专题01 全册几何最值问题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 全册几何最值问题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 三角形相关最值问题 1．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 2．如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质，垂线段最短，由点是中点，则，所以，设到距离为，则，求出，然后根据垂线段最短即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， 设到距离为， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值是， 故选：． 4．如图，在中，，，是边上的中线，点是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握垂线段最短和三角形面积计算公式是解题的关键． 根据垂线段最短和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 当时，的值最小，此时，， 即， 解得，， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，Q与关于对称， 点在上，， ， ， 即， ， ， 的最小值为． 6．如图，在等边三角形中，，，是上的一点，是上一点，，求的最小值． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，在上取一点，使得，连接，可得，即得，进而得，由，可得的最小值为的长，过点作于点，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 过点作于点，则，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 7．如图，在Rt中，90°，，，动点P从B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分的面积； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)若点E，F分别为，上的动点，则的最小值是______． 【答案】(1)3 (2)当为等腰三角形时，t的值是或或 (3) 【分析】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短. (1)先由勾股定理可得的长，当是中线时， 平分的面积，即，可得结论； (2) 当为等腰三角形时，存在三种情况：或或，根据和等量关系列方程可解答： (3)如图4中，如图4，延长至A，连接，过点A作于F，在上取，根据对称可知： 的最小值就是的长，根据面积法可得结论， 【详解】（1）解：，，， 当时，AP平分的面积， 即， ， 则当时，平分的面积； 故答案为：3； （2）分三种情况： ①如图1，， 由题意得：， ， 由勾股定理得：， ， ； ②如图2，， ， ； ③如图3，， ， ， ， ， ； 综上所述，当为等腰三角形时，t的值是或或； （3）如图4，延长至，连接，过点A作于，在上取， 则AB与关于BC对称， ， ，即此时的值最小，且最小值是的长， ，， 的面积， ， 的最小值是， 故答案为： 8．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 9．如图，是的角平分线，，点P在上，连接，则的最小值为 ．地 城 类型02 全等三角形相关最值问题 【答案】5 【分析】本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：作于， ∵是的角平分线，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：5． 10．如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，过作交延长线于点，作，于点，连接，则，证明点在平分线上，所以，再证明，得，又，则当三点共线时有最小值，即有最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 11．如图，中，，，，I为的内心，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，三角形的内切圆和内心，相似三角形的判定和性质．，，使，，由轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，再根据三角形的内心性质得，推出四边形为正方形，再根据三角形全等，得到，求出和的长，再根据相似三角形的性质求得，进一步可求得．解答本题的关键在于准确找到点与线段的长，找到数量关系，本题即可求解． 【详解】解：分别作，，垂足分别为点D、E、F，使，交于点M，交于点G， ∵，， ∴， ∴， 当、M、N三点共线，最短． ∵I为的内心，，， ∴， 设， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， 即，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，利用互余可证得，，进而证明，得，，利用，可得，由勾股定理可得，可知，即可求得，由题意可知，进而可证，得，由，当点在上时，取等号，即可求解． 【详解】解：∵，，，则， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，添加辅助线构造，得，将转化为是解决问题的关键． 13．如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形．在点运动过程中，的最小值 ． 【答案】 【分析】以为边作正，并作，垂足为点，连接、，由直角三角形可求， 由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的 最小值是. 【详解】解：以为边作正，并作，垂足为点，连接、， 在中，，，， ∴,， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴, , , ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∵当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴ , ∴的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质． 14．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ∵，点是中点，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值，此时，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及直角三角形斜边中线等于斜边一半，含的直角三角形性质，旋转性质、全等三角形的判定与性质、点到直线最短距离等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键． 15．如图1，在中，，，点E为上一点，连接，过点C作，交延长线于点D，连接，过点A作交于点G． (1)求证： (2)如图2，连接，取中点H，连接，求证：： (3)如图3，将沿折叠至，连接，将绕点C逆时针旋转至，连接交所在直线于点F，当取得最小值时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会通过一边一角相等构造全等是解题的关键． （1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明； （2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明； （3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时由，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， （2）证明：∵中点是， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作，并且使，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折知， 可知是定值， 由中，，，是定值， 则斜边是定值， 由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 16．如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由，根据三角形内角和定理，得到，即可得出 ②由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴设，则， ∴， 即：， 解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， （2）解：作，交于点，    ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3）解：作，，连接，作 交延长线于点，    ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 17．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 °．地 城 类型03 等腰三角形相关最值问题 【答案】40 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 18．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 19．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是等腰三角形三线合一的性质，轴对称−最短路线问题连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 20．如图，在等腰中，的面积为40，的垂直平分线分别交边于点E、F，若点为边的中点，点为线段上的动点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接交于点，连接，利用线段垂直平分线的性质确定出的最小值时点的位置，再利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，即为的值， ∵为定值， ∴此时，的周长值最小， ∵，点为边的中点， ∴，， ∵的面积为40， ∴， ∴此时，的周长为：， 故答案为：14． 21．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 22．如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的三线合一、利用三角形面积公式求线段长，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，交于点，连接，由题中作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则，，即当点与点重合，点与点重合时，取最小值，最小值为的长，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接 由题中作图过程可知，为的平分线， ，， 垂直平分， ，，， ，即当点与点重合，点与点重合时，取最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 23．在中，若D为边上的中点，对于实数k和三角形的边长定义如下的加法和乘法： ， ， ； 请回答以下问题： (1)如图1，在中．若点D为边上的中点，点E，F是上的两个三等分点，判断与的大小关系，并证明你的结论； (2)如图2，点P为顶角为的等腰内任意一点，其中，求点P在何处时使得取得最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点P为边上的高线的中点时，取得最小值，最小值为 【分析】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，理解新定义是解题的关键． （1）根据三等分点的定义得，，再根据新定义分别表示出和，再作差比较大小即可得出结论； （2）取的中点，连接，取的中点，连接，根据新定义得，根据等腰三角形的定义得，，则，，则当点P与点E重合时，最小，取得最小值． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点E，F是上的两个三等分点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴在中，， ∴， 要使最小，即最小，则要使最小， 当点P与点E重合时，最小，此时，， ∴当点P为边上的高线的中点时，取得最小值，最小值为． 24．已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 25．如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为 ．地 城 类型04 等边三角形相关最值问题 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，轴对称——最短路线问题等知识，由是等边三角形，是边上的高，则，平分，，所以， 作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为，故，即有最小值，为，再证明是等边三角形，所以，从而可得的最小值为，正确地画出图形找到的最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，平分，， ∴， 如图，作点关于的对称点，则在上，连接，与的交点为， ∴， ∴，即有最小值，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 26．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 27．如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路，，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为，．若存在，使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故答案为：4． 28．如图，在中，，以斜边和直角边分别作等边和等边，连接，，的判定依据是 （填写三个大字母）；若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，由和是等边三角形，所以，，，证明，所以，当时，最小，即最小，然后通过直角三角形性质可得，即最小值为，所以最小值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，最小，即最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴最小值为， 故答案为：，． 29．如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，找到点N的运动路线是解答的关键．连接，利用证明，由全等三角形的性质得，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵是高所在直线上一点，是等边三角形，， ，，点N的运动轨迹为如图所示直线， ， ∴， 故当时，最短，最短为， 故答案为：2． 30．如图1，在等边中，分别在边上，．    (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点逆时针旋转． ①如图2，当在的左侧，时，连接，是的中点，连接，，求证：； ②如图3，当在的右侧，时，平分，连接，，，若，求的最小值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）①延长到点，使，连接，证明，可得再证明，即可求证；②过点作，交的延长线于点，连接，证明，可得，再证明，可得，从而得到，当落在直线上时，的最大值为，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ∴是等边三角形， （2）①证明：延长到点，使，连接，   都是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ； ②解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，   都是等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴当落在直线上时，的最大值为， ， ， ， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．如图，等边三角形，点D、E在边，上，且．连接，交于点F，G为延长线上一点，且满足，的平分线交于点H，过G作于点M． (1)求证：； (2)若，点P在上，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明； （2）连接，，可证明，得到，则可证明垂直平分，得到，导角可得，则；根据，得到当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12，即的最小值为12． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的平分线交于点H， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12， ∴的最小值为12． 32．已知是边长为8的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点与点重合，点在点右侧时， ①求证：； ②过点作于，且，求线段的长； (2)如图2，当点在点左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】(1)①见解析；②2 (2)4 【分析】（1）①根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证； ②过点作于点，证明得，进而得出，，再利用线段的和差即可求出的长； （2）如图，过点作于，作射线，过点作于，证明得，从而得出，则点在与成夹角的定直线上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，点与点重合， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， 由①知：，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于，作射线，过点作于， ∴，， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在与成夹角的定直线上运动， ∴当点在处时，最小， ∵，，， ∴， ∴的最小值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 33．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小．地 城 类型05 最短路径问题 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 34．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 35．转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 36． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 37．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 38．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 39．（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 40．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画，使与关于轴对称； (2)在轴上作一点，使得最短 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图、轴对称的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于轴的对称点的位置，然后顺次连接即可． （2）如图：作C关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：点P即为所求． 41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．地 城 类型06 平面直角坐标系中的最值问题 (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换与最短路径问题，利用轴对称转化最短路径是解题关键． （1）对于点，其关于y轴对称的点是，据此求出A、B、C的对称点，顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：三个顶点分别为，，， 点A、B、C关于y轴对称的点为：，，， 如图，顺次连接可得． （2）解：如图，点B关于x轴的对称点为，连接，与x轴交于点P， 由对称可知，， 的周长为， 两点之间线段最短， 当点P为与x轴的交点时，的周长最短， 由图象知：点P坐标为． 42．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得最小，请画图并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， 【分析】本题考查轴对称作图，坐标系中点的对称和最短路线问题，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题关键． （1）点关于y轴对称，其纵坐标不变，横坐标变为相反数．依次画出点，，，然后顺次连接即可； （2）先作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为，根据图确定点的坐标． 【详解】（1）如图所示， ， 则，，， （2）如图，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为， ， 由图可知，点坐标为． 43．如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． (1)画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）； (2)在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键． （1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可； （2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，这时最短，则周长最短，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，关于x轴的对称图形． （2）如图所示：C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点， 有， 则，此时最短， ∵ ， ∴此时周长最短． 由图形可知，点P的坐标为． 44．已知：如图所示． (1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，保留作图痕迹，不写出作法． 【答案】(1)见解析，、、 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接，即可得出答案； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 、、； （2）解：①作点关于轴的对称点；②连接交轴于点， 如图，点即为所求点． 45．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 46．在平面直角坐标系中，已知点、、． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)请在x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析； (2)见解析，． 【分析】本题考查作图-轴变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于轴的对称点即可； （）画出关于的对称点，连接交轴于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可． 【详解】（1）解：根据网格特点和轴对称的性质画出、、关于的对称点，，，然后连接，，即可； ∴即为所求； （2）画出关于的对称点，连接交轴于，利用得到，则根据两点之间线段最短，如图， ∵在网格可知：， ∴， 根据两点之间线段最短， ∴点即为所求的点，使得最小． 47．如图，在的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． (1)请画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，． (2)请在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题等知识点，掌握轴对称的性质解题的关键． （1）分别作出点关于直线l的对称点，，，再顺次连接即可解答； （2）如图：连接交直线l于点F即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图，点即所求． 48．如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全册几何最值问题分类训练 (6种类型48道) 类型]三角形相关最值问题 类型2全等三角形相关最值问题 类型3等腰三角形相关最值问题 全册几何最值问题分类训川练 类型4等边三角形相关最值问题 类型5最短路径问题 类型6平面直角坐标系中的最值问题 目目 类型01 三角形相关最值问题 1.如图，在ABC中，AC=3,点D在边BC上，CD=2BD,S。ABD=2,点E是AC边上一动点，连接 DE,在DE的上方作△DEF,使得∠DEF=90°，且DE=EF,则△DEF面积的最小值为 D 2.如图，在ABC中，AE⊥BC于点E,AB=9,BC=8,AE=6,P为AB边上一动点，连接CP,则 CP的最小值为一 B E 1/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，在ABC中，BC=4,点D是BC中点，点P是线段BC上一个动点.若SAD=2,则AP的最小 值是() D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 4.如图，在△ABC中，AC=5,S。4BC=24,CD是边AB上的中线，点P是AC上的动点，则DP的最小值 为」 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AD是∠BAC的平分线，若P,Q分别是AD和 AC上的动点，则PC+PQ的最小值是() A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 6.如图，在等边三角形ABC中，AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一点，M是AD上一点，AE=2,求 EM+MC的最小值. M B 7.如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=I3Cm,AC=5cm,动点P从B出发沿射线BC以2cm/s的 速度运动，设运动时间为t秒. 2/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 备用图1 备用图2 (1)当t=__时，AP平分ABC的面积； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值： (B)若点E,F分别为BC,AB上的动点，则AE+EF的最小值是 8.如图，在ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB. M (1)若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是_度； (2)若AB=8cm,△MBC的周长是14cm. ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值. 目目 类型02 全等三角形相关最值问题 9.如图，AD是ABC的角平分线，∠C=90,CD=5cm,点P在AB上，连接DP,则DP的最小值为_ cm B 10.如图，在△ABC中，AB=6,AC=11,BC=12,点D是BC中点，点E、F分别是边AB、BC上的动 点，且不与端点重合，作∠AEF和LEFC的角平分线交于点G,则DG+CG的最小值为一 3/19 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 11.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10,I为Rt△ABC的内心，连接M、MN,则 IM+MN的最小值为 B N A 12.在ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段 AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，己知它们的运动速度相同，连接AD,CE,则 AD+CE的最小值为 13.如图，已知Rt△ACB,∠ACB=90°，∠B=60°，BC=6,点D在CB所在直线上运动，以AD为边作 等边三角形ADE,在点D运动过程中，CE的最小值一· B 14.如图，直角ABC中，斜边AB=10,∠B=30°，M为直线BC上的动点，将AM绕点A逆时针旋转60°得 到AN,则CN的最小值是一 4/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 15.如图1，在RIAABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E为AC上一点，连接BE,过点C作CD⊥BE, 交BE延长线于点D,连接AD,过点A作AG⊥AD交BE于点G. 图1 图2 图3 备用图 (1)求证：△ABG≌△ACD (2)如图2，连接CG,取CG中点H,连接AH,求证：BD=2AH: (3)如图3，将△ABE沿BE折叠至△A'BE,连接CA,将CA'绕点C逆时针旋转45°至CM,连接AM交A'B所 在直线于点F,当AM取得最小值时，直接写出∠A'FM的度数 16.如图1，在ABC中，点D、E在BC边上，连接AD、AE,满足AD=BD=CE,且 ∠ABD=∠BAD=45°，点E在AB上，连接EF交AD于点G. F G D E D D 图1 图2 图3 (1)①线段AD与BC的位置关系是 ②若EF平分∠AEB,LDEA=4LDAE，求LAGF的度数： (2)如图2，若EF∥AC,连接DF,过点E作EK∥AB交AC于点K.证明：∠AFE=LBFD: (3)在(2)的条件下，如图3，BQ⊥DF于点Q,点M,N在边AC上，且AM=CN,连接DM,DN, 已4D5,DQ=3,B0=4,EF=2,请直接写出DW+DN的最小值 目目 类型03 等腰三角形相关最值问题 5/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若 ∠BAC=40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为° B 18.如图，等腰ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F ·若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为」 E D :AB的垂直平分线为EF, D ·AB关于EF对称， .BM+DM=AM+DM≥AD, .当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, :等腰ABC,点D为底边BC的中点， AD⊥BC,BD=BC=3, 2 1 1 ·.SABc=5BC·AD=5×6AD=24, 2 2 AD=8, △BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=BD+AD=3+8=1I; 故答案为：11. 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.如图，等腰ABC底边BC的长为6cm,面积是12cm2,腰AB的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于 点F，,若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为 cm 20.如图，在等腰ABC中，AB=AC,BC=8,△ABC的面积为40，AB的垂直平分线EF分别交边AC、AB 于点E、F,若点D为BC边的中点，点M为线段EF上的动点，连接DM,AM,BM,则△BDM周长的最 小值为」 D M B F 21.如图，等腰ABC中，AB=AC=10,SMBc=24,1是ABC的对称轴，D是AB上一动点，在1上存 在一点P,能使PB+PD的值最小，这个最小值为一· D 22.如图，在等腰ABC中，AB=AC=10,BC=12.在AB、AC上分别截取AP、AQ,使AP=AQ, 再分别以点P,Q为圆心，以大于PO的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点 D.若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为」 B D 23.在ABC中，若D为BC边上的中点，对于实数k和三角形的边长定义如下的加法⊕和乘法⑧： 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB⊕AC=2AD, AB⑧AC=AC⑧AB=AD2-BD2, kAB⑧AC=k(AD2-BD): 请回答以下问题： B D 图1 图2 (1)如图1，在ABC中.若点D为BC边上的中点，点E,F是AD上的两个三等分点，判断 AB⑧AC+FB⑧FC与2EB⑧EC的大小关系，并证明你的结论； (2)如图2，点P为顶角为120°的等腰ABC内任意一点，其中LA=120°，AB=2,求点P在何处时使得 (PB田PC)⑧PA取得最小值，并求出该最小值. 24.己知：等腰ABC中，AB=AC,∠A<90°. M P B B H (图1) (图2) (1)如图1，若CD是ABC的高，BE是ABC的角平分线，CD与BE交于点P,当∠A的大小变化时， △EPC的形状也随之改变 ①设∠A=x,∠EPC=y,求角度的变量y与x的关系式： ②当△EPC是等腰三角形时，求∠A的度数. (2)如图2，若ABC的面积是15，AB=AC=6,AH是ABC的高，点M,N分别是线段AH,AC上的点， 直接写出CM+MN的最小值. 目目 类型04 等边三角形相关最值问题 25.如图，BD是等边ABC边AC上的高，M,N分别是AB,AC边上的两个定点，BM=AN=3cm, AD=4.5cm,若在BD上有一动点H,使MH+NH最小，则MH+NH的最小值为_Cm. 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M B 26.如图，在三角形ABC中，AB=AC,LB=60°，AD是BC边上的高，E为AC边上一点，P为AD上一 个动点，若AD=10,则PC+PE的最小值为一 B 0 27.如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA,OB,∠A0B=30°，在两条公路之间的点P处 有一个草场，OP=4.现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为M,N.若存在M,N使 得aPMN的周长最小，则aPMN周长的最小值是· N M 28.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以斜边BC和直角边AC分别作等边△BCD和等边△ACE,连接 BE,AD,△ACD≌△ECB的判定依据是（填写三个大字母）；若AC=4,则AD的最小值为 C 29.如图，在边长为8的等边三角形ABC中，若M是高AD所在直线上一点，连接CM,以CM为边在直 线CM的右侧画等边三角形CMN,连接DN,则DN长度的最小值为 9/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 30.如图1，在等边ADE中，B,C分别在边AD,AE上，BC∥DE. D D B C A 图1 图2 图3 (1)求证：ABC是等边三角形； (2)将ADE绕A点逆时针旋转. ①如图2，当AE在AB的左侧，∠BAE=30°时，连接CD,F是CD的中点，连接AF,BE,求证： BE=2AF; ②如图3，当AE在AB的右侧，BD⊥AC时，CM平分∠ACB,连接AM,DM,CE,若 AC=a,SAcE=c,求MD-MA的最小值（用含a,c的式子表示）. 31.如图，等边三角形ABC,点D、E在边BC,AC上，且CD=CE,连接BE,AD交于点F,G为CA延 长线上一点，且满足LABG=∠DAC,∠AFB的平分线交BG于点H,过G作GM⊥BE于点M. G (1)求证：∠EBC=∠DAC: (2)若BM=6,点P在HF上，求GP+AP的最小值. 32.已知ABC是边长为8的等边三角形，点P在射线AB上运动，点Q在线段AC上运动，连接PQ,以 PQ为边向右作等边△MPQ,连接BM. 10/19