专题05 平面图形的初步认识全章常考易错压轴题型汇总（24易错+8压轴）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题05 平面图形的初步认识全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 直线、射线、线段 易错考点13 角平分线的简单计算 易错考点02 画出直线、射线、线段 易错考点14 余角、补角的有关计算 易错考点03 线段的和与差 易错考点15 相交线 易错考点04 线段中点的有关计算 易错考点16 垂线 易错考点05 两点间的距离 易错考点17 对顶角与邻补角 易错考点06 角的相关概念 易错考点18 平行公理 易错考点07 钟面角 易错考点19 三线八角 易错考点08 方向角 易错考点20 平行线的判定与性质 易错考点09 角的四则运算 易错考点21 平行线的性质在生活中的应用 易错考点10 尺规作角 易错考点22 平行线间距离 易错考点11 三角板中角度简单计算 易错考点23 多边形的相关概念 易错考点12 几何图形中角度简单计算 易错考点24 多边形对角线问题 压轴考点 压轴考点01 线段和与差综合 压轴考点05 余角、补角相关计算 压轴考点02 三角板中角度计算 压轴考点06 平行线的判定与性质 压轴考点03 几何图形中角度计算 压轴考点07 平行模型中“拐点”问题 压轴考点04 角平分线有关计算 压轴考点08 多边形中的对角线问题 易错考点01 直线、射线、线段 1．（23-24七年级上·江苏苏州·月考）从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点02 画出直线、射线、线段 4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线，交于点E． (2)连接，并将其反向延长． (3)是否存在一点P，使得它既在直线上又在直线上？试画出图形并判断． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小．依据是_______． 5．（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，交于点E； (4)连接，并将其反向延长． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知平面内四个点，，，分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹） (1)连接，作直线； (2)作射线，并用无刻度的直尺和圆规在射线上找点，使得（请作出所有符合要求的点）； (3)若要在线段上建一所供电站，向四个村庄供电，且满足到村庄与村庄所用电线最短，则供电站应建在何处，请画出供电站点的位置，并说明这样建的理由是______． 易错考点03 线段的和与差 7．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 8．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，点，，是数轴上的三个点，，表示的数分别是，，若在的右侧，且，则点表示的数是 ． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． (1)若点D 在线段上，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 易错考点04 线段中点的有关计算 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若线段，M是的中点，D是的中点，，则的长为 ． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，直接写出的长． 易错考点05 两点间的距离 13．（24-25七年级上·吉林白城·期末）已知点A，B，C，都是直线l上的点，且，，D是的中点，那么A，D间的距离是多少？ (1)画出符合题意的图形； (2)计算A，D间的距离． 14．（23-24七年级上·江苏常州·期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1， ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”． 若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1) ． ； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度． 15．（24-25七年级上·河南周口·月考）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 易错考点06 角的相关概念 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 17．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 易错考点07 钟面角 19．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）在钟表的表盘上，当时钟指向上午时，时针与分针的夹角等于 度． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 易错考点08 方向角 22．（24-25七年级上·江苏南通·月考）如图，是北偏西方向的一条射线．若，射线的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 23．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为 ． 24．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 易错考点09 角的四则运算 25．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 26．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 易错考点10 尺规作角 28．（23-24八年级上·陕西延安·月考）如图，已知，是上的一点，请用尺规过点作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 29．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，已知，，用两种方法求作，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 30．（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知：如图，，平分． (1)以射线为一边，在的外部作，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求的补角的大小． 易错考点11 三角板中角度简单计算 31．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 32．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 33．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)试说明平分． 易错考点12 几何图形中角度简单计算 34．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点A、O、E在同一直线上，，，平分，求的度数． 35．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 36．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知， (1)如图1，平分平分，若，求的度数； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． 易错考点13 角平分线的简单计算 37．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 38．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 39．（23-24七年级上·河南漯河·期末）【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 易错考点14 余角、补角的有关计算 40．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 42．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 易错考点15 相交线 43．（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 44．（24-25七年级上·四川泸州·期末）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（　　） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    易错考点16 垂线 46．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 47．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）数学课上，老师鼓励学生自己探究角的一系列问题． (1)利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角__________________；（任意写出三个即可） (2)如图1，已知，请用尺规作，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)如图2，在已知边上取一点，过点画出，垂足为.（有刻度直尺作图） 48．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点画的垂线，交于点； ②过点画的垂线，垂足为； （2）在上图中线段的长度是点到 的距离，线段 的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是 ．（用“＜”号连接） 易错考点17 对顶角与邻补角 49．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数． 50．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把分成两部分． (1)写出图中的对顶角___________，的补角是___________． (2)已知，且，求的度数． 51．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 易错考点18 平行公理 52．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）如图，已知，请你说明为什么． 解： （请填写辅助线说明） 所以（   ） 因为(已知) 即 所以 （   ） 所以（   ） 所以（   ） 53．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 54．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 易错考点19 三线八角 55．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 56．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 57．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 易错考点20 平行线的判定与性质 58．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，，试说明． 请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由： 证明：∵（已知）， ∴_____________（                 ） ∵（已知）， ∴_____________（                 ）． ∴（                 ）． ∴（                 ）． 59．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 60．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知：如图，点都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，=110°，求的度数． 易错考点21 平行线的性质在生活中的应用 61．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 62．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 63．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    易错考点22 平行线间距离 64．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 65．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 66．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出； (2)在中，画出边上的高，垂足为； (3)点为方格纸上的格点（点与点不重合），若和的面积相等，则格点共有______个． 易错考点23 多边形的相关概念 67．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 68．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．   B．   C．   D．   69．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 易错考点24 多边形对角线问题 70．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 71．（23-24七年级下·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 72．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 压轴考点01 线段和与差综合 73．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 74．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知线段． (1)若点C是的中点，是线段上一点，且，求线段的长； (2)点P从点A出发以每秒的速度在线段上向点B方向运动；同时点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．当点P是线段的中点时，求t的值． 75．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于________． 压轴考点02 三角板中角度计算 76．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 77．（24-25七年级上·全国·单元测试）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 78．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 压轴考点03 几何图形中角度计算 79．（25-26七年级上·江苏·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 80．（24-25七年级上·北京·期末）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 81．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 压轴考点04 角平分线有关计算 82．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 83．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 84．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 压轴考点05 余角、补角相关计算 85．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 86．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 87．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 压轴考点06 平行线的判定与性质 88．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 89．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 90．已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 压轴考点07 平行模型中“拐点”问题 91．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； (2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 92．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 93．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 压轴考点08 多边形中的对角线问题 94．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．关于凸边形的三角剖分，下列说法： ①三角剖分后得到的三角形个数为； ②凸5边形的三角剖分方法数为5； ③凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； ④凸7边形的三角剖分方法数为42； ⑤一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 其中正确的结论序号为 ． 95．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 96．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面图形的初步认识全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 直线、射线、线段 易错考点13 角平分线的简单计算 易错考点02 画出直线、射线、线段 易错考点14 余角、补角的有关计算 易错考点03 线段的和与差 易错考点15 相交线 易错考点04 线段中点的有关计算 易错考点16 垂线 易错考点05 两点间的距离 易错考点17 对顶角与邻补角 易错考点06 角的相关概念 易错考点18 平行公理 易错考点07 钟面角 易错考点19 三线八角 易错考点08 方向角 易错考点20 平行线的判定与性质 易错考点09 角的四则运算 易错考点21 平行线的性质在生活中的应用 易错考点10 尺规作角 易错考点22 平行线间距离 易错考点11 三角板中角度简单计算 易错考点23 多边形的相关概念 易错考点12 几何图形中角度简单计算 易错考点24 多边形对角线问题 压轴考点 压轴考点01 线段和与差综合 压轴考点05 余角、补角相关计算 压轴考点02 三角板中角度计算 压轴考点06 平行线的判定与性质 压轴考点03 几何图形中角度计算 压轴考点07 平行模型中“拐点”问题 压轴考点04 角平分线有关计算 压轴考点08 多边形中的对角线问题 易错考点01 直线、射线、线段 1．（23-24七年级上·江苏苏州·月考）从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段条数问题，根据包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价，但由于要求从市到市，则每两个站之间只有一种票价，据此求解即可． 【详解】解：∵包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价， ∴从市到市的任意两个车站的车票价格最多有种， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了直线相交的交点问题，根据10条不同的直线最多有个不同的交点，4条不同的直线最多有个不同的交点，进而可得，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：10条不同的直线最多有个不同的交点， 4条不同的直线最多有个不同的交点， 所以这10条直线的公共点个数最多是个． 故选C． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了直线，射线和线段的性质，直线的交点问题，根据直线，射线和线段的性质逐项求解判断即可． 【详解】（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）线段和线段是同一条线段，原说法错误，不符合题意； （3）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，也可能有1个交点，原说法错误，不符合题意； 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 易错考点02 画出直线、射线、线段 4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线，交于点E． (2)连接，并将其反向延长． (3)是否存在一点P，使得它既在直线上又在直线上？试画出图形并判断． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小．依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析；两点之间线段最短 【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，认真作图是解题的关键． （1）根据射线的定义画射线即可； （2）先连接，再画射线即可； （3）画直线和直线，交点即为点； （4）连接交点为点． 【详解】（1）解：如图，射线交于点射线即为所求． （2）解：如图，连接，并将其反向延长，即为所求． （3）解：存在，如图，直线和直线相交于点，点即为所求． （4）解：如图，根据两点之间线段最短，连接，交点为点，点即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 5．（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，交于点E； (4)连接，并将其反向延长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题主要考查了线段、射线、直线等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据直线的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据题意作图即可； （4）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如下图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段，点即为所求； （4）解：如图，射线即为所求． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知平面内四个点，，，分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹） (1)连接，作直线； (2)作射线，并用无刻度的直尺和圆规在射线上找点，使得（请作出所有符合要求的点）； (3)若要在线段上建一所供电站，向四个村庄供电，且满足到村庄与村庄所用电线最短，则供电站应建在何处，请画出供电站点的位置，并说明这样建的理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查画直线，射线和线段，尺规作图—作线段，线段的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据线段和直线的定义，画图即可； （2）根据射线的定义，画出射线，以为圆心，的长为半径画弧，找到点即可； （3）根据两点之间线段最短，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求，点即为所求； （3）如图，点即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短； 易错考点03 线段的和与差 7．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的定义，线段的三等分点，数形结合是解题的关键． 根据点C是的中点求出，再根据点D是线段的三等分点即可得出． 【详解】解：点C是线段的中点，， ， 点D线段的三等分点， ， ， 故选：C． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，点，，是数轴上的三个点，，表示的数分别是，，若在的右侧，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，线段的和差计算． 先利用点、表示的数计算出，再计算出，然后计算点到原点的距离即可得到点表示的数． 【详解】解：如图， 点，表示的数分别是，， ， ， ， 点表示的数是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． (1)若点D 在线段上，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． （2）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得； （2）解：如图1 由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得， 故答案为：7． 易错考点04 线段中点的有关计算 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差计算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先求出线段的总长，再根据线段的中点的定义分别求出、的长，再根据即可求解． 【详解】解：点、、在同一直线上，，， ， 又点、分别是、的中点， ，， ． 故选：D． 11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若线段，M是的中点，D是的中点，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，由线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵线段，M是的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，点C是线段的中点，点D是线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，直接写出的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义和线段和差的定义，熟练掌握各线段之间的和差以及倍数关系是解本题的关键． （1）根据线段的定义找出线段即可； （2）根据线段的中点和两条线段的和的定义，求出结果； （3）由于点E在直线上的具体位置不确定，故应分点E在点A的左边和点E在点A的右边两种情况分别求解． 【详解】（1）解：图中有6条线段，它们是线段，，，，，． 故答案为：6． （2）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：当点E在点A的左边，， ∴； 当点E在点A的右边，， ∴． 易错考点05 两点间的距离 13．（24-25七年级上·吉林白城·期末）已知点A，B，C，都是直线l上的点，且，，D是的中点，那么A，D间的距离是多少？ (1)画出符合题意的图形； (2)计算A，D间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的定义 （1）分情况画出图形； （2）根据线段的和差，线段中点的定义解答． 【详解】（1） 解：图（一）， ， 图（二）， ； （2） 解：图（一）： ∵，D是的中点， ； 图（二）： ∵，D是的中点， ∴， ∴A，D间的距离为或． 14．（23-24七年级上·江苏常州·期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1， ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”． 若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1) ． ； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度． 【答案】(1)4；12或4 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分情况讨论． （1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，然后分两种情况，求解即可； （2）根据点G是线段的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点P是点M关于点N的“半距点”，． ∴， 若点P在射线上，； 若点P在线段上，； 综上所述，或4； 故答案为：4；12或4 （2）解：若点P在射线上， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴； 若点P在线段上， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，线段的长度为或． 15．（24-25七年级上·河南周口·月考）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)①或，② 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的前提． 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； 分两种情况进行解答，即点在点的左侧和右侧，分别求出，再根据线段中点的定义进行计算即可； 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ； （2）当点在点的右侧时，，， ， 是的中点， ， 当点在点的左侧时，，， ， 是的中点， ， 因此的长为或； ，理由： 是的中点， ， 又是的中点， ， ，， ． 易错考点06 角的相关概念 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【答案】B 【分析】本题考查的是角的概念．根据角的概念判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定大于直角，本选项不符合题意； B、两个钝角的和一定大于平角，本选项符合题意； C、直角都等于，本选项不符合题意； D、1周角=2平角=4直角，本选项不符合题意； 故选：B． 17．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是角的表示方法． 利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、图中角可表示为：，，，故正确； B、图中角只能表示为：，，故错误； C、图中角可表示为：，，故错误； D、图中角可表示为：，，故错误． 故选：A． 18．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 易错考点07 钟面角 19．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查钟面角；钟面被12小时等分，每小时对应，下午3时整，分针指向12，时针指向3，两针相隔3小时，列式计算即可． 【详解】解：∵钟面一周，被12小时等分， ∴每小时对应角度为， ∵下午3时整，分针指向12，时针指向3， ∴两针相差3小时， ∴夹角为． 故选：A． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）在钟表的表盘上，当时钟指向上午时，时针与分针的夹角等于 度． 【答案】75 【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面每份的度数是，上午时，时针与分针相距份， 此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是． 故答案为：75． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【答案】问题一：（1）  （2） 或 问题二：（1）6， （2） 【分析】本题考查了行程问题中的追及与距离计算、分类讨论思想，以及钟表问题中的角度运动规律，解题的关键是根据题意建立等量关系（如追及路程、角度差），并对多情况问题（如距离）进行分类讨论． 问题一（1）：利用“甲路程乙路程初始间距"列方程； 问题一（2）：分“追上前后”两种情况，列距离为 的方程； 问题二（1）：根据钟表总角度和时间计算每分钟转动角度； 问题二（2）：确定初始夹角，利用速度差（分针比时针快的角度）计算追及时间． 【详解】问题一 （1）当甲追上乙时，甲行驶的路程乙行驶的路程间距（）． 列方程：，即，解得． 故答案为：． （2）分两种情况： 甲未追上乙时，距离为 ： 列方程：， 即，解得； 甲追上乙后，距离为 ： 列方程：，即，解得． （验证：甲到C需，乙到C需，两解均合理） 问题二 （1）分针60分钟转，故每分钟转； 时针12小时（720分钟）转，故每分钟转． 故答案为：与． （2）2点时，时针与分针夹角为，设t分钟后重合，分针比时针多转： ，即 ， ∴ ． 易错考点08 方向角 22．（24-25七年级上·江苏南通·月考）如图，是北偏西方向的一条射线．若，射线的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 根据方向角的定义得出，再根据平角的定义求出的大小即可． 【详解】解：如图所示，由方向角的定义可知， ， ， 即的方向为南偏西， 故选：A． 23．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向， ， 轮船在南偏东的方向， ， ， 故答案为：． 24．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 【答案】(1) (2)南偏东 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【详解】（1）∵点位于点的北偏西，点位于点的北偏东 ∴； （2）如图所示， ∵ ∴ ∴小华家在学校的南偏东方向． 易错考点09 角的四则运算 25．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的四则混合运算． （1）直接计算加法即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的计算，理解角度的四则混合运算法则是解答关键． （1）根据角度加减法的运算法则来计算求解； （2）根据角度的乘法和加法的运算法则来计算求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错考点10 尺规作角 28．（23-24八年级上·陕西延安·月考）如图，已知，是上的一点，请用尺规过点作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，掌握作一个角等于已知角的尺规作图是解题的关键． 根据作一个角等于已知角的作法，作即可． 【详解】解：如图，即为所作． 29．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，已知，，用两种方法求作，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．方法一：根据作一个角等于已知角的方法，先作，再在的外部作，则即为所求的；方法二：任意作直线，再直线上任取一点，先作，再在同侧作，延长至，则即为所求的． 【详解】解：方法一：如图1，先作，再在的外部作， 则即为所求的． 方法二：如图2，任意作直线，再直线上任取一点，先作，再在同侧作，延长至， 此时， ， 则即为所求的． 30．（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知：如图，，平分． (1)以射线为一边，在的外部作，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求的补角的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握定义． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法进行作图即可； （2）根据，平分，得出，根据，，求出，得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的补角的大小为． 易错考点11 三角板中角度简单计算 31．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)相等． 理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角度的和差计算； （1）根据，，结合三角板的特点可得，根据等式的性质，即可求解； （2）根据，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：相等． 理由如下： 因为，， 由题意可知，所以． （2）因为， 又因为， ， 所以． 32．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 33．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)试说明平分． 【答案】(1)124° (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，可得的值，然后代入中计算求解即可； （2）由，，，可得到． 【详解】（1）解：由题意知， ∴ ∵ ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴平分． 【点睛】本题考查了角平分线，角度的计算等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系． 易错考点12 几何图形中角度简单计算 34．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点A、O、E在同一直线上，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、平角定义，先根据角平分线的定义得到，然后利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 35．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了余角的定义，邻补角的定义，角的倍数的运算，掌握邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知的度数，再利用邻补角的定义即可得到的度数； （2）根据角的倍数即可得到的度数，再利用余角的定义即可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴ 即的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知， (1)如图1，平分平分，若，求的度数； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线的定义，理解图示中角的关系，掌握角平分线的定义，角的和差计算方法是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由，平分，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，得到，，根据平分，得，由即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 易错考点13 角平分线的简单计算 37．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 38．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； （2）解：与互为补角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 39．（23-24七年级上·河南漯河·期末）【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）①7；②7； （2）的度数为； （3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． [特例感知]（1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同上； [知识迁移]（2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； [拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解． 【详解】解：[特例感知] （1）①，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②同理，， 故答案为：； [知识迁移] （2），射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； [拓展探究] （3）∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 易错考点14 余角、补角的有关计算 40．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 【答案】(1)和 (2) (3)与；与 【分析】本题考查的知识点是余角和补角，解题关键是熟记如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． （1）根据余角的概念解答即可； （2）先求出，然后求出结果即可； （3）根据补角的概念进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴与互余的角是和， 故答案为：和； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴与互补； ∵， ∴， ∴与互补， 故答案为：与互补；与互补． 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 【答案】(1)是直角，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角，平角，余角的性质，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据同角的余角相等即可求解； 【详解】（1）解：还有是直角；理由如下： ∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）．理由如下： ∵，即； ，即． ∴． 42．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错考点15 相交线 43．（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 44．（24-25七年级上·四川泸州·期末）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中语句，结合直线与直线、点与直线关系逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由点在直线上，也在直线上，可知直线与直线交于点； A、C不符合题意； 由点不在直线上，可知B不符合题意； 再由直线两两相交，即可确定D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与直线、点与直线的关系，熟记相关定义是解决问题的关键． 45．（24-25七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 易错考点16 垂线 46．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线有关的计算，先结合，得，根据平分，得，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故答案为： 47．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）数学课上，老师鼓励学生自己探究角的一系列问题． (1)利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角__________________；（任意写出三个即可） (2)如图1，已知，请用尺规作，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)如图2，在已知边上取一点，过点画出，垂足为.（有刻度直尺作图） 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了角的和差计算，及基本的尺规作图——作一个角等于已知角，画垂线，熟知三角尺各个角的度数及作图方法是正确解答此题的关键． （1）利用角的和差计算即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （3）过点P向边画垂线即可，垂足即为点． 【详解】（1）解：三角尺的内角度数有， ，，，， ， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：画射线，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点；经过点画射线，则即为所求． 如图： （3）解：如图，即为所求； 48．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点画的垂线，交于点； ②过点画的垂线，垂足为； （2）在上图中线段的长度是点到 的距离，线段 的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【答案】（1）图形见解析；（2）、、 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确作图是关键． （1）①将绕逆时针旋转90度得到点，连接与交点即为点； ②过作的垂线，则垂足就是； （2）根据点到直线的距离以及垂线段最短判断即可． 【详解】解：（1）①过点画的垂线，交于点；②过点画的垂线，垂足为，图形如下： （2）在上图中线段的长度是点到的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是．（用“＜”号连接） 故答案为：、、． 易错考点17 对顶角与邻补角 49．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、邻补角、对顶角，关键是找到角之间的关系； 设，利用列方程即可求得结果． 【详解】解：设，， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 50．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把分成两部分． (1)写出图中的对顶角___________，的补角是___________． (2)已知，且，求的度数． 【答案】(1)， (2)160° 【分析】（1）根据对顶角和补角的定义，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：的对顶角为； 的补角是， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了对顶角和补角的定义，角的和与差，邻补角的性质，熟练掌握对顶角和补角的定义，邻补角的性质是解题的关键． 51．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 易错考点18 平行公理 52．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）如图，已知，请你说明为什么． 解： （请填写辅助线说明） 所以（   ） 因为(已知) 即 所以 （   ） 所以（   ） 所以（   ） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．过E作，如图，根据平行线的性质可得，再根据等式的性质得到，然后根据平行线的判定证明，最后根据平行公理可得结论． 【详解】解：过E作，如图， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为(已知) 即 所以（等式的性质） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（平行于同一条直线的两条直线平行） 53．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 54．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 易错考点19 三线八角 55．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的定义．根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：A．与是同位角，符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与不是同位角，不符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 故选：A． 56．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 【答案】16 【分析】此题考查了同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．根据同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，注意每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手即可求得答案． 【详解】解：直线，被所截有2对同旁内角； 直线，被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角． ∴共有16对同旁内角． 故答案为：16． 57．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)与不是同位角 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，同位角、内错角、同旁内角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可求解； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得：，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）先利用角平分线的定义可得：，再利用等量代换可得：，然后利用同位角相等，两直线平行可得：，即可解答． 【详解】（1）解：与不是同位角； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵平分平分， ∴ ∴； （3）解： 理由：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 易错考点20 平行线的判定与性质 58．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，，试说明． 请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由： 证明：∵（已知）， ∴_____________（                 ） ∵（已知）， ∴_____________（                 ）． ∴（                 ）． ∴（                 ）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用平行线的性质可得，然后利用同角的补角相等可得，从而可得，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 59．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握尺规作角等于已知角的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行推出，再利用平行线的性质得出，根据同角的补角相等得到，再利用平行线的判定即可得出结论；②根据角平分线的定义得到，再结合①中的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②的角平分线为， ， 由①得，，， ， ． 故答案为：． 60．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知：如图，点都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，=110°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、平行的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，结合易得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明结论； （2）首先根据角平分线的定义可得，在根据“两直线平行，同位角相等”证明，进一步求得的度数，易得，然后根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ； （2）∵平分， ， 由（1）得， ， ， ， ∵， ． 易错考点21 平行线的性质在生活中的应用 61．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 62．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 63．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    【答案】（1）为时，才能使公路准确接通；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案； （2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1， ， ， ， 答：当时，才能使公路准确接通； （2）如图2，由题意得，，，， ， ，， ， 即：．    【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提． 易错考点22 平行线间距离 64．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 65．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等． 【详解】解：直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等． 又， 与是等底等高的两个三角形， ， 故选：C． 66．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出； (2)在中，画出边上的高，垂足为； (3)点为方格纸上的格点（点与点不重合），若和的面积相等，则格点共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由题意知，向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． （2）利用网格，结合三角形的高的定义画图即可． （3）过点作的平行线，分别过格点，，则点，均满足题意，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：过点作的平行线，分别过格点，， 则点，均满足题意， 满足题意的格点共有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查作图平移变换、三角形的高、平行线的性质，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的性质是解答本题的关键． 易错考点23 多边形的相关概念 67．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 68．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意； B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意； C.是正五边形，符合题意； D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 69．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 易错考点24 多边形对角线问题 70．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 71．（23-24七年级下·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线．根据边形过一个顶点能画出对角线的条数为：进行计算即可，对角线将多边形分成个三角形，进行计算出． 【详解】解：由题意可得：，， ， ． 故选：D． 72．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 压轴考点01 线段和与差综合 73．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，根据点E是的中点，可得出，由可计算出长，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或 74．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知线段． (1)若点C是的中点，是线段上一点，且，求线段的长； (2)点P从点A出发以每秒的速度在线段上向点B方向运动；同时点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．当点P是线段的中点时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，线段上的动点问题． （1）先求出的值，再分情况讨论即可； （2）求出重合时t的值，分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点C是的中点， ∴， 当在C左边时，； 当在C右边时，； （2）解：点Q与点P重合时，， 当点Q与点P重合前，，解得：； 当点Q与点P重合后，，解得：． 75．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于________． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)3 【分析】本题考查了数轴上点的距离公式、绝对值的化简与计算、线段的和与差、整式的加减，解题的关键是掌握数轴上两点距离与绝对值的对应关系，结合已知条件准确去掉绝对值符号进行求解． （1）根据点与整数点的距离公式列出绝对值方程，解绝对值方程得到x的值； （2）结合x的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简计算； （3）根据已知，结合两点距离公式得到，然后利用线段的和与差求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知， 或， 解得或， 故答案为：1或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ， ，， ， 故答案为：5； （3）解：，，， 在， ， ， ． 故答案为：3． 压轴考点02 三角板中角度计算 76．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 77．（24-25七年级上·全国·单元测试）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 78．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，180 (2)成立，理由见解析 (3)第秒或秒时． 【分析】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键． （1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，180； （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，第秒或秒时． 压轴考点03 几何图形中角度计算 79．（25-26七年级上·江苏·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 80．（24-25七年级上·北京·期末）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 81．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 压轴考点04 角平分线有关计算 82．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 83．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 84．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)64 (2) (3)或，见解析 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而解答即可． 【详解】（1）如图1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：64； （2）若恰好平分， ∴ ∴ （3）或，理由如下： 如图2﹣1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴是的平分线， ∴， ∴ ∴， 如图2﹣2，由于射线是的“好线” 当时， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述或． 压轴考点05 余角、补角相关计算 85．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义，角与角之间的和差关系； （1）由可求出，再由可求出，最后根据，即可求解； （2）由题意得，再由，即可得到结论； （3）分类讨论：将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况，利用角分线的定义和平角的定义，根据角与角之间的和差关系建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴． （2）解：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵始终平分， ∴， 将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况： ①，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ②，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ③，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ④，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上：当与存在两倍关系时，的度数为或或或． 86．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 87．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 压轴考点06 平行线的判定与性质 88．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. （1）由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴ （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴ （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为20或80． 89．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； （3）设旋转的时间为秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图1，此时，成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒； 如图2，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角板绕点逆时针旋转的角度为， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒， 综上所述，当旋转时间为或秒时，成立； （3）解：设旋转的时间为t秒，由题知，， ∴， ∴ ， 当，即， 解得：， ∴当，旋转的时间是秒． 90．已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，即可得出结论； （2）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由平角的定义即可得出结论； （3）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由四边形内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：如答图①，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由如下：如答图②，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴ ， ∴． （3）解：． 理由如下：如答图③，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵的平分线与的平分线所在的直线相交于点D， ∴，． ∵ ， ∴． 压轴考点07 平行模型中“拐点”问题 91．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； (2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 92．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 93．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 设， 则， 故， 故． 压轴考点08 多边形中的对角线问题 94．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．关于凸边形的三角剖分，下列说法： ①三角剖分后得到的三角形个数为； ②凸5边形的三角剖分方法数为5； ③凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； ④凸7边形的三角剖分方法数为42； ⑤一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 其中正确的结论序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了多边形的特征与性质，图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先从凸三角形，凸四边形，凸五边形进行分析，然后总结规律，得三角剖分得的三角形个数为个．一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系．再结合每个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为，即， 此时凸3边形的三角剖分方法数为1， 或 ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为2，即， 此时凸4边形的三角剖分方法数为2， ∵一个凸n边形的三角剖分方法数 ∴， 或或或或 ∴当时，三角剖分后得到的三角形个数为3，即， 此时凸5边形的三角剖分方法数为5， ∵一个凸n边形的三角剖分方法数 ∴， 依次类推…… ∴对于n边形，三角剖分得的三角形个数为个．一个凸n边形的三角剖分方法数满足递推关系． 故①是不符合题意，⑤是不符合题意； ∵凸5边形的三角剖分方法数为5 故②是符合题意； 当时，则； ∵， ∴， 当时，则， 即凸6边形的三角剖分方法数为14，会得到4个三角形； 故③是符合题意； 当时，则； ∵， ∴ 即凸7边形的三角剖分方法数为42； 故④是符合题意； 故答案为：②③④ 95．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 96．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数．正三十边形能分割成28个三角形． (3)结论仍能成立．理由见解析 【分析】（1）依题意画出对角线即可； （2）根据过正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形的一个顶点作对角线把多边形分割成三角形的个数总结出规律：过正边形从一个顶点作对角线把正边形分割成个三角形，从而可得过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成三角形的个数； （3）根据过多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成三角形的个数与边的长短，角的大小无关即可得出答案． 【详解】（1）解：分割情况如图所示（答案不唯一）． （2）解：过正五边形一个顶点作对角线把正五边形分割成个三角形，而； 过正六边形一个顶点作对角线把正六边形分割成个三角形，而； 过正十边形一个顶点作对角线把正十边形分割成个三角形，而； 过正十二边形一个顶点作对角线把正十二边形分割成个三角形，而； 根据分割结果猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数． ∴过正三十边形的一个顶点作对角线把正三十边形分割成个三角形， （3）解：结论仍能成立． 理由：因为分割成的三角形个数只与多边形的边数有关，而与多边形边的长短、角的大小无关． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解决问题的关键是根据作图总结出规律：过正边形从一个顶点作对角线把正边形分割成个三角形，理解过多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成三角形的个数与边的长短，角的大小无关． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $