专题3.1 椭圆性质及应用15种题型（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题3-1 椭圆性质及应用 题型1 椭圆轨迹 题型9 椭圆三角形面积范围最值 题型2 空间型轨迹 题型10 焦点三角形内切圆 题型3 第一定义型范围（常考点） 题型11 焦点弦定比分点（重点） 题型4 焦点三角形（常考点） 题型12 焦点圆 题型5 第三定义与离心率 题型13 椭圆切线 题型6 焦半径范围与最值（常考点） 题型14 小题大做：韦达定理型（难点） 题型7 焦点三角形余弦定理（难点） 题型15 离心率最值与范围（重点） 题型8 焦点弦双三角形余弦定理（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、椭圆轨迹 （共3小题） 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西大同·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、空间型轨迹 （共3小题） 4．（24-25高二全国专题练习）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 5．（24-25高二上·上海·月考）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 6．（25-26高二全国专题练习）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、第一定义型范围 （共3小题） 7．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 故选：C． 9．（25-26高三上·河北·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四、焦点三角形 （共3小题） 10．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 12．（23-24高三上·山东·开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 题型五、第三定义与离心率 （共3小题） 13．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆（）的离心率是，过椭圆上一点M作直线，分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为，，若点A，B关于原点对称，则的值为（    ）. A． B． C． D． 14．（2022·浙江杭州·模拟预测）椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2023·江苏苏州·模拟预测）“工艺折纸”起源于中国，它不仅是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动，也是一种有益身心、开发智力的思维活动.折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象，这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合学问的运用.为了让学生感受数学之美，提升学生的综合素养，某学校开设了“折纸与数学”校本课，课上让每位学生准备一张半径为8的圆形纸片，按如下步骤进行折纸、观察和测绘. 步骤1：在圆内取一点，使得到圆心的距离为6（如图）； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点； 步骤3：把纸片展开，留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，得到越来越多的折痕. 过作其中一道折痕的垂线，垂足为，则 ；经观察，学生发现圆面上的所有折痕围成了一条优美的曲线，若以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则的方程为 .    题型六、焦半径范围与最值 （（共3小题）） 16．（25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·河南南阳·月考）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 故选：C 题型七、焦点三角形余弦定理 （共3小题） 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·重庆·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 21．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 故选：A. 题型八、焦点弦双三角形余弦定理 （共3小题） 22．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型九、椭圆三角形面积范围最值 （共3小题） 25．（21-22高二下·湖南衡阳·期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则△面积的最大值为 A． B． C． D． 27．（24-25高二上·四川乐山·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 题型十、焦点三角形内切圆 （共3小题） 28．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（2023·湖北·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率（   ） A． B．或 C． D． 题型十一、焦点弦定比分点 （（共3小题）） 31．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．（2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．（2024高三·全国·专题练习）已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十二、焦点圆 （（共3小题）） 34．（2025安徽·模拟）已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 35．（2025·山西·三模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于（   ） A．3 B． C．6 D． 36．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 题型十三、椭圆切线 （共3小题） 37．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为 38．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，圆上有一点.若椭圆过点，则圆的半径最小值为 ；过点作椭圆的一条切线，切点为，过作切线的垂线，垂足为，若，则椭圆的长轴长为 . 39．（21-22高二上·四川成都·月考）如图，P为椭圆上的动点，过P作椭圆的切线交圆于M，N，过M，N作切线交于Q，则Q的轨迹方程为 ；的最大值为 ． 题型十四、小题大做：韦达定理求离心率 （（共3小题）） 40．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ． 41．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上位于轴同侧的两点，且，则四边形面积的取值范围为 . 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与向量共线，则椭圆的离心率为 ，设M为椭圆上任意一点，且（t，），则的最大值等于 . 题型十五、离心率最值与范围 （（共3小题）） 43．（2025·江西赣州·二模）椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是 ． 44．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 45．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3-1 椭圆性质及应用 题型1 椭圆轨迹 题型9 椭圆三角形面积范围最值 题型2 空间型轨迹 题型10 焦点三角形内切圆 题型3 第一定义型范围（常考点） 题型11 焦点弦定比分点（重点） 题型4 焦点三角形（常考点） 题型12 焦点圆 题型5 第三定义与离心率 题型13 椭圆切线 题型6 焦半径范围与最值（常考点） 题型14 小题大做：韦达定理型（难点） 题型7 焦点三角形余弦定理（难点） 题型15 离心率最值与范围（重点） 题型8 焦点弦双三角形余弦定理（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、椭圆轨迹 （共3小题） 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆，即的圆心，半径为， 圆，即的圆心，半径为， 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图， 依题意，三点共线，三点共线，，， 因此， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆， 长轴长，半焦距，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C 2．（25-26高二上·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 3．（25-26高三上·山西大同·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 题型二、空间型轨迹 （共3小题） 4．（24-25高二全国专题练习）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先设点，再结合，化简计算得出轨迹方程. 【详解】   如图建系，设正方体边长为，则， 可得， 又因为，所以， 化简得，即得， 动点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：B. 5．（24-25高二全国专题练习）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由题意得到直线的距离为定值，分析可得点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，根据截面的性质，即可得答案. 【详解】因为三角形面积为定值，以定长斜线段为底，则得到直线的距离为定值， 分析可得，点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交， 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得的轨迹为椭圆. 故选：C. 6．（25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 因为椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， 所以， 又， 所以， 所以，解得，即， 因为椭圆的离心率的范围为， 所以. 故选：C 题型三、第一定义型范围 （共3小题） 7．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义及已知条件得到，，在中利用余弦定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 则，，因为， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以， 故选：D． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可. 【详解】连接， 因，且为线段的中点，则四边形为矩形， 则， 因，则， 则，， 在中利用勾股定理得，，则， 故椭圆的离心率为. 故选：C． 9．（25-26高三上·河北·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，利用几何性质可知，根据，，求得，利用椭圆定义求出，即可求解离心率. 【详解】记椭圆的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线的斜率为，所以， 因为为等腰三角形，所以，所以， 直线中，令得，所以， 在中，，， 则， 由椭圆定义可知，，， 所以C的离心率为. 故选：C 题型四、焦点三角形 （共3小题） 10．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，    由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 11．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 【答案】C 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的最值列式计算得出，计算判断A，应用椭圆定义计算判断B，结合数量积坐标公式结合椭圆方程计算求解判断C，应用焦点三角形面积公式计算判断D. 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义有，又两焦点间距离为，故的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 设，因为，所以在中， 而，所以， 正确. 故选：C. 12．（23-24高三上·山东·开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C 题型五、第三定义与离心率 （共3小题） 13．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆（）的离心率是，过椭圆上一点M作直线，分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为，，若点A，B关于原点对称，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，，，代入椭圆方程可得，，利用斜率计算公式即可得出. 【详解】设点，，， 则，， . 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其对称性、斜率计算公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 14．（2022·浙江杭州·模拟预测）椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】写出直线的方程，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点坐标，通过计算直线的斜率即可得结果. 【详解】由已知得， 所以直线的方程为：（其中）， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理，所以， 故； 类似得，， 所以， 故选：D． 15．（2023·江苏苏州·模拟预测）“工艺折纸”起源于中国，它不仅是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动，也是一种有益身心、开发智力的思维活动.折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象，这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合学问的运用.为了让学生感受数学之美，提升学生的综合素养，某学校开设了“折纸与数学”校本课，课上让每位学生准备一张半径为8的圆形纸片，按如下步骤进行折纸、观察和测绘. 步骤1：在圆内取一点，使得到圆心的距离为6（如图）； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点； 步骤3：把纸片展开，留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，得到越来越多的折痕. 过作其中一道折痕的垂线，垂足为，则 ；经观察，学生发现圆面上的所有折痕围成了一条优美的曲线，若以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则的方程为 .    【答案】 50 【分析】第一空以E为原点建立坐标系，利用三角换元及中点坐标表示距离的平方和计算即可；第二空利用折叠的性质及椭圆的定义即可写出轨迹方程. 【详解】如图以E为原点建立坐标系，设，F在圆上对应的点， 则，；    连接交折痕于P ，连接PF，由折叠的性质可得，根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为椭圆，长轴为8，焦距为6，所以C的方程为：.    故答案为：50； 题型六、焦半径范围与最值 （（共3小题）） 16．（25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 因为椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， 所以， 又， 所以， 所以，解得，即， 因为椭圆的离心率的范围为， 所以. 故选：C 17．（25-26高二上·河南南阳·月考）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据结合平面向量的线性运算可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 设点，易知点、，则，， 由，可得，解得，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得，解得， 所以，故. 故选：A. 18．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 题型七、焦点三角形余弦定理 （共3小题） 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与，可设，设，利用点在椭圆上且点在椭圆内（在的延长线上），探求出的范围为，由勾股定理表达，法一建立离心率的函数关系，换元法求解值域即可；法二可结合的变化范围得到离心率的变化范围，再加以几何验证可得. 【详解】如图，，在中， 由，可设， 则，设，， 由在的延长线上，则， 由点在椭圆上，则， 又在椭圆内，则，可得， 在中，由，得， 可得， 法一：， 令，则， 可得， 所以， 再令，构造函数， 则在上单调递增， 因此的值域为，即. 法二：由，可得①； 且， 可得②； 故由①②可得，. 几何验证：当时，即，离心率； 当时，即，，离心率； 注意到，当时，即时，如图，此时点在椭圆内（不为界点）满足题意. 故选：A. 20．（25-26高二上·重庆·期中）已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 21．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知求得，利用余弦定理可求得，结合，可得是方程的两根，利用判别式可求解. 【详解】和分别是向量和的单位向量， 因为，所以，又， 所以，所以， 因为为椭圆上的任意一点，有， 设，，则， 在三角形中，，且夹角. 由余弦定理：，即： 又， 所以，解得， 又，所以是方程的两根， 所以，所以，又因为， 所以，所以，所以，又， 所以的取值范围是. 故选：A. 题型八、焦点弦双三角形余弦定理 （共3小题） 22．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去），    在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 23．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得、关于的表示，进而解得椭圆C的离心率． 【详解】因为，所以，如图，不妨设，则， 由椭圆的定义及对称性可得，，， 因为， 所以， 则，解得：， 则， 则在中，， 则在中， 由余弦定理有：， 即， 解得：， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 24．（23-24高三下·云南昆明·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，即，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 题型九、椭圆三角形面积范围最值 （共3小题） 25．（21-22高二下·湖南衡阳·期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解 【详解】因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为36，得，得，进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：B 26．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则△面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，设结合点线距离公式得，根据三角函数的性质求，再利用三角形面积公式求△面积的最大值． 【详解】由题意，椭圆C方程为：，与x正半轴交于，与y正半轴的交于， 所以， 由是椭圆上任一个动点，设且 [0,2π]， 所以到直线的距离为=， 由此可得：当时，， 所以△面积的最大值为. 故选：B 27．（24-25高二上·四川乐山·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 题型十、焦点三角形内切圆 （共3小题） 28．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 29．（2023·湖北·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义、余弦定理、均值不等式求出的最小值即可求解作答. 【详解】因为为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大， 又，即有最小， 在椭圆中，， 在中， ，当且仅当时取等号， 因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值， 所以的最大值为. 故选：B 30．（23-24高二全国专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的周长，再借助三角形面积求解作答. 【详解】令椭圆的半焦距为c，则，直线， 由，得，即，而的周长为， 由得：， 因此，即，有，而，解得或， 所以椭圆的离心率或. 故选：B 题型十一、焦点弦定比分点 （（共3小题）） 31．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 32．（2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率 【详解】如下图所示：    因为为平行四边形的边的中点， 所以 ， 所以，所以． 连接，由椭圆的定义可知，； 设，则，故， 在中，． 在中，． 在平行四边形中，，所以， 所以，则，整理得， 所以椭圆的离心率为， 故选：D． 【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：或．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的． 33．（2024高三·全国·专题练习）已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与已知条件将与的各边用表示出来，再利用余弦定理建立等量关系，从而得到关于离心率的方程，解三次方程可以采用试根法．本题也可利用既是的一个内角，也是的一个内角，分别在这两个三角形中利用余弦定理建立关于离心率的方程，即可求得结果 【详解】设，则， 设椭圆左焦点为，连接，，如图，则， 在中，，， 由余弦定理的推论，得． 在中，由余弦定理的推论，得 ， 因为， 所以，故， 整理，得（可将四个选项中的数值依次代入，只有符合此方程）， 即，解得． 故选：A． 题型十二、焦点圆 （（共3小题）） 34．（2025安徽·模拟）已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即，整理，即可求解. 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，其中圆心，半径为， 又由圆与直线相切， 则圆心到直线的距离为， 又由，整理得，即， 即，解的， 又由，所以，故选D. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 35．（2025·山西·三模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角为和椭圆焦点弦的性质，用椭圆参数表示出直线的斜率，求出结果. 【详解】由在以为直径的圆上，得． 设，则由直线的斜率为，得，所以，， 设，则有，． 又在椭圆上，有，得，． 又因为，解得，故椭圆的长轴长为6. 故选：C. 36．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量可得，代入运算求解即可. 【详解】因为， 则， 即，可得， 所以C的离心率. 故选：A. 题型十三、椭圆切线 （共3小题） 37．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为 【答案】 【分析】证明出直线的方程为，求出点的纵坐标，设直线与直线的交点为，求出点的纵坐标以及的值，结合中位线的性质可得出，由此可知在以点为圆心，半径为的圆上运动，可得出点到轴距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设点，其中，先证明出直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线的方程为，即， 在椭圆中，，，则，可得、， 因为，则直线的方程为，即， 联立，解得，即 易知直线的方程为，设直线与直线的交点为， 联立可得，即， 因为 ， 故点为线段的中点， 因为，由中垂线的性质可得， 所以，， 连接，因为为的中点，则， 即点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故点到轴距离的最大值为， 因此，面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的中点，结合中位线的性质得出点的轨迹，进而求解. 38．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，圆上有一点.若椭圆过点，则圆的半径最小值为 ；过点作椭圆的一条切线，切点为，过作切线的垂线，垂足为，若，则椭圆的长轴长为 . 【答案】 3 6 【分析】利用基本不等式可求，利用圆锥曲线的几何性质可求长轴长或求出的轨迹方程后可求长轴长. 【详解】第一空：因为椭圆过点，所以， ， 当且仅当时取等号，故半径. 第二空：法1：如图所示，设与相交于，连接，， 由椭圆的光学性质可知从椭圆的二个焦点发出的光线， 经过椭圆反射后反射光线交于椭圆的另一个焦点上，得， 可得，所以，是的中点， 则是的中位线，所以，所以，则椭圆的长轴长. 法2：当在轴的上方时，有， 故，设， 则切线的斜率， 故此时切线方程为：，， 过且垂直于切线的直线方程为：， 设交点，则， 所以，即，所以， 故， 整理得到：， 化简得：， 所以， 而，当且仅当时等号成立，此时为焦点， 但在椭圆外或椭圆上，故总不为焦点，故， 故， 同理可知：当在轴下方时，也有； 而当为轴上时，， 综上，即即长轴长为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：椭圆中从一个焦点发出光线被椭圆反射后反射光线必经另外一个交点，且反射光线与入射光线的角平分线与反射点处的切线垂直，利用这个性质可以很方便地解决焦点三角形的有关问题，当然我们可以利用轨迹的思想求解动点的轨迹方程. 39．（21-22高二上·四川成都·月考）如图，P为椭圆上的动点，过P作椭圆的切线交圆于M，N，过M，N作切线交于Q，则Q的轨迹方程为 ；的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆在点处的切线方程，再求出圆上过点M的切线方程，过点N的切线方程，从而得到直线的方程，对照系数后得到，利用代入法求出点Q的轨迹方程； 再利用基本不等式求出，利用三角形面积公式和向量的相关计算得到. 【详解】设点，椭圆在点处的切线方程为， 则，且， 联立与得：， 由，得：，① 由得：，代入①中得：， 整理得：，② 由可得：③，④， 将③④代入②中，， 整理得：，即， 所以， 所以椭圆在点处的切线方程为， 整理得：，即， 设，，圆上过M的切线方程为， 则，， 联立与得：， 由得：，⑤ 由得：，将其代入⑤中，整理得： ， 由得：，即， 解得：， 所以圆上过M的切线方程为：， 整理得：， 同理可得：圆过N的切线方程为， 设，则， 所以点满足方程， 故直线的方程为， 又因为直线的方程为， 对照系数可得：， 由于，所以， 所以Q的轨迹方程为； 由基本不等式得：，即， 当且仅当时，等号成立， . 故答案为：，. 【点睛】过椭圆上一点的切线方程或者过圆上一点的切线方程，要熟记公式且能推导出，在解题中经常用到，若再选择和填空题中遇到可直接使用，达到事半功倍的效果. 题型十四、小题大做：韦达定理求离心率 （（共3小题）） 40．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，由向量共线求出的坐标，然后求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，然后根据向量垂直求出直线的斜率，进而求出，从而得到的关系式，最后求出离心率即可. 【详解】设，则，所以， 由得，所以. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 将代入椭圆方程中，得到， 化简得，又满足， 即，根据韦达定理可得， 所以①. 由得，所以直线的斜率为. 而，解得②. ①②联立得，化简得. 所以离心率为. 故答案为： 41．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上位于轴同侧的两点，且，则四边形面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，得，连接并延长交椭圆于点，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得四边形的面积S，再由换元法及函数的单调性求解． 【详解】    如图，因，则， 连接并延长交椭圆于点，连接， 由椭圆对称性可得，则可得且，故三点共线. 由，可得半焦距为，则， 设直线的方程为， 由联立消去，整理得， 设，则， 设与的距离为，则四边形的面积为 ， 设，则，且，则得， 因函数在上单调递增，故，则得， 当且仅当时，即时等号成立.故四边形面积的取值范围为. 故答案为：. 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与向量共线，则椭圆的离心率为 ，设M为椭圆上任意一点，且（t，），则的最大值等于 . 【答案】 【分析】第一空：设点，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与共线，可得出关于的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率；第二空：设，由可得出，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再结合重要不等式可求得最大值. 【详解】第一空：设椭圆方程为，，则直线的方程为， 联立，消去并整理得， 设点，由韦达定理可得， 由，， 由与向量共线，得， 又，，， 所以，即，可得，所以， 所以，所以，所以，椭圆的离心率为； 第二空：因为，所以椭圆方程可化为． 设，由， 得，所以. 在椭圆上，所以， 所以①． 因为，，，则，所以． ． 又，， 代入①式，得，所以， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值等于. 故答案为：①；②. 题型十五、离心率最值与范围 （（共3小题）） 43．（2025·江西赣州·二模）椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，而，应用向量线性关系的坐标表示得，再由在椭圆上得到，且中点在椭圆内得，结合对勾函数的性质求范围. 【详解】令，而， 所以，，， 又，则，所以， 由，作差得，则， 显然的中点在椭圆内，则，可得，即， 所以， 令，且在上单调递增，值域为， 所以. 故答案为： 44．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 45．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $