1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过复习直角三角形中sinA=cosB、tanA·tanB=1的关系搭建旧知支架，引导学生观察三角尺、测量计算，逐步推导特殊角三角函数值，形成知识脉络。 其亮点在于以“观察-测量-推导”为主线，结合荡秋千高度差、大坝坡度等实例培养几何直观与创新意识，通过例题详解和表格化小结发展推理能力与模型意识。学生能提升探究与应用能力，教师可高效开展教学。

第一章 直角三角形的边角关系 北师大版 九年级下册 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 复习导入 b A B C a ┌ c 如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°. 思考：sinA和cosB，有什么关系? sinA=cosB tanA和tanB，有什么关系？ tanA·tanB=1 探究新知 观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 45° 45° 60° 30° （1）sin30°等于多少？你是怎样得到的？（2）cos30 °等于多少？ tan30 °呢？ 45° 45° 60° 30° 探究新知 想一想 利用45 °角的直角三角尺，测量出30 °角的直角三角尺的三条边的长度，就可以分别计算出sin30 ° 、cos30 °和tan30 °的值. （1）60 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? （2）45 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? 探究新知 45° 45° 60° 30° 做一做 利用求30 °角的三角函数值相同的方法，可以分别求得60 °角和45 °角的三角函数值. （3）完成下表： 三角 函数 角α 三 角 函 数 值 sinα cosα tanα 30° 45° 60° 例题详解 例1 计算: （1）sin30 ° + cos45 °； （2）sin260 ° + cos260 ° －tan45 °. 解:（1）sin30 ° + cos45 ° （2）sin260 ° + cos260 ° －tan45 ° sin260°表示(sin60°)2 cos260°表示(cos60°)2 例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆过的角度∠BOD恰好为60 °，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). 例题详解 O B A D C 2.5m 60° 解: 如图，由题意可知，∠AOD= ×60°=30 °， OD = 2.5m， ∴ OC = OD·cos30 ° =2.5× ≈ 2.165(m). ∴ AC = 2.5－2.165 ≈ 0.34(m). 即最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 课堂小结 1. （2024·沈阳康平期末） sin 45°的值为（　B　） A. B. C. D. 1 B 课堂练习 2. 计算：3tan 30°＋1的值等于（　A　） A. ＋1 B. ＋1 C. 2 D. 1 A 3. 计算： sin 60°＋tan 60°＝ ⁠. 　 4. 计算： （1）2 sin 30°＋ cos 60°＋tan 45°； 解：原式＝2× ＋ ＋1 ＝1＋ ＋1＝ . （2）2 sin 45°＋2 sin 60°－3tan 30°·tan 45°； 解：原式＝2× ＋2× －3× ×1 ＝ ＋ － ＝ . （3） ＋tan 260°. 解：原式＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ . 5. 如果锐角A满足 cos A＝ ，那么∠A的度数是（　A　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° [变式] 已知α为锐角，且 sin （α－10°）＝ ，则α等于 （　A　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 30° A A 6. 在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若｜tan A－ ｜＋ （2 sin B－ ）2＝0，则∠C的度数为 ⁠. 75°　 7. 如图，小明在一条南北走向的公路的O处，测得图书馆A在 他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，那么图书馆A到公 路的距离AB为（　C　） A. 100 m B. 100 m C. 100 m D. m C 8. 【一题多解】（教材P10习题T4变式）如图，一棵大树被台 风刮断，若树顶端落在离树底部9米处，并与地面成30°夹 角，则树折断之前的高度是 米.（结果保留根号） 9 　 【解析】解法1（利用三角函数求解）： 如图，在Rt△ABC中，BC＝9米，∠C＝30°， ∴AB＝BC·tan 30°＝9×＝3（米）， ∴AC＝2AB＝6 米， ∴AB＋AC＝9 米. 故树折断之前的高度是9 米. 解法2（利用勾股定理求解）： 如图，在Rt△ABC中，BC＝9米，∠C＝30°， ∴AC＝2AB. 设AB＝x 米，则AC＝2x 米. 由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2， 则x2＋92＝（2x）2，解得x＝3（负值已舍去）， ∴AB＝3 米，AC＝6 米， ∴AB＋AC＝9 米. 故树折断之前的高度是9 米. 9. 如图，某飞船从地面O处发射，当飞船到达A处时，从位于 地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，AC与地面所成的夹 角∠ACO为30°，10 s后飞船到达B处，此时测得BC与地面所 成的夹角∠OCB为45°.求飞船从A处到B处的平均速度.（结 果保留一位小数，参考数据： ≈1.73） 解：∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝ 8 km， ∴OA＝ AC＝4 km，OC＝AC· cos 30°＝8× ＝4 （km）. ∵在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC·tan 45°＝4 ×1＝4 （km）， ∴AB＝OB－OA＝（4 －4）km. ∵ ≈ ≈0.3（km/s）， ∴飞船从A处到B处的平均速度约为0.3 km/s. 10. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.若OA＝ 2，∠AOC＝45°，则点B的坐标是　　（　D　） A. （2＋ ， ） B. （2－ ， ） C. （－2＋ ， ） D. （－2－ ， ） D 11. 若正比例函数y＝ x的图象与x轴正半轴的夹角为α，则α ＝ ⁠. 30°　 12. 如图，A，B，D在同一直线上，阴影部分是一片湖，从B 处到D处要先绕行至C处，为节省通行时间，决定沿AB方向架 桥修路.为加快施工进度，在B处和D处同时施工，已知 ∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两 点间的距离是 m. 800 　 13. 【新情境·生活情境】一个地铁站入口的双翼闸机如图1所 示.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距 离为12 cm，双翼的边缘AC＝BD＝64 cm，且与闸机侧立面的 夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的 物体的最大宽度为 cm. 76　 14. 计算： （1） sin 45°－2 cos 30°＋ ； 解：原式＝ × －2× ＋ ＝1－ ＋（ －1）＝0. （2）（2 －π）0－｜1－ ｜＋3tan 30°＋（－ ）－2. 解：原式＝1－（ －1）＋3× ＋4 ＝1－ ＋1＋ ＋4 ＝6. 15. （教材P11习题T5变式）如图，水库大坝的横截面为四边 形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10 m，坝高20 m，斜坡 AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. （1）求坝底AD的长度；（结果精确到1 m） 解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD 于点F. ∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠BEF＝∠CFE＝90°， ∴四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10 m. ∵BE＝20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5， ∴AE＝50 m. ∵CF＝20 m，斜坡CD的坡角为30°， ∴DF＝ ＝20 m≈35 m， ∴AD＝AE＋EF＋FD≈95 m. 答：坝底AD的长度约为95 m. （2）若坝长100 m，求建造这个大坝大约需要多少土石料. （参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 15. （教材P11习题T5变式）如图，水库大坝的横截面为四边 形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10 m，坝高20 m，斜坡 AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. 解：（2） ×（10＋95）×20×100＝105 000（m3）. 答：建造这个大坝大约需要的土石料为105 000 m3. $