专题03 全册几何动点问题分类训练2（定值问题和线段数量关系5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 全册几何动点问题分类训练2 1．如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接．地 城 类型01 角度相关的定值问题 (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，当点由点运动到点时： ①的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点运动的路径长度． 【答案】(1)见解析 (2)①的大小是为定值，其定值为 ②点运动的路径长度为 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， 同理得也是等边三角形， ，， ， ， 在和中，， ； （2）①解：的大小会发生变化， (ⅰ)如下图所示，过点作，交于F，则是的中点， 当点在上运动时，， 理由如下： 过点作于， ，， ， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ； (ⅱ)当点与中点重合时，； (ⅲ)当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点， 同理可证， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ②如下图所示，点运动的路径是从点到点， 当点在点时， 设交于， 与都是等腰直角三角形， ， 当点运动到点时， 由， 可得：， ，， ， ，，在同一直线上， 由题意得是等腰直角三角形， ， ， 点运动的路径长度为． 2．如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 4．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)见解析 (3)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，的度数为 【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得； （3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； （2）解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，       ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图：    设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，        ∵，， ∴， ∵， ∴，      ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，则AD和BE的数量关系为______； （2）如图②，在中，，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程； （3）在第（2）问的基础上，在图③中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明． 【答案】（1）AD=BE，理由见解析；（2），过程见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）只需要利用SAS证明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE； （2）由旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，由此求解即可； （3）如图所示，将△ACE绕点C旋转90度得到△BCM，设，由（2）得BC=CD，根据三线和一定理得到CE垂直平分BD，则BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°，BF=DF，证明△BFE≌△DFE进而得到EF=BF=DF，∠BED=90°，证明∠EBC+∠MBC=180°，得到E、B、M三点共线，利用勾股定理求出，，则，，即可证明； 【详解】解：（1）AD=BE，理由如下： ∵在和中，， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2），过程如下： 由旋转的性质可得， ∵AC=BC， ∴AC=BC=CD， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图所示，将△ACE绕点C旋转90度得到△BCM，设， 由（2）得BC=CD， ∴∠EAC=∠MBC，∠ECM=90°，EC=CM，AE=BM， ∵CE平分∠BCD， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°，BF=DF， ∵EF=EF， ∴△BFE≌△DFE（SAS） ∵∠ADB=45°， ∴∠EBF=∠EDF=∠BEF=∠DEF=45°， ∴EF=BF=DF，∠BED=90°， ∵∠BEA+∠EAC+∠ACB+∠EBC=360°， ∴∠EAC+∠EBC=180°， ∴∠EBC+∠MBC=180°，即E、B、M三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形内角和定理，三角形内角和定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)为定值， 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题的关键． （1）要使，则需，进而得出的度数； （2）利用外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：能使， 当时，， 在中， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：与度数之和为定值． 理由：在中， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与度数之和为定值． 8．已知，点． (1)如图1，若点C与点O重合，且，求的面积； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，旋转，使的顶点C在直线与x轴之间，N为上一点，E为与的交点，，下列两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值． 【答案】(1) (2) (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，根据△ABC的面积等于梯形AMNB的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可得解； （2）根据对顶角相等，三角形内角和定理和互余的性质得出∠CED=37.5°， 再根据邻补角即可得出∠CEF=142.5° ； （3）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°， 由于∠NEC+∠CEF=180°， 所以∠2=∠NEC， 然后利用∠1+∠2=90° 即可得到，即确定②正确． 【详解】（1）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N． ∵ ， ∴AM=a，OM=3，BN=b，ON=3， ∴MN= OM +ON =3+3=6， ， ∵，即， ∴； （2）∵， ∴． 如图，设BC与OD交于点H， ∵，， ∴， ∴； （3）为定值．理由如下： 如图，作CP∥x 轴， 则CP∥DM∥x轴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 即②正确． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，余角、邻补角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 9．如图，将线段绕点A逆时针旋转α到，点D是平面内一点，连接，，，，且．地 城 类型02 线段长相关的定值问题    (1)如图1，当时，直接写出，，之间的数量关系； (2)如图2，当时，探究是否为定值，并说明理由； (3)当，，时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3)或 【分析】（1）在上取一点E，使，根据等边三角形的判定可得和为等边三角形，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可求得； （2）在上取一点E，使，连接，过点A作于点F，根据等腰三角形的判定可得，等量代换可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求出，根据解直角三角形的性质可得，，求得，即可求得； （3）分两类讨论：当在上方时，在上取一点E，使，连接，过点A作于点F，根据（2）中结论可得，根据勾股定理可得，，即可求得； 当在下方时，在上取一点K，使，连接，过点A作于点F，根据等腰三角形的判定和性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求出，根据解直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，，即可求得． 【详解】（1）在上取一点E，使      当时，即 ∵，， ∴为等边三角形 ∴ ∵， ∴为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故 （2）是定值，理由如下： 如图2，在上取一点E，使，连接，过点A作于点F    ∵，， ∴为等腰三角形 ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 （3）如图3，当在上方时，在上取一点E，使，连接，过点A作于点F    由（2）可得，， 故 ∴ 故 如图4，当在下方时，在上取一点K，使，连接，过点A作于点F    ∵，， ∴为等腰三角形 ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是证明，根据全等的性质进行求解． 10．如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D点，BD=， (1)请求出AC的长； (2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若AE=EC，请求出△EGC的面积． 【答案】(1)AC =； (2)的值为是一个定值，； (3)S△GEC= 【分析】（1）作DM⊥BC于M，由角平分线的性质得到AD=DM，根据BD=，∠B=45°求出DM=BM=1，进而得到AC=AB=； （2）取AF的中点为N，连接EN，CN，证得A、E、C、F四点共圆，推出∠AFE=∠ACD，进而证得△AEF∽△DAC，得到=； （3）由AE=EC求得∠AFC=45°，得到CF=AC=，求出CG=1，AG=，易证AE=DE=EC，利用 S△AEC=，得到S△GEC==． 【详解】（1）作DM⊥BC于M， ∵CD平分∠ACB，∠DAC=90°， ∴AD=DM， ∵BD=，∠B=45°， ∴DM=BM=1， ∴AD=DM=1， 又∵∠A=90°，∠B=45°， ∴AC=AB=； （2）取AF的中点为N，连接EN，CN， ∵∠AEF=∠ACF=90°， ∴EN=CN=AN=NF， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴∠AFE=∠ACD， 又∵∠DAC=∠AEF=90°， ∴△AEF∽△DAC， ∴=； （3）由第（2）问可知A、E、C、F四点共圆， ∵AE=EC， ∴∠AFE=∠EFC， ∵∠ACD=22.5° ，∴∠AFE=∠EFC=22.5°， ∴∠AFC=45°， ∴CF=AC=， 又∵， ∴CG=1， ∴AG=， ∵AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠EAC+∠DAE=∠ACE+∠ADC=90°， ∴∠ADE=∠DAE， ∴AE=DE=EC， ∴S△AEC=， ∴S△GEC==． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 11．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 12．如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 (3)是； 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出； （2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可； （3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 13．如图，在等腰直角三角形中，，，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点的坐标； (2)如图2，将摆放至轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若，分别以，为直角边在第一，第二象限作等腰和等腰，连接交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段的长度是否为定值，若是定值，请说明理由，并求出的长度；若不是定值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)是定值；理由见解析；2 【分析】（1）过点作轴于点，证明，可得，即可求解； （2）分别延长，相交于点，先证明，可得，再证明，可得，即可求解； （3）作轴于，先证明，可得，，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ，轴， ，， ， ，轴， ，， ， ， 点的横坐标为5， ， ， 点的坐标是． （2）解：分别延长，相交于点，如图所示： ，轴， ，，， ， ， ，，， ， ， 平分，轴， ，， ， ， ， ， ． （3）解：的长度是定值，理由如下： 作轴于，如图所示： ， 点的坐标为， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，等腰三角形的性质，余角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 15．如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D在x轴上，与交于点E．，过点D作于点M． (1)求证：； (2)当A运动时，下列说法正确的是：________． ①平分； ②是外角的平分线； ③； ④是个定值． 【答案】(1)见详解 (2)②④ 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义等知识，掌握全等三角形的判定和性质，合理作辅助线是关键． （1）根据轴对称，结合平面直角坐标系的特点得到，则，在中，，即可求解； （2）假设平分，结合题意判定与的数量关系可得①错误；如图所示，过点作于点，证明三角形全等可判定②错误；假设，交于点，则，判定与的关系可得③错误；根据全等三角形的性质判定可得④正确；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点B与点C关于x轴对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：假设平分， ∴， ∵， ∴， 结合（1）得，， ∴， ∴， ∵在，， ∴， 结合图示，无法得到与的数量关系，故①错误； 如图所示，过点作于点， ∴， 由（1）得到，，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，且是的外角， ∴是外角的平分线，故②正确； 假设，交于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 结合图示，与无法确定是否相等，故假设错误，即③错误； 由，，得到，， ∴ ， ∴，即是个定值，故④正确． 综上所述，正确的有②④． 16．如图1，平面直角坐标系中、分别为轴正半轴、轴正半轴上的点，且、满足． (1)求的度数； (2)如图2，点为线段上一点，，与关于轴对称，直线交于点． ①连接，求证：； ②求的值； (3)如图3，点为轴负半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，连接交轴于点，请问：的值是否为定值？如果是定值，请求出其值；如果不是，请求出其取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3)是，定值为 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）①连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； ②过点作轴于点，由题意易得，则有，设，然后可得，进而问题可求解； （3）过点作交轴于点，由题意易证，则有，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）①证明：连接， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作交轴于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，，， 过点作交轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在等边中，是下方一个动点，且，是关于的方程的两个实数根，地 城 类型03 面积相关的定值问题 (1)求证：平分； (2)当的值发生变化时，小丁发现：的面积是定值，小吴发现：四边形的面积为定值，请判断谁的结论是正确的，并证明该结论； (3)请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)见解析 (2)小吴的结论正确；见解析 (3)或 【分析】（）过点分别作，垂直于，，垂足为，， 结合等边三角形性质得，利用四边形内角和推出 ，再结合平角定义得E；通过证， 得；最后依据角平分线判定定理(到角两边距离相等的点在角平分线上)，证得平分； （）先通过全等三角形实现面积转化，将四边形的面积转化为四边形的面积； 再证，把四边形面积转化为倍的面积；接着结合平分推导角度，通过构造等边三角形、证，得出；利用韦达定理得，进而得，算出的长度，最终计算出四边形的面积为定值； （）先根据一元二次方程定义，得；再由判别式推出； 结合为线段(乘积为正)，得，转化为不等式组求解，最终解得或． 【详解】（1）证明：过点分别作，垂直于，，垂足为，， ∵是等边三角形， ∴，，， ∵在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）解：小吴的结论正确，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵平分； ∴， ∵， ∴，在上截取，连接， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； （3）解：或， 理由∵关于的方程有两个实数根， ∴，可得， ∴，由 ， ∴或， 解得或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定(AAS/HL/SAS)与性质、一元二次方程的定义/韦达定理/判别式、角平分线判定定理，以及三角形和四边形的面积计算相关知识． 18．已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则 ； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的面积是定值，定值为20 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出为等腰直角三角形，得出，利用角的和差进行求解即可； （2）①根据等边三角形的性质证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可； ②过点B作于点H，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①都是等边三角形， ， ， ， ． ∵为等边三角形，平分， ，， ， ． ， ； ②的面积是定值，定值为20．理由如下： 如图，过点B作于点H． 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 19．已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF． (1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长； (2)如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由． (3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义求得∠CAB=60°，点E与点B重合，据此求解即可； （2）证明△APF≌△EBA，即可求解； （3）以AD为边向右侧作等边△ADQ，证明△ADF≌△AQE，得到DF=QE，当E在B（或C）时，QE最大，当E在BC中点时，QE最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接AC， 在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=3， ∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°， ∴点E与点B重合， ∴AF=AB==AC， ∴F为AC中点 ∴DF=AC=； （2）解：不变， 理由如下： 过F作MA的垂线，垂足为P， 在Rt△ABM中，AB=，BM=1， ∴AM=2，tan∠MAB=， ∴∠MAB=30°， ∵∠MAF=∠P+∠PFA=90°+∠PFA， ∠MAF=∠FAE+∠BAE +∠MAB=60°+∠BAE +30°=90°+∠BAE， ∴∠PFA=∠BAE， ∵AE=AF，∠P=∠ABE=90°， ∴△APF≌△EBA， ∴FP=AB=， S△AMF=AM•FP=； （3）解：以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE， ∵△ADQ、△AEF等边三角形， ∴∠DAQ=∠FAE=60°，AF=AE，AD=AQ， ∴∠DAF=∠QAE， ∴△ADF≌△AQE， ∴DF=QE， 当E在B（或C）时，QE最大， 同（1）得∠ADB=30°，则∠QDB=30°，又AD=AQ， ∴DB是线段AQ的垂直平分线， ∴QE最大=AB=； 过点Q作QG⊥AD于点G，交BC于点H， 当E与点H重合时，此时当E在BC中点，QE最小， QG=ODsin60°=， QE最小=QG-EG=； ∴≤DF≤． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20．如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为8． (1)求点，的坐标； (2)连接与轴交于点，求点的坐标； (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)的值是定值3 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化——平移，三角形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据点坐标平移的特点求出点B的坐标，再根据四边形的面积为8，求出，再由平移的性质得到，即可求出点D的坐标； （2）先求出，再由，得到，由面积公式求出，即可求出，则即可求解点坐标； （3）分当点在线段上时，当点在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点向右平移4个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵由平移性质可知，， ∴点的坐标为； （2）解：∵和同底， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为秒， 由题意： ∴， ， ∴， ∴， ∴ ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ∴ 综上所述，的值是定值3． 21．如图，已知，，且满足．点是线段中点，动点，分别在线段，上运动，且始终有． (1)请直接写出点的坐标； (2)请判断的形状并说明理由； (3)下列结论：①四边形周长为定值； ②四边形面积为定值； ③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)①错误，证明见解析；②正确，证明见解析；③错误，证明见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识点，证明是解题的关键． （1）由可得，即可确定点A的坐标； （2）如图：连接，先证明是等腰直角三角形，再证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）①四边形周长为,再根据不是定值，即可判断①错误；②根据，可得，即有即可证明②．③先说明，再根据不是定值即可判断③错误． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：等腰直角三角形，理由如下， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵点D是线段中点， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形； （3）解：①错误，理由如下： ∵， ∴, ∵， ∴四边形周长为, ∵的长度不是定值， ∴四边形周长不是定值。 ②正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积为定值9． ③错误，理由如下： 由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵不是定值， ∴不为定值． 22．如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 23．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2、3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请说明理由并求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过点C作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点，同（1）得出，即可得出点C的坐标； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点D， 点坐标为， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点， 点坐标为， ， 同（1）理可得：， ， 则点C纵坐标为2，横坐标为， ， 故答案为：； （3）解：∵，则， 设点B坐标为，当时， 如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点E、F， ， 同理可得：， ， 则点C纵坐标为2， ； 当时，如图，过点C作轴于点D， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 则点C纵坐标为2， ； 综上所述，点B在y轴运动过程中（点B不与点O重合），的面积不变，面积为2． 24．如图，在平面直角坐标系中，点，，且．将点A向左平移4个单位长度再向上平移7个单位长度，得到点C．点P从点A出发，沿x轴向负半轴以2个单位长度/秒的速度移动，同时点Q从点O出发，沿y轴正半轴以1个单位长度/秒的速度移动．移动时间为t秒． (1)直接写出A，B，C，P的坐标； (2)当时，求t的值； (3)当时，四边形POQC的面积是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)63 【分析】（1）根据二次方的非负性和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后根据平移得出C、P的坐标即可； （2）先用t表示出OQ，然后分点P在点O的右侧或点P在点O的左侧两种情况，分别求出t的值即可； （3）连接OC，用△OCP与△OCQ的面积之和求出四边形POQC的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵将点A向左平移4个单位长度再向上平移7个单位长度，得到点C， ∴点C的坐标为， ∵点P从点A出发，沿x轴向负半轴以2个单位长度/秒的速度移动，移动时间为t秒， ∴点P的坐标为：． （2）解：∵点Q从点O出发，沿y轴正半轴以1个单位长度/秒的速度移动， ∴OQ=t， 当点P在点O的右侧时，， ∵， ∴，解得：； 当点P在点O的左侧时，， ∵， ∴，解得：； 综上分析可知，当时，或． （3）解：四边形POQC的面积不变． 连接OC，如图所示： ∴四边形POQC的面积为63． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，二次方的非负性，三角形面积的计算，根据二次方的非负性和绝对值的非负性，求出a、b的值，是解题的关键． 25．如图，已知和都是等腰直角三角形，，．地 城 类型04 探究两条线段的数量关系 (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相互垂直，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 26．如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，则线段与的数量关系为____________． (2)问题解决：如图2，若的任意角时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)若的任意角时，（1）中结论还成立，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质． （1）根据角平分线的性质，即可得线段与的数量关系； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴线段与的数量关系为， 故答案为：． （2）解：若的任意角时，（1）中结论还成立， 理由： 如图，作交延长线于，于，则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 27．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 28．在中，，以为边在同侧作等边，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，在上截取，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，证明得出，即可得解； （2）由等边三角形的性质可得，，再证明，从而可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 29．如图1，在等边三角形中，D为边上一点，，． (1)求证：； (2)如图2，延长，交于点F，连接．若，试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)详见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握30°角所对直角边是斜边一半的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，然后根据可证明； （2）先证明垂直平分，再由三线合一得，求出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． （2）．证明如下： ∵， ∴垂直平分． ∵， ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴在中，． 30．如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ； (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明； (3)深入研究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）解：同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 31．已知是等边三角形，E是上的一点，F是边延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，若E是边的中点，猜想和的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E是线段上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明； (3)若E是线段延长线上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生改变，请写出你的猜想，先画出图形，再加以证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)不变；证明见解析 (3)不变；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （2）过点E作，交于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （3）延长，过点E作，交的延长线于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在等边中，E是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变；理由如下： 过点E作，交于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：不变；理由如下： 延长，过点E作，交的延长线于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 32．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：； (2)若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，据此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作，垂足为F， ， ，， ， ∵G为中点， ， ，， ， ， ． 33．已知在中，，点在边上，且．地 城 类型05 探究三条线段的数量关系 (1)如图1，求证：； (2)如图2，若于点． ①求证：； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角得，根据三角形内角和定理可得，即可得证； （2）根据（1）的结论及三角形内角和定理得，再根据直角三角形两锐角互余得，即可得证； ②如图，在上取点，使，证明得，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：． 理由：如图，在上取点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 34．如图，已知和都是等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点． (1)求证：； (2)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出； 根据，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；最后根据，，，得到，于是得到结论． 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， （2）解：，理由如下： ， ，， 点B，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． 35．如图，在中，，，，交边于点D，，垂足为点A，且，连接． (1)写出图中与相等的一个角，并说明理由； (2)求证：； (3)若点D是射线上的一个动点，且不与点B，C重合，试探究线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及垂直的定义，通过角的等量代换来找出与相等的角． （2）通过证明和全等，利用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合已知条件推出． （3）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，利用全等三角形的性质和线段的和差关系来探究线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由（1）知． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：当点D在线段上时，由（2）知， ∴，则． 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， ∴． 与（2）同理可证， ∴，则． 综上所述，当点D是射线BC上的一个动点，且不与点B，C重合时，线段和之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及角的等量代换．解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质． 36．如图，在等边中，点为直线上方的任意一点，且满足，连接，过点作于点，交射线于点． (1)点在如图所示的位置时， 若，求的度数； 无论的度数怎么变化，的度数是否保持不变？请说明理由； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)①②无论的度数怎么变化，的度数等于，保持不变，理由见解析 (2)理由见解析 【分析】利用等边三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可； 设，利用中的方法解答即可； 在上截取，连接，利用等边三角形的性质，等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，可得，则；再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的推论得到，最后利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ， ． ， ， ， ； 无论的度数怎么变化，的度数等于，保持不变．理由： 设， 为等边三角形， ， ． ， ， ， ． 无论的度数怎么变化，的度数等于，保持不变． （2）解：线段、、之间的数量关系为：理由： 在上截取，连接，如图， 由知：， ， 为等边三角形， ． 为等边三角形， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． ． ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，在较长线段上截取一部分等于较短线段后构造全等三角形是解题的关键． 37．已知，，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)证明见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； 【详解】（1）证明: ， ，即， 又，， ． （2）解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 38．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 39．在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点满足，平分交于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当时，线段，，之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关证明方法是解决本题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据题意，在FB上截取，连接AM，通过证明，得出，，证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 证明：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即． 40．在中，，点在边上，且，点在的边上或内部，连接，，，． 【问题初探】如图，当点在边上时： （1）求的度数； （2）连接，求证：； 【问题再探】如图，当点在内部时： （3）请你试用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），证明见解析． 【分析】（1）由可得中的度数； （2）结合等腰三角形的判定和性质得，结合可推得，由等角对等边即可得证； （3）在上取一点，使得，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形性质得，设，则，，结合三角形内角和定理用表示出 ，，即可推得，从而可得． 【详解】（1）解：如图，在中，，点在边上，， ； （2）证明：如图，由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等角对等边，解题关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全册几何动点问题分类训练2 类型角度相关的动点定值问题 类型2线段长相关的定值问题 全册几何动点问题分类训练2 类型3面积相关的定值问题 类型4探究两条线段的数量关系 类型5探究三条线段的数量关系 目目 类型01 角度相关的定值问题 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点P为底边BC上一动点，连接AP,在AP左侧作等腰三角形 APD,使PA=PD,∠APD=∠BAC,连接BD 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠APD=∠BAC=60°，求证：△ABD≌△ACP; (2)如图2，若LAPD=∠BAC=90°，AB=2,当点P由点C运动到点B时： ①∠PBD的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点D运动的路径长度。 2.如图，在等边△ABC中，线段AM为边BC上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下 方作等边△CDE,连结BE, 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M B B (1)求∠CAM的度数； (2)若点D在线段AM上时，求证：∠CAM=∠CBE.; (3)当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点O,试判断LAOB是否为定值？并说明理由. 3.已知，在ABC中，∠BAC=,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上(D不与B,C重合) ∠BAD=CDE. B D C B D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=40°，且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为_. (2)如图2，若《=70°，且点D是BC边上的任意一点，小亮发现∠ADE的度数为定值， ①求∠ADE的度数； ②当DC=AB时，求∠DAE的度数. 3)如图3，在点D的运动过程中，ADE的形状也在改变，若《=100°，请直接写出当∠BDA等于多少度时， ADE是等腰三角形， 4.【新知】在ABC中，若∠B=LC,则AB=AC,即ABC是等腰三角形. 【解决问题】如图，已知正方形ABCD中点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC,交BC于点F, 连接DF.点G为DA延长线上一定点，满足AG=AD.GE的延长线与DF交于点H,连接BH·(备注： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角) D 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)判断△BEF的形状： (2)试说明：△AGE≌△CDF; (3)探究∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、点B,点C在x轴的负半轴 E,且OC=)OB,点P是线段BC上的动点（点P不与B,C重合），以BP为斜边在直线BC的右侧作等 腰直角三角形BPD. 图1 图2 (1)求直线BC的函数表达式； 54c时，求点P的坐标 3 2)如图1，当S,BPn= (3)如图2，连接AP,点E是线段AP的中点，连接DE,OD·试探究∠ODE的大小是否为定值，若是，求 出∠ODE的度数；若不是，请说明理由 6.(1)数学兴趣小组同学将制作的Rt△ACB和Rt△DCE摆放成如图①所示的位置，且CA=CB,CD=CE, 则AD和BE的数量关系为 ； ② ③ (2)如图②，在Rt△ABC中，AC=BC,将线段CA绕点C顺时针旋转a(0°<a<90°)，得到线段CD, 连接AD、BD.小组同学发现无论：为何值，∠ADB的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程； (3)在第(2)问的基础上，在图③中作∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接 BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明， 7.某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.在图①中，∠A=30°；在图② 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中，∠D=90°，∠F=45°，图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE放在ABC的斜边 AC上（即点D、E在AC上），并将aDEF沿AC方向移动.在移动过程中（移动开始时点D与点A重合）， 在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答。 B D B 图① 图② 图③ (1)能否将DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？如果能，求出∠CFE的度数； (2)△DEF在移动的过程中，∠FCB与∠CFE的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由 8.己知ABC,∠ACB=90°，点D(0,-3),M(4,-3). H 图1 图2 图3 (1)如图1，若点C与点O重合，且A(-3,a),B(3,b,a-7=-b,求△ACB的面积； (2)如图2，若∠A0G=52.5°，求∠CEF的度数； (3)如图3，旋转ABC,使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，E为BC与DM的交点， ∠NEC+∠CEF=180,下列两个结论：①∠NEF-∠AOG为定值：②EF为定值，其中只有一个是正确的， ∠AOG 请你判断出正确的结论，并求其值 目目 类型02 线段长相关的定值问题 9.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α到AC,点D是平面内一点，连接BC,AD,BD,CD,且 ∠CAB=∠CDB, 4/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当a=60°时，直接写出BD,CD,AD之间的数量关系； 2)如图2，当a=120°时，探究BD-CD 是否为定值，并说明理由； AD (3)当a=120°，AB=5,AD=2时，请直接写出BD的长 10.如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D点，BD=√2， A D G B B 图1 图2 (1)请求出AC的长； (2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF,AC⊥CF,EF交AC于G点，连接AF,当E点在CD间运动 时，请判断E的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由； AE (3)在(2)的条件下，若AE=EC,请求出△EGC的面积. 11.如图①，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF· A N F B D B P D C 图① 图② (1)证明：AD是△ABC的角平分线. (2)如图②，若AD=4,BC=6,AB=5,点P为线段BC上一个动点，过点P分别作AB,AC的垂线段， 垂足分别为M、N,则PM+PN是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M在线段BC上，点N在BC的延长线上，且满足 5/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CM=CN,连接AM,AN,过点N作ND⊥AM于点E,交AB于点D.记∠MAC=a· (1)∠ADN= (用含a的式子表示)： (2)判断△AWD的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中， BD的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. M 13.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴 上 y y B M A 图1 图2 图3 (1)如图1，若点C的横坐标为5，求点B的坐标： 2)如图2，将ABC摆放至轴恰好平分∠B4C,BC交x轴于点M,过点C作cD⊥r轴于点D,求CD 的 AM 值； (3)如图3，若OA=4,分别以OB,AB为直角边在第一，第二象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，,连接 EF交y轴于点P,当点B在y轴正半轴上移动时，线段BP的长度是否为定值，若是定值，请说明理由，并 求出BP的长度；若不是定值，请直接写出BP的取值范围. 14.如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E. G B E 图(1) 图(2) 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图(1)，若FE=FD,试说明AD=CE. (2)如图(2)，若FE=FD,AB=2,过点D作DG⊥AC,垂足为点G,GF的长是否为定值？若是，请求 出这个定值；若不是，请说明理由. 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B与点C关于x轴对称，点D在x轴上，BD与AC交于点E. ∠BAC=2∠BDO,过点D作DM⊥AC于点M. B (1)求证：∠ABD=∠ACD; (2)当A运动时，下列说法正确的是： ①AC平分∠BAD; ②AD是ABC外角的平分线： ③BA=BC; ④4C-AB是个定值. AM 16.如图1，平面直角坐标系中A0,a、B(b,0)分别为y轴正半轴、x轴正半轴上的点，且a、b满足 (a-b2=0. F B DO B B 图1 图2 图3 (1)求∠AB0的度数； (2)如图2，点C为线段OB上一点，OB=30C,D与C关于y轴对称，直线DP1AC交AB于点P. ①连接AD,求证：AD=DP; 7/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②啸器的红。 (3)如图3，点E(OE>OB)为x轴负半轴上一动点，以AE为直角边作等腰直角△AEF,连接BF交y轴于点 EO-BO Q,请问： 的值是否为定值？如果是定值，请求出其值；如果不是，请求出其取值范围 AO 目目 类型03 面积相关的定值问题 17.如图1，在等边△ABC中，P是BC下方一个动点，且∠BPC=120°，PB、PC是关于x的方程 (a-1)x2-4a-1x+a=3的两个实数根， (1)求证：PA平分∠BPC; (2)当a的值发生变化时，小丁发现：△ABC的面积是定值，小吴发现：四边形ABPC的面积为定值，请判断 谁的结论是正确的，并证明该结论； (3)请直接写出a的取值范围 18.已知AD为等边三角形ABC的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE,以BE为一 边在BE的下方作等边三角形BEF,连接CF. D 图① 图② (1)如图①，若点E在线段AD上，且DE=BD,则∠CBF=- (2)如图②，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE,CF相交于点M. ①求∠AMC的度数； ②若ABC的边长为8，P,Q为直线CF上的两个动点，且PQ=I0,连接BP,BQ,判断BPQ的面积是 否为定值.若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由. 8/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=√，AD=3,点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋 转60得到点F,连接AE、AF、EF、DF. D C D C D C F ② E E B B M 图① 图② 图③ (1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长； (2)如图②，点M在CB的延长线上，且BM=1,连接AM,当点E在BC上运动时，△AMF的面积的值是 否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由， (3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围. 20.如图，在平面直角坐标系中，将点A(-1,0)向右平移4个单位得到点B,将线段AB向上平移m个单位， 再向右平移1个单位得到线段CD(点A与点D对应，点B与点C对应)，且四边形ABCD的面积为8. B B x B 备用图 (1)求点B,C的坐标； (2)连接AC与y轴交于点E,求点E的坐标； (3)若点P从O点出发，以每秒t个单位的速度向上平移运动，同时点Q从B点出发，以每秒2t个单位的速度 向左平移运动，当点P到达点D后停止运动，若射线CQ交y轴于点F,设aCFP与△OFQ的面积差为S, 问：S是否定值？如果S是定值，请求出它的值：如果S不是定值，请说明理由 21.如图，已知A0,m),B(6,0),且m满足m-6=0.点D是线段AB中点，动点E,F分别在线段OA, OB上运动，且始终有AE=OF. 9/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)请直接写出点A的坐标； (2)请判断aDEF的形状并说明理由； (3)下列结论：①四边形0EDF周长为定值； ②四边形OEDF面积为定值： ③LOEF+∠DFE为定值.请选择一个正确的结论并说明理由. 22.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6cm,若O是BC的中点，动点M在AB上移动，动点 N在AC上移动，且AN=BM. B M (1)证明：0M=0N; (2)四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积， 23.美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点A作直线1，过点C作 CD⊥I于点D,过点B作BE⊥1于点E,研究图形，不难发现：△ADC≌△BEA·如图2、3，在平面直角坐 标系中，点A2,0)为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段 AC,连接BC. B B B A A 图1 图2 图3 备用图 (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为0,4)，则点C的坐标为- 10/17