02 矩形相关最值问题 考点03 “斜中半”相关最值问题 考点04 正方形相关最值问题 考点05 折叠相关最值问题 考点01 菱形相关最值问题 1．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段上的任意一点，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】作点P关于的对称点，作交于K，交于Q，过点A作于点H，根据轴对称的性质得出，证明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、K、Q三点在同一直线上，且时，的值最小，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出即可得出答案． 【详解】解：作点P关于的对称点，作交于K，交于Q，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，平分， ∴点P关于的对称点在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、K、Q三点在同一直线上，且时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题关键在于作辅助线． 3．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 4．如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】作点N关于直线的对称点，根据两点之间线段最短可得，再说明是等边三角形，结合等边三角形的性质得，然后根据根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，作点N关于直线的对称点， ∴， 即， 根据两点之间线段最短可得． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵点是的中点， ∴， 根据勾股定理，得， 所以的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，根据两点之间线段最短确定的最小值是解题的关键． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，点是边的中点，连接，．若，，则最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 连接交于，连接．利用菱形的性质证明，推出，此时的值最小，最小值为的长，求出即可解决问题． 【详解】解：连接交于，连接． ∵四边形是菱形， ， ∴垂直平分， ∴， ∴此时最小，最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即最小值为5， 故选：A． 6．如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查图形旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、菱形的性质、含有的直角三角形的性质．连接，过点作于点，证明，求出的大小，根据直角三角形边长关系求得的最小值为． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转至， ∴， ，即， 连接，在和中，， ， ， ， ∴． 过点作于点， 则， ∴当点与点重合时，取最小值， 在中，，， ，， ， 在中，，， ， ∴最小值为． 故选：B． 7．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 8．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵P，Q分别为，的中点， 是的中位线， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，根据垂线段最短，有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ， ∵四边形是菱形，， ， ， ∴， 的最小值为， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练求解． 考点02 矩形相关最值问题 9．如图，在矩形中，，对角线交于点O，且，点E为上一个动点，点P为的中点，点F为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点M，作直线，作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接，推出是等边三角形，根据勾股定理得到，，由于，得到，于是得到结论． 【详解】解：取的中点M，作直线， ∵点P是的中点， ∴， 作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 11．如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的定理得出，，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵为定值， ∴当值最小时，取最小值， 如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ∴，， 此时，， 即的最小值为的长度， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 12．如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，得到 ， 点 恰好是 的中点， 为 上一动点，作 于 ，则 的最小值为 （    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形与折叠，勾股定理得到，如图所示，过点作，交于点，过点作于点，交于点，得到四边形是矩形，，则，则，当时，，根据点到直线垂线段最短得到此时的值最小，最小值为的值，根据题意可证，得到，，，则是等边三角形，，由等边三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点是的中点， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 如图所示，过点作，交于点，过点作于点，交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则， ∴， 当时，，根据点到直线垂线段最短得到此时的值最小，最小值为的值， ∵于点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴是等边三角形， 又， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查矩形判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 13．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， ， 的最小值为． 故选：C． 14．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为， 故选：． 15．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 16．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 考点03 “斜中半”相关最值问题 17．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质，可得，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得的长度，根据勾股定理求出的长，根据垂线段最短即可确定的最小值． 【详解】解：连接，，如图， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴点是线段的中点， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 由垂线段最短可知当时有最小值，即的长， 故选：B． 18．如图，在中，，D为上一点，连接，过点A作，垂足为E，连接，则线段的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质三角形三边关系，取的中点O，连接，根据直角三角形的性质可得，利用三角形三边关系得当三点在同一直线上时，满足最短，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， ∵，O为中点，， ∴在中，， ∵， ∴当三点在同一直线上时，满足最短， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 19．如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、， 点在上，于点， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 20．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，， 最短时，， 当最短时，． 故选：B． 21．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，是等腰三角形，，根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小， ∴， 故选：C ． 22．已知，如图，在中，，D是的中点，点E在上，点F在，且，，则周长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，证明,得到，设，则，得到，根据非负性，得时，取得最小值， 得到当时，取得最小，且为，由周长的为，代入解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的非负性应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度． 【详解】解：∵，D是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴， 根据勾股定理，得， 设，则， ∴， ∵， ∴，且当时，取得最小值， ∴当时，，此时， ∴当时，取得最小，且为， 由周长为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 23．如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意画出图形，当点分别在的延长线与线段上，分别求得最大值与最小值，即可求解．分类讨论是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点， ， ． ． 为的中点， ． 当旋转到如图1的的位置时，的值最大为：． 当旋转到如图2的的位置时，的值最小为：． 综上所述：最大值为，最小值为． 故选：B． 24．如图，中，，，，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，则面积的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，三边关系，先求出，运用等面积法求出，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合三点共线，垂线段最短，即可作答． 【详解】解：过点作，连接，，如图所示： ∵，，， ∴， 则， ∴ ∵， ∵点G是的中点，， ∴， 则， 当三点共线时，， 此时面积取最小值，且为， 故选：C 考点04 正方形相关最值问题 25．如图，正方形的边长为，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点为直线上的一个动点，则，两点间距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定．在延长线上截取，连接，设直线与交于O，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，则；由旋转的性质可得，证明，得到；再证明，得到三点共线，则点P在直线上运动；证明，则当时，有最小值，可证明此时四边形是矩形，则，即P、N两点间距离的最小值为． 【详解】解：如图所示，在延长线上截取，连接，设直线与交于O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴点P在直线上运动； ∵，即， ∴， ∴当时，有最小值， 当时，则四边形是矩形， ∴， ∴P、N两点间距离的最小值为， 故选：D． 26．如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如下图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，确定点P到中点的距离是解此题的关键． 27．如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，由正方形的性质得，，，求得，，，则，作点关于直线的对称点，连接，由旋转得，，因为垂直平分，所以，则，所以，可证明，得，作于点，作交的延长线于点，可证明，得，因为四边形是矩形，所以，由，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、交于点， 四边形是边长为的正方形， ，，， ，，， ， 作点关于直线的对称点，连接， 把线段绕点逆时针旋转到线段， ，， 垂直平分， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 作于点，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， ， 四边形是矩形， ， ， ， 线段的最小值为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 28．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，首先解得，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线对称，故的长即为的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形为正方形，且边长为4，， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴周长， 当在同一直线上时，可有， 即的长为的最小值， ∴周长的最小值． 故选：B． 29．如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，正方形的性质． 利用轴对称-最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答． 【详解】解：如图，作B点关于直线的对称点，正好落于点D，连接交于点P，连接，此时的值最小， 由作图知道，， ， 正方形的边长为6，是等腰直角三角形，由勾股定理得， ，，， 在中， ， 的最小值 故选：C． 30．如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称最短路线问题以及等边三角形的性质，关键在于利用正方形的对称性将转化为，再根据两点之间线段最短求解．利用正方形的对称性，将进行转化，再根据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：连接，如图 四边形是正方形，所以点D关于对角线的对称点是点B， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，的值最小，即的长度就是的最小值， 是等边三角形， ， 又正方形的面积为， ， ． 故选：D． 31．如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线的长， ∴的最小值为线的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 32．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，由，，得，得的最小值为，由旋转性质和正方形性质证明，得，即得的最小值 【详解】解：连接， ∵正方形中，，且， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵点是正方形内一动点，且， ∴点E是在以点G为圆心，以长为半径的半圆上运动， ∴， ∴当点E在上时，，取得最小值， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形与旋转．熟练掌握正方形性质，勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 考点05 折叠相关最值问题 33．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．连接，可知当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求． 【详解】解：如图，连接，可知当点落在上时，取得最小值． 根据折叠的性质，， ， 是边的中点，， ， ∴ ，， ， ． 的最小值是， 故选：C． 34．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小．根据两点之间线段最短得：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，当，，三点共线时取等号， 的最小值为的值， 在矩形中，，，点E是边的中点， ∴，则， 将沿所在直线折叠到，则， ， 故的最小值是8， 故选：A． 35．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 36．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与翻折，三角形中位线定理，勾股定理，通过构造三角形中位线得到是解决问题的关键．结合矩形的性质，由折叠可知，，取中点，连接，，则，可得，，由三角形三边关系可知，，当在上时取等号，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，， 取中点，连接，，则， ∴， 又∵点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取等号， ∴的最小值为， 故选：D． 37．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 38．如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出． 取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】如图，取中点P，连接、，    ∵正方形的边长为4， ∴， ∴ 由折叠的性质可知，，Q为中点， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 39．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 40．如图，在正方形中，，点为上一动点，将沿折叠得到，连接，则长的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、以及勾股定理，根据题意得出的值，分析可知最小时即、、三点共线，再根据勾股定理得出的值，即可得到的最小值． 【详解】解：在正方形中，， , 沿折叠得到， , 根据两点之间线段最短，要最小，即点、、三点共线， 有， ， ， 故答案为：C． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $