第三单元　函　数 课件 2026年中考数学一轮专题复习（苏州）

该初中数学课件聚焦一次函数的图象与性质这一中考核心考点，严格对接中考说明要求，系统梳理了一次函数定义、性质、表达式确定、图象平移及两直线位置关系等内容。通过分析近4年考情，明确“4年4考”的高频考点权重，并归纳出性质判断、表达式确定、平移旋转及与方程不等式综合等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题实战+技巧点拨”的复习模式，融入2022课标样例改编题、2024苏州13题等中考真题训练，通过待定系数法、“左加右减上加下减”平移规律等技巧指导，培养学生数学思维与模型意识。如结合斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)突破表达式确定难点，助力学生掌握答题技巧，教师可依此高效规划复习，提升中考冲刺效果。

第三单元　函　数 基础课9　平面直角坐标系及函数初步 章前复习思路 解决问题 应用 研究函数的一般路径 平面直角坐标系及函数初步 坐标系中点的特征 函数及其概念 一次函数 反比例函数 二次函数 函数解析式 图象 性质 图象平移 与方程(组)、不等式的关系 ①增减性；②对称性；③最值 建模思想 数形结合思想 点变换的坐标特征 函数的应用 函 数 坐标系中点的距离 节前复习导图 各象限内 坐标轴上 各象限角平分线上 与坐标轴垂直的直线上的点 点的坐 标特征 点到坐标轴及点到点之间的距离 平面直角 坐标系 及函数初步 函数的概念 函数的表示方法及画法 函数自变量的取值范围 函数及其概念 点变换的 坐标特征 对称点的 坐标特征 点平移的 坐标特征 函数值 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、点的坐标特征 各象限内 第一象限：x＞0，y＞0 第二象限： ⁠ 第三象限： ⁠ 第四象限： ⁠ 注：坐标轴上的点不属于任何象限 x＜0，y＞0 x＜0，y＜0 x＞0，y＜0 返回思维导图 返回目录 坐标轴上 x轴上的点M1的纵坐标为 ⁠ y轴上的点M2的横坐标为 ⁠ 原点O的坐标为 ⁠ 各象限角平 分线上 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则 x1=y1 点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上， 则 0 0 (0，0) x2=－y2 返回思维导图 返回目录 与坐标轴垂 直的直线上 的点 垂直于x轴的直线m上的点的 ⁠坐标相同 垂直于y轴的直线n上的点的 ⁠坐标相同 横 纵 返回思维导图 返回目录 二、点变换的坐标特征 1. 对称点的坐标特征 (1)P(a，b) P′(a，－b) (2)P(a，b) P′ ⁠ (3)P(a，b) P′ 口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另 一个变号，关于原点对称都变号 【知识拓展】 点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b) 点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b) (－a，b) (－a，－b) 返回思维导图 返回目录 中点坐标公式：若M(a，b)，N(c，d)为坐标系中任意两点，则MN的中点坐标为 () 返回思维导图 返回目录 2. 点平移的坐标特征 　 点P的坐标 平移方式 平移后点P′ 的坐标 口诀 (x，y) 向左平移a个单位长度 (x－a，y) 左右平移 横坐标：左减右加 向右平移a个单位长度 (x＋a，y) 向上平移b个单位长度 ⁠ 上下平移 纵坐标：上加下减 向下平移b个单位长度 ⁠ (x，y＋b) (x，y－b) 返回思维导图 返回目录 3. 点到坐标轴及点到点之间的距离 (1)如图④，点P(a，b)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ⁠，到原点的距离为 图④ |b| |a| 返回思维导图 返回目录 (2)如图⑤，在x轴(y=0)或平行于x轴的直线：y=b(b≠0)上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间 的距离是|x1－x2| 图⑤ 返回思维导图 返回目录 (3)如图⑥，在y轴(x=0)或平行于y轴的直线：x=a(a≠0)上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间 的距离是|y1－y2| 图⑥ 返回思维导图 返回目录 【知识拓展】 如图⑦，点P(a，b)到平行于x轴的直线y=m的距离为 ，点P(a，b)到平行于y 轴的直线x=n的距离为 ⁠ 图⑦ 如图⑧，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2== 　​　 |b－m| |a－n| ​ 图⑧ 返回思维导图 返回目录 4. 函数及其概念 (1)函数的概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个 值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量 (2)函数的表示方法及画法 表示方法：列表法、 ⁠、图象法 画法：列表→描点→连线 解析式法 返回思维导图 返回目录 (3)函数自变量的取值范围 函数表达式的形式 自变量的取值范围 注：在实际问题 中，自变量的取值 范围应使该问题有 实际意义 含有分式 y= ⁠ 含有二次根式 y= ⁠ 含有分式＋ 二次根式 y= ⁠ y= ⁠ x≠2 x≥0 x≥0且x≠1 x＞0 返回思维导图 返回目录 (4)函数值：y是x的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 (5)研究函数性质的三个维度：①增减性；②对称性；③最值 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 平面直角坐标系中点的坐标特征 (常在函数题中涉及) 命题点 1 1. 在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1)，请完成下列问题. (1)若点A在x轴上，则a的值为 ； (2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ⁠； (3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为 ⁠. － ​ － ＜a＜2 (5，－8) 返回目录 (2)点A关于直线x=3对称的点的坐标为 ，点A关于直线y= ⁠ 对称的点的坐标为(2，－1)； 2. (八上练习改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，请完成下列 问题. (1)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标 为 ，关于原点对称的点的坐标为 ⁠； (2，－3) (－2，3) (－2，－3) (4，3) 1 (－2，－3) (3)连接OA，将线段OA绕原点顺时针旋转180°，点A的对应点B的坐标 为 ⁠； 返回目录 (4)将点A先向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的点C的 坐标为 ，连接AC，则线段AC的中点坐标为 ⁠. (－3，5) (－ ，4) 返回目录 点到坐标轴及点到点之间的距离 (常在函数题中涉及) 命题点 2 3. (八上复习题改编)在平面直角坐标系中，已知点M(m＋1，2m－4)，请 完成下列问题. (1)若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M到x轴的距离为 ⁠，到 y轴的距离为 ，点M到直线x=1的距离为 ，点M到直线y=1的距 离为 ，点M与点(－1，1)之间的距离为 ； 2 2 1 3 3 ​ 返回目录 3. (八上复习题改编)在平面直角坐标系中，已知点M(m＋1，2m－4)，请 完成下列问题. (2)若点M到原点O的距离为2，则m的值为 . 【解析】∵点M(m+1，2m-4)到原点O(0，0)的距离为2， ∴(2)2=(m＋1)2＋(2m－4)2， 解得m1=1，m2=，∴m的值为1或. 1或 ​ 返回目录 函数自变量的取值范围 命题点 3 4. (2025三区统考二模)在函数y=中，自变量x的取值范围是 ⁠. 5. 函数y=中自变量x的取值范围是 ⁠. x≠0 x＞2 返回目录 分析判断函数图象(2022.15) 命题点 4 6. (八上复习题改编)已知A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从 A地匀速前往B地，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间 t(h)之间的关系，其函数关系图象如图所示. 返回目录 图象分析 (1)下列说法正确的是(　D　) A. 乙出发1.5 h后，甲才出发 B. 甲的速度为40 km/h，乙的速度为20 km/h C. 经过 h后，甲、乙两人相距20 km D. 甲比乙提前3 h到达B地 D 返回目录 图象转化 (2)从两人出发直至均到达B地的过程中，能表示甲、乙两人之间距离d(m) 随时间t(h)变化的函数关系图象是(　C　) C 返回目录 7. (2025昆山八校联考零模)如图①，P为菱形ABCD对角线AC上一动点，E 为边CD上一定点，连接PB，PE，BE. 图②是点P从点A匀速运动到点C 时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令 y=0)，则菱形ABCD的周长为(　C　) A. 8 B. 8 C. 20 D. 24 C 返回目录 【解析】由图象可知，当x=0时，即点P与点A重合，此时S△ABE=12， ∴S菱形ABCD=2S△ABE=24；当x=8时，此时点P与点C重合，即AC=8， 如解图，连接BD，交AC于点O，则BD⊥AC，OA=OC=4，OB=OD， ∴S菱形ABCD=AC∙BD=24，∴BD=6，∴OB=OD=3，∴AB==5， ∴菱形ABCD的周长为4×5=20. 解图 返回目录 8. (2022苏州15题3分)一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开 进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至 容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分钟)之 间的函数关系如图所示，则图中a的值为 . ​ 返回目录 【解析】根据图象可知，只打开进水管时，进水速率为30÷3=10升/分 钟，再打开出水管时，容器水量下降，则出水速率为(30－20)÷(8－3)=2 升/分钟，∴只打开出水管时出水速率为12升/分钟，则在关闭进水管后， 容器排完水需20÷12=分钟，∴a=8＋=. 返回目录 $ 第三单元　函　数 提升课15　二次函数综合题 1 核心考点突破 2 分层作业本 核心考点突破 类型一　线段问题(2024.27) 例1　 如图①，已知二次函数y=－x2－2x＋3的图象与x轴 相交于A，B两点，其中点A在点B左侧，与y轴相交于点C. P是直线AC上 方的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，并与直线AC相交于点 Q，与x轴交于点D. 设点P的横坐标为m. 图① 一、表示点坐标 (1)点P的坐标为 ， 点D的坐标为 ， 点Q的坐标为 ⁠； (m，－m2－2m＋3) (m，0) (m，m＋3) 返回目录 【解法提示】令y=0，得－x2－2x＋3=0，解得x1=－3，x2=1，∴A(－3， 0)，B(1，0)；令x=0，得y=3，∴C(0，3)；设直线AC的表达式为y=kx＋ b(k≠0)，将点A(－3，0)，C(0，3)代入y=kx＋b中，得解 得∴直线AC的表达式为y=x＋3，∵点P的横坐标为m， ∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，∵PQ∥y轴， ∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD∥y轴， ∴点D横坐标为m，纵坐标为0. 图① 返回目录 二、表示线段长 图① (2)PD的长为 ，QD的长为 ，PQ的长为 ⁠ ⁠； (3)点P到对称轴的距离为 ，CQ的长为 ⁠； －m2－2m＋3 m＋3 －m2 －3m |m＋1| － m 返回目录 (4)如图②，若PQ的长为2，求点Q的坐标； 图② (4)由(1)得，A(－3，0)，B(1，0)， ∵P是直线AC上方的抛物线上的一个动点， ∴－3＜m＜0， 由(2)得，PQ的长为－m2－3m，令－m2－3m=2， 解得m=－1或m=－2， 由(1)得，Q(m，m＋3)， 当m=－1时，m＋3=2，当m=－2时，m＋3=1， 综上所述，点Q的坐标为(－1，2)或(－2，1)； 返回目录 三、与线段数量关系有关的计算 (5)如图③，若PQ=DQ，求点P的坐标； 图③ (5)由(2)得，QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m， ∵PQ=DQ， ∴－m2－3m=m＋3，解得m=－1或m=－3， ∵P是直线AC上方抛物线上的一个动点， ∴点P不与点A，C重合， ∴m的值为－1， ∴P(－1，4)； 返回目录 (6)如图④，若AQ=2CQ，求点P的坐标； 图④ (6)∵PD∥y轴，∴=， ∵AQ=2CQ，∴=， ∴=， 由(1)得，点A坐标为(－3，0)，∴AO=3， ∴AD=2，∴OD=AO－AD=3－2=1， ∴m=－1，此时－m2－2m＋3=－1＋2＋3=4， ∴P(－1，4)； 返回目录 四、线段最值 (7)如图⑤，过点P作x轴的平行线，与直线AC相交于点M，求△PQM周长 的最大值； (7)由(2)得，PQ的距离为－m2－3m. 由PM∥x轴，得点M的纵坐标为－m2－2m＋3， ∵点M在直线AC上，设点M的坐标为(x，y) ∴x＋3=－m2－2m＋3， ∴x=－m2－2m， 图⑤ 返回目录 ∴PM=－m2－2m－m=－m2－3m(－3＜m＜0)， ∴PQ=PM，∴MQ=PM=(－m2－3m)， ∴△PQM的周长为PQ＋PM＋MQ=－m2－3m－m2－3m＋ (－m2－3m)=－(2＋)(m＋)2＋， ∵－(2＋)＜0，－3＜m＜0， ∴当m=－时，△PQM的周长有最大值，最大值为； 图⑤ 返回目录 (8)如图⑥，连接BP交AC于点K，求的最大值. 图⑥ (8)如图，作BE⊥x轴交AC于点E， E 由(2)得，PQ=－m2－3m， ∵B(1，0)，∴E(1，4)，∴BE=4， ∵PQ∥y轴，∴PQ∥BE， ∴∠PQK=∠KEB， ∵∠PKQ=∠BKE，∴△PQK∽△BEK， ∴=，∴==－m2－m=－(m＋)2＋， ∵－＜0，－3＜m＜0， ∴当m=－时，有最大值，最大值为. 返回目录 练习1　 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k≠0)与抛物 线y=x2－2交于A，B两点，且点A，B的横坐标分别为8，－2.点P是直线 AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连 接PO，设点P的横坐标为m. (1)若点P在x轴上方，当m为何值时，OC=CP； 解：∵直线y=kx(k≠0)与抛物线y=x2－2交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为8，－2， ∴点A(8，6)，B(－2，－)， ∴直线AB的表达式为y=x. 返回目录 设P(m，n)，则m2－2=n， ∵过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C， ∴C(n，n)，∴PC=m－n， 令x2－2=0，解得x1=4，x2=－4. 当点P在x轴上方时，4＜m＜8，n＞0， ∵OC=CP，OC==n，∴n=m－n， ∴n=m，∵m2－2=n，∴m2－2=m， 解得m=或m=(舍去)，∴当m=时，OC=CP； 返回目录 练习1　 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k≠0)与抛物 线y=x2－2交于A，B两点，且点A，B的横坐标分别为8，－2.点P是直线 AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连 接PO，设点P的横坐标为m. (2)若点P在x轴下方，求△POC周长的最大值. (2)由(1)得P(m，n)，m2－2=n， 当点P在x轴下方时，－2＜m＜4，n＜0， 返回目录 ∵点C(n，n)， ∴OC=－n，OP===m2＋2， ∵PC=m－n，m2－2=n， ∴OP＋PC＋OC=m2＋2＋m－n－n=－(m－2)2＋9， ∵－＜0， ∴当m=2时，△POC的周长最大，最大值为9. 返回目录 类型二　面积问题(4年2考) 例2　 如图，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1， 0)，B(3，0)，与y轴交于点C. 一、求三角形、四边形面积 (1)如图①，连接AC，BC，求△ABC的面积； 图① 令x=0，则y=3， ∴点C的坐标为(0，3)，即OC=3， ∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB=4， ∴S△ABC=AB∙OC=×4×3=6； 返回目录 (2)如图②，设抛物线的顶点为D，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的 面积； 图② 如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (2)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y=ax2＋bx＋3中， 得解得 ∴抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点D的坐标为(1，4)， 由(1)得，点C的坐标为(0，3)， 返回目录 如解图①，连接AD交y轴于点G， 设AD所在直线的解析式为y=kx＋d(k≠0)， 将点A(－1，0)，D(1，4)代入y=kx＋d中， 得解得 ∴AD所在直线的解析式为y=2x＋2， 令x=0，则y=2， ∴点G的坐标为(0，2)，∴CG=1， ∴S四边形ABDC=S△ADC＋S△ADB=CG∙|xD－xA|＋AB∙|yD|=9； 解图① 返回目录 二、面积定值及最值 (3)如图③，P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当S△ABP=6 时，求点P的坐标； 图③ (3)由(2)得，抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3， ∴设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)， ∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB=4， ∴S△ABP=×4×(－t2＋2t＋3)=6，整理，得－2t2＋4t=0， 解得t1=2，t2=0(不符合题意，舍去)， 当t=2时，－t2＋2t＋3=3， ∴点P的坐标为(2，3)； 返回目录 (4)如图④，连接BC，若E是直线BC上方抛物线上一动点，连接EC， EB，求△BCE面积的最大值； 图④ 如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (4)由(1)得，点C坐标为(0，3)， 设直线BC的解析式为y=mx＋n(m≠0)， 将点B(3，0)，C(0，3)代入，得解得 ∴直线BC的解析式为y=－x＋3， 返回目录 如解图②，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F， 解图② 由(2)得，抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3， 设E(p，－p2＋2p＋3)，F(p，－p＋3)， ∴EF=－p2＋2p＋3－(－p＋3)=－p2＋3p， ∴S△BCE=EF∙xB=×(－p2＋3p)×3=－(p－)2＋， ∵－＜0，0＜p＜3， ∴当p=时，△BCE的面积最大，最大为； 返回目录 三、面积等值、倍分关系 (5)如图⑤，F为第一象限内抛物线上一动点，连接OF，CF，BF，若 S△BOF=S△COF，求点F的坐标； 图⑤ (5)由(1)得，点C坐标为(0，3)，∴OB=OC=3， 设点F的坐标为(a，－a2＋2a＋3)， ∵S△BOF=OB∙yF=×3×(－a2＋2a＋3)， S△COF=OC∙xF=×3a， S△BOF=S△COF， ∴×3×(－a2＋2a＋3)=×3a， 即－a2＋2a＋3=a， 返回目录 解得a=或a=(不符合题意，舍去)， 此时－a2＋2a＋3=a=， ∴点F的坐标为(，)； 图⑤ 返回目录 (6)如图⑥，Q是第四象限抛物线上一动点，连接AC，BC，AQ，BQ，若 S△QAB=2S△ABC，求点Q的坐标. 图⑥ 如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (6)由题意得△QAB和△ABC同底， ∵S△QAB=2S△ABC， ∴△QAB中AB边上的高是△ABC中AB边上高的2倍， 返回目录 图⑥ 由(1)得OC=3. ∵点Q在第四象限，∴点Q的纵坐标为－6， 当y=－6时，－x2＋2x＋3=－6， 解得x1=1＋，x2=1－(不符合题意，舍去)， ∴点Q的坐标为(1＋，－6). 返回目录 练习2　 如图，抛物线y=－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在 点B的左侧)，交y轴于点C，连接AC，BC. (1)点N是线段AC上一动点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若 S△ANN′=S△ABC，求点N的坐标； 在y=－x2－2x＋3中，令x=0，则y=3， ∴C(0，3)，∴OC=3， 令－x2－2x＋3=0， 解得x1=1，x2=－3， ∴A(－3，0)，B(1，0)，∴AB=4， ∴S△ABC=AB∙OC=6， 返回目录 由点A，C坐标可得AC所在直线的表达式为y=x＋3， ∴设N(n，n＋3)(－3≤n≤0)，则AN′=n＋3， ∵OA=OC=3，∴∠OAC=45°， ∴NN′=AN′=n＋3， 当S△ANN′=S△ABC=2时，即S△ANN′=(n＋3)2=2， 解得n1=－1，n2=－5(舍去)， ∴N(－1，2)； 返回目录 (2)将抛物线向左平移m(m＞0)个单位长度，与原抛物线的交点为点D，连 接AD，BD，AC与BD相交于点E，若△ADE与△BCE的面积差为1，求m 的值. (2)如解图，由题意得，平移后的抛物线的表达式为 y=－(x＋m)2－2(x＋m)＋3=－x2－2x(m＋1)－m2－2m＋3， 解图 y=－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，连接AC，BC. 返回目录 令－x2－2x＋3=－x2－2x(m＋1)－m2－2m＋3， ∴ ∴D(－－1，－m2＋4)， 由(1)得，S△ABC=6， ∵S△ADE=S△ABD－S△ABE，S△BCE=S△ABC－S△ABE， △ADE与△BCE的面积差为1， 解图 返回目录 ∴分两种情况讨论： ①当S△ADE－S△BCE=1时，S△ADE－S△BCE=S△ABD－S△ABE－(S△ABC－ S△ABE)=1， 即S△ABD－S△ABC=1， ∴×4(－m2＋4)－6=1， 解得m=－(舍去)或m=； 解图 返回目录 ②当S△BCE－S△ADE=1时，S△BCE－S△ADE=S△ABC－S△ABE－(S△ABD－ S△ABE)=1， 即S△ABC－S△ABD=1， ∴6－×4(－m2＋4)=1， 解得m=－(舍去)或m=， 综上所述，m的值为或. 解图 返回目录 $ 第三单元　函　数 提升课16　函数的实际应用 1 核心考点突破 2 分层作业本 核心考点突破 一阶　列函数表达式 方法一　待定系数法 1. (2025苏州7题改编)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化， 科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数 值如表： 温度t(℃) －10 0 10 30 声音传播的速度 v(m/s) 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v=at＋b(a，b为常数，且a≠0)，则a= ，b= . 0.6 330 返回目录 2. (八上问题改编)如图为某汽车油箱中剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)的 函数关系图，则y(升)关于x(千米)的函数表达式为 ⁠，tan α的实际意义是 ⁠. y=－0.1x＋70 每千米的耗油量 返回目录 【解析】∵机器狗的最快移动速度v与载重后总质量m成反比例关系， ∴可设v=，∵当m=60 kg时，v=5 m/s，∴k=vm=5×60=300， ∴机器狗的最快移动速度v关于载重后 总质量m的反比例函数表达式为v=. 3. (2025三区统考一模改编)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的 机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已 知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=5 m/s，则机 器狗的最快移动速度v关于载重后总质量m的反比例函数表达式 为 . v= ​ 返回目录 方法二　关系式法 4. (八下习题改编)若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x，y，则y关于 x的函数表达式为 . 5. 为了扩大小区绿化，物业人员计划种植一批水杉树，现有两种水杉树苗 可供选择，甲种树苗7元一棵，乙种树苗12元一棵，计划购买两种树苗共 48棵，设购买甲种树苗x棵，购买所有树苗的总费用为y元，则y与x之间的 函数表达式为 ⁠. y= ​ y=576－5x(0≤x≤48) 返回目录 6. (九下复习题改编)某店购进一批单价为40元的画册，如果按每本60元出 售，那么平均每天可售出100本，经试销统计发现，如果画册售价每降低1 元时，那么平均每天就能多售出10本(售价不低于成本价)，若降价x元， 求平均每天的利润w(元)与降价x(元)之间的函数表达式. 解：设画册降价x(0≤x≤20)元，平均每天的利润为w元，则平均每天的销 售量增加10x本. 由题意可得，销售量为(100＋10x)本，每本画册的利润为(60－x－40)元， ∴w=(60－x－40)(100＋10x)=(20－x)(100＋10x)=－10x2＋100x＋ 2 000(0≤x≤20). 返回目录 二阶　实际问题 类型一　费用利润问题(2022.25) 例1　 苏州碧螺春是中国十大名茶之一，某店家刘老板在 苏州碧螺春批发厂家选中特级碧螺春和一级碧螺春两种茶，决定从该厂家 进货并销售.刘老板计划两次购进碧螺春的数量和花费如下表：(两次单价 不变) 特级碧螺春(单位:斤) 一级碧螺春(单位:斤) 总花费(单位：元) 第一次 购进 15 20 19 000 第二次 购进 18 25 23 300 返回目录 (1)求每斤特级碧螺春和一级碧螺春的进价各为多少元； 解：设每斤特级碧螺春的进价为x元，每斤一级碧螺春的进价为y元， 根据题意，得 解得 答：每斤特级碧螺春的进价为600元，每斤一级碧螺春的进价为500元 返回目录 (2)经过前两次销售经验，店家刘老板计划再次购进特级碧螺春和一级碧 螺春共30斤，且特级碧螺春的数量不少于一级碧螺春数量的一半，则刘老 板至少要准备多少钱？ 解：设进价总额为P元，购进特级碧螺春m斤，则购进一级碧螺春(30－m) 斤，根据题意得，P=600m＋500(30－m)=100m＋15 000， 由题意，得m≥(30－m)， 解得m≥10， ∵100＞0，∴P随m的增大而增大， ∴当m=10时，P取得最小值，P最小=16 000， 答：刘老板至少要准备16 000元. 返回目录 (3)在实际销售过程中，该店发现每斤特级碧螺春售价为1 000元时，月销 量为18斤，每降价10元，月销售量增加3斤，设每斤特级碧螺春降价x元， 降价后的价格不低于成本价，特级碧螺春的月利润为w(元)，写出w与x之 间的函数表达式，并求出当每斤特级碧螺春的售价为多少元时，特级碧螺 春的月利润最大，最大月利润为多少元？ 解：由题意，得w=(1 000－600－x)×(18＋x)=－x2＋102x＋7 200=－ (x－170)2＋15 870(0≤x≤400)， ∵－＜0，0≤x≤400，∴当x=170时，w有最大值，w最大=15 870， 返回目录 ∴每斤特级碧螺春的售价为1 000－170=830(元)， 答：w与x之间的函数表达式为w=－x2＋102x＋7 200(0≤x≤400)，当每 斤特级碧螺春的售价为830元时，特级碧螺春的月利润最大，最大月利润 为15 870元. 返回目录 练习1　(2025苏州附中零模)中秋节是我国的传统节日.月饼是中秋节的美 食之一，月饼寓意着团圆和完美.“豆沙月饼”是某地的特色月饼，深受 当地人们的喜爱.某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通 豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销.已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通 豆沙月饼单价的2倍，用1 600元购进蛋黄豆沙月饼的数量比用700元购进 普通豆沙月饼的数量多50个. (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ 解：(1)设普通豆沙月饼的单价是x元，则蛋黄豆沙月饼的单价是2x元， 根据题意得，－=50， 返回目录 解得x=2， 经检验，x=2是所列分式方程的根，且符合题意， ∴2x=2×2=4， 答：普通豆沙月饼的单价是2元，蛋黄豆沙月饼的单价是4元； 返回目录 普通豆沙月饼的单价是2元，蛋黄豆沙月饼的单价是4元. (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200 个.根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相 应减少40个.将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最 大利润是多少？ (2)设售价定为t元，半个月获得的利润为y元， 根据题意得，y=(t－4)［200－］=－20(t－10)2＋720， ∵≤200，t≥6，∴6≤t≤16， 返回目录 ∵－20＜0， ∴当t=10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是 720元. 返回目录 类型二　行程问题(2023.26) 例2　(2025常熟第一次适应性模拟)甲乙两名同事计划周末登“虞山”， 两人从山下同一地点出发，相约11：00之前到达山顶某景区，甲先出发， 中途休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发40分钟，比甲早到达山 顶.从8：30开始计时，时长记为t分钟，甲、乙两人登山的路程记为y甲、y 乙.甲、乙两人登山的路程y甲、y乙与时长t之间的函数关系如图所示. (1)乙到达山顶的时间为 ⁠； 10∶30 返回目录 (2)记甲的速度为v1，乙的速度为v2. ① 甲、乙两人的速度之比的值为 　​　 ； 【解法提示】∵v1==(米/分钟)，v2==(米/分钟)， ∴==. ​ 返回目录 (2)记甲的速度为v1，乙的速度为v2. ②已知甲的速度v1=80米/分钟，在乙登山的过程中，若|y甲－y乙|=2 000，求 t的值. ②∵a=60×80=4 800(米)，v2==×80=120(米/分钟)， ∴y乙=120(t－40)=120t－4 800(40≤t≤120)， 当0≤t≤60时，y甲=80t， 当60＜t≤90时，y甲=4 800， 返回目录 当40≤t≤60时，|y甲－y乙|=80t－(120t－4 800)=2 000， 解得t=70(舍去)， 当60＜t≤90时，|y甲－y乙|=|4 800－(120t－4 800)|=2 000， 当90＜t≤150时，y甲=4 800＋80(t－90)=80t－2 400. 解得t=或t=(舍去)， 当90＜t≤120时，|y甲－y乙|=120t－4 800－(80t－2 400)=2 000， 解得t=110， ∴t=分钟或t=110分钟. 返回目录 练习2　 如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动 遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上 以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停 止运动，设车的运动时间为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与 x的函数关系图象如图②. (1)根据图象可知跑道MN的总长度为 cm，两车相遇用了 ⁠s； 50 20 返回目录 (2)写出两车在跑道上行驶时，y关于x的函数表达式(写出自变量x的取值 范围)； 如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停止运动，设车的运动时间 为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与x的函数关系图象如图②. (2)当0≤x＜20时，设y=kx＋b(k≠0)， 将(0，40)，(20，0)代入y=kx＋b(k≠0)中， 得 返回目录 解得 ∴y=－2x＋40(0≤x＜20). 当20≤x＜44时，设y=mx＋n(m≠0)， 将(20，0)，(44，48)代入y=mx＋n(m≠0)中，得 解得∴y=2x－40(20≤x＜44)； 当44≤x≤46时，设y=px＋q(p≠0)， 返回目录 解得 ∴y=x＋4(44≤x≤46)； 综上所述， y= 将(44，48)，(46，50)代入y=px＋q(p≠0)中，得 返回目录 (3)当A，B两车车头相距10 cm时，求x的值. 如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停止运动，设车的运动时间 为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与x的函数关系图象如图②. (3)当0≤x＜20时，令y=10，则－2x＋40=10， 解得x=15； 当20≤x＜44时，令y=10，则2x－40=10， 解得x=25；当44≤x≤46时，不符合题意， ∴当A，B两车车头相距10 cm时，x的值为15或25. 返回目录 类型三　抛物线型问题 例3　 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与 小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t－5t2(0≤t≤6). (1)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多 少？ ∵h=30t－5t2=－5(t－3)2＋45(0≤t≤6)， ∴当t=3时，h有最大值，最大值为45， 答：小球运动的时间是3秒时，小球最高，最大高度是45 m； 返回目录 小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t －5t2(0≤t≤6). (2)求小球落到地面时的运动时间； 解：令h=0，则30t－5t2=0， 解得t=0(舍去)或t=6， ∴小球落到地面时的运动时间为6 s 返回目录 小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t －5t2(0≤t≤6). 小球运动的时间是3秒时，小球最高，最大高度是45 m. (3)求小球从第1 s到第4 s运动的垂直路径长； 解：(3)由(1)得，第3s时小球运动到最高点，此时小球距离地面45 m，之 后小球开始竖直下落， ∴当t=1时，h=30×1－5×12=25(m)， 当t=4时，h=30×4－5×42=40(m)， ∴小球从第1 s到第4 s运动的垂直路径长为45－25＋45－40=25(m) 返回目录 小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t －5t2(0≤t≤6). (4)小明站在抛出的小球运动路线旁边离地24 m的看台上，在小球下落过 程中，他一伸手，刚好接住小球，小明伸出的手比看台的平面高出1 m， 求小球从抛出到小明接住小球用了多少时间？ 解：由题意，得h=25m， ∴30t－5t2=25， 解得t=1或t=5， ∵小明是在小球下落的过程中接住小球，∴t=5 s， ∴小球从抛出到小明接住小球用了5 s. 返回目录 练习3 投石车(如图①)是利用杠杆原理抛射石 弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木 筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳 索，利用杠杆原理将石块抛出.图②是某数学兴趣小组研制的抛石车，研 究发现：竖直向上抛出的石块的高度h(m)满足关系式h=－5t2＋v0t，其中 t(s)是石块运动的时间，v0(m/s)是石块被抛出时的速度. 新考法 跨物理学科 返回目录 (1)若在调试阶段设定v0=10 m/s，求石块被抛出的最大高度； 解：(1)由题意得，当v0=10 m/s时，h=－5t2＋10t=－5(t2－2t＋1)＋5=－5(t －1)2＋5. ∵a=－5＜0， ∴抛物线的开口向下，有最大值， ∴当t=1时，h最大值=5， 答：当t=1 s时，石块被抛出的高度最大，最大高度是5 m； 返回目录 (2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为20 m，则石块被抛出时的速度 应该是多少？ (2)①由h=－5t2＋v0t知，抛物线的对称轴为直线t=－=， 当t=时，h最大=－5∙()2＋v0∙==20， 整理，得=400， 解得v0=20或v0=－20(不符合题意，舍去)， ∴石块被抛出时的速度应该是20 m/s； 返回目录 ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到15 m，则小辉 认为：“两次达到高度为15 m之间的间隔时间为2 s.”请判断他的说法是 否正确，并说明理由. ②小辉的说法正确.理由如下： 由①得，h=－5t2＋20t， 当h=15时，15=－5t2＋20t， 解得t1=1，t2=3， ∵3－1=2(s)， ∴小辉的说法正确. 返回目录 $ 第三单元　函　数 提升课12　反比例函数综合题 1 核心考点突破 2 分层作业本 核心考点突破 类型一　反比例函数与一次函数结合(4年3考) 例1　 如图，一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数 y=(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3). (1)求反比例函数与一次函数的表达式； ∵反比例函数y=的图象过点A(－1，6)， ∴将点A(－1，6)代入y=中，得6=，解得m=－6， ∴反比例函数的表达式为y=－. 返回目录 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴将点B的坐标代入y=－中，得a－3=－，解得a=1， ∴B(3，－2)， ∵点A，B在一次函数的图象上， ∴将点A(－1，6)，B(3，－2)分别代入y=kx＋b中， 得解得 ∴一次函数的表达式为y=－2x＋4； 返回目录 一次函数的表达式为y=－2x＋4 . (2)(面积定值)点C(0，c)为y轴上一动点，当S△ABC=2时，求c的值； 设一次函数y=kx＋b的图象与y轴交于点E， 在y=－2x＋4中，令x=0，则y=4， ∴E(0，4)， ∴S△ABC=∙|yE－yC|∙|xB－xA|=∙|4－c|∙|3－(－1)|=2， 解得c=3或c=5； 返回目录 解：设一次函数y=kx＋b的图象与y轴交于点D，由(1)、(2)得B(3，－2)， D(0，4)， ∵A(－1，6)，∴S△OAB=S△AOD＋S△BOD=×4×1＋×4×3=8， 设点M的坐标为(n，0)， ∴S△OAM=×6∙|n|=3|n|， ∵S△OAM=3S△OAB，∴3|n|=3×8，解得n=－8或n=8， ∴点M的坐标为(－8，0)或(8，0) 一次函数的表达式为y=－2x＋4 . (3)(面积比例关系)连接OA，OB，点M在x轴上，若S△OAM=3S△OAB，求点 M的坐标； 返回目录 一次函数的表达式为y=－2x＋4 . (4)(线段相等∙2025苏州23题考法)连接OA，在x轴上是否存在一点G，使得 OA=GA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，设点G的坐标为(p，0)， ∵A(－1，6)， ∴GA=， ∵OA==，OA=GA， ∴=， 解得p=－2或p=0(舍去)，∴点G的坐标为(－2，0). 返回目录 练习1　(2025苏州23题8分)如图，一次函数y=2x＋4的图象与x轴，y轴分别 交于A，B两点，与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象交于点C，过点B作 x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象交于点D，连接CD. (1)求 A，B 两点的坐标； 解：(1)令y=0，则2x＋4=0，解得x=－2， ∴点A的坐标为(－2，0)， 令x=0，则y=4， ∴点B的坐标为(0，4)； 返回目录 一次函数y=2x＋4 . (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. ∵CB=CD，CE⊥BD，∴BE=DE， ∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为4， 在y=中，令y=4，则4=，∴x=， ∴点D的坐标为(，4)，∴点C的坐标为(，8)， (2)如解图，过点C作CE⊥BD，垂足为E， ∵点C在一次函数y=2x＋4的图象上，∴2×＋4=8， 解得k=16. 返回目录 练习2　(2023苏州24题8分)如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=(x ＞0)的图象交于点A(4，n).将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B， D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接 BD，BD的 中点C在反比例函数y=(x＞0)的图象上. (1)求n，k的值； 解：(1)把点A(4，n)代入y=2x，得n=8， ∴A(4，8). 把点A(4，8)代入y=，得k=32； 返回目录 一次函数y=2x ；反比例函数y=(x＞0). (2)当m为何值时，AB∙OD的值最大？最大值是多少？ (2)∵点B的横坐标大于点D的横坐标， ∴点B在点D的右侧. 如解图，过点C作x轴的垂线，分别交AB，x轴于点E，F. ∵AB∥DF，∴∠B=∠CDF， ∵C为BD中点，∴BC=CD. 在△ECB和△FCD中， ∴△ECB≌△FCD(ASA)， 解图 返回目录 ∴BE=DF，CE=CF. ∵EF=yA=8，∴CE=CF=4， ∴C(8，4)， ∵点A沿x轴正方向平移m个单位长度得点B，∴B(m＋4，8)， ∴BE=DF=m－4， ∴D(12－m，0)， ∴OD=12－m， ∴AB∙OD=m(12－m)=－(m－6)2＋36. ∴当m=6时，AB∙OD的值最大，最大值为36. 解图 返回目录 类型二　反比例函数与几何图形结合(2024.24) 例2　 已知点A(1，2)是反比例函数y=(k≠0)的图象上的 一点. (1)(k的几何意义)如图①，△ABC的底边AB⊥y轴，顶点C在x轴上，点B在 y轴上，则△ABC的面积为 ⁠； 图① 1 【解法提示】∵点A(1，2)是反比例函数y=(k≠0) 的图象上的一点， ∴k=1×2=2.∵AB⊥y轴，∴S△ABC=|k|=1. 返回目录 (2)(k的几何意义)如图②，▱ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，且 点A与点C关于原点对称，CB⊥x轴于点B，则▱ABCD的面积为 ⁠； 图② 4 【解法提示】如图，连接AC，∵点A(1，2)与点C关于原点对称， ∴AC过原点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，CB⊥x轴， ∴AD⊥x轴， ∴S▱ABCD=4S△AOD=4×=4. 返回目录 题后反思 反比例函数关于O点中心对称，也关于直线y=±x轴对称.因此，若遇到同 样对称的图形计算时，可计算局部，利用对称性进行计算即可. 返回目录 (3)(和差法)如图③，点P在反比例函数y=(x＞0)的图象上，且AP∥x轴， PB⊥x轴于点B，则四边形PAOB的面积为 ⁠； 图③ 2 【解法提示】如图，延长PA交y轴于点C，∵AP∥x轴， ∴AC⊥y轴，∵点A在函数y=(x＞0)的图象上， ∴S△ACO=×2=1. ∵PB⊥x轴，PC⊥y轴，点P在函数y=(x＞0)的图象上， ∴S矩形OBPC=3，∴S四边形PAOB=S矩形OBPC－S△ACO=3－1=2. C 返回目录 (4)如图④，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，点C(3，1)，将矩 形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度，当点E恰好落在反比例函数图象 上时，求m的值； 图④ ∵四边形ABCD是矩形，∴点E是AC的中点. ∵点A(1，2)，C(3，1)，∴点E(2，). ∵将矩形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度， ∴平移后的点E′(2－m，)， ∵平移后的点E恰好落在反比例函数图象上，∴=， 解得m=； 返回目录 (5)(2024苏州24题考法)如图⑤，点B(0，－2)，连接AB，点M为在线段AB 上方反比例函数y=图象的一动点，连接MB. 过点M作MN∥y轴交线段AB 于点N，求△MBN面积的最大值. 图⑤ ∵A(1，2)，B(0，－2)， ∴易得直线AB的表达式为y=4x－2. 设M(m，)， ∵MN∥y， ∴点N的横坐标为m， 返回目录 将x=m代入y=4x－2中，得y=4m－2， ∴N(m，4m－2)， ∴MN=－(4m－2)=－4m＋2， ∴S△MBN=m(－4m＋2)=－2(m－)2＋， ∴当m=时，S△MBN最大，最大值为， ∴△MBN面积的最大值为. 图⑤ 返回目录 练习3　 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别 为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC(点A，B的对应点分 别为D，C)，反比例函数y=(x＞0)的图象恰好经过C(6，m)，D(n，p)两点. (1)求该反比例函数的表达式； 解：(1)由平移的性质可知，p－m=0－(－2)=2，6－n=0－(－4)=4， 得n=2，∴k=6m=2p， 联立解得 ∴C(6，1)，D(2，3)， 将点C(6，1)代入y=中，得k=6， ∴该反比例函数的表达式为y=； 返回目录 由平移的性质可知，AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设BC所在直线的表达式为y=ax＋b(a≠0)，将点B(0，－2)，C(6，1) 代入，得解得 ∴BC所在直线的表达式为y=x－2， 将y=0代入y=x－2中，得x=4，∴E(4，0)， (2)连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离. (2)如解图，设AD交y轴于点M，连接ME， 解图 返回目录 同理可得AD所在直线的表达式为y=x＋2，将x=0代入y=x＋2中，得 y=2，∴M(0，2). 在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM==2， 设点E到AD所在直线的距离为h， 则在△AEM中，有AE∙OM=AM∙h， ∴×(4＋4)×2=×2×h，解得h=， ∴点E到AD所在直线的距离为. 解图 返回目录 练习4　(2024苏州24题8分)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象与AB交于点 D(m，4)，与BC交于点E. (1)求m，k的值； 解：(1)∵A(－2，0)，C(6，0)，∴OA=2，OC=6， ∴AC=OA＋OC=8，∴BC=AC=8， ∵∠ACB=90°，C(6，0)，∴B(6，8)， 返回目录 设AB所在直线的表达式为y=ax＋b(a≠0)， 把点A(－2，0)，B(6，8)分别代入y=ax＋b中， 得解得 ∴AB所在直线的表达式为y=x＋2， 把点D(m，4)代入y=x＋2中，得m=2， ∴D(2，4)， 把点D(2，4)代入y=中，得k=8； 返回目录 △ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数 y=(x＞0)的图象与AB交于点D(2，4)，与BC交于点E. (2)点P为反比例函数y=(k≠0，x＞0)图象上一动点(点P在D，E之间运 动，不与D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴， 交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标. (2)如解图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L， 则∠NQM=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠BAC=45°， Q L 返回目录 ∵AB∥MP，∴∠MPL=∠BLP=45°， ∴∠QMP=∠QPM=45°，∴MQ=PQ， 设P(t，)(2＜t＜6)，则PQ=t，PN=6－t， ∴MQ=PQ=t， ∴S△PMN=PN∙MQ=(6－t)∙t=－(t－3)2＋， Q L ∵－＜0，2＜t＜6， ∴当t=3时，S△PMN有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(3，). 返回目录 $ 第三单元　函　数 基础课13　二次函数的图象与性质 节前复习导图 二次函数的 图象与性质 定义 开口方向 图象 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 二次函数的 图象与性质 a的正负 决定开口方向 a,b的值决定 对称轴位置 c的正负决定 与y轴交点位置 二次函数图象 与a,b,c的关系 与方程(组)、不等式的关系 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 图象 (草图) 对称轴 1.直接运用公式x= 求解 2.配方法：将一般式化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x=h 注：还可利用x=(其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点的 横坐标)求解 ​－ 返回思维导图 返回目录 顶点坐标 1.直接运用顶点坐标公式( ， 　 )求解 2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h， k) 3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0，则顶点坐标为(x0，y0) － ​ ​ 返回思维导图 返回目录 增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增 大而 ；在对称轴右侧，y随 x的增大而 ⁠ a＜0时，在对称轴左侧，y随x的 增大而 ⁠；在对称轴右 侧，y随x的增大而 ⁠ 最值 a＞0时，y有最 ⁠值 当x=－时，y的最小值为 ⁠ a＜0时，y有最 ⁠值 当x=－时，y的最大值为 ⁠ 减小 增大 增大 减小 小 大 ​ ​ 返回思维导图 返回目录 二、二次函数图象与a，b，c的关系　 a的正负决定开口方向 a＞0 开口 ⁠ a＜0 开口 ⁠ a，b的值决定 对称轴位置 b=0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴 ⁠ a，b异号 对称轴在y轴 ⁠ c的正负决定与 y轴交点位置 c=0 抛物线过原点 c＞0 抛物线与y轴交于 ⁠半轴 c＜0 抛物线与y轴交于 ⁠半轴 向上 向下 左侧 右侧 正 负 返回思维导图 返回目录 三、与方程(组)、不等式的关系 1. 二次函数与方程的关系 (1)方程ax2＋bx＋c=0的解是二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标值 (2)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点⇔方程有两个不相等的实数根 (3)b2－4ac=0⇔抛物线与x轴有一个交点⇔方程有两个相等的实数根 (4)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴无交点⇔方程无解 返回思维导图 返回目录 2. 二次函数与一次函数交点和方程的关系 如图，抛物线y1=ax2＋bx＋c与直线y2=mx＋n相交于A，B两点， 方程ax2＋bx＋c=mx＋n的解是x1，x2(方程也可以化为ax2＋(b－m)x＋(c－n)=0) 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 二次函数的概念及图象位置 命题点 1 1. 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … 8 5 4 5 8 … (1)对称轴为直线 ，抛物线有最 ⁠(填“大”或“小”)值； x=－1 小 返回目录 x … －3 －2 －1 0 1 … y … 8 5 4 5 8 … (2)猜想抛物线的开口向 ⁠(填“上”或“下”)，抛物线与坐标轴的交 点情况为 ⁠，在如图所示的 直角坐标系中作出该函数的图象； 上 抛物线与x轴没有交点，与y轴交于点(0，5) 画出函数图象如解图； 解图 返回目录 (3)根据点的坐标特征可知，当x=1时，a＋b＋c= ，当x=0时， c= ，结合对称轴可得a= ，b= ⁠. 8 5 1 2 返回目录 二次函数的对称性(4年5考) ( ⁠ 快答App∙答疑高频考点 命题点 2 类型一　求对称轴及顶点坐标 2. 抛物线y=－x2＋4x＋1的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ⁠. 3. 抛物线y=ax2＋2ax＋a－3(a≠0)的对称轴为直线 ⁠，顶点坐标 为 ⁠. x=2 (2，5) x=－1 (－1，－3) 4 086次) 返回目录 4. (2024苏州15题3分)二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过 点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为 . － ​ 【解析】解法一：∵B，D两点的纵坐标相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x==2，∴－=2，∴b=－4a，∴抛物线的表达式为y=ax2－4ax＋ c(a≠0)，把点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)分别代入y=ax2－4ax＋c中， 得解得∴=－. 返回目录 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为 . － ​ 解法二：将点A(0，m)，B(1，－m)，D(3，－m)分别代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，得解得∴y=mx2－mx＋m，把点C(2，n)代入y=mx2－mx＋m中，得m×4－m×2＋m=n，解得 n=－m，∴==－. 返回目录 类型二　利用对称性求点坐标 5. (1)已知抛物线y=ax2经过点(1，－2)，则该点关于抛物线的对称轴对称 的点的坐标为 ⁠； 【解法提示】∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴， ∴点(1，－2)关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(－1，－2). (－1，－2) 返回目录 (2)若抛物线y=a(x－5)2＋3(a≠0)与x轴的一个交点为(2，0)，求该抛物线与 x轴的另一个交点坐标； 解：∵抛物线的对称轴为直线x=5，且与x轴的一个交点坐标为(2，0)， ∴点(2，0)关于对称轴直线x=5对称的点的坐标为(8，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(8，0) 返回目录 (3)若抛物线y=ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线， 交抛物线于点B，求点B的坐标； 解：令x=0，则y=1，∴A(0，1)，∵－=1，由题意，得点A与点B关于对 称轴直线x=1对称， ∴点B的坐标为(2，1) 返回目录 (4)已知抛物线的对称轴为直线x=1，点A与点B均在抛物线上，且两点的 纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB=4，求点A与点B的横坐标. 解：抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，点A在点B的左侧， ∴点A的横坐标为1－2=－1，点B的横坐标为1＋2=3. 返回目录 满分技法 1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线. (1)y=ax2(a≠0)图象关于y轴对称； (2)y=a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x=h对称； (3)y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x=－对称； (4)y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x=对称. 2. 抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称轴 与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标. 返回目录 二次函数的增减性 命题点 3 类型一　利用增减性比较大小 6. 已知抛物线y=x2＋4x＋1. (1)若抛物线经过(－1，y1)和(2，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或 “=”)； (2)若抛物线经过(－3，y1)和(1，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或 “=”)； (3)若抛物线经过(－6，y1)，(－5，y2)和(1，y3)三点，则y1，y2，y3的大小 关系为 ⁠； ＜ ＜ y2=y3＜y1 返回目录 拓展设问 (4)若抛物线经过(－1，y1)和(m，y2)两点，且y1＜y2，求m的取值范围. 解：∵二次函数y=x2＋4x＋1图象的对称轴为直线x=－2，∴点(－1，y1)关于 对称轴对称的点为(－3，y1)，∵函数图象开口向上，∴当x＜－2时，y随x的 增大而减小，当x＞－2 时，y随x的增大而增大， ∵y1＜y2， ∴m＜－3或 m ＞－1. 返回目录 类型二　利用增减性求取值范围 7. 如图，已知抛物线y=x2－2x－1. (1)函数值y的取值范围是 ，当－3≤x≤0时，函数值y的取值范 围是 ⁠； 【解法提示】∵该抛物线对称轴为直线x=－=1，且抛物线开口向上， ∴抛物线在x=1处取得最小值，最小值为y=－2， ∴函数值y的取值范围为y≥－2； ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴－3≤x≤0在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小， ∵当x=－3时，y=14，当x=0时，y=－1， ∴当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是－1≤y≤14. y≥－2 －1≤y≤14 返回目录 如图，已知抛物线y=x2－2x－1. (2)若抛物线的函数值为2＜y＜3，则x的取值范围是 ⁠ ； 1－ ＜x＜－1或 3＜x＜1＋ ​ 【解法提示】当y=2时，解得x=－1或x=3，当y=3时， 解得x=1－或x=1＋， ∵抛物线开口向上， ∴x的取值范围是1－＜x＜－1或3＜x＜1＋. 返回目录 如图，已知抛物线y=x2－2x－1. (3)当－2＜x≤3时，函数值y的取值范围是 ⁠； 【解法提示】∵抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，－2＜x≤3， ∴当x=1时，抛物线有最小值，最小值为y=－2，∵1－(－2)=3＞3－1=2， 且当x=－2时，y=7，∴当－2＜x≤3时，函数值y的取值范围是－2≤y＜7； －2≤y＜7 返回目录 如图，已知抛物线y=x2－2x－1. (4)若点A，B是抛物线上两点(点A，B均在对称轴右侧)，且到对称轴的距 离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为抛物线上点A，B之间(含点 A，B)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. ∵抛物线对称轴为直线x=1，点A，B到对称轴的距离分别为2，3， 且点A，B均在对称轴右侧， ∴点A，B的横坐标分别为3，4， 当x=3时，y=2，当x=4时，y=7， ∵点Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点， ∴当3≤x≤4时，点Q的纵坐标yQ的取值范围为2≤yQ≤7. 返回目录 题后反思 若将(4)中的条件“点A，B均在对称轴右侧”改为“点A在点B的左侧”， 求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 解：∵点A，B为抛物线上两点(点A在点B的左侧)， 且到对称轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度， ∴点A的横坐标为－1或3，点B的横坐标为4， ∴点A坐标为(－1，2)或(3，2)，点B坐标为(4，7). 返回目录 ∵点Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点， ∴当A，B在对称轴的同侧时，2≤yQ≤7；当A，B在对称轴的两侧时，－ 2≤yQ≤7， ∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为2≤yQ≤7或－2≤yQ≤7. 返回目录 满分技法 抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d，则有： d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时， d越大，y值越小，d越小，y值越大. 返回目录 二次函数的最值 命题点 4 8. 如图，已知抛物线y=－x2＋2x＋3. (1)当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 　　，最小值是 ⁠； (2)当2≤x≤4时，函数值y的最大值是 ，最小值是 ⁠； －5 4 －12 3 返回目录 如图，已知抛物线y=－x2＋2x＋3. (3)当0≤x≤3时，求函数值y的最大值和最小值之差. ∵抛物线y=－x2＋2x＋3， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∵0≤x≤3，且1－0＜3－1， ∴当x=1时，y取得最大值，最大值为4， 当x=3时，y取得最小值，最小值为0， ∴函数值y的最大值和最小值之差是4. 返回目录 拓展设问 (4)若－2≤x≤m，函数值y的最大值和最小值分别是多少？ ∵抛物线y=－x2＋2x＋3，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∵－2≤x≤m，∴m存在以下几种情况： ①当－2＜m≤1时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 当x=－2时，y取得最小值，最小值为－5， 当x=m时，y取得最大值，最大值为－m2＋2m＋3； 返回目录 ②当1＜m＜4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=－2时，y取得最 小值，最小值为－5，当x=1时，y取得最大值，最大值为4； ③当m=4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=－2或x=4时，y取得 最小值，最小值为－5，当x=1时，y取得最大值，最大值为4； ④当m＞4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=1时，y取得最大 值，最大值为4，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x=m时，y取得 最小值，最小值为－m2＋2m＋3. 返回目录 二次函数图象与a，b，c的关系 命题点 5 9. 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x=1.根据 图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“=”填空. 根据图象判断a，b，c类 (1)a 0，b 0，c ⁠0； 当x=±1，±2类 (2)a＋b＋c 0；(3)4a－2b＋c ⁠0； ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ 返回目录 当a，b，c三个缺一个类 (4)2a＋b 0；(5)c－a ⁠0； (6)2c－3b ⁠0； b2－4ac类 (7)b2－4ac ⁠0. = ＜ = ＞ 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x=1. 返回目录 满分技法 根据函数图象判断相关结论： 结论形式 解题思路 2a＋b －与1比较 2a－b －与－1比较 a＋b＋c 令x=1，看纵坐标 a－b＋c 令x=－1，看纵坐标 返回目录 满分技法 根据函数图象判断相关结论： 结论形式 解题思路 4a＋2b＋c 令x=2，看纵坐标 4a－2b＋c 令x=－2，看纵坐标 9a＋3b＋c 令x=3，看纵坐标 9a－3b＋c 令x=－3，看纵坐标 返回目录 【解析】将关于x的方程ax2＋(2－k)x=b－c变形得ax2＋2x＋c=kx＋b， ∵抛物线y=ax2＋2x＋c与直线y=kx＋b的图象交于A，B两点， ∴方程ax2＋2x＋c=kx＋b的解是A，B两点的横坐标， ∴结合图象可得方程ax2＋2x＋c=kx＋b的解 是x1=－2，x2=1， ∴方程ax2＋(2－k)x=b－c的解是x1=－2，x2=1. 二次函数与方程的关系 命题点 6 10. 如图，抛物线y=ax2＋2x＋c与直线y=kx＋b的图象交于A，B两点，则关 于x的方程ax2＋(2－k)x=b－c的解是 ⁠. x1=－2，x2=1 返回目录 $ 第三单元　函　数 基础课14　二次函数表达式的确定(含图象变化) 节前复习导图 二次函数表达 式的确定(含图像 变化) 二次函数 图象的变化 平移变化 对称变化 确定二次 函数表达式 二次函数表达式的三种形式 待定系数法求二次函数的表达式 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、确定二次函数表达式 1. 二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) (2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k为常数)，其中顶点坐标为(h，k) (3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2为常数)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点 的横坐标 返回思维导图 返回目录 2. 待定系数法求二次函数的表达式　 表达式 已给出 对于二次函数表达式y=ax2＋bx＋c，若a，b，c中有一个未知，则代入二 次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任 意两点坐标 表达式 未给出 当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的一般式为y=ax2＋bx＋ c(a≠0) 返回思维导图 返回目录 表达式 未给出 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设顶点式为 y=a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点 时，通常设交点式为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点坐 标分别为(x1，0)，(x2，0) 返回思维导图 返回目录 二、二次函数图象的变化 1. 平移变化 (1)从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(以研究顶点 坐标为主)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解 即可 返回思维导图 返回目录 (2)从表达式上考虑：二次函数图象平移的规律如下表： 平移前表 达式 平移方向(n＞0) 平移后表达式 简记 y=a(x－h)2 ＋k(a≠0) 向左平移n个单位 ⁠ 左“＋” 右“－” 向右平移n个单位 ⁠ 向上平移n个单位 ⁠ 上“＋” 下“－” 向下平移n个单位 ⁠ y=a(x－h＋n)2＋k(a≠0) y=a(x－h－n)2＋k(a≠0) y=a(x－h)2＋k＋n(a≠0) y=a(x－h)2＋k－n(a≠0) 返回思维导图 返回目录 2. 对称变化　 原表达式 及顶点 变化形式 变化后 的a值 变化后的 顶点坐标 变化后的表达式 y=a(x－h)2 ＋k(a≠0)， 顶点坐标 为(h，k) 关于x轴对称 －a (h，－k) y=－a(x－h)2－k 关于y轴对称 a (－h，k) y=a(x＋h)2＋k 关于原点 O中心对称 －a (－h，－k) y=－a(x＋h)2－k 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 二次函数表达式的确定(常在二次函数综合题中涉及) 命题点 1 1. 根据下列已知条件，求抛物线的表达式. 形式一　系数中有一个未知量 (1)已知抛物线y=2(x＋1)2＋c与y轴的交点坐标为(0，3)，求抛物线的 表达式； 解：(1)将点(0，3)代入y=2(x＋1)2＋c， 得3=2＋c，解得c=1， ∴抛物线的表达式为y=2(x＋1)2＋1=2x2＋4x＋3 返回目录 形式二　系数中有两个未知量 (2)已知抛物线y=x2＋bx＋c的顶点坐标为(2，8)，求抛物线的表达式； 解：∵抛物线的顶点坐标为(2，8)，a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x－2)2＋8=x2－4x＋12 返回目录 (3)已知抛物线y=ax2＋bx－2的对称轴为直线x=，且经过点(－1，0)，求 抛物线的表达式； 解：∵抛物线y=ax2＋bx－2的对称轴为直线x=，且经过点(－1，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2－x－2 返回目录 (4)已知抛物线y=ax2＋2x＋c经过点(－1，0)，(0，3)，求抛物线的表 达式； 解：∵抛物线经过点(0，3)，∴c=3， ∵抛物线经过点(－1，0)， ∴将点(－1，0)代入y=ax2＋2x＋3中，得a(－1)2＋2×(－1)＋3=0， 解得a=－1， ∴抛物线的表达式为y=－x2＋2x＋3 返回目录 形式三　系数a，b，c均为未知量 (5)已知抛物线与x轴交于点(2，0)，(－1，0)，与y轴交于点(0，1)，求抛物 线的表达式； 解：∵抛物线与x轴交于点(2，0)，(－1，0)， ∴可设抛物线的表达式为y=a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 又∵抛物线与y轴交于点(0，1)， 将点(0，1)代入，得－2a=1，解得a=－， ∴抛物线的表达式为y=－(x－2)(x＋1)=－x2＋x＋1 返回目录 (6)已知抛物线经过原点，且顶点坐标为(1，－1)，求抛物线的表达式； 解：∵抛物线的顶点坐标为(1，－1)， ∴可设抛物线的表达式为y=a(x－1)2－1(a≠0)， 又∵抛物线经过原点， ∴将点(0，0)代入，得a－1=0，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x－1)2－1=x2－2x 返回目录 (7)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1， 0)，OB=OC=3OA，求抛物线的表达式. ∵A(－1，0)，OB=OC=3OA，∴OA=1，OB=OC=3， ∴B(3，0)，C(0，－3)， ∴可设抛物线的表达式为y=a(x＋1)(x－3)(a≠0)， 将(0，－3)代入，得－3a=－3，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x＋1)(x－3)=x2－2x－3. 返回目录 二次函数图象的变化 命题点 2 2. (九上思考与探索改编)已知抛物线y=(x－2)2＋2，请根据下列要求回答 问题. (1)将抛物线先向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ⁠ ，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ⁠ ⁠； (2)抛物线关于x轴对称的新抛物线的表达式为 ⁠； (3)若将该抛物线经过平移后得到的抛物线表达式为y=x2－6x＋10，则平移 的方式可以是 ⁠ ⁠.(写出一种平移方式即可) y=(x－ 1)2＋2 y=(x－ 1)2－1 y=－(x－2)2－2 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度(答案 不唯一) 返回目录 $ 第三单元　函　数 基础课10　一次函数的图象与性质 节前复习导图 上加下减、左加右减 一次函数表达式的确定 一次函数的 图象与性质 一次函数 图象的平移 两直线在同一平面内 的位置关系 一次函数的 图象与性质 一次函数 k决定图象的倾斜 方向和增减性 b决定图象与 y轴的交点位置 图象 经过的象限 与坐标轴的交点 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函 数，图象为过原点的一条直线) k决定图象的倾 斜方向和增减 性 k 0⇔从左向右看图象呈 上升趋势“/” y随x的增大而 ⁠ k 0⇔从左向右看图象呈下降 趋势“\” y随x的增大而 ⁠ ＞ 增大 ＜ 减小 返回思维导图 返回目录 b决定图 象与y轴 的交点位 置 b ⁠0 ⇔交点在 正半轴上 b=0⇔交 点在原点 上 b ⁠0 ⇔交点在 负半轴上 b＞0⇔交 点在正半 轴上 b ⁠0 ⇔交点在 原点上 b＜0⇔交 点在负半 轴上 图象 (草图) 请画出 草图 请画出 草图 ＞ ＜ = 返回思维导图 返回目录 经过的象 限 一、二、 三 一、三 ⁠ ⁠ 一、二、四 ⁠ ⁠ 二、三、 四 与坐标轴 的交点 与x轴的交点坐标为 (即令y=0)，与y轴的交点坐标为 ⁠ (即令x=0) 一、 三、四 二、 四 (－ ，0) (0，b) 返回思维导图 返回目录 二、一次函数表达式的确定 1. 方法：待定系数法 2. 步骤 一设：设一次函数表达式为y=kx＋b(k≠0) 二列：找出函数图象上的两个点，分别代入y=kx＋b中，得到二元一次方程组 三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值 四还原：将所求待定系数k，b的值代入y=kx＋b中即可 【满分技法】 对于正比例函数y=kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k即 可确定表达式 返回思维导图 返回目录 三、一次函数图象的平移 1. 直线y=kx＋b(k≠0) y=k(x＋m)＋b 2. 直线y=kx＋b(k≠0) ⁠ 3. 直线y=kx＋b(k≠0) ⁠ 4. 直线y=kx＋b(k≠0) ⁠ 简记为“左加右减，上加下减” y=k(x－m)＋b y=kx＋b＋m y=kx＋b－m 返回思维导图 返回目录 四、两条直线在同一平面内的位置关系 在同一平面直角坐标系中，已知直线y1=k1x＋b1(k1≠0)和y2=k2x＋b2(k2≠0). 1. 两条直线平行、重合或相交(垂直或关于垂直于坐标轴的直线对称)： 返回思维导图 返回目录 平行 重合 垂直 相交(关于垂直于坐标轴的直线对称) 系数 关系 k1=k2， b1≠b2 k1=k2， b1=b2 k1∙k2= －1 k1＋k2=0 b1=b2 b1=－b2 / 图象 关于y轴对 称 关于x轴对 称 关于垂直于坐标轴 的直线对称 返回思维导图 返回目录 2. 相交(一般情况)： 函数与方程(组) 函数与不等式(组) 方程k1x＋b1=0的解为一次函数 y1=k1x＋b1图象与x轴的交点的横坐 标 ①不等式k1x＋b1＞0的解集为一次函数y1=k1x＋b1 图象位于x轴上方自变量x的取值范围； ②不等式k1x＋b1＜0的解集为一次函数y1=k1x＋b1 图象位于x轴下方自变量x的取值范围 返回思维导图 返回目录 函数与方程(组) 函数与不等式(组) 方程组， 的解为一次函数y1=k1x＋b1与 y2=k2x＋b2图象的交点坐标值 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为一次函数y1=k1x ＋b1图象位于一次函数y2=k2x＋b2图象上方自变 量x的取值范围 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 一次函数的图象与性质(4年4考，1次单独考查，其余均为涉及) 命题点 1 1. (2022课标样例改编)世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学 生查阅资料，得到两种温标计量值如下表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 华氏温度值y(℉)与摄氏温度值x(℃)之间的函数关系可能为(　B　) A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 B 返回目录 满分技法 当看到一组数据中，x定量增加时，y也是定量增加或减少，则x和y之间存 在一次函数关系. 返回目录 2. (八上习题改编)若a＜－1，则一次函数y=(a＋1)x＋2－a的图象可能是 (　D　) D 返回目录 3. 已知一次函数y=－x＋4. (1)补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象； x … －2 －1 0 1 … y … ⁠ 5 ⁠ 3 … 6 4 画出函数图象如解图； 解图 返回目录 已知一次函数y=－x＋4. 解图 (2)一次函数的图象不经过第 ⁠象限； 三 (3)一次函数的图象与x轴的交点B的坐标为 ，与y轴的交点C的 坐标为 ，△BOC的面积为 ⁠； (4)若一次函数的图象过点(x1，－2)，(x2，4)， 则x1 x2.(填“＞”“＜”或“=”) (4，0) (0，4) 8 ＞ 返回目录 4. (2025苏州12题3分)过A，B两点画一次函数y=－x＋2的图象，已知点A 的坐标为(0，2)，则点B的坐标可以为 ⁠(填一个符合 要求的点的坐标即可). (1，1)(答案不唯一) 返回目录 一次函数表达式的确定(4年4考，1次单独考查，其余均为涉及) 命题点 2 5. 已知正比例函数y=kx(k≠0)，且y随x的增大而减小，写出一个满足上述 条件的k的值为 ⁠. －1(答案不唯一) 返回目录 6. 已知一次函数y=kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图 所示. (1)(待定系数法)该一次函数的表达式为 ⁠； 【解析】∵一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点， ∴将(0，1)，(1，3)分别代入y=kx＋b中， 得解得 ∴该一次函数的表达式为y=2x＋1. y=2x＋1 返回目录 题后反思 小明说，在如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为 5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2.小明这种确定k的方法有道理 吗？说说你的认识，并用这种方法求一次函数表达式. 解：小明的说法有道理，当x增加1时，y值的增量为k(x＋1)＋b－(kx＋b)=k； 当自变量由x1变为x2时，因变量y的变化量为y2－y1=kx2＋b－(kx1＋b)=kx2 －kx1=k(x2－x1)，则=k. 返回目录 ∵一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点，∴b=1， ∵x从0变成1时，y从1变成3，∴k==2， ∴该函数的表达式为y=2x＋1. 返回目录 (2)(平移求表达式)将该函数图象向下平移3个单位长度，得到的新函数表 达式为 ⁠； (3)该函数图象经过平移后得到的新函数图象的表达式为y=2x＋5，则平移 方式正确的是(　C　) A. 向下平移2个单位长度 B. 向下平移4个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向左平移4个单位长度 y=2x－2 C 返回目录 温馨提示 斜率为k1与斜率为k2的两条直线垂直时，有k1∙k2=－1，但该结论不能直 接在解答题中使用哦! (4)(根据图象位置关系求表达式)与该函数图象平行且过点(－1，－5)的一 次函数的表达式为 ⁠；与该函数图象垂直且过点(4，1)的一次 函数的表达式为 ⁠. y=2x－3 y=－ x＋3 返回目录 7. (2024苏州13题3分)直线l1：y=x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时 针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 . 【解析】设直线l1：y=x－1与x轴的夹角为α，∵k=1，∴tan α=k=1， ∴α=45°.在y=x－1中，令y=0，则x－1=0，解得x=1，∴A(1，0)， ∵将直线l1绕点A逆时针旋转15°，∴旋转后直线与x轴的夹角=45°＋15°=60°，∴k新=tan 60°=，将A(1，0)代入y－y0=k新(x－x0)中， 得y－0=(x－1)，即y=x－. y= x － ​ 返回目录 满分技法 定义直线y=kx＋b中，k为斜率，k=［其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线上 任意不相同的两点］， 求直线(或一次函数图象)绕某定点旋转后对应直线的函数表达式的步骤： 1. 求原直线与x轴的夹角：由斜率k=tan α得夹角α的值； 2. 确定旋转后直线的斜率：依据旋转方向(顺/逆)和旋转角度β，计算新倾 斜角α新(逆时针旋转时α新=α＋β，顺时针旋转时α新=α－β)，再由k新=tan α 新得到新的斜率； 返回目录 3. 求旋转后直线的函数表达式：用点斜式y－y0=k新(x－x0)［其中(x0，y0) 为旋转不动点］，整理得旋转后直线的函数表达式. 返回目录 一次函数与方程(组)、不等式的关系(常在函数综合题中涉及) 命题点 3 8. (八上练习改编)在平面直角坐标系中，函数y=－x＋2与y=mx＋n(m，n 为常数，m≠0)的图象如图所示，结合函数图象，回答下列问题. (1)关于x的方程mx＋n=0的解为 ，关于x的不等式mx＋n＞0的 解集为 ⁠； (2)不等式mx＋n＞－x＋2的解集为 ⁠； x=－3 x＞－3 x＞－1 返回目录 (3)关于x，y的方程组的解为 　 　. ​ 函数y=－x＋2与y=mx＋n(m，n为常数，m≠0)的图象如图所示. 【解析】二元一次方程组可转化为 观察图象可得，函数y=－x＋2和y=mx＋n的交点横坐标为－1， 将x=－1代人y=－x＋2，得y=3， ∴这两个函数图象的交点坐标为(－1，3)， ∴原方程组的解为 返回目录 $ 第三单元　函　数 基础课11　反比例函数的图象与性质 节前复习导图 反比例函数 的图象与性质 反比例函数与 方程（组）、不等式的关系 反比例函数 表达式的确定 待定系数法 利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解 反比例系数k 的几何意义 k的几何意义 常见图形及结论 反比例函数 的图象与性质 表达式 k 图象 所在象限 图象特征 增减性 对称性 1 考点精讲 2 基础题练考点 3 分层作业本 考点精讲 一、反比例函数的图象与性质　 表达式 y=(k为常数，k≠0)或反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积为常数， 即xy=k k k ⁠0 k＜0 图象 (草图) ②请画出草图 ＞ 返回思维导图 返回目录 所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第 象限(x，y ⁠) 图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0 增减性 在每个象限内，y随x的增大 而 ⁠ 在每个象限内，y随x的增大而 ⁠ ⁠ 对称性 关于直线y=x，y=－x成 对称；关于 ⁠成中心对称 二、四 异号 减小 增 大 轴 原点 返回思维导图 返回目录 【满分技法】 1. 在反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不 能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大” 2. 在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关 于原点对称 返回思维导图 返回目录 二、反比例函数系数k的几何意义 1. k的几何意义：如图，在反比例函数y=(k为常数，k≠0，x＜0)的图象上任取一点 P(a，b)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积 S=|ab|= |k| 返回思维导图 返回目录 2. 常见图形及结论 返回思维导图 返回目录 三、反比例函数表达式的确定 1. 待定系数法 (1)设出反比例函数表达式为y=(k≠0) (2)找出图象上一点P(a，b)代入y=中 (3)确定反比例函数表达式为y= 2. 利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时考虑用k的几何意 义.由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入表达式即可 返回思维导图 返回目录 四、反比例函数与方程(组)、不等式的关系　 示意图 函数与方程(组) 函数与不等式(组) 利用数形结合思想可知，方程组 的解为一次函数y=ax ＋b(a≠0)的图象与反比例函数 y=(k≠0)图象的交点坐标值 利用数形结合思想可知，①不等 式＞ax＋b的解集为x＜xA或0＜ x＜xB；②不等式＜ax＋b的解 集为xA＜x＜0或x＞xB. xA，xB分 别为点A，B的横坐标 返回思维导图 返回目录 基础题练考点 反比例函数的图象与性质(4年4考，仅2024.7单独考查，其余 命题点 1 1. (八下练习改编)关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　C　) A. 图象位于第二、四象限 B. 图象与坐标轴有公共点 C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D. 若图象经过点(a，a－3)，则a=4 C 在反比例函数综合题中涉及)( ⁠快答App∙答疑高频考点1428次) 返回目录 2. (八下习题改编)已知反比例函数y=的图象与直线y=3x相交于A，B两 点，点B的坐标为(1，m)，则点A的坐标为(　B　) A. (3，1) B. (－1，－3) C. (－1，3) D. (1，－3) 【解析】将(1，m)代入y=3x，得m=3，∴点B的坐标为(1，3). ∵函数y=和y=3x的图象均关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称，∴点A的坐标为(－1，－3). B 返回目录 3. (八下复习题改编)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y= －的图象上. (1)若0＜x1＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ⁠； (2)若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ⁠； (3)若y3＜y1＜y2＜0，则x1，x2，x3的大小关系为 ⁠； (4)若y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为 ⁠. y1＜y2＜y3 y2＜y3＜y1 x3＜x1＜x2 x3＜x1＜x2 返回目录 4. (2024苏州7题改编)如图，点A为反比例函数y=－(x＜0)图象上的一点， 连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点B，则 的值为 . ​ 返回目录 【解析】如解图，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，则 ∠AGO=∠OHB=90°，∴∠BOH＋∠OBH=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOG＋∠BOH=90°， ∴∠AOG=∠OBH，∴△AGO∽△OHB，∴=()2， ∵点A在反比例函数y=－的图象上，点B在反比例函数y=的图象上， ∴S△AGO=，S△BOH=2，∴()2==，∴=. 解图 返回目录 反比例函数k的几何意义(2022.23) 命题点 2 5. 如图，点P是反比例函数y=(k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的 面积为18，则k的值为 ⁠. 18 【解析】如图①，连接OP，∵点B是点A关于x轴的对称点， ∴OA=OB，∴S△AOP=S△POB=S△PAB，∵S△PAB=18，∴S△AOP=9， ∴|k|=18，∵反比例函数的图象在第三象限，∴k=18. 图① 返回目录 如解图②，过点P作PC⊥x轴于点C，设BP交x轴于点D，则PC=AO=BO， ∵∠CDP=∠ODB，∠PCD=∠BOD， ∴△PCD≌△BOD， ∴S矩形AOCP=S△PAB=18，∴|k|=18， ∵反比例函数的图象在第三象限，∴k=18. 图② 如图，点P是反比例函数y=(k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于 点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的 值为 . 18 返回目录 6. (2025苏州附中零模)如图，点A，D分别在函数y=－，y=的图象上，点 B，C在x轴上.若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD 上，则△EBC的面积为 　 　. ​ 【解析】∵点A，D分别在函数y=－，y=的图象上， ∴S矩形ABCD=3＋6=9， ∴S△EBC=BC∙AB=S矩形ABCD=. 返回目录 反比例函数表达式的确定(4年4考，均在反比例函数综合题 命题点 3 7. (八下练习改编)已知反比例函数y=(k≠0). (1)若函数图象经过点A(2，－4)，则反比例函数的表达式为 ； (2)若函数图象经过点B(2m，1)，C(－1，m－3)，则反比例函数的表达式 为 . y=－ ​ y= ​ 中涉及) 返回目录 $