专题02 二次函数和反比例函数（期末复习讲义）九年级数学上学期北京版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理二次函数和反比例函数的核心考点、复习目标及考情规律，分知识点分层呈现表达式、图像性质等内容，用对比表格明确两者区别与联系，清晰呈现知识脉络及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“二次函数实际应用”题型引导学生从实际问题抽象函数模型培养模型意识，“反比例函数与一次函数综合”结合图像比较函数值大小强化几何直观。练习分基础、重难、拓展层，易错点提醒助学生自主复习，考情分析为教师精准教学提供支持。

专题02 二次函数和反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念 能准确理解二次函数的定义，会判断一个函数是否为二次函数，并能确定二次函数的各项系数（a、b、c） 易错点：忽略二次项系数a≠0的条件；对二次函数一般形式的理解不透彻，特别是各项系数的符号和取值范围易混淆。 二次函数的图象与性质（开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值） 能根据二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）准确画出其图象的草图；能熟练说出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴；能结合图象分析函数的增减性，并求出函数在给定区间内的最大值或最小值 命题趋势：常结合函数图象考查性质，强调数形结合思想的应用；最值问题常与实际应用相结合，需要注意自变量的取值范围对最值的影响。 易错点：求顶点坐标时配方或公式法运用错误；对增减性的描述忽略对称轴和开口方向；在非全体实数范围内求最值时容易出错。 用待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式） 能根据不同的已知条件（如已知三点坐标、顶点坐标和另一点坐标、与坐标轴交点坐标等），灵活选择合适的解析式形式（一般式、顶点式、交点式），并用待定系数法准确求出二次函数的解析式 命题趋势：是解决二次函数综合题的基础，常与函数性质、几何图形等结合考查。 易错点：选择不合适的解析式形式导致计算繁琐或无法求解；解方程组时计算粗心出错。 二次函数与一元二次方程的关系 能理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系，即函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的根；能根据判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数；能利用韦达定理解决与二次函数和方程相关的简单问题 易错点：对二者关系理解不深刻，不能灵活转化；利用韦达定理时忘记前提条件（判别式≥0）。 二次函数的实际应用（如最大利润、最大面积等） 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确自变量和因变量的实际意义及取值范围；能运用二次函数的性质解决实际问题中的最大（小）值问题，并对结果的合理性进行检验 命题趋势：是期末考试的重点和难点，常以应用题形式出现，背景材料多样，贴近生活。易错点：审题不清，不能正确列出函数关系式；忽略自变量的实际取值范围，导致求得的最值不符合实际情况；计算错误。 反比例函数的概念 能准确理解反比例函数的定义（y=，k为常数，k≠0），会判断一个函数是否为反比例函数，并能确定比例系数k 易错点：忽略比例系数k≠0的条件；对反比例函数的几种等价形式掌握不牢。 用待定系数法求反比例函数的解析式 能根据已知条件（如已知图象上一点的坐标），用待定系数法准确求出反比例函数的解析式 命题趋势：相对基础，常独立考查或作为综合题的一部分。 易错点：计算比例系数k时出错。 反比例函数与一次函数的综合应用 能解决反比例函数与一次函数的交点问题（求交点坐标、判断交点个数）；能结合图象比较两个函数值的大小；能解决与这两种函数相关的简单几何图形问题或实际应用问题 命题趋势：是反比例函数部分的重点考查内容，常结合图象、性质、几何图形等进行综合考查，强调数形结合思想。 易错点：解由两个函数解析式组成的方程组时计算出错；比较函数值大小时，忽略交点的分界作用和不同象限内函数值的符号。 二次函数与几何图形的综合应用（简单） 能解决二次函数图象与简单几何图形（如三角形、四边形）结合的问题，例如求图形的面积、判断图形的形状、利用几何图形的性质求函数解析式中的参数等 命题趋势：有一定难度，是拉开差距的题目之一，考查学生综合运用知识的能力，常涉及动态几何、存在性问题等。 易错点：不会将几何条件转化为代数条件；计算量大时容易出错；缺乏分类讨论思想。 知识点01 二次函数表达式 一般式：（），适用于已知图像上任意三点坐标求函数解析式。 顶点式：（），其中 (h, k) 是抛物线的顶点坐标。适用于已知顶点坐标或对称轴时求函数解析式。 交点式（两根式）：（），其中、 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时求函数解析式。 示例：已知抛物线顶点为 ( )，且过点 (2, 1) ，可设顶点式，代入点 (2, 1) 得，解得 a = 3 ，所以解析式为。 知识点02 二次函数图像与性质 图像：抛物线。 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。 |a| 越大，抛物线开口越窄； |a| 越小，抛物线开口越宽。 顶点坐标：对于一般式，顶点坐标为；对于顶点式，顶点坐标为 (h, k) 。 对称轴：直线（一般式）或直线 x = h （顶点式）。 增减性：当 a > 0 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大。 当 a < 0 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小。 最值：当 a > 0 时，抛物线有最低点，当时， y 有最小值，。 当 a < 0 时，抛物线有最高点，当时， y 有最大值，。 示例：对于二次函数，( a = -1 < 0 )，开口向下；对称轴为；顶点坐标为；当 x = 2 时， y 有最大值 3；当 x < 2 时，( y ) 随 x 的增大而增大，当 x > 2 时， y 随 x 的增大而减小。 易错点：描述增减性时，必须明确是在对称轴的哪一侧，不能笼统地说 y 随 x 的增大而增大或减小”。 知识点03 二次函数与坐标轴的交点 与 y 轴交点：令 x = 0 ，则 y = c ，交点坐标为 (0, c) 。 与 x 轴交点：令 y = 0 ，则。 当时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个不同的交点。 当时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上）。 当时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 示例：二次函，与 y 轴交点为 ( )；令 y = 0 ，得，，解得，，所以与 x 轴交点为 ( ) 和 (3, 0)。 知识点04 反比例函数图像与性质 图像：双曲线，由两条曲线组成。 分布象限： 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限。 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 增减性： 当 k > 0 时，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小。 当 k < 0 时，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大。 对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线 y = x 和 y = -x 。 与坐标轴的关系：双曲线不与坐标轴相交，即与x 轴、 y 轴没有交点，但无限接近坐标轴。 示例：对于反比例函数，( k = 4 > 0 )，图像位于第一、三象限；在第一象限内，当 x 从 1 增大到 2 时， y 从 4 减小到 2，即 y 随 x 的增大而减小。对于，( k = -2 < 0 )，图像位于第二、四象限；在第二象限内，当 x 从 -3 增大到 -1 时（ x 的值在增大）， y 从增大到 2，即 y 随 x 的增大而增大。 易错点：描述反比例函数的增减性时，必须强调“在每一象限内”，不能说“在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小或增大”。例如对于，不能说“当，时，因为，所以，所以 y 随 x 的增大而增大”，因为和不在同一象限。 知识点05 比例系数 k 的几何意义 过反比例函数（）图像上任意一点 P(x, y) ，作 PA ⊥x 轴于点 A ， PB ⊥ y 轴于点B ，则矩形OAPB 的面积。三角形OAP 或三角形 OBP 的面积为。 示例：点P(2, m)是反比例函数图像上一点，过P 作 PE ⊥ x 轴 E 则的面积为 3。因为，所以 ，即。又因为点P(2, m)的横坐标为正，若在第一象限则 ( k > 0 )，若在第四象限则 ( k < 0 )，所以 k = 6 或 k = -6 。 知识点06 二次函数与反比例函数的区别与联系 项目 二次函数 反比例函数 表达式 （） （） 图像形状 抛物线 双曲线 自变量取值范围 全体实数 的一切实数 函数值取值范围 当 ( a > 0 ) 时，；当 ( a < 0 ) 时，的一切实数 的一切实数 单调性 在对称轴两侧单调性相反（需指明区间） 在每一象限内单调（需指明象限和增减方向） 最值 有最大值或最小值（当时） 无最大值和最小值 与坐标轴交点 与 y 轴有一个交点，与 x 轴可能有 0 个、1 个或 2 个交点 与坐标轴没有交点 题型一 正比例函数的概念与解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 正比例函数的一般形式为(k)是常数，），其本质特征是两个变量的比值为非零常数。 2. 若题目中明确两个变量成正比例关系，则可直接设函数解析式为，再利用已知条件求出k的值。 3. 当给出函数图像经过某一点时，将该点坐标代入中，即可得到关于k的方程，解方程求出k。 4. 注意k的取值范围，k不能为零，否则函数就不是正比例函数。 【典例1】已知y与x成正比例，且当时，，求y与x之间的函数关系式。 【变式1】若函数是正比例函数，求m的取值范围。 【变式2】已知正比例函数的图像经过点，求此函数的解析式。 题型二 相题型二 反比例函数的概念与解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 反比例函数的一般形式为（k是常数，），也可表示为或（）。 2. 若两个变量x、y满足（k为常数且），则y是x的反比例函数。 3. 求反比例函数解析式时，通常已知函数图像经过某一点，将该点坐标代入中，求出k的值即可。 4. 确定k的值后，要注意检查k是否为零，确保函数为反比例函数。 【典例】已知反比例函数的图像经过点，求这个反比例函数的解析式。 【变式1】若函数是反比例函数，求m的值。 【变式2】已知变量x与y成反比例，且当时，，求当时，y的值。 题型三 正比例函数与反比例函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 1. 正比例函数（）的图像是过原点的一条直线：当k > 0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k < 0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2. 反比例函数（）的图像是双曲线：当k > 0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k < 0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。 3. 比较正比例函数与反比例函数性质时，要注意反比例函数的增减性是在“每一象限内”讨论的，而正比例函数的增减性是在整个定义域内。 4. 根据函数的图像位置或增减性，可以确定比例系数k的正负。 【典例】下列关于正比例函数和反比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 正比例函数的图像经过第一、三象限 B. 反比例函数的图像在第一、三象限 C. 正比例函数中，y随x的增大而增大 D. 反比例函数中，在每一象限内，y随x的增大而增大 【变式1】已知正比例函数的图像经过第一、三象限，求k的取值范围。 【变式2】反比例函数，当x > 0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围。 题型四 正比例函数与反比例函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 求正比例函数与反比例函数的交点坐标，可联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到交点坐标。 2. 联立方程组（，），消去y可得，即，。当时，方程有两个不相等的实数根，两函数有两个交点；当时，方程无解；当时，方程无实数根，两函数无交点。 【典例】求正比例函数与反比例函数的交点坐标。 【变式1】若正比例函数与反比例函数有一个交点的坐标是(1, 3)，求另一个交点的坐标。 【变式2】已知正比例函数与反比例函数没有交点，求k的取值范围。 题型五 利用正比例函数和反比例函数解决实际问题 解｜题｜技｜巧 1. 解决实际问题时，首先要分析题意，找出题目中的变量关系，判断是正比例关系还是反比例关系。 2. 根据变量关系设出函数解析式，如正比例函数设为，反比例函数设为。 3. 从题目中找出已知条件，代入函数解析式求出比例系数k的值，确定函数解析式。 4. 利用求出的函数解析式解决问题，注意自变量的取值范围要符合实际意义。 【典例】某工厂制作一批零件，每天制作的零件数x（个）与需要的天数y（天）成反比例关系，且当时，。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要在10天内完成这批零件的制作，每天至少需要制作多少个零件？ 【变式1】小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系。 （1）写出v与t之间的函数关系式； （2）若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 【变式2】某长方体的体积为，长方体的底面积S（）与高h(cm)成反比例关系。 （1）求S与h之间的函数关系式； （2）当长方体的高为10cm时，求底面积S。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 3．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 4．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．与轴有两个交点 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 7．如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（   ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤ 8．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 12．玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元． (1)当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ (2)若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值． 13．定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． (1)若7是这个函数的“幸运数”，求的值． (2)若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围为___________． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数和反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念 能准确理解二次函数的定义，会判断一个函数是否为二次函数，并能确定二次函数的各项系数（a、b、c） 易错点：忽略二次项系数a≠0的条件；对二次函数一般形式的理解不透彻，特别是各项系数的符号和取值范围易混淆。 二次函数的图象与性质（开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值） 能根据二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）准确画出其图象的草图；能熟练说出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴；能结合图象分析函数的增减性，并求出函数在给定区间内的最大值或最小值 命题趋势：常结合函数图象考查性质，强调数形结合思想的应用；最值问题常与实际应用相结合，需要注意自变量的取值范围对最值的影响。 易错点：求顶点坐标时配方或公式法运用错误；对增减性的描述忽略对称轴和开口方向；在非全体实数范围内求最值时容易出错。 用待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式） 能根据不同的已知条件（如已知三点坐标、顶点坐标和另一点坐标、与坐标轴交点坐标等），灵活选择合适的解析式形式（一般式、顶点式、交点式），并用待定系数法准确求出二次函数的解析式 命题趋势：是解决二次函数综合题的基础，常与函数性质、几何图形等结合考查。 易错点：选择不合适的解析式形式导致计算繁琐或无法求解；解方程组时计算粗心出错。 二次函数与一元二次方程的关系 能理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系，即函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的根；能根据判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数；能利用韦达定理解决与二次函数和方程相关的简单问题 易错点：对二者关系理解不深刻，不能灵活转化；利用韦达定理时忘记前提条件（判别式≥0）。 二次函数的实际应用（如最大利润、最大面积等） 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确自变量和因变量的实际意义及取值范围；能运用二次函数的性质解决实际问题中的最大（小）值问题，并对结果的合理性进行检验 命题趋势：是期末考试的重点和难点，常以应用题形式出现，背景材料多样，贴近生活。易错点：审题不清，不能正确列出函数关系式；忽略自变量的实际取值范围，导致求得的最值不符合实际情况；计算错误。 反比例函数的概念 能准确理解反比例函数的定义（y=，k为常数，k≠0），会判断一个函数是否为反比例函数，并能确定比例系数k 易错点：忽略比例系数k≠0的条件；对反比例函数的几种等价形式掌握不牢。 用待定系数法求反比例函数的解析式 能根据已知条件（如已知图象上一点的坐标），用待定系数法准确求出反比例函数的解析式 命题趋势：相对基础，常独立考查或作为综合题的一部分。 易错点：计算比例系数k时出错。 反比例函数与一次函数的综合应用 能解决反比例函数与一次函数的交点问题（求交点坐标、判断交点个数）；能结合图象比较两个函数值的大小；能解决与这两种函数相关的简单几何图形问题或实际应用问题 命题趋势：是反比例函数部分的重点考查内容，常结合图象、性质、几何图形等进行综合考查，强调数形结合思想。 易错点：解由两个函数解析式组成的方程组时计算出错；比较函数值大小时，忽略交点的分界作用和不同象限内函数值的符号。 二次函数与几何图形的综合应用（简单） 能解决二次函数图象与简单几何图形（如三角形、四边形）结合的问题，例如求图形的面积、判断图形的形状、利用几何图形的性质求函数解析式中的参数等 命题趋势：有一定难度，是拉开差距的题目之一，考查学生综合运用知识的能力，常涉及动态几何、存在性问题等。 易错点：不会将几何条件转化为代数条件；计算量大时容易出错；缺乏分类讨论思想。 知识点01 二次函数表达式 一般式：（），适用于已知图像上任意三点坐标求函数解析式。 顶点式：（），其中 (h, k) 是抛物线的顶点坐标。适用于已知顶点坐标或对称轴时求函数解析式。 交点式（两根式）：（），其中、 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时求函数解析式。 示例：已知抛物线顶点为 ( )，且过点 (2, 1) ，可设顶点式，代入点 (2, 1) 得，解得 a = 3 ，所以解析式为。 知识点02 二次函数图像与性质 图像：抛物线。 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。 |a| 越大，抛物线开口越窄； |a| 越小，抛物线开口越宽。 顶点坐标：对于一般式，顶点坐标为；对于顶点式，顶点坐标为 (h, k) 。 对称轴：直线（一般式）或直线 x = h （顶点式）。 增减性：当 a > 0 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大。 当 a < 0 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小。 最值：当 a > 0 时，抛物线有最低点，当时， y 有最小值，。 当 a < 0 时，抛物线有最高点，当时， y 有最大值，。 示例：对于二次函数，( a = -1 < 0 )，开口向下；对称轴为；顶点坐标为；当 x = 2 时， y 有最大值 3；当 x < 2 时，( y ) 随 x 的增大而增大，当 x > 2 时， y 随 x 的增大而减小。 易错点：描述增减性时，必须明确是在对称轴的哪一侧，不能笼统地说 y 随 x 的增大而增大或减小”。 知识点03 二次函数与坐标轴的交点 与 y 轴交点：令 x = 0 ，则 y = c ，交点坐标为 (0, c) 。 与 x 轴交点：令 y = 0 ，则。 当时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个不同的交点。 当时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上）。 当时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 示例：二次函，与 y 轴交点为 ( )；令 y = 0 ，得，，解得，，所以与 x 轴交点为 ( ) 和 (3, 0)。 知识点04 反比例函数图像与性质 图像：双曲线，由两条曲线组成。 分布象限： 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限。 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 增减性： 当 k > 0 时，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小。 当 k < 0 时，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大。 对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线 y = x 和 y = -x 。 与坐标轴的关系：双曲线不与坐标轴相交，即与x 轴、 y 轴没有交点，但无限接近坐标轴。 示例：对于反比例函数，( k = 4 > 0 )，图像位于第一、三象限；在第一象限内，当 x 从 1 增大到 2 时， y 从 4 减小到 2，即 y 随 x 的增大而减小。对于，( k = -2 < 0 )，图像位于第二、四象限；在第二象限内，当 x 从 -3 增大到 -1 时（ x 的值在增大）， y 从增大到 2，即 y 随 x 的增大而增大。 易错点：描述反比例函数的增减性时，必须强调“在每一象限内”，不能说“在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小或增大”。例如对于，不能说“当，时，因为，所以，所以 y 随 x 的增大而增大”，因为和不在同一象限。 知识点05 比例系数 k 的几何意义 过反比例函数（）图像上任意一点 P(x, y) ，作 PA ⊥x 轴于点 A ， PB ⊥ y 轴于点B ，则矩形OAPB 的面积。三角形OAP 或三角形 OBP 的面积为。 示例：点P(2, m)是反比例函数图像上一点，过P 作 PE ⊥ x 轴 E 则的面积为 3。因为，所以 ，即。又因为点P(2, m)的横坐标为正，若在第一象限则 ( k > 0 )，若在第四象限则 ( k < 0 )，所以 k = 6 或 k = -6 。 知识点06 二次函数与反比例函数的区别与联系 项目 二次函数 反比例函数 表达式 （） （） 图像形状 抛物线 双曲线 自变量取值范围 全体实数 的一切实数 函数值取值范围 当 ( a > 0 ) 时，；当 ( a < 0 ) 时，的一切实数 的一切实数 单调性 在对称轴两侧单调性相反（需指明区间） 在每一象限内单调（需指明象限和增减方向） 最值 有最大值或最小值（当时） 无最大值和最小值 与坐标轴交点 与 y 轴有一个交点，与 x 轴可能有 0 个、1 个或 2 个交点 与坐标轴没有交点 题型一 正比例函数的概念与解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 正比例函数的一般形式为(k)是常数，），其本质特征是两个变量的比值为非零常数。 2. 若题目中明确两个变量成正比例关系，则可直接设函数解析式为，再利用已知条件求出k的值。 3. 当给出函数图像经过某一点时，将该点坐标代入中，即可得到关于k的方程，解方程求出k。 4. 注意k的取值范围，k不能为零，否则函数就不是正比例函数。 【典例1】已知y与x成正比例，且当时，，求y与x之间的函数关系式。 分析与解答：因为y与x成正比例，所以设函数关系式为（）。将，代入，可得，解得。因此，y与x之间的函数关系式为。 答案： 【变式1】若函数是正比例函数，求m的取值范围。 分析与解答：根据正比例函数的定义，形如(k)是常数，的函数是正比例函数。所以在函数中，m - 1是比例系数k，则，解得。 答案： 【变式2】已知正比例函数的图像经过点，求此函数的解析式。 分析与解答：设该正比例函数的解析式为（）。因为函数图像经过点，所以将，代入解析式中，得到，解得。故此正比例函数的解析式为。 答案： 题型二 相题型二 反比例函数的概念与解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 反比例函数的一般形式为（k是常数，），也可表示为或（）。 2. 若两个变量x、y满足（k为常数且），则y是x的反比例函数。 3. 求反比例函数解析式时，通常已知函数图像经过某一点，将该点坐标代入中，求出k的值即可。 4. 确定k的值后，要注意检查k是否为零，确保函数为反比例函数。 【典例】已知反比例函数的图像经过点，求这个反比例函数的解析式。 分析与解答：因为反比例函数的图像经过点，所以将，代入，可得，解得。因此，这个反比例函数的解析式为。 答案： 【变式1】若函数是反比例函数，求m的值。 分析与解答：反比例函数可表示为（），所以对于函数，需满足。解第一个方程，得，。又因为，所以，则。 答案： 【变式2】已知变量x与y成反比例，且当时，，求当时，y的值。 分析与解答：因为x与y成反比例，所以设（）。将，代入，得，解得，所以反比例函数解析式为。当时，。 答案：-21 题型三 正比例函数与反比例函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 1. 正比例函数（）的图像是过原点的一条直线：当k > 0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k < 0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2. 反比例函数（）的图像是双曲线：当k > 0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k < 0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。 3. 比较正比例函数与反比例函数性质时，要注意反比例函数的增减性是在“每一象限内”讨论的，而正比例函数的增减性是在整个定义域内。 4. 根据函数的图像位置或增减性，可以确定比例系数k的正负。 【典例】下列关于正比例函数和反比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 正比例函数的图像经过第一、三象限 B. 反比例函数的图像在第一、三象限 C. 正比例函数中，y随x的增大而增大 D. 反比例函数中，在每一象限内，y随x的增大而增大 分析与解答：对于正比例函数，因为，所以图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故A、C错误。对于反比例函数，因为，所以图像的两支分别在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故B错误，D正确。 答案：D 【变式1】已知正比例函数的图像经过第一、三象限，求k的取值范围。 分析与解答：正比例函数（），当k > 0时，图像经过第一、三象限。所以在函数中k - 1 > 0，解得k > 1。 答案：k > 1 【变式2】反比例函数，当x > 0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围。 分析与解答：对于反比例函数（），当k > 0时，在每一象限内，y随x的增大而减小。已知当x > 0时，y随x的增大而减小，所以m > 0。 答案：m > 0 题型四 正比例函数与反比例函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 求正比例函数与反比例函数的交点坐标，可联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到交点坐标。 2. 联立方程组（，），消去y可得，即，。当时，方程有两个不相等的实数根，两函数有两个交点；当时，方程无解；当时，方程无实数根，两函数无交点。 【典例】求正比例函数与反比例函数的交点坐标。 分析与解答：联立两个函数的解析式：。将代入，得，两边同乘x（）得，，解得或。当时，y = 2×2 = 4；当时，y = 2×(-2) = -4。所以交点坐标为(2, 4)和。 答案：(2, 4)和 【变式1】若正比例函数与反比例函数有一个交点的坐标是(1, 3)，求另一个交点的坐标。 分析与解答：因为正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知一个交点坐标是(1, 3)，所以另一个交点的坐标是。 答案： 【变式2】已知正比例函数与反比例函数没有交点，求k的取值范围。 分析与解答：联立方程组，消去y得，即。若两函数没有交点，则方程无解。当k < 0时，，因为，所以方程无实数解，即两函数没有交点。 答案：k < 0 题型五 利用正比例函数和反比例函数解决实际问题 解｜题｜技｜巧 1. 解决实际问题时，首先要分析题意，找出题目中的变量关系，判断是正比例关系还是反比例关系。 2. 根据变量关系设出函数解析式，如正比例函数设为，反比例函数设为。 3. 从题目中找出已知条件，代入函数解析式求出比例系数k的值，确定函数解析式。 4. 利用求出的函数解析式解决问题，注意自变量的取值范围要符合实际意义。 【典例】某工厂制作一批零件，每天制作的零件数x（个）与需要的天数y（天）成反比例关系，且当时，。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要在10天内完成这批零件的制作，每天至少需要制作多少个零件？ 分析与解答：（1）因为每天制作的零件数x与需要的天数y成反比例关系，所以设（）。将，代入，得，解得。所以y与x之间的函数关系式为。 （2）当时，，解得。所以每天至少需要制作100个零件。 答案：（1）；（2）100 【变式1】小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系。 （1）写出v与t之间的函数关系式； （2）若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 分析与解答：（1）因为路程 = 速度×时间，已知路程为1200米，所以，即(t > 0)。 （2）当时，，解得。所以他从家到学校需要20分钟。 答案：（1）(t > 0)；（2）20分钟 【变式2】某长方体的体积为，长方体的底面积S（）与高h(cm)成反比例关系。 （1）求S与h之间的函数关系式； （2）当长方体的高为10cm时，求底面积S。 分析与解答：（1）因为长方体的体积等于底面积乘以高，已知体积为200 cm³，且底面积S与高h成反比例关系，所以可得，变形可得(h>0)。 （2）当 cm时，将代入中，可得，即底面积S为20 cm²。 答案：（1） (h>0)；（2）20 cm² 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把抛物线向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”是解题关键． 根据抛物线的平移规律：左加右减，对于水平平移，向左平移时在x上加平移单位． 【详解】解：∵抛物线 向左平移2个单位， ∴新解析式为 ． 故选：D． 2．关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数和轴交点问题， 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断图像与x轴的交点个数． 【详解】解：∵二次函数 ∴判别式． ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像与x轴有两个交点． 故选：C． 3．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为， 故选：D． 4．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．与轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据二次函数的顶点式形式，直接判断开口方向、顶点坐标、增减性和与轴的交点情况。 【详解】解：∵ 函数为顶点式， ∴ 顶点坐标为，故B正确； ∵ ， ∴ 开口向上，故A错误； ∵ 对称轴为 ，且开口向上， ∴ 当时，随增大而增大，故C错误； 令，得，即，无实数解， ∴ 与轴无交点，故D错误； 因此，正确答案为B． 故选：B． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 7．如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（   ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到；进而得到同号，再有抛物线开口向上，与轴交于负半轴，可得，，从而得到；再由抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，可得抛物线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当时，，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即同号， ∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当时，， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时随的增大而增大， 又当时，， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； 综上，正确的有①⑤⑥． 故选：C． 8．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数值的计算与比较，关键是根据函数解析式求值并排序． 通过计算各函数在给定x值处的y值，并比较大小，判断是否满足． 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 9．已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握该知识点是解题的关键．根据的开口向上，对称轴为，那么距离对称轴越近，其函数值越小，据此作答即可． 【详解】解：∵，其中， ∴其对称轴为，图象开口向上， ∵，，是二次函数的图象上的三个点， 且，，，， ∴， 故选：A． 10．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为； (2)8； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴的交点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把点B的坐标代入代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为或． 12．玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元． (1)当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ (2)若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值． 【答案】(1)当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元． (2)a的值为2． 【分析】（1）根据利润利润单价数量直接列式即可得到答案； （2）首先表示出收取费用后的日获利，然后根据函数的性质直接求解即可得到答案； 本题考查二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：日获利 ∵ ∴二次函数开口向下， ∴当时，w最大值为500． 答：当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元． （2）解：收取费用后，日获利 ∴顶点横坐标 根据题意，时日获利最大， ∴ 解得． 13．定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． (1)若7是这个函数的“幸运数”，求的值． (2)若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到抛物线经过点，将点代入求解即可； （2）由题意得抛物线经过点，并在直线上，令，根据求得，而，则当时，，即可求解． 【详解】（1）解：若7是这个函数的“幸运数”，则抛物线经过点， ∴将点代入，得， 解得：． （2）解：点、在直线上，设， 整理得， ∵函数有两个相异的“幸运数”、， ， 解得， 设， ，， 图象开口向上， 时，， 解得， 综上，的取值范围是． 14．在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图像和性质， （1）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值，进而得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， 将代入函数关系式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大， 令，， ∴． 故答案为：． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)面积的最大值为4，此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． （2）解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $