7.3.3 函数y=Asinωx+φ-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

7.3.3 函数 新课导入 明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理.如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，筒车从点运动到点.设点距水面的高度为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，转动的角速度为 ，则.这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 学习目标 1.理解中 ， ，对图象的影响. 2.掌握与图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 3.会用“五点法”画函数的图象. 4.能根据函数的部分图象确定其解析式. 5.整体把握函数的图象与性质，并能解决有关问题. 第1课时 函数的图象及变换 新知学习 探究 一 参数对图象的影响 思考．观察如图所示的图象，比较函数与函数的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示 两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象. ［知识梳理］ 1． 对,的图象的影响 一般地,函数的图象可以看作是将函数的图象上所有的点①_ _ _ _ （当时）或②_ _ _ _ （当时）平移个单位长度而得到的. 【答案】向左； 向右 2．对且的图象的影响 一般地,函数且的图象,可以看作是将函数的图象上所有点的③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （横坐标不变）而得到的. 【答案】纵坐标变为原来的 倍 3． 对且的图象的影响 一般地,函数且的图象,可以看作是将函数的图象上所有点的④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （纵坐标不变）而得到的. 【答案】横坐标变为原来的 倍 4．由的图象如何得到的图象 一般地,函数的图象,可以看作是将函数的图象上所有的点⑤_ _ _ _ （当时）或⑥_ _ _ _ （当时）平移⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 个单位长度而得到的. 【答案】向左； 向右； 角度1 平移变换 ［例1］ （1） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 （2） 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） A 【解析】 （1） 函数 ，， 将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度， 得到 的图象. （2） 由题意 是偶函数，所以 ,，解得，, 又，所以,. 三角函数图象平移变换问题的分类及策略 （1）确定函数的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. （2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. ［跟踪训练1］． （1） 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 （2） 将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.因为,所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位长度. （2） 将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为. 角度2 伸缩变换 ［例2］ （1） 为了得到函数的图象，需将函数的图象上各点的（ ） A. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍 B. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的 C. 横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍 D. 横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的 （2） 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得函数图象的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 由题意，将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的3倍，得到函数 的图象；再把函数 的图象上所有点的纵坐标变为原来的，得到函数 的图象. （2） 将函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到 的图象. （1）由的图象得到的图象,只需把的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍即可.这类变换通常称为振幅变换. （2）由的图象得到的图象,只需把图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍即可.这类变换通常称为周期变换. ［跟踪训练2］．先将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再沿轴向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】先将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 的图象，再沿 轴向右平移 个单位长度，得到函数 的图象. 二 用“五点法”画的图象 ［例3］ （对接教材例7）已知函数，直线是其图象的一条对称轴. （1） 求 的值； （2） 用“五点法”列表画出函数的草图，并写出函数在上的减区间. 【答案】 （1） 【解】根据已知结合正弦函数的性质可得， ，, 所以 ，. 又， 所以，. （2） 列表可得， 0 0 0 1 0 作出函数的图象如下， 由图象可知，函数在 上的减区间为，. （1）“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. （2）“五点法” 作定区间上的图象的关键是列表,列表的步骤是： ①计算取端点值时的 的范围； ②取出 范围内的“五点”,并计算出相应的值； ③利用 的值计算值； ④描点,连线,得到函数图象. ［跟踪训练3］．已知函数,在给定坐标系中作出函数在上的图象. 解：,列表如下. 0 0 1 0 0 图象如图： 课堂巩固 自测 1．用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】选.令，得 ，所以该点坐标为,.故选. 2．（多选）要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） B. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 【答案】BC 【解析】选.函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，故 错误，正确；将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，再向左平移 个单位长度，得，即，故 正确，错误.故选. 3．把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得函数的图象,则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】先把函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,得到 的图象；再把 图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到 的图象,所以. 4．若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，写出适合条件的一个的值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题可得 的图象与函数 的图象重合，则 ，，解得 ，，故 的值可以为. 1.已学习：（1）中 ， ，对图象的影响.（2）与图象间的变换关系.（3）“五点法”画函数的简图. 2.须贯通：由的图象得到函数的图象两种变换途径:（1）先平移再伸缩;（2）先伸缩再平移. 3.应注意：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样. 课后达标 检测 A 基础达标 1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】选.因为函数 ，所以只需把函数 的图象向左平移 个单位长度，即可得到函数 的图象. 2．函数图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.由题意可知得到图象的解析式为，所以. 3．将函数的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.的图象上每一点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到 的图象；再把 的图象向左平移 个单位长度，就得到 的图象. 4．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得 的图象；再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得 的图象.故选. 5．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点,，则 的最小值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】选.依题意得，函数 的图象过点,，于是有,所以 ,,即,，因此正数 的最小值是1. 6．（多选）有下列四种变换（纵坐标不变），其中能使的图象变为的图象的是（ ） A. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍 B. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍 C. 各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【解析】选.由 的图象变为 的图象有两种变换方式（纵坐标不变），第一种：先平移，后伸缩，先将 的图象向左平移 个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的 倍；第二种：先伸缩，后平移，先将 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，再向左平移 个单位长度. 7．将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则的值是_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 的图象,则. 8．把关于的函数, 的图象上所有点向左平移个单位长度，可得函数的图象，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得函数 的图象，则 ,，即 ,，因为 ，所以. 9．利用“五点法”作函数的图象时,其五个点的坐标分别为,,,,,则_ _ _ _ _ _ ,最小正周期_ _ _ _ . 【答案】； 【解析】由题知, . 10．（13分）已知函数. （1） 请用“五点法”画出函数在一个周期的闭区间上的简图；（4分） （2） 求函数的增区间；（4分） （3） 试问的图象是由的图象经过怎样变换得到？（5分） 【答案】 （1） 解：列表如下： 0 0 1 0 0 描点连线，图象如图所示. （2） 令 ，， 解得 ，， 所以函数 的增区间是 ，. （3） 先将 的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），即可得到 的图象. B 能力提升 11．设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】选.的图象向右平移 个单位长度得到 的图象. 因为 与 的图象重合， 所以，所以. 又因为，， 所以 时， 取最小值为. 12．为得到函数的图象，可将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，均为正数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可得，将 平移得到函数 的图象，则,,,， 所以,,， 当 时，有最小值. 13．将函数,图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，再将每一点的横坐标变为原为的2倍（纵坐标不变），得到 的图象， 即为 的图象， 所以， 所以，. 14．[（2025·扬州期末）]（15分）已知函数. （1） 求的增区间；（7分） （2） 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在,上的值域.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，令， 解得， 则 的增区间是,. （2） 将 的图象向右平移 个单位长度， 可得 . 因为,，所以， 所以， 则， 即 在,上的值域为. C 素养拓展 15．（15分）已知点,是函数,图象上的任意两点，，且当时，的最小值为 . （1） 求的解析式；（7分） （2） 将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：因为， 所以，， 依题意可得 得， 又因为当 时，的最小值为 ， 所以 ，又，即， 所以. （2） 将 图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到 的图象， 再将所得图象向左平移 个单位长度得到 的图象，因为，所以,， 因为 在区间 上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数 的取值范围为,. 第2课时 函数的性质及应用 一 由图象求三角函数的解析式 ［例1］ 如图是函数,,的图象的一部分,求此函数的解析式. 【解】 方法一（已知点定参法） 由题图知, , 所以,所以. 因为点 在函数图象上, 所以, 所以 ,,得.因为,所以. 所以. 方法二（最值点定参法） 由方法一得,.由最高点的坐标 代入,得, 所以, 得. 因为,所以. 所以. 方法三（图象变换法） 由， ，点 在图象上，可知函数图象由 的图象向左平移 个单位长度而得，所以，即. 给出 的图象的一部分，确定 ， ， 的方法 （1）待定系数法：从图象的最值和周期，确定参数和 ;把图象上的一个最值点、或其他已知点坐标代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上），求参数 ； （2）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. ［跟踪训练1］． （1） 函数的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A. 2, B. 2, C. 2, D. 4, （2） 如图为函数，，的图象的一部分，则函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.设 的周期为，则由题图知 ，所以，则，因为 在 处取得最大值，所以 ，,得 ，, 因为 ，所以,. （2） 由题图可知，，所以 ，，因为 ，，所以，又，所以，而，，所以， 所以. 二 函数性质的综合应用 ［例2］ （1） （多选）已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的图象关于点,对称 B. 函数的最小正周期为 C. 在区间,上单调递增 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度得到的函数为 （2） 已知函数的最小正周期为 ，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则在,上的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ACD （2） , 【解析】 （1） 由于，所以，故 的图象关于点,对称，正确； 函数 的最小正周期为 ，故 错误； 当,时，,,，故 正确； 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再把图象向右平移 个单位长度得到的函数为，正确.故选. （2） ， ，，，将函数 的图象上的所有点向右平移 个单位长度，得到，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 因为,，所以,， 所以,，所以 在,上的值域为,. 研究 的性质的两种方法 （1）客观题可用验证法：若直线 为对称轴，则；若为对称中心，则；若为函数的单调区间，则为单调区间的子区间. （2）主观题主要利用整体代换法，令，则原问题转化为研究的性质. ［跟踪训练2］．已知函数的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为. （1） 求函数的图象的所有对称轴； （2） 若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求，的减区间. 【答案】 （1） 解：因为函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以 的最小正周期为 ， 即 ，由，解得. 因为 的图象过点， 所以， 又因为 ， 所以，即， 所以. 令， 得， 即 图象的对称轴为直线 . （2） 由题意得 ， 令， 得， 令,得； 令，得， 所以,的减区间为,. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若函数,的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题图知， ,所以,故，又图象过点,,所以,解得 ,,即 ,,又，所以，所以.故选. 2．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，由 ，，得，. 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数，则实数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由函数，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象， 又由 为奇函数，所以 ,，解得，, 因为，所以当 时， 取得最小值，最小值为.故选. 4．将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题得， 令， 解得， 所以 图象的对称中心为， 令，得,所以 是 图象的一个对称中心，正确. 5．同时具有性质“（1）最小正周期是 ;（2）图象关于直线对称；（3）在上单调递增”的一个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由最小正周期为 得,，故 不正确；因为图象关于直线 对称，则 时 取得最大值或最小值，又因为,不是最值，故 不正确；对于，，则，又 在 上单调递减，故 在 上单调递减，故 不正确.故选. 6．（多选）已知函数，则（ ） A. 点,是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在,上单调递增 D. 【答案】AB 【解析】选.函数， ，点,是 图象的一个对称中心，选项正确； ，是函数最大值，所以直线 是 图象的一条对称轴，选项正确； 当,时，,，,不是正弦函数的增区间，选项错误； ，选项错误.故选. 7．已知函数的图象如图所示，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题图知函数 的周期为 ， 所以，所以. 因为当 时，有最小值， 所以， 所以. 因为 ，所以. 8．已知函数，其图象最低点的纵坐标是，相邻的两个对称中心是和，则图象的对称轴为直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得， ， 所以 ，所以， 所以. 因为点 在 的图象上，所以，所以， 所以， 即, . 又因为，所以， 所以. 令，解得. 所以 图象的对称轴为直线. 9．如图所示为函数,的部分图象，其中，两点之间的距离为5,那么_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得 ,解得. 由,,得,又, 即. 所以，又 ,所以，故,因此. 10．（13分）已知函数的部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象. （1） 求的解析式；（6分） （2） 当时，求的减区间.（7分） 【答案】 （1） 解：由题图可知，函数最小正周期，所以 , 由，得，则 ,, 则，,结合 ，可得，故. （2） 由题意可得， 令，,解得,， 当 时，的减区间为，取其它值时与区间 无交集， 故当 时，的减区间为. B 能力提升 11．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】选.因为函数 的最小正周期，所以函数 在 上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数 与 在 上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选. 12．（多选）对于函数，下列结论正确的有（ ） A. 当时，的图象关于点中心对称 B. 当时，在区间上是单调函数 C. 若恒成立，则 的最小值为2 D. 当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ACD 【解析】选.当 时，函数，令 ，可得，所以当 时，的图象关于点 中心对称，故 正确； 当 时，函数，函数 的最小正周期为 ，区间 为半个周期长度，而 时，函数没有取得最值， 所以 在区间 上不是单调函数，故 错误； 若 恒成立，可知 时，函数取得最大值，可得， ，解得,，，则 的最小值为2，故 正确； 当 时，，的图象向右平移 个单位长度得到，故 正确.故选. 13．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图象，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】将函数 的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，可得 的图象，再向左平移 个单位长度得到 的图象. 若函数 在区间，上单调递增， 则 得， 则实数 的取值范围是. 14．（15分）已知函数,的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式；（6分） （2） 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：由题图可知，.因为，所以， . 代入 有， 即， 所以，即， 又因为，所以， 所以. （2） 由题意知变换后 ， 当 时，令，即， 函数 在 上单调递减，此时，即，函数 在 上单调递增，此时，即，等价于 有两解. 所以当 时符合题意，即实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $