九年级数学上学期期末模拟卷（北师大版九上第一章-九下第二章，高效培优·提升卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 4 5 6 1 8 10 C C A 0 0 B 0 C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.√2 12.4 13.9 15.1 16.3V5-3 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(8分)【详解】(1)解：x2-4x+2=0, 移项，得x2-4x=-2, 两边同时加上4，得x2-4x+4=-2+4, 即(x-22=2,(2分) 开平方，得x-2=±√2， 解得：x1=2+√2，x2=2-√2；(4分) (2)(x-3)2-2x(x-3)=0, 方程左边分解因式，得x-3)(x-3-2x=0,(6分) 即x-3)(-3-x)=0, 所以x-3=0或-3-x=0, 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=3,x2=-3.(8分) 18.(8分)】 【详解】解：2sin60°+4cos60tan245°-3tan30° 2x 5+4x5x-3x54分1 2 2 3 =√5+2-5 =2.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：：10÷20%=50， ·.本次共抽取了50名学生的竞赛成绩，(2分) (2)解：B组学生人数为50×30%=15人， 补全频数分布直方图如下： ◆人数（频数） 25 20 20------- 10 10 (4分) 0 A BCD成绩/分 (3)解：：成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， :中位数-83+84=835分，6分) (4)解：画树状图如下： 开始 个 乙丙丁 甲丙丁甲乙丁 个N 甲乙丙 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， “所选的两位同学恰为甲和丙的概率为2=上. 26·8分) 20.(8分)】 【详解】(1)解：如图，过C作CH⊥BD交BD延长线于H, 在Rt△CDH中，LCHD=90°，∠CDH=30°， :CH=CD=}×20=10(米)： 答：点C到水平地面的距离为10米；(4分) 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，过H作HE∥AC交AB于E, C :AE⊥BD,CH⊥BD, AE∥CH, :四边形AEHC为平行四边形， AE=CH=10米， 在RtA CDH中，DH=VCD2-CH2=V202-102=105≈17.3（米）， BH=BD+DH=37.7+17.3=55(米)， :身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， 即 BE 2 5=3 解得BE=110 AB=AE+BE=10+10≈47（米. 3 答：小明测得的水塔高度约为47米.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：设每张电影票的原定票价为x元，则降价后的价格为x-10)元， 依题意，得： 20001500 xx-10 解得：x=40, 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 答：每张电影票的原定票价为40元.(4分) (2)解：设平均每次降价的降价率为y, 依题意，得：40(1-y)2=32.4, 解得：1=0.1=10%，y2=19(不合题意，舍去). 答：平均每次降价的降价率为10%·(8分) 22.(10分) 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：AF=FC, 点F是AC的中点， 又：E是AB的中点， ·EF是ABC的中位线， .ED∥BC, 又：BF∥CD, :.四边形BCDF为平行四边形， :∠BCD=90°， :四边形BCDF为矩形.(5分) (2)解：由(1)己证：四边形BCDF为矩形， ∴.BC=DF,BF=CD,BF⊥DE, :CD=3, BF=3, 由(1)得：EF是ABC的中位线， :EF=IBC=IDF, 2 2 DE=3, .在Rt△BEF中，BE=VBF2+FE2=V32+12=√0， :E是AB的中点， .AB=2BE=2V10.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：四边形AODF是矩形，理由如下： :点E是AD的中点， .AE DE, :AF∥0D, .∠AFE=LDOE, 又：∠AEF=∠DEO, ∴在△AEF和△DEO中， 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AFE=∠DOE ∠AEF=∠DEO, AE=DE .△AEF≌ADEO(AAS), .FE=0E, 四边形AODF是平行四边形， :四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O, AC⊥BD, ∴∠A0D=90°， .四边形AODF是矩形；(3分) (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AC=2A0, :四边形AODF是矩形， FD=AO=AC,FD∥A0 ∴.∠GFD=LGCA,LGDF=LGAC, .△GFD∽△GCA, :FD-GD 1 CA GA2 :GD=3' 4 4 31, GA 2 解得：GA=分 8 AD=GA+GD-+3=4 3+3 .菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16;(6分) (3)解：如图作EH⊥BD于点H,则LEHD=90°， 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B :四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=4,∠A0B=90°，OB=0D, :∠ABC=60°， .∠AB0=30°， :0A=1AB=x4=2, 2 2 .0B=VAB2-0A2=V42-22=2V5=0D, :∠EHD=∠AOD=90°，∠EDH=∠AD0, .△EDH∽△AD0, EH DH DE 1 AO DO DA2' ·EH=1,DH=V5, 0H=OD-DH=25-√5=V5, .BH=0B+0H=2V3+√5=3V3, BE=VBH2+EH=35+1P=2万.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：：直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C, .当x=0,y=4: 当y=0,则x+4=0,解得x=-4, .A-4,0,C(0,4, :对称轴为直线x=-1 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16a-4b+c=0 ∴.3c=4 b=-1 2 as、1 2 解得b=-1, c=4 ∴抛物线的表达式为y=- x-x+4;3分) (2)解：：A-4,0),抛物线对称轴为x=-1, B2,0, .AB=2-（-4=6 过点D作y轴的平行线交AC于点K, D - K B 1 则Dm,2-m+4 则K(m,m+4), 2m2-2m DK=-)m2-m+4-(m+4=- 1 :S=SAcD+S。ABc, S=DK(e-o+号DK,-小+号48xC0 -2-+号 1 ×6×4 2-464 2 =-1m2-4m+12 =-(m+2)2+16, :-4<m<0,-1<0, 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “当m=-2时，S取得最大值为16，此时D(-2,4);8分) (3)解：存在， 如图，设P(-l,p), A B ! :四边形APCQ是菱形， :PA=PC, (-1+4)+(p-0)2=(-1-0)2+(p-4)2, 解得p=1, .P-1,1 :四边形APCQ是菱形， .PA∥CQ,PA=CQ, 点P向点A的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， :A-4,0),P(-1,1,C(0,4, ∴由平移的性质可得Q(-3,3·(12分) 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~九年级下册第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为2． A．含有两个未知数x和y，不符合条件②，故A不符合题意； B．方程中含有分式，不是整式方程，不符合条件①，故B不符合题意； C．方程可化为，满足所有条件，故C符合题意； D．未知数的最高次数为3，不符合条件③，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 3．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】 解：由图可知：该几何体的俯视图为； 故选C． 4．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入函数关系式计算各点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 即， 故选：A． 5．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 设小正方形网格的边长为1， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．将抛物线向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移． 先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则“左减右加”确定新顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵向右平移3个单位长度， ∴新顶点横坐标为，纵坐标不变， ∴新顶点坐标为． 故选：D． 7．如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】解：直线， ， ，，， ， ， ． 故选：B． 8．如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用．利用相似三角形可以求得和的长，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴长为米． 故选：D． 9．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为， 当时，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴为， ， ，故②错误； ③设抛物线的解析式为，则， 令得：． 抛物线与轴的交点在和之间， ． 解得，故③正确； ④二次函数的图象与轴交于点， ， 对称轴为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个 故选：C． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值，直接计算的结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 13．如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． 利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 故答案为：． 14．中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对世界文明的发展具有深远的影响．某校社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，小慧同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取两项发明开展活动，则她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能性的结果数，她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数有2种， ∴她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故答案为：． 15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， ∴最小的整数值为1， 故答案为：1． 16．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，线段最短的计算，理解点的运动是关键． 如图所示，连接交于点，当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上，点的运动路径是，当点共线时，的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵点是线段上的动点，， ∴当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上， ∴点的运动路径是， 设的中点为点，则， 如图所示，连接，交于点， ∵， ∴当点共线时，，则值最小时，的值最小，且， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 3、 解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 18．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 将特殊角度的三角函数值代入相应的式子求解，然后根据运算法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 19．为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线．随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，下面给出了部分信息：其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩； (2)补全频数分布直方图： (3)学生成绩的中位数是多少分； (4)学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率． 【答案】(1)50名 (2)见解析 (3)分 (4) 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数； （2）进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】（1）解：， ∴本次共抽取了50名学生的竞赛成绩， （2）解：B组学生人数为人， 补全频数分布直方图如下： （3）解：∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20．阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 【答案】(1)10米 (2)47米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过C作交延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作交于E，则四边形为平行四边形，在中，米，则米，再根据平行投影求解即可． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 21．2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军：浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的降价率． 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行检验． （1）设每张电影票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元，列出方程，解方程即可； （2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每张电影票的原定票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张电影票的原定票价为40元． （2）解：设平均每次降价的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的降价率为． 22．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 23．如图，菱形对角线，交于点，点是的中点，连接并延长，过点作，交的延长线于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图1，连接，交于点，若，求菱形的周长． (3)在（2）的条件下如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的性质证出，得到，即可判定出四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，即可推出四边形是矩形； （2）证出，利用相似的比值关系求出的长，即可求出菱形的边长推出周长； （3）作于点，则，证出，利用相似三角形的比值关系分别求出和的长，即可利用勾股定理运算求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， ∴菱形的周长； （3）解：如图作于点，则， ∵四边形是菱形 ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版九年级上册第一章~九年级下册第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列方程中是一元二次方程的是() A.x2=y B.x2-1=0 C.x(x+1=2 D.x2-2x-4=0 2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O.若AC4,BD百，则该菱形ABCD的面积是() A.10 B.12 C.14 D.16 3.如图所示的几何体，其俯视图是（) 正面 日。 4.若点A5,-,Bx,l,C飞，2)都在反比例函数y=一的图象上，则，5'的大小关系是（) 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. x2<x3< 8.6<<x C.5<< D.<5<2 5.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则Cos∠ACB等于()， B 4 3 3 V10 A.5 B.5 C.4 D.10 6.将抛物线y=X+2r-1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为() A.（4,-1 B(42 c.(21 D.(2-2 7.如图，直线∥4∥%，直线4C和DF被直线，专，所截，4B=9,8C=27,DE=5,则DF的 长为() ID B 3 A.15 B.20 C.25 D.30 8.如图，一路灯G距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O)5米的A处沿OA所在直线 走了7.5米到达点C处，那么小方在点A处影子的端点B到在点C处影子的端点D的距离BD为() E A B D A.5米 B.5.5米 C.7米 D.10.5米 9.如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m,停车场内车道的宽都相等，若 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20m2 停车位的占地面积为 求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为m,根据题意所列方 程为() 40米 22米 车道 宽度 出口 A.(40-2x22-=520 B.(40-x(22-x=520 c.(40-2x(22-2)=520 D.(40-2x(22+x)=520 10.如图，已知二次函数'=ar+b+ca≠0)的图象与x轴交于点4-，0)，对称轴为直线x=1,与广轴 的交点B在0,2和0,3引之间（包括这两点）.下列结论：①当x>3时，<0，②30+b>0,③ 1≤a≤3：④3a+c=0:其中正确的结论有(）个 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.计算：2c0s45°= 12.某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是 块 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 主视图 俯视图 一B,如图，在。4CD中，点E在D的延长线上，BE与C0交于点g者D3P的面积为4%则 △CFB的面积为 E D 14.中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对世界文明的发展具有深远的影响.某校社团开设 了关于四大发明的项目化学习活动，小慧同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取两项发明开展活动， 则她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是。 造纸术 印刷术 指南针 火药 15.若关于x的一元二次方程r-2x-1=0 两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是一 16.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接 AE,过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接DF.则DF的最小值是一· E 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解下列一元二次方程： 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )-4+2=0 2)x-32-2x(x-3)=0 2sin60°+4cos60°.tan245°-3tan30° 18.计算： 19.为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活 动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线.随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用x表 示)，并整理，将其分成如下四组：4：60≤x<70B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤r≤100，下面给出了部 分信息：其中C组的成绩为： 80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89,89,89. 竞赛成绩频数分布直方图 竞赛成绩扇形统计图 人数（频数） 25 D A 20 20 20% 15 B 10 30% 5 C 0 成绩/分 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩： (2)补全频数分布直方图： (3)学生成绩的中位数是多少分； (4)学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方 法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率. 20.阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔.在 一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法.他观察到水塔AB垂直于水平 地面BD,阳光下水塔AB的影子正好延伸至地面及一个小山坡DC上（如图所示），他测得地面上的影长 BD是37.7米，坡面上的影长DC是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为30°.与此同时，身高1.6 米的小明在水平地面上的影长是2.4米（参考数据5≈1.73） 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 2.4 B 7777777777777 (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔AB的高度（结果精确到1米） 21.2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军： 浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购 买的电影票，现在只花费了1500元. (1)求每张电影票的原定零售票价： (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价 为每张32.4元，求平均每次降价的降价率. 22.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点，AC、DE交于点F,AF=FC, BF∥CD F (1)求证：四边形BCDF为矩形： (2)若CD=DE=3,求AB的长. 23.如图，菱形ABCD对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作 AF∥OD,交OE的延长线于点F,连接FD G 图1 图2 (1)判断四边形AODF的形状，并说明理由： 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☒咖如图1，连接CP,交AD寸点G,若GD,求美形ABCD的周长。 (3)在(2)的条件下如图2，连接BE,若∠ABC=60°，求BE的长. 24.如图，已知直线'=x+4与产轴交于点，与'轴交于点C,抛物线'=+r+C经过4，C两点， 且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. (1)求抛物线的表达式： (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的 坐标： 3若点尸在抛物线对称轴上，是香存在点”，。，使以点1，C,P,P为顶点的四边形是以1C为对角 AC 线的菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7/7