6.4平行线（4）-平行线的性质 教学设计 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦平行线的性质定理1（两直线平行，同位角相等）和定理2（内错角相等、同旁内角互补），通过回顾平行线判定方法反向提问，搭建从“角的数量关系判定线平行”到“线平行推导角数量关系”的学习支架。 特色是用“剪拼测量”实验活动直观探索性质定理1，培养几何直观与空间观念，结合推理证明性质定理2发展推理能力。练习含中考真题，注重性质与判定的区别应用，提升学生应用意识与逻辑表达，帮助教师高效教学，夯实几何基础。

6.4平行线（4）-平行线的性质 【教学目标】 1.通过操作，直观发现并掌握平行线的性质定理1;探索并证明平行线的性质定理2. 2.通过平行线的性质定理2的探索过程，发展空间观念、推理能力以及有条理的表达能力。 【教学重点】 理解平行线的性质定理1、平行线的性质定理2. 【教学难点】 平行线的性质定理1的探索过程. 教学过程： 【情景创设】 我们已经知道了平行线的判定方法，例如“同位角相等，两直线平行”.反过来，如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等吗? 【数学实验室】 活动一、平行线的性质定理1 1、 如图，直线a//b，画一条直线c与它们相交，∠1=∠2吗？ ( 把其中一个角剪下来， 移到另一个角的位置， 可以重合。 ) ( 用量角器测量， ∠ 1和 ∠ 2相等。 ) （利用《实验手册》实验23中的透明纸剪拼，比较角的大小） 事实上，可以通过证明得到（证明过程在书本P190阅读，学生了解即可） 平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．（简单说成：两直线平行，同位角相等．） 几何语言：因为a// b，所以∠1＝∠2 活动二、平行线的性质定理2 根据平行线的性质定理1，也可以得到内错角相等、同旁内角互补。 可以利用透明纸先操作剪拼，再进行证明。 如图，直线a,b被直线c所截，a//b。 因为a // b, 所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等). 因为∠1与∠3是对顶角， 所以∠1=∠3. 这样，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3. 由∠1=∠2，∠1+∠4=180°，可得∠2+∠4=180° . 于是，我们得到平行线的性质定理2: 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．（简单说成：两直线平行，内错角相等．） 几何语言：因为a// b，所以∠2＝∠3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．（简单说成：两直线平行，同旁内角互补．） 几何语言：因为a// b，所以∠2+∠4 =180° 2、小组讨论：平行线的性质与判定的区别与联系 平行线的条件是由“角的数量关系”得出“线的位置关系”，即把角的相等或互补作为判定两直线平行的依据，因此，角相等或互补是条件，两直线平行是结论； 平行线的性质是由“线的位置关系” 得出“角的数量关系”，即两直线平行是条件，角相等或互补是结论． 平行线的判定定理与性质定理是互逆的命题，学生初次接触，本节课未做强化，七下会专题研究。 活动三、平行线的性质定理的应用 例4. 如图，直线AB//CD，EF⊥AB.判断直线EF是否与CD垂直，并说明理由. 练习1.如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数． 例5. 如图，AB//CD,∠A=∠D.判断AF与ED 是否平行，并说明理由。 讨论：比较平行线的判定定理与性质定理，它们之间有什么关系？ 练习：2.如图，点B,C,D在一条直线上，AB//EC，∠A=55°，∠B=60°.求∠1，∠2和∠ACB的大小。 3.如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与CF有怎样的位置关系？并证明； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？ 【课堂反馈】 1．（2025秋•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠D的度数为（　　） A．65° B．57.5° C．50° D．45° 2．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝52°，则下列结论正确的是（　　） A．∠3＝48° B．∠4＝132° C．∠5＝48° D．∠2＝52° 3．（2025春•广东校级期中）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．45° 4．（2025秋•北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 5.（2024秋•鼓楼区期末）如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 　 　 ． 6．（2025•岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　 　 °． 7．（2025春•安国市期末）如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　 　 ． 8．（2024秋•通许县期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　 　 ． 9．（2024秋•酒泉校级期末）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数． 10．（2025春•怀化期末）如图，已知AB∥DE，∠BAE＝∠EDC，AD⊥AE，垂足为A． 填空并在括号内填写理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠BAE＝　 　 （　 　 ）， ∵∠BAE＝∠EDC（已知）， ∴　 　 （等量代换）． ∴　 　 （　 　 ）， ∴∠EAD+∠ADC＝180°（　 　 ）， 又∵AD⊥AE（已知）， ∴∠EAD＝　 　 （垂直的定义）． ∴∠ADC＝　 　 ． 11．（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 12．（2025春•濮阳期末）如图，∠AOB内部有一点P．请根据要求完成下列问题： 过点P画直线PC∥OB，交OA于点C；画直线PD∥OA′，交OB于点D． （1）写出图中一个与∠O互补的角：　 　 ； （2）图中与∠O相等的角（不包括∠O）有　 　 ； A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 （3）请证明∠CPD＝∠O，并写出每一步的理由． 平行线4例题和练习的答案 参考答案与试题解析 例4．如图，直线AB∥CD，EF上AB．判断直线EF是否与CD垂直，并说明理由． 解：EF⊥CD，理由如下： ∵EF⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠EPD＝∠EOB＝90°， ∴EF⊥CD． 练习1．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数． 解：（1）DG∥BC，理由如下： ∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴∠CBD＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠CBD＝∠1， ∴DG∥BC； （2）∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ADG＝40°， ∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠1＝50°． 例5．如图，AB∥CD，∠A＝∠D．试判断AF与ED是否平行，并说明理由． 解：AF∥ED，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠AFC， ∵∠A＝∠D， ∴∠D＝∠AFC， ∴AF∥ED． 练习2．如图，点B，C，D在一条直线上，AB∥EC，∠A＝55°，∠B＝60°．求∠1，∠2和∠ACB的大小． 解：∵AB∥EC， ∴∠1＝∠A＝55°，∠2＝∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°． 3．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 解：（1）DE∥AB；理由如下： ∵AB∥CF，∠ACF＝80°， ∴∠BAC＝∠ACF＝80°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， ∵∠ADE＝120°， ∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°， ∴DE∥AB． （2）DE∥AB，∠CED＝71°， ∴∠B＝∠CED＝71°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°． 6.4平行线（4）----性质课堂反馈 参考答案与试题解析 1．（2025秋•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠D的度数为（　C　）A．65° B．57.5° C．50° D．45° 2．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝52°，则下列结论正确的是（　D　） A．∠3＝48° B．∠4＝132° C．∠5＝48° D．∠2＝52° 3．（2025春•广东校级期中）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（　B　） A．50° B．40° C．30° D．45° 4．（2025秋•北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　D　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 5．（2024秋•鼓楼区期末）如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 　经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　 ． 6．（2025•岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　35　 °． 7．（2025春•安国市期末）如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　31°　 ． 8．（2024秋•通许县期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　180°　 ． 9．（2024秋•酒泉校级期末）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数． 解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°，∠D＝∠BAD． ∴∠CAB＝180°﹣80°＝100°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC100°＝50°， ∴∠D＝∠BAD＝50°． 10．（2025春•怀化期末）如图，已知AB∥DE，∠BAE＝∠EDC，AD⊥AE，垂足为A． 填空并在括号内填写理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠BAE＝　∠AED （　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵∠BAE＝∠EDC（已知）， ∴　∠AED＝∠EDC （等量代换）． ∴AE∥DC （　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠EAD+∠ADC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 又∵AD⊥AE（已知）， ∴∠EAD＝　90°　 （垂直的定义）． ∴∠ADC＝　90°　 ． 11．（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． （1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 48．（2025春•濮阳期末）如图，∠AOB内部有一点P．请根据要求完成下列问题： 过点P画直线PC∥OB，交OA于点C；画直线PD∥OA′，交OB于点D． （1）写出图中一个与∠O互补的角：　∠OCP（或∠ODP）　 ； （2）图中与∠O相等的角（不包括∠O）有C ； A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 （3）请证明∠CPD＝∠O，并写出每一步的理由． 解：（1）如图所示： 由条件可知∠O+∠OCP＝180°， 同理：∠O+∠ODP＝180°， ∴∠OCP与∠O互补，∠ODP与∠O互补； （2）由条件可知∠O＝∠ACP，∠O＝2， ∵PD∥OA， ∴∠O＝∠BDP，∠O＝∠3，∠ACP＝∠CPD，∠ACP＝∠1， ∴∠O＝∠1，∠O＝∠CPD， 综上：图中与∠O相等的角（不包括∠O）有6个； （3）∵PC∥OB（已知）， ∴∠O＝∠ACP（两直线平行，同位角相等）， 由条件可知∠ACP＝∠CPD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠O＝∠CPD（等量代换）． 学科网（北京）股份有限公司 $