专题03 圆（期末复习知识清单，7知识11题型1易错3方法）九年级数学上学期北师大版

该初中数学“圆”专题知识清单系统梳理了圆的核心内容，涵盖圆心角与圆周角关系、垂径定理、切线性质与判定、弧长及扇形面积等7大知识模块，构建了从概念定理到题型应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+易错提示+方法总结”四维架构，如垂径定理配套辅助线构造直角三角形图例，切线证明标注“已知半径证垂直”步骤，培养几何直观与推理意识。易错点明确正多边形外接圆与内切圆关系，助力学生自主梳理知识，教师可精准设计分层教学，提升课堂实效。

专题03 圆（7知识&11题型&1易错&3方法清单） 【清单01】圆心角、弧、弦、弦心距间关系 概念 图形 定理 几何表述 圆心角：∠AOB、∠A′OB′ 弦心距：圆心到弦的距离OM、OM 弧：、 弦：AB、AB 在 中,相等的圆心角所对的 相等、所对的 相等、所对弦的弦心距相等 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴， AB=AB， OM=OM 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 【清单02】垂径定理 圆的对称性 轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴；中心对称图形，对称中心为圆心 垂径定理 垂直于弦的直径 这条 ，并且 这条 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径 ，并且 。 根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法 连接圆心与弦的端点，构造直角三角形，解直角三角形（勾股定理+方程+锐角三角函数） 图例 → → → 【清单03】尺规作圆 作法 经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心是任意两点连线段的垂直平分线的交点 步骤 （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 【清单04】圆周角与圆周角定理 圆周角概念 ①角的顶点在圆上;②角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有： 定理 一条弧所对的圆周角等于 弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC， ∠BAC=∠DOC =∠BOC 推论1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 ，相等的圆周角所对的 也相等.（右图） 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 推论3.圆内接四边形的对角 ，且任何一个外角都等于它的内对角 【清单05】切线的性质与判定 性质定理 图形 判定定理 应用 圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 经过半径外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线 证明某直线是圆的切线一般步骤： 法一：已知半径证明垂直 ①连接该直线和圆的交点与圆心；②证明该直线与所作的半径垂直 法二：已知垂直证明半径 三角形的内切圆 概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 性质 三角形的内心到三角形的 ，该距离是三角形内切圆的半径。 尺规作图 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 【清单06】多边形的外接圆 三角形的外接圆 概念：过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 正多边形的外接圆 尺规作圆的内接正多边形：用直尺和圆规来等分圆周。 正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正四边形→正八边形 正六边形→正三角形 正多边形的内切圆与外接圆的关系：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形的中心：O 正多边形的半径：OC 边心距：OG 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其外接圆与内切圆的圆心 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的半径；正多边形的边心距是其中心到边的距离 【清单07】弧长与扇形面积 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） ·扇形面积公式： 【题型一】根据圆周角、圆心角、弧、弦的关系求圆周角 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． ★【题型二】根据圆周角定理进行角度代换求圆内的角 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点A是的中点，D 是优弧上一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，若，，则的度数为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的直径，点，，都在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，点，，都在上，连接，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接、、，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）线段是的一条弦，的半径为4，，则弦所对的圆周角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，、是上两点，连接、．若，，则的度数为 ． 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点A，B，C，D在上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证： ★【题型三】应用垂径定理求线段长 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【变式4-1】（24-25九年级上·咸阳·期末）如图是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，截面圆的半径为，则瓶内液体的最大深度 ． （图4-1）（图4-2） 【变式4-2】紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【变式4-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 【题型四】尺规作图 ·根据垂径定理确定圆心 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【变式5-1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面．请用直尺和圆规作图，确定圆心的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点P在线段上，请利用无刻度的直尺和圆规画出点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹，画出一个点即可）    ·根据等弧作等角（弦） 【例6】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【题型五】圆与正多边形 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【题型六】切线的证明 【例9】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【变式9-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，求的长． 【题型七】求扇形的面积 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图的半径为，扇形的圆心角为，求阴影部分的面积．（结果保留） 【题型八】圆锥的侧面积 【例11】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要 平方米的毛毡（取）． 【题型九】利用切线的性质进行角度代换 【例12】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，以为直径的交边于点，过点作的切线，交边于点，且．求证：． 【题型十】三角形的内切圆与外接圆 【例13】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式13-1】到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【例14】如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，已知点O是的内心，，则 ． 【变式14-2】如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 【题型一】找不准圆内角和角之间的关系而出错 点拨：①辅助线段、构造相等的圆周角；②借助外角关系、直角三角形两锐角关系等进行角度等量代换。 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 方法总结：与圆周角定理相关的辅助线技巧 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 图例1. 如图，若，可连接→得 图例2. 若，可连接→得是的直径 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，，则的度数为 ． 【变式1-2】为的直径，点、在上，若， ． 【题型一】圆综合与解三角形 ·和切线有关的辅助线的作法——连接圆心与切点 ·证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识 【例1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，是的弦，过点作于点，与的切线交于点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)连接，．若，，的半径为6，求的长． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，为上一点，以为直径的交边于点，连接，，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，是的直径，交于点D，点C为上方上一点，连接与交于点E，过点C作的切线交的的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的内接圆，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【题型二】点到圆上点距离最值+定长（半径）定圆 ·根据圆的定义确定动点的轨迹： 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 【例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【变式3-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出 (1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ； 问题探究 (2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值； 问题解决 (3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知荾形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题呈现】 （1）在中，，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为上一点，连接，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． ①如图1，连接，则与的数量关系为______； ②如图2，当点M在右侧时，连接，若与相切，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，有一块形状为三角形的空地，，千米，现计划在周围修建一个以点B为圆心、1千米为半径的圆形草场，现要在草场边上找一点M（即点M在上），沿着修建一条水渠，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，沿着修建一条公路，为了成本考虑，要求公路的长度最短，请根据所给数据计算公路是否存在最小值，若存在，则计算出公路的最小值，若不存在，请说明理由．（公路宽度不计） 【题型三】根据“四点共圆”确定动点轨迹 四点共圆模型：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆的三个条件：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于内对角。 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 【题型四】定弦定角定圆确定动点轨迹 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）问题提出： （1）如图，在中，，，，求外接圆的半径； 问题解决 （2）如图，某园林规划局计划在一片空地上，开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点，，．为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该园林规划局的想法能否实现？若能，请求出四边形的周长最小值；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆（7知识&11题型&1易错&3方法清单） 【清单01】圆心角、弧、弦、弦心距间关系 概念 图形 定理 几何表述 圆心角：∠AOB、∠A′OB′ 弦心距：圆心到弦的距离OM、OM 弧：、 弦：AB、AB 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴， AB=AB， OM=OM 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 【清单02】垂径定理 圆的对称性 轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴；中心对称图形，对称中心为圆心 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法 连接圆心与弦的端点，构造直角三角形，解直角三角形（勾股定理+方程+锐角三角函数） 图例 → → → 【清单03】尺规作圆 作法 经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心是任意两点连线段的垂直平分线的交点 步骤 （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 【清单04】圆周角与圆周角定理 圆周角概念 ①角的顶点在圆上;②角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有： ∠ABC、∠BCA、∠CAB 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC， ∠BAC=∠DOC =∠BOC 推论1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（右图） 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 推论3.圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 【清单05】切线的性质与判定 性质定理 图形 判定定理 应用 圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证明某直线是圆的切线一般步骤： 法一：已知半径证明垂直 ①连接该直线和圆的交点与圆心；②证明该直线与所作的半径垂直 法二：已知垂直证明半径 三角形的内切圆 概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 性质 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该距离是三角形内切圆的半径。 尺规作图 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 【清单06】多边形的外接圆 三角形的外接圆 概念：过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 正多边形的外接圆 尺规作圆的内接正多边形：用直尺和圆规来等分圆周。 正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正四边形→正八边形 正六边形→正三角形 正多边形的内切圆与外接圆的关系：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形的中心：O 正多边形的半径：OC 边心距：OG 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其外接圆与内切圆的圆心 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的半径；正多边形的边心距是其中心到边的距离 【清单07】弧长与扇形面积 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） ·扇形面积公式： 【题型一】根据圆周角、圆心角、弧、弦的关系求圆周角 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． ★【题型二】根据圆周角定理进行角度代换求圆内的角 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点A是的中点，D 是优弧上一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理，数形结合分析是解题的关键．根据点是的中点，得到，由同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，若，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【难度】0.85 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．先根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的直径，点，，都在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理分别求出，，即可求的度数，然后通过圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 【例3】如图，点，，都在上，连接，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了圆周角定理．连接，由，可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 故选：A． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接、、，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查圆周角定理，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质求出，得到，由圆周角定理得到，关键是由圆周角定理得到． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）线段是的一条弦，的半径为4，，则弦所对的圆周角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握一条弦所对的圆周角有两种情况是解答本题的关键．连结，，先根据勾股定理的逆定理得到，再根据圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情况，分别求出弦所对的圆周角的度数即可． 【详解】解：如图，连结，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形, ， 当圆周角的顶点在优弧上时， ， 当圆周角的顶点在劣弧上时，， ∴， ∴， 综上，弦所对的圆周角的度数为或． 故选C． 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，、是上两点，连接、．若，，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理．由直径可得，再结合三角形内角和定理得到，由等弧所对的圆周角相等，得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点A，B，C，D在上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，由等弧所对的圆周角相等得，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式4-1】如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证： 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系证明即可 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴ ★【题型三】应用垂径定理求线段长 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【难度】0.85 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦的长为，截面圆的半径为，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】6 【难度】0.85 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，设，根据垂径定理求得，用含a的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于a的方程并求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵截面圆的半径为， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线，根据垂径定理构造出直角三角形是解决问题的关键． 根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理即可求出r． 【详解】解：∵直线l过点O，且于点D，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴这个紫砂壶的壶口半径r的值为． 故选：A． 【变式4-3】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式4-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盏口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盏口半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盏口半径OB的长为． 【题型四】尺规作图 ·根据垂径定理确定圆心 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【难度】0.85 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】解：如图所示，即为所求； 【变式5-1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面．请用直尺和圆规作图，确定圆心的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，尺规作线段垂直平分线， 先作的垂直平分线，交弧于点C，再作的垂直平分线交于点O，则点O即为所求作. 【详解】解：如图所示. 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【答案】答案见详解 【难度】0.85 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求， 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点P在线段上，请利用无刻度的直尺和圆规画出点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹，画出一个点即可）    【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意． 结合圆周角定义，作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点，则点均满足题意． 【详解】解：如图，点即为所求： 如图，作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点，则点均满足题意． ·根据等弧作等角（弦） 【例6】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，解题关键是理解题意，正确作出图形．在的上方，以C为圆心，为半径作弧交于点D，连接，，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 【题型五】圆与正多边形 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 【答案】90 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆与正多边形的相关概念，熟练掌握边心距的概念是解题的关键．由题意得，，，根据三线合一得到，那么，继而均为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故答案为：90． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 【题型六】切线的证明 【例9】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【难度】0.65 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，，则，求得，所以的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【变式9-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】考查了圆周角定理，切线的判定，先判断是直径，得出，再判断出，即可得出结论； 【详解】证明：连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则， ∵是半径， ∴是的切线． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【分析】（1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ， ， ， ． 于点F， ， ，即． 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接． 是的直径， ，即． ，的半径为5， ． 在中，由勾股定理，得． ， ， ． 【点睛】本题考查了圆与等腰三角形．正确引出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，面积法求三角形的高是解题的关键． 【题型七】求扇形的面积 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 【答案】阴影部分的面积之和为． 【难度】0.65 【分析】本题考查扇形面积的计算，阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和，利用扇形面积公式求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵，，半径相同， ∴阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图的半径为，扇形的圆心角为，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【难度】0.65 【分析】连接，，由度的圆周角所对的弦是直径可得为的直径，则圆心在直径上，设的半径为，扇形的半径为，则，，由三线合一可得，则，在中，根据勾股定理可得，即，然后根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， 扇形的圆心角为，即， 为的直径， 圆心在直径上， 设的半径为，扇形的半径为， 则，， ，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，勾股定理，度的圆周角所对的弦是直径，三线合一等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求出扇形的半径是解题的关键． 【题型八】圆锥的侧面积 【例11】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长，直接利用扇形的面积公式计算求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面周长为，则， ， 故选：C． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． 故选：D． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要 平方米的毛毡（取）． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查的知识点是已知三视图求侧面积或表面积、圆柱和圆锥的侧面积计算，解题关键是熟练掌握圆柱和圆锥的侧面积计算公式． 根据题意得出需要用毛毡搭建的蒙古包面积为圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，再根据圆柱和圆锥的表面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据三视图可得该蒙古包由一个直径为，高为的圆柱和一个直径为，母线长为的圆锥组成， 则用毛毡搭建一个这样的蒙古包， 至少需要平方米的毛毡． 故答案为：． 【题型九】利用切线的性质进行角度代换 【例12】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 与相切于点， ， ， 故选：B． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，以为直径的交边于点，过点作的切线，交边于点，且．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，根据切线的性质得到，从而推出，进而推出，即可证得． 【详解】证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 【题型十】三角形的内切圆与外接圆 【例13】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【变式13-1】到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 【例14】如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式14-1】如图，已知点O是的内心，，则 ． 【答案】/110度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】， ， 点O是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 【变式14-2】如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点O是的内心，，可得，再根据点O也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O是的内心，， ∴，是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵点O也是的外心， ∴， 则的度数为． 故选：B． 【题型一】找不准圆内角和角之间的关系而出错 点拨：①辅助线段、构造相等的圆周角；②借助外角关系、直角三角形两锐角关系等进行角度等量代换。 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由为的直径，为的中点，得出 ，然后根据，得出，，最后结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 方法总结：与圆周角定理相关的辅助线技巧 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 图例1. 如图，若，可连接→得 图例2. 若，可连接→得是的直径 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】连接，由圆内接四边形的性质可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形内接于， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为的直径，点、在上，若， ． 【答案】/104度 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据圆的概念、等边对等角可得，，根据三角形内角和定理可得，，根据角的和差关系可求出，然后根据求出的度数即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型一】圆综合与解三角形 ·和切线有关的辅助线的作法——连接圆心与切点 ·证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识 【例1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，是的弦，过点作于点，与的切线交于点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)连接，．若，，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理以及解直角三角形等知识点，解题的关键是利用全等三角形证明角的关系来判定切线，以及通过圆周角定理求出相关角度进而求解线段长度． （1）通过证明得到角相等，从而证明，以此判定是圆的切线． （2）先根据圆周角定理求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长． 【详解】（1）证明：为的切线，是的半径， ， ． ，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2），， ， ． 同理，可得， ， ． 在中，． 设，则． 由勾股定理，得， （负值已舍去）， ． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【难度】0.4 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形： （1）连接，证明，推出即可； （2）连接，解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，为上一点，以为直径的交边于点，连接，，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据平分，可知，根据等边对等角可证，等量代换可得，从而可证，根据平行线的性质可证，从而可证结论成立； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可得，设的半径为，则，，可得关于的方程，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 平分， . 又， ， ， ， ， 又， ， 即， 为切线； （2）解：， ， ， 设的半径为，则，， ， 整理方程为， 解得：，（舍去）， 的半径为． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及等腰三角形性质，解题的关键是利用切线性质构造平行线和直角，结合相似三角形与切割线定理建立线段关系． （1）连接半径，利用切线性质得；由推出，得内错角；由得，等量代换证得结论． （2）设，则，作直径与弦，可证，得；证明，利用相似比建立线段关系；求出直径的长度，进而得半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴，故． ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则．作直径，连接。 ∵是切线， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴． 即 解得． ∴的半径为． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，是的直径，交于点D，点C为上方上一点，连接与交于点E，过点C作的切线交的的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【难度】0.65 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）连接，由切线的性质得到，则，由得到，由得到，即可证明结论； （2）设的半径为r，则，，；利用勾股定理得到，解方程得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵过点C作的切线交的的延长线于点F． ∴， ∴， ∴， ∵交于点D， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）设的半径为r，则，， 在中， , ∴， 解得， ∴ 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是的内接圆，是的直径，过圆周上一点作，交的延长线于点，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，弧与弦之间的关系： （1）连接，根据切线的性质和垂线的定义可证明，则，再由等边对等角可得，则； （2）先解直角三角形得到，再证明，则可解，得到；再由，得到，则可解得到，即的半径为6． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴中，， ∴， ∴的半径为6． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 【题型二】点到圆上点距离最值+定长（半径）定圆 ·根据圆的定义确定动点的轨迹： 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 【例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【难度】0.4 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值．    在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3）是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，   ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【答案】（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【难度】0.65 【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，由此进行计算即可得出答案； （2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大， ， ∵的面积为， ∴的半径为， ∵，， ， ， ， ∴面积的最大值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小， 是等边三角形， ，， 由题意可知，是的直径， ， ， 为的中点， ， ， 四边形是菱形， 在中，，， ， ， ∴阴影部分面积最小值为 故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出 (1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ； 问题探究 (2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值； 问题解决 (3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知荾形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为3 (3)存在，的最小值为 【难度】0.4 【分析】（1）过A作交于点H，根据等边三角形的性质可求出，，进而可求出； （2）过O作交于点M，交于点N，根据圆与位置的关系，可知即为的最小值，再结合勾股定理即可求得答案； （3）根据直径所对的圆周角是直角可得出点F在以为直径的圆上，从而得出为定值4，由勾股定理可得出最小时，可取最小值，再根据菱形的性质、等边三角形的性质与判定，可得即为的最小值，以为直径做圆，交于点，，再根据切线的性质，当，且皆与相切，有最小值，再结合点F在菱形内，即为的最小值，最后再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，过A作交于点H， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过O作交于点M，交于点N， 此时即为的最小值， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴的最小值为3； （3）∵， ∴点F在以为直径的圆上， ∵E为中点， ∴以E为圆心，为半径，作， ∵， ∴为的切线，连接，在中，为半径， ∴， 在中， ∵为定值4， ∴当最小时，由勾股定理可得，可取最小值， ∵四边形为菱形，且， ∴连接， ，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 已知点P为直线上一动点，而E为边中点， 此时即为的最小值， 在中， ， 但题中要求，若F点位于线段上，则不符合要求， 再以为直径做圆，交于点，， 此时，且皆与相切，为的最小值， ∵点F在菱形内， 连接，得， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，含的直角三角形，菱形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，点与圆上一点的最值问题，切线的性质，直径所对的圆周角是直角等知识点， 熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点，可得 ，由为的中位线，得，那么当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，可得为等腰直角三角形，则，，在中，，由于，即可求解最小值． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，圆的定义，解直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系求最值等，难度较大，解题的关键在与确定点M的轨迹． 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题呈现】 （1）在中，，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为上一点，连接，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． ①如图1，连接，则与的数量关系为______； ②如图2，当点M在右侧时，连接，若与相切，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，有一块形状为三角形的空地，，千米，现计划在周围修建一个以点B为圆心、1千米为半径的圆形草场，现要在草场边上找一点M（即点M在上），沿着修建一条水渠，将线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，沿着修建一条公路，为了成本考虑，要求公路的长度最短，请根据所给数据计算公路是否存在最小值，若存在，则计算出公路的最小值，若不存在，请说明理由．（公路宽度不计） 【答案】（1）①；②；（2）存在， 【难度】0.4 【分析】（1）①旋转得到，进而得到，证明，即可得出结论； ②设直线交与点，根据切线的性质，结合四边形的内角和为360度，得到，进而推出，根据，得到点A和点重合，旋转，得到，进而求出的度数即可； （2）勾股定理，求出的长，由①得到，进而得到点N在以A为圆心，1为半径的圆上，得到当N点在上， 最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）①∵线段绕着点C顺时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②设直线交与点， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴点A和点重合， ∴C、A、M共线， ∵， ∴， ∴； （2）存在 ∵， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴点N在以A为圆心，1为半径的圆上， ∴当N点在上， 最小． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转全等模型，是解题的关键． 【题型三】根据“四点共圆”确定动点轨迹 四点共圆模型：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆的三个条件：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于内对角。 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 【答案】2 【难度】0.4 【分析】过点B作于点H，作射线，由，可得点B，E，H，D四点共圆，由圆周角定理得出，可得点E在的角平分线上运动，由垂线段最短，可知当时，的长度有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作于点H，作射线， 是等腰直角三角形， ，， 是等边三角形，边长为，， ， ， 点B，E，H，D四点共圆， ， ， 点E在的角平分线上运动， 当时，的长度有最小值，此时是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是找出点E的运动轨迹． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 【答案】（1）；（2）①；②当为时，停车场的面积最大，最大为 【难度】0.65 【分析】（1）利用矩形的性质和割补法求解面积即可； （2）①先由已知得，进而得到、、、四点共圆，利用角平分线的定义和圆周角、弦的关系得到，过作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用三角形面积公式求解即可得到函数关系式； ②利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ， 即； （2）①∵，， ∴，， ∴、、、四点共圆，如图， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， 过E作于F，则， ∴， ∴ ∴的面积， 即 ②由于， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当为时，停车场的面积最大，最大为． 【点睛】本题考查矩形的性质、圆的有关性质、二次函数的性质、含度角的直角三角的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，得到、、、四点共圆是解答的关键． 【题型四】定弦定角定圆确定动点轨迹 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，根据，在上方以为斜边作等腰，根据等腰直角三角形边之间的关系可得的取值范围，再利用当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时，最小可得答案． 【详解】解：如图①， ∵，在上方以为斜边作等腰， 以为半径作的外接，连接， 取的中点为P，的中点为Q，连接， 设的半径为r， 在中，， 在中，， ∴，，， ∵， ∴； 如图②， 当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时， ，此时r最小， 解得， ，即的最小值为， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）存在，最小值为， 【难度】0.15 【分析】（1）作点A关于的对称点，连接，，，当共线时，有最小值，最小值为的长，根据对称点的性质结合勾股定理即可得解； （2）延长交于点，则，可求，，过点D作对称点为，连接，则，，，作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，由于，则当点三点共线时，取等，由于，则当点三点共线时，取等，故当点共线时，取得最小值，为，可求，，过点作于，过作于点，，，，则，，故在中，由勾股定理求得，即可求解最值；延长交于点，由，得到，则，继而求解． 【详解】解：（1）作点A关于的对称点，连接，，， 根据对称可知：，，， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴，， 根据对称可知：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）存在最小值，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作对称点为，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，如图： ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∴当点共线时，取得最小值，为，如图： ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 过点作于，过作于点， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴最小值为：． 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形，角直角三角形的性质，矩形的判定与性质，难度较大，综合性很强，关于最值问题涉及“将军饮马”和“定弦定角”． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）问题提出： （1）如图，在中，，，，求外接圆的半径； 问题解决 （2）如图，某园林规划局计划在一片空地上，开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．其中四边形为平行四边形，连接，平分交于点，，．为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该园林规划局的想法能否实现？若能，请求出四边形的周长最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（）外接圆的半径；（）平行四边形的周长的最小值为． 【难度】0.4 【分析】（）取的中点，连接，以为圆心，为半径，作，根据直角三角形斜边上的中线可得是的外接圆，再由勾股定理求出的长即可求解； （）过点作于，于，在上截取，连接根据，可求出，，进而得平行四边形的周长，再由得，则平行四边形的周长，因此要使平行四边形的周长最小，只需为最小即可，证和全等得，再由，得，作的外接圆, 圆心为，连接，，，过点作于，则，，进而得，，设，则，，，由此得要使为最小，只需为最小即可，然后根据，得，则最小值为，继而得的最小值为，据此可得平行四边形的周长的最小值． 【详解】解：（）如图，取的中点，连接，以为圆心，为半径，作， ∵， ∴为， ∴， ∴是外接圆， 由勾股定理得：， ∴外接圆的半径； （）过点作于，于，在上截取，连接，如图所示， ∵，平分， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， ∴要使平行四边形的周长为最小，只需为最小即可， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ，， ∴， ∴， ∴， 即， 作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，如图所示， ∴，， ∴ ，， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故得要使为最小，只需为最小即可， ∵， ∴， 解得：， 即当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为， 此时的最小值为，平行四边形的周长的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的外接圆，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解平行四边形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $