7.3.2 第3课时 正切函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦正切函数的图象与性质这一核心知识点，通过类比正弦函数图象画法引入正切函数，系统梳理定义域、值域、周期、奇偶性、单调性及对称性等性质。从基础定义辨析到性质应用，再到综合问题解决，构建“定义-性质-应用”的学习支架，衔接前后三角函数知识体系。 资料以核心素养为导向，通过思考辨析纠正“正切函数在定义域上是增函数”等认知误区，培养逻辑推理能力。母题探究设计变式训练，如函数单调性应用中不同函数形式的转化，提升学生直观想象与逻辑推理素养。课中例题链接教材便于教师授课，课后分层作业助力学生查漏补缺，实现教与学的高效衔接。

第3课时　正切函数的图象与性质 学习任务 核心素养 1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养． 正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈的图象． 知识点　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 无对称轴，对称中心为(k∈Z) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在定义域上是增函数． (　　) (2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z． (　　) (3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝tan 的定义域为____________． 　[因为2x－≠＋kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z．] 类型1　正切函数的定义域 【例1】【链接教材P204例6】 求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝． [解]　(1)要使y＝有意义， 则 ∴ ∴函数y＝的定义域为 ． (2)由题意得tan x－3≥0， ∴tan x≥ ， ∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)， ∴y＝的定义域为 ． 【教材原题·P204例6】 例6求函数y＝tan 的定义域． 解：因为y＝tan z的定义域为 ， 令z＝2x－，由2x－≠＋kπ，得x≠． 所以y＝tan 的定义域是 ． 　求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义． (2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x． [跟进训练] 1．求下列函数的定义域． (1)y＝3tan； (2)y＝＋lg (1－tan x)． [解]　(1)要使函数有意义应满足≠kπ＋，k∈Z，解得x≠－4kπ－，k∈Z． 所以函数的定义域为． (2)由题意知 即－1≤tan x<1， 在上满足上述不等式的x的取值范围是， 又因为y＝tan x的周期为kπ，k∈Z，且k≠0， 所以函数的定义域为． 类型2　正切函数单调性的应用 【例2】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)求函数y＝3tan 的单调区间． (1)tan 2<tan 3<tan 4<tan 1　[y＝tan x在区间上单调递增，且tan 1＝tan (π＋1)， 又<2<3<4<π＋1<， 所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1．] (2)[解]　y＝3tan ＝－3tan， 由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z得， －π<x<π，k∈Z， 所以y＝3tan 的减区间为，k∈Z． [母题探究] 1．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？ [解]　由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)， 所以函数y＝3tan的增区间是(k∈Z)． 2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如何？ [解]　因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数， 所以函数y＝lg tan x的增区间就是函数y＝tan x(tan x>0)的增区间，即，k∈Z． 　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 提醒：正切函数无减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间． [跟进训练] 2．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1)tan 与tan ； (2)tan 与tan ． [解]　(1)因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 又0<<<，y＝tan x在内单调递增， 所以tan <tan ， 即tan <tan ． (2)因为tan ＝－tan ， tan ＝－tan ， 又0<<<，y＝tan x在内单调递增， 所以tan >tan ， 所以－tan <－tan ， 即tan <tan ． 类型3　正切函数的图象及应用 【例3】根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性． [解]　由y＝|tan x|得， y＝ 其图象如图． 由图象可知， 函数y＝|tan x|是偶函数，增区间为 (k∈Z)， 减区间为(k∈Z)，周期为π． [母题探究] (变条件)将本例中的函数“y＝|tan x|”改为“y＝tan |x|”，解答同样的问题． [解]　由y＝tan |x|得 y＝ 根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图， 由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，增区间为(k＝0，1，2，…)； 减区间为(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性． 　作由正切函数复合而成的简单函数图象的方法 (1)直接描点法，要注意定义域； (2)图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转、对称等变换，作出函数的图象． [跟进训练] 3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期是________． π　[作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π． ] 类型4　正切函数奇偶性、周期性和 图象的对称性 【例4】(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为________． (2)已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为________． (3)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3x tan 2x－2x4；②y＝cos ＋tan x． (1)　(2)，k∈Z　[(1)法一(定义法)：∵tan ＝tan ， 即tan ＝tan ， ∴f(x)＝tan 的最小正周期是． 法二(公式法)：f(x)＝tan 的最小正周期T＝． (2)由x－＝(k∈Z)得x＝(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．] (3)[解]　①定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3x tan 2x－2x4＝f(x)， 所以它是偶函数． ②定义域为，关于原点对称， y＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x， 又f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x ＝－f(x)，所以它是奇函数． 　1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝． (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数既不奇函数也不是偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z． [跟进训练] 4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝tan ＋tan ． [解]　(1)由得f(x)的定义域为， 不关于原点对称， 所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为 ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan ＋tan ＝－tan －tan ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． 1．函数y＝4tan 的最小正周期为(　　) A．　 　　B．π　 　　C．　 　　D．2π D　[T＝＝2π．] 2． (多选题)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是(　　) A．y＝tan B．y＝tan C．y＝cos D．y＝sin AC　[对于A选项，函数y＝tan 的周期为π，且在上单调递增，符合题意，故A选项正确． 对于B选项，函数y＝tan 的周期为，不合题意，故B选项错误． 对于C选项，函数y＝cos ＝sin 2x的周期为π，且在上单调递增，符合题意，故C选项正确． 对于D选项，函数y＝sin ＝cos 2x在上单调递减，不符合题意，故D选项错误．故选AC．] 3．函数y＝tan x在上的值域为________． [－1，]　[∵－≤x≤， ∴－1≤tan x≤．] 4．函数f(x)＝的最小正周期为________，函数的奇偶性为________． 2π　奇函数　[函数f(x)＝ ＝，所以T＝＝＝2π， 又因为函数f(x)的定义域为， 关于原点对称且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．] 5．(教材P204练习T2改编)函数y＝tan 的定义域为________． 　[由≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z， 所以函数的定义域为．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ [提示]　不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，是不连续的．故增区间为(k∈Z)，无减区间． 2．若让你比较tan 与tan 的大小，你应该怎样做？ [提示]　根据函数的周期性或诱导公式把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较． 课时分层作业(三十八)　正切函数的图象与性质 一、选择题 1．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．y＝tan x为增函数 B．y＝tan (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为 C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数 D．在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1 BD　[函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B正确；当x＝－时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．] 2．函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．2或－2 D　[由＝，可知ω＝±2．] 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． C　[要使函数有意义，则 ∴x≠且x≠，∴x≠，k∈Z．] 4．与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ D　[当x＝时，y＝tan ＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan ＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1，当x＝时，y＝tan 不存在．] 5．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．[－1，0) C．(0，1) D．(0，1] B　[∵y＝tan ωx在内是减函数， ∴T＝≥π， ∴0＜|ω|≤1． ∵y＝tan x在内为增函数， ∴ω<0，∴－1≤ω<0．] 二、填空题 6．比较大小：tan ________tan ．(填“>”或“<”) ＜　[tan ＝tan ＝tan ． ∵y＝tan x在上单调递增且0＜＜＜， ∴tan ＜tan ，即tan ＜tan ．] 7．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在上的大致图象依次是____________．(填序号) ①　　　　　　　② ③　　　　　　　④ ①②④③　[∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方， ∴y＝|tan x|对应①；∵y＝tan |x|是偶函数， ∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称， ∴y＝tan (－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③．] 8．函数y＝6tan 的定义域为________，对称中心为________． (k∈Z) [y＝6tan ＝－6tan ， 由6x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠π(k∈Z)， 由6x－＝(k∈Z)，得x＝，k∈Z． 故定义域为，对称中心为(k∈Z)．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求函数y＝的定义域、周期及单调区间． [解]　自变量x的取值应满足 x＋≠kπ＋，k∈Z， 即x≠2k＋，k∈Z． 所以，函数的定义域是． 设z＝x＋， 又tan (z＋π)＝tan z， 所以tan ＝tan ， 即tan ＝tan ． 因为∀x∈都有 tan ＝tan ， 所以，函数的周期为2． 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 解得－＋2k<x<＋2k，k∈Z． 因此，函数的单调递增区间为，k∈Z． 10．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． [解]　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝． 因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝，k∈Z． 因为0<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan ． (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z， 即－<x<，k∈Z． 所以函数的增区间为，k∈Z，无减区间． (3)由(1)知，f(x)＝tan ． 由－1≤tan ， 得－＋kπ≤2x＋＋kπ，k∈Z， 即－≤x≤，k∈Z． 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为 ． 11．(多选题)关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)，说法正确的是(　　) A．对任意的φ，f(x)都既不是奇函数也不是偶函数 B．f(x)的图象关于对称 C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称 D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数 BCD　[A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以A错误；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1，2知BC正确，D显然正确．] 12．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D D　[当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0； 当π＜x＜π时，tan x＞sin x， y＝2sin x＜0．故选D．] 13．已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________． (答案不唯一)　(答案不唯一)　[取α＝＋2π，β＝，则α>β， 但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β， 因为命题p为假命题，所以能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝．] 14．已知x∈，则函数y＝＋2tanx＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________． 1　－　[y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1． ∵x∈，∴tan x∈[－，1]． 当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1．] 15．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan 在x∈上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由． [解]　∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0． 又x∈，∴－ax∈， ∴－ax∈， ∴ 解得－≤a≤6－8k(k∈Z)． 令－＝6－8k， 解得k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0， ∴存在a＝－2∈Z，满足题意． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $