专题02 全册几何动点问题分类训练1（角的数量关系存在性最值动点求值5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全册几何动点问题分类训练1 类型]探究两角的数量关系 类型2探究多角(3个及以上)的数量 关系 全册几何动点问题分类训川练1 类型3全等相关的存在性问题 类型4动点最值问题 类型5动点求值问题 目目 类型01 探究两角的数量关系 1.如图，等腰ABC中，AB=AC,点P是边BC上的一个动点（不与B,C重合），连接AP,在边AB上 取一点Q,使得AQ=AP,连接PO, B (1)若∠C=70°，∠CAP=20°，求∠BPQ的度数： (2)若∠C=60°，∠CAP=x°，请用含x的代数式表示∠BPQ的度数； (3)由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP与∠BPQ的数量关系，并证明你的猜想. 2.综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点A.试 猜想∠A与∠A之间的数量关系. 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解决问题： (1)小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入∠A的特殊角度，然后根据结果猜想 ∠A,与∠A之间的数量关系 ①若∠A=60°，则∠A,=°；若∠A=90°，则∠A,= ②通过上面的计算，请猜测∠A与∠A之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： (2)如图2，将ABC改成四边形ABCD,∠ABC的平分线及一个外角∠DCE的平分线相交于点F.若 ∠A+∠D=210°，求∠F的度数； 深入探究： (3)如图3，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点A,若E是BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的平分线交于点Q,在点E移动的过程中，请直接写出∠Q与∠A之间的数量关 系 B D 图1 图2 图3 3.在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作 EF∥BC交射线BD于点F,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. B 图1 备用图 (1)如图1，点E在线段AD上运动. ①若∠ABC=40°，LC=70°，则∠BGE=-°； ②若∠A=50°，则∠BGE=-°； ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由； 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点E在线段DC上运动时，直接写出LBGE与∠A之间的数量关系. 4.综合与实践 问题情境： "综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在平面内有∠BAC,点D在平面上，连接BD,CD,求 LA+LB+LC+LD的度数和. 数学思考： (1)请你解答老师提出的问题. 深入探究： (2)老师让同学们移动点D,并提出新的问题， ①“善思小组”提出问题：如图2，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C. ②“智慧小组”提出问题：如图3，延长CD,交AB于点E,延长BD,交AC于点F.若LA=∠FDC, ∠B=∠AFB,请直接写出∠BDC与∠B的数量关系 图1 图2 图3 5.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且∠EDC=∠ECD. 图1 图2 图3 (1)如图1，若CD恰好是ABC的角平分线，试说明DE∥BC; (2)如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F,在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与LCDF的数 量关系，并说明理由： (3)如图3，若CD是ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G,连接BE交CD于点Q,当S△ADE=3, S.pEG=2时，求DQ:CQ的值. 6.在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作 3/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF∥BC交直线BD于点F,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. y 图1 备用图 备用图 (1)如图1，点E在线段AD上运动. ①若LABC=40°，∠C=60°，则∠BGE=— ②若∠A=70°，则∠BGE= °； ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由； (2)若点E在射线DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系. 7.如图1，在平面直角坐标系中，点A(-2,0),B(0,-3,点C在∠A0B的平分线上，且点C到x轴、y 轴的距离均为4. M 图1 图2 (1)点C的坐标为 ,S.ABC= (2直线11y轴且过点0,1，点P为1上一动点，设点P的横坐标为m.若S-Sc,求m的值： 7 (3)如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作BF∥AC,交CO延长线于点F,AD平分 ∠EAC,延长DA交CF于点M.探究∠F与∠CMD的数量关系，并证明你的结论. 8.己知ABC的三条角平分线相交于点O,点D在AC边上，且有LAOB=LAD0. 图1 图2 (1)如图1，求证：0D10C. 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，延长BO,交ABC的外角∠ACE的平分线于点F. ①判断0D与CF的位置关系，并说明理由： ②猜想∠BAC和∠F的数量关系，并给出证明. 目目 类型02 探究多角(3个及以上)的数量关系 9.综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔. 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,尝 试取了几组∠B,∠C的特殊值，并量得∠EAD的度数，得到表中几组对应值. ∠B的度数 20° 30° 40° 50° ∠C的度数 50° 60° 60° 70° ∠EAD的度数 15 159 10° 10° E ① ② 【结论探究】 (1)若∠B=20°，∠C=80°，则∠EAD的度数为： (2)试探究∠B,∠C与∠EAD之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 (3)仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D"改为“F是线段AE上一点， FD⊥BC于点D”,如图②，请直接写出∠B,∠C与∠DFE之间的数量关系. 10.如图1，己知线段AB,CD相交于点0，连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“八字图形”. 5/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系. (2)如图2，AE平分∠CAB,DE平分∠BDC,AE,DE交于点E. ①若∠C=30°，∠B=20°，求∠E的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成"∠CAE=C4B,∠CDE=}∠BDC”,试判断∠E与∠B,∠C之 41 间存在的数量关系，并说明理由。 11.如图，锐角ABC中，∠C>∠B,AD,AE分别是ABC的角平分线和高. B DE (1)若∠B=15°，∠C=85°，求∠DAE的度数； (2)猜想并证明∠B,∠DAE,∠C之间的数量关系 12.图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在 图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解 答下列问题： D M B 图1 图2 (1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： (2)图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数.（写出过程） 13.如图，把ABC沿DE折叠，点A落在四边形BCDE外部的点处. 6/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y,那么图中∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的式子 表示) (2)试探究∠A与∠1、∠2之间有何数量关系，并说明理由. 14.(1)如图1，过ABC的顶点A作直线MN∥BC,求证：LB+∠C+∠BAC=180°； (2)已知ABC内部两条射线PB、PC交于点P, ①如图2，若∠P=150°，则∠PBC+∠PCB=-度（直接写出答案即可）方 ②如图3，若∠P=130°，PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB,求∠A的度数； (3)如图4，在四边形ABCD中，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点E,∠A,∠E和∠D之间有什么数 量关系？说明理由。 图1 图2 图3 图4 15.(1)如图1的图形我们把它称为“"8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D. (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与 ∠D、∠B之间数量关系. (3)在图3神，若设∠C=,∠B=”∠CMP=4<CB、∠CDP=4CDB,试间∠P与∠C、∠B之间 的数量关系为（用x、y的代数式表示）. (4)在图4中，直线BP平分∠ABC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,猜想∠P与∠A、∠C的关系，直 接写出结论， 图1 图2 图3 图4 16.如图，在ABC中，AD,CE分别为∠BAC,∠ACB的角平分线，AD与CE相交于点P. 7/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P B 0 C (1)若LBAC=70°，∠ACB=60°，则∠APC=度： (2)求证：∠APC=180°-（∠BAC+∠BCA): (B)直接写出∠APC与∠B,∠BAD,∠BCE的数量关系 目目 类型03 全等相关的存在性问题 17.如图，在ABC中，高线AD,BE,相交于点O,AE=BE,OA=8. B D D 备用图 (1)求BC的长； (2)F是直线AC上的一点，且CF=B0,动点P从点0出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点 A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P到 达A点时，P,Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值使得以点B,O，,P为顶 点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理 由. 18.如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于点C;动点E、D同时从A点出 发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知 AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t. M B 备用图 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)试求∠ACB的度数： (2)若S。4BD:S,Ec=2:3,试求动点D,E的运动时间的值； (3)试问当动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时 间t的值；若不存在，请说出理由. 19.如图，平面直角坐标系中有点B(-1,0)和y轴上一动点A(0,a,其中a>0,以A点为直角顶点在第二 象限内作等腰直角ABC,设点C的坐标为(c,d). BO (1)当a=3时，则C点的坐标为(，)： (2)动点A在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理 由； (3)当a=3时，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使△PAB与ABC全等？若存在，直接写出 出P点坐标；若不存在，请说明理由. 2O.如图，在ABC中，BC=5,AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于点O.且 AE BE. E E D 备用图1 备用图2 (1)求证：△A0E≌△BCE. (2)动点P以点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点？从点B出发沿射线BC以 每秒4个单位长度的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动.设点 P的运动时间为t秒. 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①CQ=-(用含t的代数式表示)： ②若点F是直线AC上的一点（不与C点重合），且CF=B0,是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三 角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在.请说明理由、 21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABC的边BC在x轴上，A,C两点的坐标分别为 A(0,),C(b,0),点B(-5,0),且a-4+(b-3)2=0,已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射 线BO匀速运动，设点P的运动时间为s. C 备用图 (1)求A,C两点的坐标： (2)连接PA,当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示△AOP的面积； (3)当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q,使△POQ与△AOC全等？若存在，直接写出Q点 的坐标；若不存在，请说明理由 22.在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，DE=9cm. B E m E m DA m 图1 图2 图3 (1)若∠BDA=∠AEC=∠BAC. ①如图1，若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为： CE与AD的数量关系为 ②如图2，猜想BD,CE与DE的数量关系并说明理由. (2)如图3，若∠BDA=∠AEC,BD=7cm,点A在线段DE上以2cms的速度由点D向点E运动，同时，点 C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得△ABD与 △EAC全等？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由， 23.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向 点C运动，设点P的运动时间为t秒： 10/18 专题02 全册几何动点问题分类训练1 1．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接，地 城 类型01 探究两角的数量关系 (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 2．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．在中，平分交于点D，点E是线段上的动点（不与点D重合），过点E作交射线于点F，的角平分线所在直线与射线交于点G． (1)如图1，点E在线段上运动． ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点E在线段上运动时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①55；②65；③，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的定义、三角形的内角和为以及各个角之间的关系是解题的关键． （1）①根据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；②根据，，再代入计算即可；③根据②的结论，可得，； （2）先根据题意画出相应的图形，根据三角形内角和定理平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：①∵平分，是的平分线， ，， ∵， ，， ， ． 故答案为：55； ②由①得， ． 故答案为：65． ③，理由为： 由①得， ． （2）解：如图：，证明如下： ∵平分交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ． 4．综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在平面内有，点在平面上，连接，，求的度数和． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）老师让同学们移动点，并提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，求证：． ②“智慧小组”提出问题：如图3，延长，交于点，延长，交于点．若，，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①见详解；② 【分析】（1）连接，根据三角形内角和定理可得，，然后由求解即可； （2）①连接并延长至点，根据三角形外角的定义和性质可得，然后由证明结论即可；②根据三角形外角的定义和性质，结合题意可得，进而证明，然后由，即可获得答案． 【详解】解：（1）如下图，连接， 在中，可有， 在中，可有， ∴ ； （2）①如下图，连接并延长至点， 则， ∴ ； ②∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用、三角形外角的定义与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和已知即可得出，由内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）设，由三角形外角的性质可得，进而表示出．根据角平分线和角的和差关系转化即可得出； （3）过点作，连接，，，利用平行线和等底等高三角形面积相等求出，再利用三角形面积比求出边长或高之比，从而得出，由此即可解题. 本题考查了平行线判定、三角形外角的性质和角平分线定义、三角形的中线性质，平行线间的距离相等等知识点，解题关键是通过平行线进行三角形等积变换. 【详解】（1）解：∵恰好是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）设， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ （3）过点作，连接，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵是的中线，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，v ∴， ∴ 6．在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题意，得，，根据，得，结合已知解答即可； ②根据①得，结合，等量代换解答即可； ③根据①得，结合，等量代换解答即可； （2）分点在线段上和射线上运动，两种情况解答即可． 本题考查了三角形外角性质，角的平分线，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）（1）①∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：50． ②解：根据①得， ∵， ∴， 当， 则； 故答案为：55． ③解：根据①得， ∵， ∴， 故与之间的数量关系． （2）解：当点在线段上运动时，如图， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． 设直线与的交点为M， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在射线上运动时，如图， 设的交点为， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C在的平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为4． (1)点C的坐标为_______，_______； (2)直线轴且过点，点P为l上一动点，设点P的横坐标为m．若，求m的值； (3)如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作，交延长线于点F，平分，延长交于点M．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，7 (2)或 (3)，证明见解析 【分析】（1）用所在长方形的面积减去四周小三角形的面积可得； （2）分点P在点A右侧与左侧两种情况，用含m的式子表示出的面积，进而可得m的值； （3）由三角形外角的性质可得，，等量代换可得，再根据平行线的性质得出，可证． 【详解】（1）解：点C在第三象限，到x轴、y轴的距离均为4， 点C的坐标为． 如图，作轴于点H，轴于点G， ， 故答案为：，7 （2）解：， ， 点P的坐标为，当点P在点A右侧时，如图： ， 解得； 同理，当点P在点A左侧时，可得， 综上可知，m的值为或； （3）解：， 证明如下： 平分， ， ， 平分， ， ， 又， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质等，掌握坐标系内三角形面积的求法，熟练运用分类讨论、等量代换思想是解题的关键． 8．已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【详解】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 9．综合与实践地 城 类型02 探究多角（3个及以上）的数量关系 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由表中的数据，可得． （2）由表中的数据，可猜想．结合已知条件，根据三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余， 角的和差关系说明理由即可． （3）过点作，由，得．推出即可． 【详解】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （3）； 过点作，由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 10．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 11．如图，锐角中，，，分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)猜想并证明，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，求出，即可得解； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由三角形内角和定理可得， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即． 12．图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的知识，． （1）利用三角形外角可得； （2）由（1）可得，， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由三角形外角性质可得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 13．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 14．（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，再结合平角是计算即可得解； （2）①根据三角形内角和是计算即可得解；②根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解； （3）连接，根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ． （2）解：，， ， 故答案为：． ，， ， 、分别平分、， ，， ， 则． （3）连接，如图： 、的角平分线交于点， ，， ， ， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：A． 15．（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，“字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图中，设，，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图中，延长交于，设利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【详解】解：（1）如图中， ，，， ； （2）如图中， 设， 则有， ， ； ； （3）如图中，设，，则，设，， 则有， ， ， 故答案为：． （4）如图中，延长交于，设． 则有， ， ， ． 16．如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，得，，根据解答即可； （2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可； （3）根据（2）证明可以直接写出结论． 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴． 17．如图，在中，高线，，相交于点，，.地 城 类型03 全等相关的存在性问题 (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 18．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 19．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则点的坐标为(_____，_____)； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)不变，值为1 (3)存在，或或 【分析】(1) 过点作轴于，则，证，推出，即可得出点的坐标； (2) 过点作轴于，则，证，推出，，可得，即可得出，据此可得的值不变； (3)分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解： 如图，过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，4； （2）解：动点在运动的过程中，的值不变． 过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， 即的值不变； （3）解：符合条件的的坐标是或或． 分为三种情况： ①如图，过作轴于，则， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即的坐标是； ②如图，过作轴于，过作轴于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 由（2）知，， ∴，， 即的坐标是； ③如图，过作轴于，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即的坐标是， 综合上述，符合条件的的坐标是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想． 20．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点．且． (1)求证：． (2)动点以点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． ① （用含的代数式表示）； ②若点是直线上的一点（不与点重合），且，是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）由，，，可得，通过即可证明； （2）①分为当在线段上时和当在线段延长线上时进行求解即可； ②分两种情形：当在线段上时和当在线段延长线上时，结合全等三角形的判定和性质进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是边上的高，是边上的高， ， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：①依题意，当在线段上时，得 当在线段延长线上时，， 故答案为：或； ②存在，理由如下： 如图2，当在线段上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 如图3，当在线段延长线上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 22．在中，，，，三点都在直线上，． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为：______________，与的数量关系为____________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为（s）．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)， 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①通过垂直与等角关系证得，根据全等三角形的性质可得出结论； ②借助三角形内角和定理进行等角代换，得到，证明，再根据全等三角形的性质进行线段的等量代换即可； （2）假设存在，根据，分、两种情况讨论求出对应的、值． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， 在和中， ， ，， 则与的数量关系为，与的数量关系为． ②， ， ， 在和中， ， ，， ， 故，与的数量关系为． （2）假设存在，使得与全等， 由于，则有、； 运动的时间为时，，， 当时， ，即， ，即， ，； 当时， ，即， ，即， ，； 故当和，与全等． 23．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为坐标原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数的图象分别与坐标轴交于点A，C． (1)如图①，将折叠使得点C落在长方形的边上的点E处，折痕为，求点B，E的坐标； (2)如图②，将折叠使得点B落在对角线上的点E处，折痕为，求点D的坐标； (3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得与全等？若存在，写出所有符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点E的纵坐标是0或或 【分析】(1)首先可求得点A、C的坐标，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标，再根据折叠的性质，即可求得点E的坐标； (2)首先根据矩形的性质及勾股定可理，可求得，由折叠的性质可知：，，，设，则，再根据勾股定理可得，可得，，过点E作于点F，根据面积可求得，再根据勾股定理可得，据此即可求得； (3)分三种情况，根据全等三角形的性质，即可分别求得． 【详解】（1）解：点A、C在直线上，且分别在y轴、x轴上， 令，则；令，则， ，， 四边形是长方形， ，， ， 又点C沿折叠后落在边上的点E处， ， ， ； （2）解：由知，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ，， 如图：过点E作于点F， ， 得， 在中，， ， ； （3）解：存在，点E的纵坐标是0或或； 如图：设交于点F，作于点H， 当点E在第二象限时，， ，， 又， ， ， 设，则， 由勾股定可理得：， 解得， ，， ， ， 由点的纵坐标为； 当点E在第三象限时， 同理可证， 解得中边上的高为， 则点的纵坐标为， 当点E在坐标原点时，显然， 点E的纵坐标为0， 综上所述，存在点E使得与全等，点E的纵坐标为0或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 25．综合与探究地 城 类型04 动点最值问题 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在中，，点，分别是边，上的动点，且，探究的最小值． 【问题分析】通过构造全等三角形，将所求的两条线段转化到同一个三角形中，进而解决问题． 【问题解决】过点作，且，连接．完成下列问题： （1）求证：． （2）连接 ，则线段 的长即为的最小值． 【方法应用】 （3）如图2，在等边三角形中，于点，点，分别是线段，上的动点，且，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等边三角形的性质． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度； （3）过点C作，且，连接交于点，证明（），得到，进而得到，即的最小值为的长，此时A，N，E三点在同一条直线上，推出，等边对等角进行求解即可． 【详解】问题解决：（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作，且，连接交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（）， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时A，N，E三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴当的值最小时，的度数为． 26．已知等边，过点作的垂线交延长线于点． (1)如图1，点为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，点是中点连接并延长，交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，的面积为8，点为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明，可得到，，进一步得出结论； （2）延长至，使，连接，可证得，进而得到，，再证明，可得到，最后进一步得出结论； （3）由翻折的性质可知点在关于直线对称的直线上运动，，当时，可取得最小值，过作于点，设，根据含角的直角三角形可知，进而得到，然后根据已知条件可得是等边三角形，，可得到，同理可求得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形； （2）解：延长至，使，连接，如下图所示： 点是中点 在和中， ， ， ，， 由（1）得：是等边三角形 在和中， ，   ， （3）解：沿着直线翻折得到， 当点在上运动时，点在关于直线对称的直线上运动，， 当时，可取得最小值，过作于点， ∵ ∴， ∴, ∴， ∴， 则当取得最小值时，在边上， 如下图所示： 设，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即； 是等边三角形，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，图形翻折的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，找出全等三角形，最值是解题的关键． 27．在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． (1)如图1，当时，连接， ① °． ②求证：． (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①75；②见解析 (2)有最小值， 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，再利用求解即可； ②根据等边三角形的性质可得，，，再利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）连接,可得，作点D关于的对称点G，连接、、、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、、、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小， 由轴对称的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 28．已知是等边三角形， (1)如图1，在线段、上各取一点、，、相交于点，若，求证：； (2)如图2，在线段上取一点使得，在线段上有一个动点，、相交于点，连接，若，求的值； (3)如图3，若是等边的中线，点、分别是线段、上的动点，且，当取得最小值时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，平行线的性质等， 对于（1），先根据等边三角形的性质得，，再根据三角形的外角的性质求出，然后根据“角边角”证明，则此题可证； 对于（2），分两种情况：当时，可证明，进而得出， 此时，然后则，接下来表示出，可得答案；第二种情况：时，由等边三角形的性质，当时，仍然有，即可求出答案； 对于（3），作，使，连接，先证明，可得，即，当点B，P，F共线时，取得最小值，再根据等腰三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， 设则， ∴， ∴， ∴； 当时，由等边三角形的性质，当时，仍然有， 同理，得． 综上所述，的值为或； （3）解：作，使，连接， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，P，F共线时，取得最小值， 如图所示， ∴， ∴， ∴， 所以的度数为． 29．如图1，是边长为2的等边三角形，是边上的高线，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），以为一边在下方作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若连接，在点运动过程中，求线段长度的最小值； (3)延长交的延长线于点．如图2，当为等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)线段长度的最小值为 (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据判定定理“”即可求证； （2）由等边三角形的性质可得，，进而由全等三角形的性质得，即得到点在定直线上运动，可知当时，线段取最小值，利用直角三角形的性质解答即可求解； （3）当为等腰三角形时，，过点作于点，由直角三角形的性质得，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴； （2）解：∵是边长为的等边的高， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴当时，线段取最小值． 此时在中，∵，， ∴， ∴线段长度的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点不与点重合， ∴点不与点重合，， ∴，， ∴当为等腰三角形时，则， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 30．如图1，点D是边长为的等边边所在直线上的一个动点，从点B向C方向运动，以为边向右侧作等边． (1)连接，若点D在边上时，易知线段三者之间的关系为（不用证明）；如图2当点D在C的右侧时，试探索线段三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图1，当点D从B运动到C时，若点D的运动速度为，则当运动时间为_______秒时，的周长取得最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，因为，所以，即可作答． （2）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，故的周长，根据的周长取得最小值，则取得最小值，即取得最小值，当时，则取得最小值，因为点D的运动速度为，且是等边三角形，进行分析列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， 即， ∴， ∴ 则的周长， ∵等边的边长为 ∴的周长， ∵的周长取得最小值 ∴取得最小值， 即取得最小值， ∵点D从B运动到C， ∴当时，则取得最小值， ∵点D的运动速度为，且是等边三角形， ∴此时， 即当运动时间为1秒时，的周长取得最小值． 31．【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 32．如图，在 中，，是 边上的中线，是 外角的平分线． (1)如图，用直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)在（1）的条件下，设与交于点，判断的形状，并说明理由． (3)如图，若，，，、分别是线段 和线段上的动点，则的最小值为__________ 【答案】(1)图见解析 ； (2)是等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【分析】（1）由尺规作图作角平分线的方法即可得图； （2）是等腰直角三角形，由等腰三角形性质可得，，结合角平分线定义和外角性质得，再结合三角形内角和定理得，再由角平分线定义得即可得证； （3）连接，结合三线合一定理得是的垂直平分线，则，当取最小值时，点、、在一条直线上，且，最后由三角形面积计算公式即可得解． 【详解】（1）解：如下图，作 的平分线： （2）解：如下图： 是等腰直角三角形，理由如下： ，是 边上的中线， ，， ， 是 外角的平分线， ， 中，， ， ， 是直角三角形， 是 的平分线， ， 是等腰直角三角形； （3）解：连接， ，是 边上的中线， 是的垂直平分线， 是线段上的动点， ， 则当取最小值时，点、、在一条直线上，且， ， 又，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图作角平分线、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、外角性质、三角形内角和定理、三线合一、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 33．在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．地 城 类型05 动点求值问题 (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 34．如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【详解】（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 35．如图，在正方形中，E是边上的一动点，过点E作交于点G，且，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质． （1）根据正方形的性质和等角的余角相等即可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取，连接， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 36．如图，在矩形中，动点P从点A出发，沿边向点C运动，点A、D关于直线的对称点分别为点E、F，连接EF．已知．． (1)当点P在边上，且时，求的度数； (2)当点F在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； (3)当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）画出图形，证明是等腰直角三角形，则．由对称性知，即可得到； （2）求出，当点F在的延长线上时，，连接，则．设，则，由勾股定理得到，列方程求出，即可得到．证明，则，即可得到； （3）分两种情况画出图形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴． （2）如图， ∵， ∴， ∵当点F在的延长线上时，，连接， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论：①如图，当点P在边上时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； ②如图4，当点P在边上时， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．能够正确的作出图形，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 37．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点，求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点，同①得，， ，，， ， ， ，即， ， ， ， ， 综上所述的长为或． 38．如图．是等边三角形，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度匀速运动到终点，同时动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度匀速运动到终点．连接、交于点，延长到点，使，连接设点运动的时间为（s）． (1)当时，的长是___________ (2)求的度数； (3)求证：； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值， 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据即可得出的长； （2），所以对应角相等，找出与这些对应角之间的数量关系，特别是与等边三角形的内角的关系即可； （3）联系（2）中的结论，可知为等边三角形，利用这一结论找到与全等的判定条件即可； （4）根据问题条件：“当四边形是轴对称图形时”，可知此时 分别为 的中点，点为的重心，通过计算的长度即可． 【详解】（1）解：当时，，则， 故答案为：4． （2）解： 是等边三角形， ，， 又， 在与中有：    （SAS） ， （三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和）， ， 故答案为：． （3）证明：由问题（2）知， ， 又， 是等边三角形（有一个角为的等腰三角形为等边三角形）， ，， 在与中有： （SAS） 故命题得证． （4）当四边形是轴对称图形时，如下图所示： 分别为 的中点， ， 为等边三角形，点为的重心， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定和性质以及轴对称图形的知识点，关键是按照问题设置逐题依次解答，分析各题之间区别和联系，第（4）问根据条件画出图形辅助问题解决至关重要． 39．如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）①根据即可证明； ②利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ①如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ②如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 40．如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． (1)【思考研究】连接，交于点，求证：； (2)【解决问题】连接，何时是直角三角形？ (3)【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 【答案】(1)见解析 (2)第秒或第秒时，为直角三角形 (3)不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：设时间为t秒，则），， ①当时， ∵， ∴，得， ∴； ②当时， ∵， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． （3）解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $