专题07 一元二次方程应用题分类训练2（围栏道路行程动点水电费新能源6种类型48道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题07 一元二次方程应用题分类训练2 （围栏道路行程动点水电费新能源6种类型48道） 考点01 围栏问题 考点02 道路问题 考点03 行程问题 考点04 动点几何问题 考点05 水费与电费 考点06 新能源相关一元二次方程应用题 考点01 围栏问题 1．如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． (1)当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ (2)能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 【答案】(1)当时，矩形试验田的面积为 (2)矩形试验田的面积不能为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意，设，则，由面积公式列方程，解一元二次方程即可； （2）根据面积公式列方程，由一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，矩形试验田的面积为； （2）解：根据题意，，整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴矩形试验田的面积不能为． 2．如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 3．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)木栏的长为10米 (3)矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形围栏的面积为210平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据矩形围栏的面积为240平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：的长为x米，则（米）， 故答案为：； （2）由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：木栏的长为10米； （3）矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由如下： 由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 矩形围栏的面积不可能达到240平方米． 4．如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图）．    (1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由； (2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米元，建新围栏的费用是每米5元，计划修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由． 【答案】(1)能完成，利用旧围栏米； (2)能完成，利用旧围栏米或米． 【分析】（1）设的长为米，则的长为米，利用长方形面积公式列一元二次方程计算即可求解； （2）设利用旧围栏m米，则米，米，利用总费用175元，列出分式方程计算即可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴，， ∴或（不合题意，舍去）， ∴能完成，利用旧围栏米； （2）解：设利用旧围栏m米，则米，米， 依题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴，， 经检验，，都是原方程的解，且满足题意， 答：能完成，利用旧围栏米或米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程． 5．“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．    【答案】该矩形草坪BC边的长为15米 【分析】可设边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】解：设边的长为x米，且， 根据题意得： 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 即：， 答：该矩形草坪BC边的长为15米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 6．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．    【答案】（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由见解析 【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长； （2）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形鸡舍ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米， ∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB=49+2-3x=51-3x（米）， 故答案为：（51-3x）； （2）依题意，得：（51-3x）x=210， 整理，得：x2-17x+70=0， 解得：x1=7，x2=10． 当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去， 当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意， 答：篱笆BC的长为10米； （3）不可能，理由如下： 依题意，得：（51-3x）x=240， 整理得：x2-17x+80=0， ∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”． 7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长． ⑴可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?如果不能，请说明理由． ⑵可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？如果不能，请说明理由． 【答案】(1).羊圈的边长AB是20米、BC为20米．(2)不能 【分析】（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． （2）把640代入解析式，即可解答． 【详解】(1).解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得（100﹣4x）x=400， 解得x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的边长AB是20米、BC为20米． (2)不能，（100﹣4x）x=640，因为方程无实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程． 8．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相等的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，垂直于墙的边长度不超过6米（围栏宽忽略不计）． (1)若每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园各边的长度； (2)每个生态园的面积能不能达到108平方米？ 【答案】(1)每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米 (2)每个生态园的面积不能达到108平方米 【分析】此题考查列一元二次方程解决实际问题． （1）对于每个生态园，根据矩形的面积公式，可列方程求解； （2）把（1）方程中的48改为108，进行分析． 【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为米，根据题意得 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ． 即每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米； （2）解：由（1）及题意可知，， 整理得： ， 原方程无实数根 每个生态园的面积不能达到108平方米． 考点02 道路问题 9．深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【答案】(1) (2)5元 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 10．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】4米 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 11．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 【分析】（）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元，月租金收入为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 12．如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路和一个底部为正方形凉亭（图中阴影部分），正方形的宽为小路宽的2倍，剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽度． 【答案】1米 【分析】设道路的宽度为x米，根据空白部分面积可以看作一个长为，宽为的矩形面积减去一个长为、宽为的面积进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意可得：，即 解得；，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽为1米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 14．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】（1）；（2）横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为 【分析】（1）利用平移的性质得到等式，求解即可； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程解答． 【详解】解：（1）设道路的宽度是，则 ， 整理得， 解得（舍去）， 答：道路的宽度为； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，则 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪． （1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？ （2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？ （3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m＝________，n＝________（直接写出答案）． 【答案】（1）每条道路的宽x为2米；（2）原来矩形场地的长为28米，宽为14米；（3）4或2或1，4或8或9 【分析】（1）根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由a：b＝2：1可得出a＝2b，根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）根据草坪地的总面积为120平方米，即可得出（14﹣n）（7﹣m）＝30，由m，n为常数结合30＝2×3×5，即可得出结论． 【详解】解：（1）四块矩形场地可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形． 依题意，得：（26﹣x）（15﹣x）＝312， 整理，得：x2﹣41x+78＝0， 解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）． 答：每条道路的宽x为2米． （2）四块矩形场地可合成长为（2b﹣2）米，宽为（b﹣2）米的矩形． 依题意，得：（2b﹣2）（b﹣2）＝312， 整理，得：b2﹣3b﹣154＝0， 解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去）， ∴a＝2b＝28． 答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米． （3）草坪可合成相邻两边分别为（28﹣2n）米、（14﹣2m）米的矩形， 依题意，得：（28﹣2n）（14﹣2m）＝120， 即（14﹣n）（7﹣m）＝30． ∵30＝2×3×5， ∴当7﹣m＝2时，m＝5，n＝﹣1，不合题意，舍去； 当7﹣m＝3时，m＝4，n＝4； 当7﹣m＝5时，m＝2，n＝8； 当7﹣m＝6时，m＝1，n＝9． 故答案为：4或2或1；4或8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将30分解质因数． 16．方程解应用题 ①如图，我县某单位要在长为40米，宽为24米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽． ②某校九年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为12元／件． 小佳：该商品定价为20元时，每天可售240件． 小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售20件；降价1元，则每天多售出40件． 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？ 【答案】①道路的宽为2米；②定价为18元更合理． 【分析】①设道路的宽为x米． 根据道路的宽为正方形边长的，得出正方形的边长以及道路与正方形的面积进而得出答案． ②设定价为x元，则有（x﹣进价）[每天售出的数量﹣（x﹣20）×20]＝每天利润；解方程求解即可． 【详解】①解：设道路的宽为x米． 列方程x（24-4x）+x（40-4x）+16x2=×40×24， 整理得x2+8x-20=0 ， 解得x1=2，x2=-10（舍去）， 答：道路的宽为2米． ②解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x-12）元.根据题意，得（x-12）〔240-20（x-20）〕=1920， 整理得x2-44x+480=0   解得x1=20， x2=24， 当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y-12）元． 根据题意，得（y-12）〔240+40（y-20）〕=1920， 整理得x2-38x+360=0 ，   解得y1=20，y2=18， 综上两种方案后，定价为18元更合理． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程． 考点03 行程问题 17．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 18．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 19．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 21．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值． 【答案】（1）1600；（2）20． 【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可； （2）根据题意得出：进而求出即可． 【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：， 解得：， 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米； （2）由题意可得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为20． 22．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】(1)1800米 (2)52分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）可设返回时两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得， 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； （2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 23．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 24．小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)7，理由见解析 【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案； （2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴关于t的函数关系式为； （2）解：对于球来说，， 小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为， 由小明在4s时第一次追上球可得，， 解得， 即图中a的值为； （3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为， ，，则， ， 第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 第三次踢后，变化规律为， ，，则， ， 第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 又开始下一个循环， 故第四次踢球所需时间为，经过24米， 故第五次踢球所需时间为，经过48米， 故第六次踢球所需时间为，经过24米， 故第七次踢球所需时间为，经过48米， ∵，， ∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次， 故答案为：7 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 考点04 动点几何问题 25．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】此题考查解一元二次方程的应用．熟练掌握动点路程、速度和时间的关系，动点形成三角形面积，列一元二次方程，一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况，是解题的关键． （1）根据动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，可以得出，； （2）根据的面积等于，列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； （2）解：当的面积等于， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于； （3）解：不可以，理由如下： 如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 26．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键． （1）当时，计算出相关线段长度，根据求解； （2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可； （3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 27．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3秒 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可． 【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 28．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 29．如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 30．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 【答案】(1)； (2)9秒或12秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理. （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴ 故答案为：，； （2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， ∵， ∴， 即， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米． 31．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． (1)点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； (2)几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ (3)是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；8 (2)3秒或秒 (3)存在；2秒或5.6秒 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，再根据运动时间路程速度计算即可得解； （2）设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍，则，从而可得，由矩形的性质并结合勾股定理可得，．由题意可得，，则，再分两种情况：①时，②时，分别求解即可； （3）设t秒后，的面积是．分两种情况：①时，；②时．点P运动到点B停，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ∴点P运动的时间是秒，点Q运动的时间是秒； （2）解：设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍， ，即． ∵四边形是矩形， ， ，． 由题意可得：，， ∴， ①时．， ， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ． ， ． ∵点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ． 综上所述，3秒或秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍． （3）解：存在．求值如下：                     设t秒后，的面积是． ①时． ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ， 解得． 综上所述，当t的值为2或5.6秒时，的面积是． 32．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 考点05 水费与电费 33．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 34．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 35．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 36．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 37．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 38．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 39．某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部分还要按每千瓦·时 元交费． （1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示); （2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况: 月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗? 试试看． 【答案】（1）；（2）50 【详解】分析：（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，所以超过部分电费（90−A）•，化简即可； （2）依题意，得：（80−A）•＝15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果． 详解：（1）(90−A)×； （2）由表中数据可知(80−A)×＋10＝25， 得 A2−80A＋1500＝0， 解得 A1＝30，A2＝50， 又∵用电45千瓦•时，付费总额10元， ∴A＞45， ∴A＝50 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，然后列出方程是解题的关键． 40．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 【答案】（1）的值为2.8，的值4.2；（2）2021年小刚家用水量为218.7吨. 【分析】（1）小明家：一阶梯水费+二阶梯水费=789.6；小刚家：一阶梯水费+二阶梯水费+三阶梯水费=1008；列出方程组，求得，即可. （2）连续两年降低，列一元二次方程即可解. 【详解】（1）由题意得，解得，. 即：的值为2.8，的值4.2. （2）由题意得，解得，（舍去）， （吨） 答：2021年小刚家用水量为218.7吨. 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程组的应用问题，难度适中，认真分析，找到等量关系，正确求解即可. 考点06 新能源相关一元二次方程应用题 41.随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升，某品牌新能源汽车8月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，10月份的销售量达到万辆，求从8月份到10月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】月平均增长率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从8月份到10月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据8月份和10月份的销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 42．无锡某新能源科技公司旗下门店，主营本地研发生产的家用充电桩适配数据线，该数据线进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条．为响应绿色能源推广政策，同时考虑尽可能减少进货量，提高经营利润，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现：该款数据线每涨价1.5元，由于部分消费者选择等待促销或更换替代品，日销售量就会减少15条．请解决以下问题： (1)设每条数据线涨价元，则每条数据线的利润为 元，实际销售的数量为 条；（用含x的代数式表示） (2)该门店希望每天通过销售该款数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元? 【答案】(1)每条利润为元，实际销售数量为条 (2)零售价应定为31元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条，该款数据线每涨价1.5元，日销售量就会减少15条”，以及“设每条数据线涨价元”进行分析，得出每条利润为元，实际销售数量为条，即可作答． （2）结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设每条数据线涨价元， 则， 即每条数据线的利润为元； ∵每天可稳定销售180条，该款数据线每涨价1.5元，日销售量就会减少15条， ∴实际销售数量为条； （2）解：设每条数据线涨价元， ∵销售该款数据线赚取1800元利润， ∴， ∴， ∴整理得， 解得， ∵尽可能减少进货量，提高经营利润， ∴（舍去） ∴当时，则（元）， ∴零售价应定为31元． 43．列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【答案】(1)A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元 (2)m的值为0.5 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，先分别列式求出第一个月和第二个月的利润，再根据第二个月比第一个月的利润多3万元，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则， 答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元； （2）解：第一个月的利润为： （万元）， 第二个月的利润为： ， ∵第二个月比第一个月的利润多3万元， ∴， 解得， 即m的值为0.5． 44．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 45．2024年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2025年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2025年一月份销售利润为500万元，请求出a的值． 【答案】(1)每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元； (2)12.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设人力成本元，则材料成本元，其他成本元，根据总成本合计880元列一元一次方程求解即可； （2）根据题意得出2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元，销售单价为，月均销售，再根据销售利润为500万元列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设人力成本元，则材料成本元，其他成本元， 由题意得：， 解得：， 则（元），（元）， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元； （2）解：2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变 2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元， 每件的材料总成本合计（元）， 与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加． 2025年的销售单价为，月均销售， 2025年一月份销售利润为500万元， ， 整理得：， 解得：，（舍）， a的值为． 46．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 47．我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力的双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量．请根据以下素材，解决问题． 素材1 小明代理一新款能源汽车销售，据了解1辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计38万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计53万元． 素材2 在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品．小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；每降低万元，平均每周多售出1辆． 素材3 4S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现96万元的周利润，决定下调售价，让利客户． 问题解决 任务1 （1）试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价． 任务2 （2）请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆的售价． 【答案】（1）A型新能源汽车每辆的进价是15万元，B型新能源汽车每辆的进价是23万元；（2）建议A型新能源汽车每辆的售价为21万元 【分析】任务1：设A型新能源汽车每辆的进价是x万元，B型新能源汽车每辆的进价是y万元，根据1辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计38万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计53万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2：设建议A型新能源汽车每辆的售价为m万元，根据为了能实现利润为96万元的营业额，下调售价，让利客户，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：任务1：设A型新能源汽车每辆的进价是x万元，B型新能源汽车每辆的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车每辆的进价是15万元，B型新能源汽车每辆的进价是23万元； 任务2：设建议A型新能源汽车每辆的售价为m万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵让利客户， ∴； 答：建议A型新能源汽车每辆的售价为21万元． 48．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程应用题分类训练2 （围栏道路行程动点水电费新能源6种类型48道） 考点01 围栏问题 考点02 道路问题 考点03 行程问题 考点04 动点几何问题 考点05 水费与电费 考点06 新能源相关一元二次方程应用题 考点01 围栏问题 1．如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． (1)当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ (2)能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 2．如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 3．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 4．如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图）．    (1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由； (2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米元，建新围栏的费用是每米5元，计划修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由． 5．“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．    6．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．    7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长． ⑴可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?如果不能，请说明理由． ⑵可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？如果不能，请说明理由． 8．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相等的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，垂直于墙的边长度不超过6米（围栏宽忽略不计）． (1)若每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园各边的长度； (2)每个生态园的面积能不能达到108平方米？ 考点02 道路问题 9．深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 10．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 11．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 12．如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 13．如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路和一个底部为正方形凉亭（图中阴影部分），正方形的宽为小路宽的2倍，剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽度． 14．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 15．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪． （1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？ （2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？ （3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m＝________，n＝________（直接写出答案）． 16．方程解应用题 ①如图，我县某单位要在长为40米，宽为24米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽． ②某校九年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为12元／件． 小佳：该商品定价为20元时，每天可售240件． 小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售20件；降价1元，则每天多售出40件． 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？ 考点03 行程问题 17．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 18．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 19．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 21．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值． 22．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 23．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 24．小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 考点04 动点几何问题 25．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 26．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 27．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 28．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 30．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 31．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． (1)点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； (2)几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ (3)是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 32．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 考点05 水费与电费 33．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 34．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 35．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 36．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 37．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 38．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 39．某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部分还要按每千瓦·时 元交费． （1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示); （2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况: 月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗? 试试看． 40．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 考点06 新能源相关一元二次方程应用题 41.随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升，某品牌新能源汽车8月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，10月份的销售量达到万辆，求从8月份到10月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 42．无锡某新能源科技公司旗下门店，主营本地研发生产的家用充电桩适配数据线，该数据线进货价为每条16元．若按每条25元的零售价售出，每天可稳定销售180条．为响应绿色能源推广政策，同时考虑尽可能减少进货量，提高经营利润，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现：该款数据线每涨价1.5元，由于部分消费者选择等待促销或更换替代品，日销售量就会减少15条．请解决以下问题： (1)设每条数据线涨价元，则每条数据线的利润为 元，实际销售的数量为 条；（用含x的代数式表示） (2)该门店希望每天通过销售该款数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元? 43．列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 44．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 45．2024年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2025年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2025年一月份销售利润为500万元，请求出a的值． 46．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 47．我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力的双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量．请根据以下素材，解决问题． 素材1 小明代理一新款能源汽车销售，据了解1辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计38万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计53万元． 素材2 在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品．小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；每降低万元，平均每周多售出1辆． 素材3 4S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现96万元的周利润，决定下调售价，让利客户． 问题解决 任务1 （1）试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价． 任务2 （2）请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆的售价． 48．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $