专题08 因式分解相关压轴题（8种类型64道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题08 因式分解相关压轴题 （8种类型64道） 1．因式分解：地 城 类型01 分组分解法 (1)． (2)． 2．因式分解： (1) (2) 3．分解因式： 4．分解因式： 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 6．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 7．先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 8．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 9．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．地 城 类型02 拆项法 ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 10．请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 11．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 12．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 13．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 14．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 15．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 16．阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 17．阅读下列材料：地 城 类型03 十字相乘法 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 18．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 19．阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 20．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)用“十字相乘法”因式分解：①；② (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． 21．[阅读理解]将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足其常数项q是两个因数（m、n）的积（即），而一次项系数p恰好是这两个因数的和（即），则可以把因式分解成．例如，分解因式 ①， ②． 如上，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图①、②），这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们就可以得到： ① ； ②． [迁移运用] (1)请模仿上例，用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式（画出图示）： ①     ② (2)若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为______． 22．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 23．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 24．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 25．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．地 城 类型04 利用配方法求值 例如：①我们可以将代数式分解因式，其过程如下 ②我们可以求代数式的最小值，其过程如下， ∵， ∴． 因此，该式有最小值． (1)按照上述方法分解因式：； (2)若，用配方法求p的最小值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 26．请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的性质来解决一些问题．例如对于式子可以变形如下： 解：原式，此种变形抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，这种变形方法就是配方法．我们还可以进一步求的最小值，，的最小值是． (1)将配方成（，为常数）的形式； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)已知等腰的两边长分别为a，b，且满足，求的周长． 27．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)若，求的最小值； (3)已知，求的值． 28．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 29．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 30．学习了乘法公式后分解： 解：原式 (1)请你运用上述配方法分解因式： (2)代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． (3)求的最大值，并写出相应的x的值． 31．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 32．请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 33．综合与实践地 城 类型05 因式分解与图形面积 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 34．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 35．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 36．【探究】从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），再将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据两图中阴影部分的面积相等，能验证的等式是________； (2)【应用】请你应用（1）中得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：（结果写成幂的形式）． 37．在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下： 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若，，则_________；（直接填写最后的结果） (2)若满足，请求出的值； (3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积． 38．数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． (1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； (3)观察图2，分解因式： 39．材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 40．图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 41．若二次三项式可分解为，则n的值为（ ）地 城 类型06 利用因式分解求参数 A．6 B． C．2 D． 42．已知多项式分解因式为，则，的值分别是    （       ） A．， B．，4 C．， D．， 43．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 44．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 45．若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 46．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 48．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 49．用简便方法计算：．地 城 类型07 因式分解相关简便运算 50．简便计算： 51．用简便方法计算： ． 52．简便计算： 53．利用因式分解简便计算：． 54．简便运算：． 55．运用提公因式法分解因式，简便计算：． 56．应用简便方法计算： (1)； (2)． 57．在实数范围内因式分解：地 城 类型08 实数范围内因式分解 58．在实数范围内因式分解：． 59．在实数范围内分解因式： (1)am2﹣6ma+9a； (2)9a4﹣4b4． 60．在实数范围内分解因式： （1）﹣a2﹣3a+1． （2）2x2y2﹣3xy﹣4． 61．在实数范围内因式分解 （1）； （2）． 62．在实数范围内因式分解： ． 63．在实数范围内分解因式： ． 64．在实数范围内将多项式因式分解为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 因式分解相关压轴题 （8种类型64道） 1．因式分解：地 城 类型01 分组分解法 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，再根据提公因式法和十字相乘法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解； （2）先分组，再根据平方差公式和提公因式法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：. . （2）解： 2．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．分解因式： 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用分组分解即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查提取公式式法因式分解及分组分解法，解题的关键是提取公因式后正确的分组． 4．分解因式： 【答案】 【分析】分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式． 【详解】 =． 【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 6．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 7．先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，理解阅读材料并灵活应用是解决问题的关键． （1）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （2）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （3）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 8．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 9．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．地 城 类型02 拆项法 ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①② (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用分组分解法、拆项法进行因式分解． （1）先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）对等式左边分组分解，前两项一组，后两项一组，各自提公因式后两组再提公因式，得，因为△的三边长为，，，所以，则，据此得出的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∵△的三边长为，，， ∴，， ∴ ∴是等腰三角形． 10．请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 12．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b) 【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可； （2）仿照例题方法分解因式即可； 【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7 = x2﹣6x+9－16 =（x－3）2－42 =（x－3+4）(x－3－4) =(x+1)(x－7)； （2）a2＋4ab﹣5b2 = a2＋4ab+4b2﹣9b2 =（a+2b）2－(3b)2 =（a+2b +3b）(a+2b－3b) =(a+5b)( a－b)． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键． 13．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 14．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 15．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式． 16．阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 17．阅读下列材料：地 城 类型03 十字相乘法 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1)①，；②， (2)①，；②，；③， 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题干方法解答即可；②根据题干方法解答即可； （2）①根据十字相乘法解方程即可； ②根据十字相乘法解方程即可； ③根据十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解：① 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； ② 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； （2）解：①原方程化为 ∴或 ∴，； ②原方程化为 ∴或 ∴，； ③原方程化为，即 ∴或 ∴，． 18．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图， ∴； （2）解：如图， ∴． 19．阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 20．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)用“十字相乘法”因式分解：①；② (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了十字相乘法． （1）用十字相乘法因式分解即可； （2）把写成整数积的形式，两个因数的和就是的值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②，， ∴； （2）解：∵可分解为两个一次因式的积，， ∴或或或， 故答案为：或． 21．[阅读理解]将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足其常数项q是两个因数（m、n）的积（即），而一次项系数p恰好是这两个因数的和（即），则可以把因式分解成．例如，分解因式 ①， ②． 如上，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图①、②），这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们就可以得到： ① ； ②． [迁移运用] (1)请模仿上例，用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式（画出图示）： ①     ② (2)若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为______． 【答案】(1)（1）①，图见解析 ②，图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法分解因式． （1）各个小题均根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，要使得取得的最大值，则取得最大值，考虑m，n为正整数时， ，，， 当时，为最大值， 故答案为：． 22．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 23．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 24．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 25．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．地 城 类型04 利用配方法求值 例如：①我们可以将代数式分解因式，其过程如下 ②我们可以求代数式的最小值，其过程如下， ∵， ∴． 因此，该式有最小值． (1)按照上述方法分解因式：； (2)若，用配方法求p的最小值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）仿照题干因式分解，进而判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， 即求p的最小值是； （3）解：是等边三角形，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 26．请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的性质来解决一些问题．例如对于式子可以变形如下： 解：原式，此种变形抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，这种变形方法就是配方法．我们还可以进一步求的最小值，，的最小值是． (1)将配方成（，为常数）的形式； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)已知等腰的两边长分别为a，b，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)23 (3)10或11 【分析】本题考查了因式分解的应用—配方法，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键． （1）根据题干中配方法的步骤解答即可； （2）将原式变形为，进而可得答案； （3）先将原式变形为，进而根据非负数的性质求出a、b，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值是23； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵等腰的两边长分别为a，b， ∴当腰时，底，三边为3，3，4，满足，能构成三角形， 此时的周长； 当腰时，底，三边为4，4，3，满足，能构成三角形， 此时的周长． 综上所述，的周长为10或11． 27．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)若，求的最小值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对、、用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定、、的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ∵， ∴当时，有最小值； （3）∵， ∴， 即， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式． 28．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 29．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用配方法和换元法进行因式分解及平方差公式的应用． （1）使用配方法先在式子中将原式中的常数项3变形为，使式子出现完全平方式，前三项符合完全平方式，再根据平方差公式进一步分解即可； （2）用换元法设，原式变为，先展开式子，再用配方法，最后根据平方差公式进一步分解，最终将代回原式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：令， 则 ． 30．学习了乘法公式后分解： 解：原式 (1)请你运用上述配方法分解因式： (2)代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． (3)求的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】(1)； (2)当，时，存在最小值，最小值为； (3)最大值为，． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）仿照题干作答即可； （2）对代数式进行配方，求其最小值即可； （3）对代数式进行配方，求其最大值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， 即当，时，存在最小值，最小值为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 即当时，存在最大值，最大值为． 31．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）将变形为，即可求解； （2）先求与的差为，再将变形为，即可求解； （3）由，，得，，，将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ∴代数式的最小值为5． （2） ， ， ． ． ． （3），， ，，． ． 32．请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，解题关键是通过配方法将原式转化为完全平方式的和，再利用非负数的性质求解． 通过配方法将给定的等式转化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出的值，再代入计算的值． 【详解】解：由已知得：， 即， ， ， ， ． 33．综合与实践地 城 类型05 因式分解与图形面积 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②60平方厘米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大正方形面积等于四个正方形面积加上五个长方形面积，据此用两种方法表示出大长方形的面积即可得到答案；②根据阴影部分的面积可以推出，根据大长方形的周长可推出，再由完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，则其面积为， 图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为， ∴； （2）解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为， ∴； ②∵阴影部分的面积为80平方厘米， ∴， ∴， ∵大长方形纸板的周长为48厘米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为60平方厘米． 34．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 【答案】(1)2 (2)12 (3) (4)14 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）用两种方式表示出大正方形面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，可得，，则，再根据结合（1）所求求出，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵四边形和都是正方形， ，， ∵ ， ， 又∵， ， ∴， ， ∴ ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4）解：由（3）可得， ， ∵，， ∴， ∴． 35．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 36．【探究】从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），再将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据两图中阴影部分的面积相等，能验证的等式是________； (2)【应用】请你应用（1）中得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：（结果写成幂的形式）． 【答案】(1) (2)①3② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式进行因式分解和整式的乘法运算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）①由题意得，即，因为，即可求得的值； ②将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵ 即， ， 又∵， ∴； ② ． 37．在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下： 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若，，则_________；（直接填写最后的结果） (2)若满足，请求出的值； (3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)21 (2)28 (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据，进行求值即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 根据，图1中阴影部分的面积为17，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解： ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ， 即， 为的中点， ， 图1中阴影部分的面积为17， ， ， ， ， 图2中阴影部分的面积为： ． 38．数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． (1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； (3)观察图2，分解因式： 【答案】(1) (2)21 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． 【详解】（1）解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； （2）解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； （3）解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 39．材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【详解】（1）图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： （2）图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． （3）设，，则，． 根据完全平方公式变形：． （4）由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义与代数变形，涉及知识点包括完全平方公式、因式分解、代数式求值．解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形（如），并准确将几何图形的边长、面积与代数表达式对应． 40．图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】(1) (2)①；②图②中空白部分图形的面积为 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【详解】（1）解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 41．若二次三项式可分解为，则n的值为（ ）地 城 类型06 利用因式分解求参数 A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数．将因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，即可求出n的值． 【详解】解：∵， 又∵ 原式为， ∴ 比较 x 项系数得 ． 故选：C． 42．已知多项式分解因式为，则，的值分别是    （       ） A．， B．，4 C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了由已知因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开，与原始多项式比较系数，即可求出和的值，正确利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∴， ， 故选：． 43．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 44．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 【详解】解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 45．若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出的值． 【详解】， 又可因式分解为， ． ． 故选：C． 46．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，理解题意， 整理得，即，结合a，m，n为整数，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵多项式分解因式为， ∴， 则， ∵a，m，n为整数， ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； 则a的取值有4个， 故选：D． 47．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 48．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 49．用简便方法计算：．地 城 类型07 因式分解相关简便运算 【答案】4000000 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 50．简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 51．用简便方法计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 先提取公因式，再进行简便计算即可． 【详解】解：原式： ． 52．简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 53．利用因式分解简便计算：． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的几种常用方法是解题的关键． 先将原式分组为，再利用平方差公式和提取公因式进行分解计算． 【详解】解： ． 54．简便运算：． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 55．运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 56．应用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，提公因式的应用，准确计算为解题关键． （1）通过提取公因式简化计算； （2）先对前两项提取公因式，再对结果提取公因式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 57．在实数范围内因式分解：地 城 类型08 实数范围内因式分解 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．把看作整体，再因式分解为，最后再次进行因式分解即可． 【详解】解： ． 58．在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程， ， ， ，即， ∴． 59．在实数范围内分解因式： (1)am2﹣6ma+9a； (2)9a4﹣4b4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式后再用完全平方公式进行分解因式即可； （2）两次利用平方差公式法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）原式 = =． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 60．在实数范围内分解因式： （1）﹣a2﹣3a+1． （2）2x2y2﹣3xy﹣4． 【答案】（1）﹣（a+）（a+） （2）2（xy﹣）（xy﹣） 【分析】（ 1）设﹣a2﹣3a+1＝0，先求出方程的解，再分解因式即可； （ 2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，先求出方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：（ 1）设﹣a2﹣3a+1＝0， ∵△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×1＝13＞0， ∴a＝， a1＝﹣，a2＝﹣， ∴﹣a2﹣3a+1＝﹣（a+）（a+）； （ 2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0， ∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0， ∴xy＝＝， ∴（xy）1＝，（xy）2＝， ∴2x2y2﹣3xy﹣4＝2（xy﹣）（xy﹣）． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 61．在实数范围内因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可； （2）首先解方程得出方程的根进而分解因式． 【详解】解：（1） = = =； （2）令=0， ， ∴， ∴或， ∴=． 【点睛】此题主要考查了在实属范围内分解因式，正确求出方程的根是解题关键． 62．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 63．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 64．在实数范围内将多项式因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $