九年级数学上学期期末模拟卷（北师大版九上第一章-第六章，高效培优·强化卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版九年级上册第一章一第六章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列方程一定属于一元二次方程的是() A.x2-3xy+1=0 B.x2=2 c.-1=0 D.3x2+2x=3x2-1 2.深圳华润大厦“春笋”是深圳的地标性建筑之一，如图是“春笋”的实拍图和学生小明的写生画作，关于“春 笋”下列说法正确的是() 华润大厦 正面 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 3.为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进 行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》 的概率是() A C. D.2 4.如图，把AOB放大后得到△COD,则AOB与△COD的相似比是() 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6 A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处， DE、PE分别交AB于点F、G,已知GE=GB.则BF的长为() E G C A.17 8.3 c.2 D.5 6.关于x的一元二次方程a+1)x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是() A.a>-5 B.a>-5且a≠-1C.a<-5 D.a≥-5且a≠-1 7.已知点(4)，(2，)，(3，，在反比例函数y=4的图象上.下列结论正确的是() A.y<y2<y3B.y2<< C.y3<y2<y1 D.y2<3<y 8.如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC,过F作FH⊥BE,交AB于 G,过H作HM1AB于M,若AB=9,AE=,则=() AE D F E A GM B A c. D.5 8 9.商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台.为了促销，商场决定采取适当的 降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售 中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价() 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.100元 B.200元 C.300元 D.400元 10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上， 点A、点C在函数y=(k>0,x>0)的图象上，延长CB交y轴于点D(0,-4.若点B的横坐标为8，则k的 值为() B D A.20 B.22 C.16 D.24 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.点2，m在反比例函数y=-0的图像上，则m的值是 12.设x,龙2是关于x的方程x2-3x-5=0的两个根，则x1+x2=一· 13.如图，D,E分别是ABC边AB,AC的中点，点F是AE的中点，连接DE,BF交于点G,若 EG=5,则DG= G 14.河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体.为了解该湿地公园内候 鸟的情况，从中捕捉50只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在02 左右，则估计该湿地公园中约有只候鸟. 15.若方程x2+9x-2=0的一个根为a,则代数式2a2+18a-5的值为一 16.如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DFLAE交AB于点F,以 FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则下列结论：①AE=DF;②AF+CE=AD;③ 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DFE+∠EPC的度数始终保持不变；④CP=5.其中正确的结论是」 (填写正确结论的序号) AF D B 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解方程： (1）)x2-x-1=0: (2x-3)=5(x-3). 18.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和△DEF的顶点都在格点上，，B,B,P, P是aDEF边上的5个格点.请按要求解决下列各题： E (1)求证：△ABC∽△DEF. (2)画一个三角形，它的三个顶点为P,B,￡，P,P中的3个格点，并且与ABC相似. 19.在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据己知条件解决 以下问题： 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 --- 6 6 从正面看 从左面看 从正面看 从左面看 23 1 从上面看 从上面看 图① 图② (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积.（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的 小立方块的个数 ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积.（包括底面积） 20.如图，一次函数y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于 A-2,-2,B(a,1两点. B (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若直线x=t(t<-2)与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M,已知MN=2,求t的值. 21.学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD),该实验 田两面靠墙(AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米)，另外两边用栅栏围成，中间也用 栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道（出口HG处不用栅栏），两个场地分别留出一个1米宽的门（不 用栅栏)，建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF D B HG (1)若实验田（矩形ABCD)的面积为180平方米，求x的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米. 22.如图，线段AB表示公园内一棵直立于水平地面的大树，CD表示一面直立的墙，CE是一个支撑在墙 上的梯子.大树AB在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面BD和墙面CD上.已知：虚线AC表示太 阳光线，(CE=2m,∠CED=60°，BE=14m,同一时刻，该公园内一棵2m高的小树在太阳光下落在水平 地面上的影子长为3m,请根据己知条件求出大树AB的高度.（结果精确到0.1m，√2≈1.414，√3≈1.732 C B ED 23.如图①，在正方形ABCD中，点N,M分别在边BC,CD上，连结AM,AW,MN,LMAN=45°，将 △AMD绕点A顺时针旋转9O°，点D与点B重合，得到△ABE,易证：△ANM≌△ANE,从而得 DM+BN =MN, 图① 图② 【实践探究】 (1)在图①条件下，补全图形，若CN=6,CM=8,求正方形ABCD的边长， (2)如图②，点M,N分别在边CD,AB上，且BN=DM,点E,F分别在BM,DN上，∠EAF=45°，连接EF, 猜想三条线段EF,BE,DF之间满足的数量关系，并说明理由， 24.如图，正方形ABCO和正方形DCEF,点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边 上，点B,F落在反比例函数y=《(k≠0)第一象限的图象上，其中点A(0,2). 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段0F的长： (3)点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O,B,G,H四个点组成一个平 行四边形，请直接写出H点坐标 7/7 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第六章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有两个未知数x和y，不符合①，故不是一元二次方程． 选项B：只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，符合定义． 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不符合③，故不是一元二次方程． 选项D：化简得 ，即 ，最高次数为1，不符合②，故不是一元二次方程． ∴ 只有选项B一定是一元二次方程． 故选：B． 2．深圳华润大厦“春笋”是深圳的地标性建筑之一，如图是“春笋”的实拍图和学生小明的写生画作，关于“春笋”下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，俯视图与左视图和主视图不相同； 故选：A． 3．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 画出树状图解答即可． 【详解】设三本书为A《九章算术》、B《孙子算经》、C《海岛算经》， 画出树状图为： 共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种， ∴抽取两本书中有《九章算术》的概率 故选：D． 4．如图，把放大后得到，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 5．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出即可解决问题； 【详解】解：在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选C． 6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解 【详解】∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， ， ∴ ， ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故选 B 7．已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 四边形是正方形， 、 设，则 解得 解得 故选：A． 9．商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【答案】B 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．20 B．22 C．16 D．24 【答案】D 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 点A、点C在函数的图象上 设 ∵ ∴ ∴，   ∴   ∴   ∴ 设直线的函数解析式为 将， 代入得 解得 ∴ 直线的函数解析式为 ∴即 ∴ 解得：或 经检验，或 是原方程的解 当时，轴，点在轴上，不符合题意，舍去 ∴ ∴ 故选：D. 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．点在反比例函数的图像上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 12．设，是关于的方程的两个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 13．如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连接，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得，证明得出的长，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有 只候鸟． 【答案】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 15．若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键．利用方程根的定义，将根代入方程后得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 16．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则下列结论：①；②；③的度数始终保持不变；④．其中正确的结论是 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作交的延长线于H， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； ， 是的角平分线， 点P的运动轨迹是的角平分线， ， 观察图象可得，当增加时，减小，故③错误， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，， ， ，即，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程，选取合适的方法解方程． （1）根据公式法可以解答本题； （2）根据提公因式法可以解答本题． 【详解】（1） 解：， ∴， ∴，； （2）解： ， ∴， ∴或， ∴，． 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： (1)求证：． (2)画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． 【详解】（1）解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求． 19．在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： (1)如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） (2)由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查从不同方向看几何体．求圆锥和圆柱的体积． （1）根据从不同方向看几何体可知，这个几何体的上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，据此求解即可． （2）①由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可画出图形； ②上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而得出表面积． 【详解】（1）解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一个底面圆直径为6，高为4的圆柱， ∴这个几何体的体积为； （2）解：①如图所示： ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：． 20．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，掌握待定系数法求解析式，图象法求不等式的解集是关键． （1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）由题意可知，，，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 21．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． (1)若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 【答案】(1)； (2)不能．理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式，熟练掌握根据实际条件列方程并结合限制条件验证解的合理性是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出的长度（），结合矩形面积公式列方程，再结合墙的长度限制（、）求解的值． （2）通过面积公式列方程，利用判别式判断方程是否有符合墙限制的解，确定面积能否为平方米．． 【详解】（1）解：由题意，的长度为：，则 ， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：该实验田的面积不能为平方米，理由如下： 假设该实验田的面积能为平方米，则 ， ， ∴， ∴方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为平方米． 22．如图，线段表示公园内一棵直立于水平地面的大树，表示一面直立的墙，是一个支撑在墙上的梯子．大树在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面和墙面上．已知：虚线表示太阳光线，（，，，同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为．请根据已知条件求出大树的高度．（结果精确到，，） 【答案】大树的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，含30度的直角三角形，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 延长与交于点，根据直角三角形的性质得到，，由题意得，为的影子，则，再通过证明，得到，代入数据即可求出的高度． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，为的影子， ∵同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：大树的高度约为． 23．如图①，在正方形中，点分别在边上，连结，，将绕点顺时针旋转90°，点与点重合，得到，易证：，从而得， 【实践探究】 (1)在图①条件下，补全图形，若，求正方形的边长， (2)如图②，点分别在边上，且，点分别在上，，连接，猜想三条线段之间满足的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)图形见解析；12 (2)； 理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，从而得，则可得，从而可求得正方形的边长； （2）过点D作，且，连接，可证明，则可得；再证明，可得，在中，由勾股定理即可得三条线段之间满足的数量关系； 【详解】（1）解：根据题意，补全图形，如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴E、B、N在同一直线上， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即正方形的边长为12，； 故答案为：12； （2）解：三条线段之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②， 过点D作，且，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中 ，    ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等是关键． 24．如图，正方形和正方形，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，点在边上，点，落在反比例函数第一象限的图象上，其中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长； (3)点在反比例函数图象上，它的纵坐标是，是坐标平面内一点，，，，四个点组成一个平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正方形的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据点的坐标及四边形是正方形，可得出点坐标，进而求出，得到反比例函数的表达式； （2）令小正方形的边长为，表示出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式，根据勾股定理求出线段的长； （3）设，当分别为对角线时，可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，且， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）小正方形的边长为，则，， ∴点的坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 解得（舍去），， ∴，． 在中，． （3）∵在反比例函数图象上，它的纵坐标是， ∴，设， ∵，，，， 当为对角线时，，解得，∴； 当为对角线时，，解得，∴； 当为对角线时，，解得，∴； 所以的坐标为或或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 4 5 6 7 8 10 B 0 C B 0 A 0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.-5 12.3 13.2.5 14.250 15.-1 16.①②④ 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(8分) 【详解】（1)x2-x-1=0 解：△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0, (2分) “x=-±5 2×1 1+5 .x1=1 2 5,(4分) 2 (2)解：(x-3)=5(x-3) (x-32-5(x-3)=0, .(x-3)x-8=0,(6分) x-3=0或x-8=0, x=3,x2=8.(8分) 18.(8分) 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：证明：根据勾股定理，得： AC=V2+22=V5,AB=V42+22=2W5,BC=V42+32=5, DF=V22+22=2V5,DE=V42+42=4V2,EF=V62+22=2V10, AC:AB:BC=DF:DE EF=1:2:5, △ABCn△DEF.(5分) (2)解：如图所示，PPP即为所求。 D (8分) A 19.(8分) 【详解】(1)解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为7-4=3，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一 个底面圆直径为6，高为4的圆柱， :这个几何体的体积为π× 6 6)2 x4+xxx 2 3 2 3=45π；(4分) (2)解：①如图所示： (6分) 从正面看 从左面看 ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个 正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：12×(3+3+4+4+5+5=24.(8分) 20.(8分)》 【详解】1)解：将4-2，-2到代入y-车，得(-2列x-2到=4， “反比例函数表达式为y=4 把Ba,l代入y=4,得：a=4, 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A-2,-2),B(4,两点在y=mx+n的图象上， [-2m+n=-2 4m+n=1 1 m=- 解得 2, n=-1 。一次函数表达式为y=-1:(4分) 2解：题意可知宁-小2 :MN=2, 解得=-4，t=2(不合题意)， 经检验，1=-4为方程的解， 1=-4.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：由题意，AD的长度为：45-3x+2+1=48-3x,则 x48-3x=180, 解得：x1=10,2=6, :AD=48-3x≤27， x≥7， .x=10;(4分) (2)解：该实验田的面积不能为240平方米，理由如下： 假设该实验田的面积能为240平方米，则 x48-3x=240, x2-16x+80=0, .△=(-16)2-4×1×80=256-320=-64<0， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米.(8分) 22.(10分) 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长AC与BD交于点F, 、A B ED F 由题意得，CD⊥BD,AB⊥BD, ∠CDE=90°， :∠CED=60°， ∠DCE=90°-60°=30°， :DE=ICE=1x2=1(m), 2 2 CD=CE2-DE2=V22-1P=√5m,(5分) 由题意得，FD为CD的影子， :同一时刻，该公园内一棵2m高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为3m, :CD、2 FD3' ·FD=3cD=3 2 2(m, FB-BE+DE+DF=14+115 =15+ 33 m) 2 2 :CD⊥BD,AB⊥BD, CD∥AB, ∴△FCD∽△FAB, 3v5 BB, .CD_FD 2 AB 3V5 15+ 2 解得AB=10+V3≈11.7m, 答：大树AB的高度约为11.7m.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：根据题意，补全图形，如下： 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B N 图① :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°， 由旋转得：△ABE≌△ADM, ∴AE=AM,BE=DM,∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD, .∠ABE+∠ABC=180°， E、B、N在同一直线上， ∠MAN=45°，∠BAD=90°， .∠BAN+∠MAD=45°， .∠BAN+∠EAB=45°，即∠EAN=45°， .∠EAN=∠MAN, 在△ANM与△ANE中， AM=AE ∠MAN=∠EAN, AN=AN ∴△ANM≌AANE (SAS), .MN =EN EN =BE BN D M BN .MN DM BN .MN+CM +CN =DM BN +CM +CN =CD+BC =2BC, 在RtACMN中，由勾股定理得：MN=VCN2+CM2=V62+82=10, 10+8+6=2BC, BC=12, 即正方形ABCD的边长为12，： 故答案为：12；(5分) (2)解：三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为BE2+DF2=EF2;理由如下： 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图②，过点D作DP⊥DF,且DP=BE,连接PF、AP,则LPDA+LADF=∠ADF+∠NDM=9O°， E 图② ∠PDA=∠NDM, :四边形ABCD是正方形， .BN I DM, BN =DM, :四边形BNDM是平行四边形， .∠EBA=∠NDM, ∠PDA=∠EBA, 在△APD与△AEB中 PD=BE ∠PDA=∠EBA, AD=AB ·△APD≌△AEB(SAS), ∴.AP=AE,∠PAD=∠EAB, :∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠PAF=∠EAF=45°， 在△APF与△AEF中， (AP=AE ∠PAF=∠EAF, AF=AF :.△APF≌a△AEF(SAS), ∴EF=FP, 在RtPDF中，由勾股定理得：PD2+DF2=FP2, 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即BE2+DF2=EF2,(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：：四边形ABC0是正方形，且A0,2), ∴点B的坐标为(2,2). :点B在反比例函数y=的图象上， ∴.k=2×2=4, ·反比例函数的解析式为y=4.(4分) (2)小正方形的边长为，则0E=t+2,EF=1, .点F的坐标为t+2,) 将点F坐标代入反比例函数解析式得，tt+2)=4, 解得=-1-V5(舍去)，12=-1+V5, .0E=5+1,EF=V5-1. 在R△0EF中，0F=5+1+(5-=25.(8分) (3):G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4， .G1,4),设H(m,n, :0(0,0),B(2,2,G(1,4),H(m,n), 0+2=1+m m=1 当OB为对角线时， 0+2=4+n’解得” =-2’H1,-2: [0+1=2+m m=-1 当0G为对角线时， 0+4=2+n,解得 n=2,,(-1,2: 0+m=1+2 m=3 当OH为对角线时， 0+n=4+2’解得 ，.H,（3,6); n=6 所以H的坐标为H,(1,-2)或H,（-1,2)或H,(3,6).(12分) 7/7