1.3.1两条直线的相交平行与重合（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

1.3.1两条直线的 相交平行与重合 第1章 坐标平面上的直线 沪教版2020选择性必修第一册·高二 学习目标 教学重点：掌握两条直线相交、平行与重合的判定方法，明确判定条件。 教学难点：斜率不存在时两直线位置关系的判定，分类讨论的严谨性。 理解两条直线三种位置关系的定义，明确判定核心； 掌握两种判定方法，能熟练判断直线位置关系； 体会分类讨论思想，提升代数与几何转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：三种位置关系判定逻辑的提炼； 逻辑推理：分类讨论的必要性及判定条件推导； 数学运算：方程联立判别式求解； 直观想象：直线位置关系的几何直观感知； 数学建模：实际情境中直线位置关系的模型构建。 新知引入 点斜式 斜截式 两点式 一般式 点法式 直线方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 已知条件 直线上一定点 ,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 系数 点， 法向量 适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 任何位置 任何位置 直线的方程 新知引入 我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式. 问题1：（1）点(1,3)在直线上吗？ （2）点(1,3)在直线上吗？ （3）直线与直线交点坐标是？ 【答案】 (1) 在； (2) 在； (3) (1,3) 追问：我们已经知道了直线方程，点与线之间的关系，那么平面内两条直线间有什么位置关系，我们依照什么来判定呢？ 新知引入 在平面几何中，可依据公共点的个数判定两条直线的三种位置关系： 如果两条直线无公共点，那么这两条直线平行； 如果两条直线有且只有一个公共点，那么这两条直线相交； 如果两条直线至少有两个不同的公共点，那么这两条直线重合为一条直线，即有无穷多个公共点。 思考：但用平面几何方法来判断两条直线是否有公共点、有多少个公共点，有时候并不是一件容易的事。能否用代数方法解决呢？ 新知探究 问题2： 思考：1、上述方程组所表示的两条直线的公共点个数？ 2、如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 新知探究 问题3：已知两条直线，：相交， 它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？ 直线和相交 直线和存在唯一交点，记为 点既在上，又在上 即为方程组唯一解 解：联立方程组； 解得， ∴和交点坐标为 新知探究 点在直线上 点的坐标是直线方程的解. 是l1与l2的交点 是方程 的解. 是方程 的解. 是方程组 的解. 求两直线的交点, 只需解对应的方程组即可. 设直线，：，,既在又在上。 新知探究 交点个数与直线位置关系： 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 练习巩固 辨析1：直线和直线的交点坐标是( ). . . . . 【答案】 辨析2：在下列直线中，与直线相交的直线为( ). . . . . 【答案】 练习巩固 辨析3：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： ， 解：解方程组得 所以，与的交点是.(如图) 新知探究 思考：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？ 直线位置关系 斜率 解方程 关注直线方程系数关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 关注解的个数与交点的个数的对应， 判断两条直线平行或相交； 求相交直线交点坐标. 新知探究 追问：你能由此推导，：，，平行、相交、重合对应的充要条件吗？ 新知探究 如果的方程中三个系数、与均不为零，那么上述的充要条件可以写成更易于记忆的形式： 与重合 与相交 典例精讲 例1：判断下列两条直线的位置关系。若相交，求交点坐标。 （1），； （2），. 解：（1）因为，所以。 （2）因为与的斜率分别为,,则，所以两条直线相交 解方程组，得 所以，两条直线的交点坐标为 练习巩固 练习1：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)， (2) (3)，. 解：(1)解方程组得 所以，与相交，交点是. 练习巩固 练习1：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (2) (3)，. 解：(2)解方程组 ，得，矛盾， 这个方程组无解，所以与无公共点，. (3)解方程组 得 和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，与重合. 典例精讲 例2：已知直线,,求实数的取值范围，使得： （1）与相交； （2）； （3）与重合 解：（1）因为与相交的充要条件是，所以先解方程，得或。于是有： （1）当且时，与相交。 （2）当时，因为,所以。 （3）当时，因为,所以与重合 练习巩固 练习2：已知直线与直线平行，求的值； 解：由，知： ①当时，显然与不平行； ②当时，，需. 解得或， ∴的值为或. 练习巩固 变式2：在方程中，为何值时，方程表示的直线： ①平行于轴？ ②平行于轴？ ③与轴重合？ ④与轴重合？ ①此时， ②此时不存在， ③，此时 ④，此时不存在， 练习巩固 练习3：直线经过原点, 且经过直线与直线的交点, 求直线的方程. 解：由已知可设直线方程为 因为直线经过原点，代入得 即 所以，直线方程为即 练习巩固 变式3：求证：无论为何实数，直线过某一定点 解：由直线方程变形，可得 由，得 所以，直线过定点 小结 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 解下列方程组： （1） ；（2） ；（3） ． $