专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动临界问题与功和能综合应用，系统梳理水平、竖直、倾斜面及叠加场中圆周运动模型，按临界情况分类、动力学方程建构、二级结论提炼的逻辑组织知识点。通过考点梳理、方法指导（如等效法）、典例精讲和分层练习，帮助学生建立问题分析框架，突破高考高频难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如在轻杆模型教学中，引导学生对比最高点最小速度条件与轻绳模型的差异，结合机械能守恒推导临界速度公式。设置从基础判断到综合计算的分层习题，配合即时方法总结，有效培养学生科学推理能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能 目录 1．圆周运动的三种临界情况 1 2．常见的圆周运动及临界条件 1 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2 1．圆周运动的三种临界情况 (1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。 (2)接触面分离临界：FN＝0。 (3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。 2．常见的圆周运动及临界条件 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为 要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得① 对应C点的速度有机械能守恒 得② 当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒 得③ 小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力 由牛顿第二定律④ (2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律。⑤ (3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0 在DA段射重力与半径方向的夹角为则、 (4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道 【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力 (1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑥ (2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑦ (3)从A点以初速度释放小球到达最低点 由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑧ 【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求： （1）手机滑落瞬间的速度大小； （2）手机落地点距离中心转轴的距离。 【答案】（1）；（2）15m 【详解】（1）设乘客和座椅的总质量为m，绳子拉力为FT，对乘客和座椅整体进行分析，有 ， 联立，解得 手机滑落瞬间的速度 解得 （2）手机滑落后做平抛运动，竖直方向有 解得 则平抛运动的水平位移为 手机落地点距离中心转轴的距离 解得 【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求： （1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小； （2）小球到达A点时动量的大小； 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）设水平恒力的大小为，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有 ① ② 设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得 ③ 由①②③式联立解得 ④ ⑤ （2）设小球到达A点的速度大小为，作，交PA于D点，由几何关系得 ⑥ ⑦ 由动能定理有 ⑧ 由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在A点的动量大小为 ⑨ 【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路 → → 【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是(　　) A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下 B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向 C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变 D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功 【答案】D 【解析】小球经过A点时，合外力提供向心力，则当小球速度较小时有m<mg，则所受杆的作用力竖直向上；当小球速度较大时有m>mg，则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度满足m＝mg时，则杆对小球无作用力，故A错误； 小球重力和杆的作用力的合力提供向心力，则小球在B点所受杆的作用力斜向右上方，故B错误； A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B点处重力与速度共线，故重力功率不为0，则从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大再减小，故C错误； A到C的过程中，重力做正功，根据动能定理可知WG＋W杆＝ΔEk＝0，故杆对小球的作用力做负功，故D正确。 【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意 1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。 2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。 3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。 【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（　　） A．可以到达半圆轨道最高点D B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s 【答案】BC 【详解】A．设滑块P恰能通过最高点D，则有 解得 则滑块P从B点到D点，根据动能定理有 解得滑块在B点的动能为 所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A错误； B．滑块经过B点时的速度大小为vB，根据功能关系可得 在B点根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B正确； CD．滑块在C点的重力势能为 则滑块可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v 根据功能关系可得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 ， 滑块离开轨道后做斜上抛运动 根据功能关系可得 解得滑块P能到达的最大高度为 故C正确，D错误。 故选BC。 1．如图所示，质量为 m的小物块开始静止在一半径为 R的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（　　）    A．静止时物块受到的摩擦力大小为 B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用 C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下 D．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下 【答案】D 【详解】A．静止时，对物块分析，根据平衡条件有 故A错误； B．球壳随转台绕转轴一起转动，物块做匀速圆周运动，由沿圆周半径方向的合力提供向心力，若物块所受摩擦力恰好为0时，角速度为，对物块进行分析，则有 解得 故B错误； C．若转台的角速度为，由于 可知，物块有沿球壳向下运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向上，故C错误 D．若转台的角速度为，由于 可知，物块有沿球壳向上运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向下，故D正确。 故选D。 2．如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）    A．小球恰好能到达竖直面内的最高点 B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为 D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg 【答案】C 【详解】A．若小球能到达最高点，根据机械能守恒，有 根据小球在竖直面内的圆周运动受力特点，可知恰好做完整的圆周运动，则在最高点时小球重力恰好提供所需向心力，根据牛顿第二定律可得 在最高时小球的最小速度为 故A错误； B．分析小球从最低点运动到最右端的过程，根据机械能守恒，有 根据牛顿第二定律和向心力可得，小球的向心力为 又因为小球受重力作用，根据平行四边形定则可知小球所受的合力为 故B错误； C．当轻绳第一次刚好松弛时，绳的拉力为零，设此时的速度大小为v2，轻绳与竖直向上方向夹角为α，如图所示    由径向合力提供向心力，有 由机械能守恒有 联立解得 ， 故C正确； D．小球在最低点，根据牛顿第二定律有 轻绳受到的拉力大小为5mg，故D错误。 故选C。 3．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（　　） A．小球通过最高点的最小速度为 B．小球通过最高点的最小速度为零 C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力 【答案】B 【详解】AB．在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B正确； C．小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力；当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故C错误； D．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故D错误。 故选B。 4．如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．若圆环光滑，则角速度 B．若圆环光滑，则角速度 C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等 D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于 【答案】D 【详解】AB．小球在图示位置时的受力分析如图所示 则小球所受合外力提供向心力，即 以上两式联立，解得 故AB错误； CD．若小球在A点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即 联立，解得 故C错误，D正确。 故选D。 5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．铁球可能做匀速圆周运动 B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒 C．铁球在A点的速度一定大于或等于 D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg 【答案】D 【详解】A．铁球在竖直轨道上做圆周运动，受到重力、轨道的支持力和磁性引力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与铁球的运动方向垂直，所以磁力和支持力对铁球都不做功，只有重力对铁球做功，所以铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大，所以铁球不可能做匀速圆周运动，故A错误； B．铁球绕轨道转动时，只有重力做功，其机械能守恒，故B错误； C．在A点，轨道可以支撑铁球，所以要使铁球不脱轨做完整圆周运动，铁球在A点时的速度大于等于零即可，故C错误； D．铁球在最低点时，若恰不脱轨，则满足 从铁球恰在最高点到最低点时，由机械能守恒定律得 解得 F=5mg 即要使铁球不脱轨做完整圆周运动，轨道对铁球的磁性引力大小至少为5mg，故D正确。 故选D。 6.（多选）如图所示，倾角为的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为，下列说法正确的是（    ） A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小 C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为 D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析有 解得 将滑块和斜面看成整体，由平衡条件得，斜面体所受摩擦力大小为 故A正确； B．设绳与竖直方向的夹角为，对小球有 可得 又因为 所以随着转速的增大，角速度会增大；拉力会增大，绳与竖直方向的夹角会增大，两绳的夹角会减小，所以合力会增大；所以绳子对小孔的作用力增大；故B错误； C．因为绳对滑块的拉力越大，滑块越容易往上滑动。所以当小球转速最大，即绳的拉力最大时，对滑块受力分析得 即 可得最大角速度为 所以最大转速为 故C正确； D．加上电场后，对小球受力分析知 因为要使转速不变，即角速度不变，所以绳子的拉力大小不变，因为竖直方向绳的分力相对没有加电场时增大了，所以由以上公式知减小，即小球到转动中心的距离减小，故D错误。 故选AC。 7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为，，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，，以下说法正确的是（    ） A．B的摩擦力先达到最大 B．当时，绳子出现张力 C．当时，A、B两物体出现相对滑动 D．当时，A、B两物体出现相对滑动 【答案】AD 【详解】A．若A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足 代入数据解得 同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度为 代入数据解得 则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度值，则B的摩擦力先达到最大，故A正确； B．当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当时，绳子出现张力，故B错误； CD．A与B的角速度相等，A的质量是B的4倍而A做圆周运动的半径是B的，根据可知A需要的向心力大，所以当AB两物体出现相对滑动时A背离圆心运动，B向着圆心运动，此时B受静摩擦力方向背离圆心，A受静摩擦力方向指向圆心，则对A有： 对B有： 解得 故C错误，D正确。 故选AD。 8.（多选）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（　　）    A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为 C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv² D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR 【答案】BC 【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得 在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得 两式相减可得 A错误； BC．在PQ两点的受力如图所示 在Q点，由向心力公式有 在P点，由向心力公式有 两式相加可得 因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N段，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为，则在A、B两小段的压力可视为恒力，摩擦力做功之和为 解得 所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为 BC正确； D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动,由最低点到最高点由动能定理可知 解得 D错误。 故选BC。 9．（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．X星球的第一宇宙速度 B．X星球的密度 C．X星球的质量 D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期 【答案】CD 【详解】A．小球在最高点时有 所以可得 将图线与横轴交点代入则得 则X星球的第一宇宙速度为 A错误； BC．根据 则X星球的质量为 X星球的密度为 B错误，C正确； D．根据 解得 则环绕X星球运行的离星球表面高度为的卫星 则代入可得周期 D正确。 故选CD。 10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称，。可看成质点的物块自A点以初速度沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，，下列说法正确的有（   ） A．若，则物块在A点初速度可能为 B．若，则物块在A点初速度可能为 C．若，则物块在A点初速度可能为 D．若，则物块在A点初速度可能为 【答案】AB 【详解】AB．若， A点速度取得最大值时 从A点运动到B点，由动能定理，有 得到 满足题意，AB正确； C．若，A点速度取得最大值时 从A点运动到B点，由动能定理，有 得到 不符合题意，C错误； D．若物块在A点的初速度为，则物块在A点就离开轨道，不能沿着轨道运动到B点，D错误。 故选AB。 11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（　　） A．小球到达C点时速度为0 B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上 C．小球在A点的初速度为 D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则 【答案】AD 【详解】A．小球恰好过圆弧轨道最高点C，由于下方有支持物，所以过C点时速度为0，故A正确； B．小球过C点时速度为0，不能做平抛运动，故B错误 C．A到C，由机械能守恒定律可得 解得 故C错误； D．由D到C根据机械能守恒有 在D点小球对内外轨道均无弹力，则重力的分力提供向心力，有 解得 故D正确。 故选AD。 12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段 BC 组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（    ） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小 C．小球的初速度 D．若小球初速度增大，小球有可能从B点脱离轨道 【答案】AD 【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为 vC = 0 则小球从C到B的过程中，有 联立有 则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确； B．由于A到C的过程中小球的速度逐渐减小，则A到C的过程中重力的功率为 则A到C的过程中小球重力的功率始终减小，故B错误； C．从A到C的过程中有 解得 故C错误； D．小球在B点恰好脱离轨道有 则 则若小球初速度增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，故D正确。 故选AD。 13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，上端是半径的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴转动。在转台的边缘固定有一长的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为时开始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小g=10m/s2，，。求： (1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小； (2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量。 【答案】(1)800N (2)4000J 【详解】（1）设游客和座椅所受的轻绳拉力大小为，竖直方向上有 水平方向上有 解得 （2）设游客和座椅稳定转动时的速度大小为，由匀速圆周运动中合力提供向心力有 游客和座椅从开始转动到稳定转动的过程中，由功能关系有 解得 14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为、的水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半径为的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C先向上抬升，然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度取，，。求： (1)稳定后缆绳拉力的大小； (2)转盘A转动的角速度大小； (3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对游客和座椅受力分析，由平衡条件得 解得 （2）对游客和座椅受力分析，有 根据几何关系可得 解得 对转盘与转盘，具有相同的角速度，即 对转盘与转盘，具有相同的线速度，即 解得转盘转动的角速度大小为 （3）对游客和座椅受力分析，由牛顿第二定律得 由功能关系可得缆绳对游客和座椅做的功为 其中 联立解得 15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，整个空间分布有大小为、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B间的距离为3R，重力加速度为g。求 (1)小球运动到B点时受到的支持力大小； (2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm； (3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。 【答案】(1)7mg (2) (3) 【详解】（1）小球从A点运动到B点过程，由动能定理有 可得 小球在B点有 解得 （2）如图所示，小球运动到等效最低点D时速度最大，由于，可知OD与竖直线OB夹角为，小球从A点运动到D点的过程中，根据动能定理有 解得 （3）设小球过C点时的速度大小为，小球从A运动到C的过程中，根据动能定理有 解得 小球离开C点后做类斜抛运动，竖直方向自由落体 竖直速度 解得 水平方向匀变速直线 解得 水平速度 解得（方向水平向右） 由运动的合成可得 解得 16．如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： (1)小物块在P点的瞬时速度大小； (2)小物块通过M点的瞬时速度大小； (3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块进入轨道时，刚好沿P点切线进入，其分速度与合速度如下图 由图可知 解得 （2）由题意可知，小物块恰好从M点飞出，对小物块在M点受力分析，可得 解得 （3）小物块从P到M的过程，应用动能定理，可得 解得 17．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面体ABCD上（CD为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m的细线，细线的一端固定在斜面上的O点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行于AD的直线交CD于E点，DE的长度。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q为轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，后经斜面边缘上的M点飞出，落到地面上的N点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，重力加速度。求： (1)小球经过Q点时的速度大小 (2)小球经过M点时的速度大小； (3)M、N两点间的距离L。（结果均可保留根号） 【答案】(1)2m/s (2)m/s (3)m 【详解】（1）小球刚好能在斜面上做完整的圆周运动，则在轨迹圆的最高点F，由牛顿第二定律 从F点到Q点的过程中，由动能定理 联立解得小球经过Q点时的速度大小 （2）小球在Q、M间做类平抛运动，沿初速度方向做匀速直线运动 运动时间为s 沿斜面向下方向做匀加速直线运动a=gsinθ=4m/s2 沿斜面向下的速度v2= at1=2m/s 则小球经过M点时的速度大小 （3）小球离开斜面后做斜下抛运动，竖直向下方向做匀加速直线运动，有 竖直位移 水平方向做匀速直线运动 水平方向位移 M、N两点间的距离 18．如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10L的轻绳一端系在M点，另一端竖直悬挂质量为m的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。 (1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值； (2)若给小球大小为的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。 【答案】(1) (2), 【详解】（1）小球，从初始位置到第一次到达M点正上方，根据动能定理可得 若第一周小球恰能通过最高点，则有 联立解得初速度的最小值为 （2）小球，从初始位置到绳子断裂时M点正下方，根据动能定理可得 解得绳子断裂瞬间小球的速度大小为 平抛运动竖直方向做自由落体运动，则有 得 水平方向做匀速直线运动，则小球落在地面时水平位移的大小为 19．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为。重力加速度大小为。 (1)若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求； (2)若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。 【答案】(1) (2)，方向沿罐壁向下 【详解】（1）以为研究对象，当摩擦力恰好为零时，由支持力和重力的合力提供向心力，有 解得 （2）若，则 滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下， 对m分析，有 解得 20．如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至点后水平飞出，赛车能从点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，点和点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道段运动时受到的恒定阻力为，赛车质量为，通电时赛车电动机的输出功率恒为，、两点间高度差为，赛道的长度为，与圆心的连线与竖直方向的夹角，空气阻力忽略不计，，，取，求： (1)赛车经过点时的速度大小； (2)电动机工作的时间； (3)要使赛车能通过圆轨道最高点后沿轨道回到水平赛道，则轨道半径的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）赛车在BC间做平抛运动，竖直方向有 解得 赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，则有 解得赛车经过C点时的速度大小为 （2）赛车通过B点时的速度大小为 赛车从A点到B点过程，根据动能定理得 解得电动机工作的时间为 （3）要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，当赛车恰好通过最高点D时，轨道半径具有最大值，则有 从C到D，由动能定理可得 联立解得 21．如图所示，半径为（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，、分别为轨道的最高点和最低点（和垂直），为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为。质量为的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)若让小球从轨道外侧点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道； (2)若让小球从轨道内侧点以初速度大小水平向左射入轨道，求： ①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小； ②小球运动到点时对轨道压力的大小。 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【详解】（1）把恒力和重力的合力视为等效重力 设等效重力方向与竖直方向夹角为，则有 解得 过圆心作的平行线和圆轨道有两个交点，下方交点为等效最低点，如图 假设小球能到达等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点恰好不脱离轨道时 解得 可知 可知小球不会脱离轨道。 （2）①从点到等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点压力最大 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的最大压力。 ②从点运动到点过程，可知合外力做功为0，所以 在点，受力分析如图 解得 根据牛顿第三定律，小球在点对轨道的压力。 22．如图所示，光滑半球半径为，球心为，固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨道，高度为，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为的小球由点静止滑下，经过圆弧轨道最低点，从半球上点（图中未标出）离开，落在水平地面上。重力加速度为。求： (1)小球在点对轨道的压力； (2)C点距离水平地面的高度。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) 【详解】（1）由动能定理可得 由圆周运动公式 解得 由牛顿第三定律可知，小球在点对轨道的压力大小，方向竖直向下。 （2）设C点距离水平地面的高度为，由动能定理可得 小球在C点脱离轨道，则有 联立解得 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能 目录 1．圆周运动的三种临界情况 1 2．常见的圆周运动及临界条件 1 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2 1．圆周运动的三种临界情况 (1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。 (2)接触面分离临界：FN＝0。 (3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。 2．常见的圆周运动及临界条件 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点 3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为 要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得① 对应C点的速度有机械能守恒 得② 当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒 得③ 小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力 由牛顿第二定律④ (2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律。⑤ (3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0 在DA段射重力与半径方向的夹角为则、 (4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道 【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力 (1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑥ (2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑦ (3)从A点以初速度释放小球到达最低点 由机械能守恒 在C点由牛顿运动定律： 得⑧ 【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求： （1）手机滑落瞬间的速度大小； （2）手机落地点距离中心转轴的距离。 【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求： （1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小； （2）小球到达A点时动量的大小； 【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路 → → 【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是(　　) A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下 B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向 C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变 D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功 【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意 1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。 2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。 3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。 【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（　　） A．可以到达半圆轨道最高点D B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s 1．如图所示，质量为 m的小物块开始静止在一半径为 R的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（　　）    A．静止时物块受到的摩擦力大小为 B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用 C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下 D．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下 2．如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）    A．小球恰好能到达竖直面内的最高点 B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为 D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg 3．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（　　） A．小球通过最高点的最小速度为 B．小球通过最高点的最小速度为零 C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力 4．如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．若圆环光滑，则角速度 B．若圆环光滑，则角速度 C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等 D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于 5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．铁球可能做匀速圆周运动 B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒 C．铁球在A点的速度一定大于或等于 D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg 6.（多选）如图所示，倾角为的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为，下列说法正确的是（    ） A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小 C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为 D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大 7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为，，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，，以下说法正确的是（    ） A．B的摩擦力先达到最大 B．当时，绳子出现张力 C．当时，A、B两物体出现相对滑动 D．当时，A、B两物体出现相对滑动 8.（多选）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（　　）    A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为 C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv² D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR 9．（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．X星球的第一宇宙速度 B．X星球的密度 C．X星球的质量 D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期 10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称，。可看成质点的物块自A点以初速度沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，，下列说法正确的有（   ） A．若，则物块在A点初速度可能为 B．若，则物块在A点初速度可能为 C．若，则物块在A点初速度可能为 D．若，则物块在A点初速度可能为 11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（　　） A．小球到达C点时速度为0 B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上 C．小球在A点的初速度为 D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则 12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段 BC 组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（    ） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小 C．小球的初速度 D．若小球初速度增大，小球有可能从B点脱离轨道 13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，上端是半径的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴转动。在转台的边缘固定有一长的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为时开始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小g=10m/s2，，。求： (1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小； (2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量。 14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为、的水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半径为的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C先向上抬升，然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度取，，。求： (1)稳定后缆绳拉力的大小； (2)转盘A转动的角速度大小； (3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。 15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，整个空间分布有大小为、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B间的距离为3R，重力加速度为g。求 (1)小球运动到B点时受到的支持力大小； (2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm； (3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。 16．如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： (1)小物块在P点的瞬时速度大小； (2)小物块通过M点的瞬时速度大小； (3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。 17．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面体ABCD上（CD为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m的细线，细线的一端固定在斜面上的O点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行于AD的直线交CD于E点，DE的长度。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q为轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，后经斜面边缘上的M点飞出，落到地面上的N点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，重力加速度。求： (1)小球经过Q点时的速度大小 (2)小球经过M点时的速度大小； (3)M、N两点间的距离L。（结果均可保留根号） 18．如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10L的轻绳一端系在M点，另一端竖直悬挂质量为m的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。 (1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值； (2)若给小球大小为的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。 19．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为。重力加速度大小为。 (1)若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求； (2)若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。 20．如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至点后水平飞出，赛车能从点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，点和点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道段运动时受到的恒定阻力为，赛车质量为，通电时赛车电动机的输出功率恒为，、两点间高度差为，赛道的长度为，与圆心的连线与竖直方向的夹角，空气阻力忽略不计，，，取，求： (1)赛车经过点时的速度大小； (2)电动机工作的时间； (3)要使赛车能通过圆轨道最高点后沿轨道回到水平赛道，则轨道半径的最大值为多少？ 21．如图所示，半径为（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，、分别为轨道的最高点和最低点（和垂直），为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为。质量为的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)若让小球从轨道外侧点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道； (2)若让小球从轨道内侧点以初速度大小水平向左射入轨道，求： ①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小； ②小球运动到点时对轨道压力的大小。 22．如图所示，光滑半球半径为，球心为，固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨道，高度为，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为的小球由点静止滑下，经过圆弧轨道最低点，从半球上点（图中未标出）离开，落在水平地面上。重力加速度为。求： (1)小球在点对轨道的压力； (2)C点距离水平地面的高度。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $