专题01 有理数全章常考易错压轴题型汇总（16易错+8压轴）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题01 有理数全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 正负数的相关概念 易错考点09 有理数的混合运算 易错考点02 有理数的分类 易错考点10 有理数的简便运算 易错考点03 数轴上点的距离 易错考点11 有理数混合运算的实际应用 易错考点04 数轴上整点覆盖问题 易错考点12 含乘方的有理数运算 易错考点05 利用数轴比较有理数的大小 易错考点13 根据点在数轴的位置判断式子正负 易错考点06 求一个数的绝对值 易错考点14 科学记数法 易错考点07 绝对值的非负性 易错考点15 程序流程图 易错考点08 相反数的概念与应用 易错考点16 算24点 压轴考点 压轴考点01 数轴上的动点问题 压轴考点05 数轴上的翻折问题 压轴考点02 数轴上的规律探究 压轴考点06 数轴上的线段定值问题 压轴考点03 绝对值的几何意义 压轴考点07 有理数的新定义运算 压轴考点04 绝对值中的最值 压轴考点08 二进制运算 易错考点01 正负数的相关概念 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 【答案】C 【分析】本题考查了正数，负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．根据表示收入元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【详解】解：∵表示收入元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示， ∴表示支出元， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数表示高于海平面，负数表示低于海平面解答即可． 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面应用负数表示， ∴米表示低于海平面米． 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·月考）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 易错考点02 有理数的分类 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列7个数：，，，0，，，，其中正有理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据正有理数是大于0的有理数，包括正整数、正分数等，从给定的数中筛选出所有正数且为有理数的数即可． 【详解】解：，，，0，，，中正有理数有：、、，共3个． 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列各数：，，0，，，，其中负有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类，负有理数包括负整数和负分数，据此进行判断即可． 【详解】解：，，0，，，中，负有理数有：，，，共3个； 故答案为：3． 7．（25-26七年级上·江苏南京·月考）下列各数中：，，，，，，，，其中负分数的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的分类，小于0的分数为负分数．据此即可作答． 【详解】解：根据题意可知，，，， 在，，，，，，，中， 负分数为：，，，共3个． 故答案为：3． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①5；②；③3.4；④；⑤；⑥0；⑦；⑧0.1010010001． 非负整数集：{___________________________________…}； 负分数集：{___________________________________…}； 正数集：{___________________________________…}． 【答案】①， ⑥；④， ⑤， ⑦；①， ③， ⑧ 【分析】本题考查的是有理数的分类，熟悉有理数的分类是解题的关键．根据非负整数，负分数，正数的概念逐一填空即可． 【详解】非负整数集：{①， ⑥}； 负分数集：{④， ⑤， ⑦}； 正数集：{①， ③， ⑧}． 易错考点03 数轴上点的距离 9．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点到原点的距离与绝对值的关系，解题的关键是理解“数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值”． 根据数轴上点到原点的距离定义，结合绝对值的意义求解该点表示的数． 【详解】设数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数为， 因为数轴上点到原点的距离等于该点表示数的绝对值， 所以． 根据绝对值的定义，解得或． 故选：C 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是 ．    【答案】3 【分析】本题考查有理数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，由题意得到数轴的单位长度是，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，， 数轴的单位长度是， 刻度尺对应数轴上的点表示的数是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 易错考点04 数轴上整点覆盖问题 13．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据题意画出数轴，在数轴上标出与，再找出符合条件的整数点即可． 【详解】解：将与表示在数轴上如图所示： 符合条件的点有，， 0，1，2，共6个． 故选：D． 14．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 15．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 易错考点05 利用数轴比较有理数的大小 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，，b，按照由小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，由数轴得，，进而求解． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴． 故选：C． 18．（24-25七年级上·江苏常州·月考）如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴比较数的大小，根据题意得到的正负性是解题的关键．根据数轴可知，则，再根据点到原点的距离大于到原点的距离，即可确定出，，的关系，据此即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置关系可知，， ， ． 到原点的距离大于到原点的距离， ． 故选：A． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n （选填、、）． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较，将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可得 【详解】∵ ，， ∴将各数表示在数轴上： ∴ ， 即 ， 故答案为：> 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键；先化简，再根据数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上如下： ， 故． 易错考点06 求一个数的绝对值 21．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）绝对值大于1且不大于5的负整数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，求出绝对值大于1且不大于5的所有负整数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴绝对值大于1且不大于5的负整数有共4个． 故选：D． 22．（25-26七年级上·江苏南通·月考）下列判断正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则或． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值的意义进行排除选项即可． 【详解】解：①若，则，说法正确； ②若，则，说法正确； ③若，则或，原说法错误； ④若，则或，说法正确； 故选C． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）若，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值．负数或0的绝对值是它的相反数，据此即可求解． 【详解】解：由可知， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 易错考点07 绝对值的非负性 25．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值求代数式的值．熟练掌握绝对值，求代数式的值，是解题的关键． 根据，， ，得，分与两种情况代入计算即可． 【详解】，，，，，， 当时，，当时，， 故答案为：或． 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的意义，乘方运算，根据“互为相反数的两个非负数相加得0，这两个数都为0”求出的值是解题关键． 【详解】∵ 故选A 27．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当 时，代数式有最大值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 易错考点08 相反数的概念与应用 29．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 【答案】 【分析】 本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．根据新定义得到，，再计算即可． 【详解】 解：由题意得：，， ∴2， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·江苏连云港·月考）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，根据相反数的定义可得表示a的数与表示b的数到原点的距离相等，再由表示a的数与表示b的数的距离为9且点b在点a左侧即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数，在的右边，且表示的点到表示的点的距离为9， ∴表b的点距离原点的距离为，且在原点左侧， ∴， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 【答案】q 【分析】根据可以得到m、p的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 本题考查有理数的大小比较及实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：， 和p互为相反数，0在线段m、p的中点处， ∴点q离原点最远， 绝对值最大的是q， 故答案为： 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在等式4×□-2×□=18的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立．则第一个方格内的数是 ． 【答案】3 【分析】根据互为相反数的定义表示出这两个方格，然后根据有理数的乘法运算和一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：设第一个方格内的数是a，则第二个方格的数是−a， 所以，4a−2（−a）＝18， 即6a＝18， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，互为相反数的定义，解一元一次方程，是基础题，表示出两个方格的数是解题的关键． 易错考点09 有理数的混合运算 33．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数加法运算法则即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 35．（25-26七年级上·江苏·期中）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法． 【详解】解： ． 36．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2) (3)2 (4) (5) (6)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）先化简多重符号，再进行加减运算； （2）先化简多重符号和绝对值，再进行加减运算； （3）先化简符号并将除法转化为乘法，再根据乘法的运算法则计算即可； （4）运用乘法分配律进行简便计算； （5）先化简符号并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后算减法即可． （6）逆用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 易错考点10 有理数的简便运算 37．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)12 (2) (3) (4)590 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律、有理数四则混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法； （3）把除以4化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算； （4）运用乘法的分配律进行简算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 38．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）观察解题过程可知，解法二是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法二是错误的，因为除法没有分配律； 故答案为：二； （2）解：的倒数为， ， ∴． 39．（24-25七年级上·江苏·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小华的解法： ． 大白的解法：原式的倒数为 第一步， 第二步， 第三步， 第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)大白 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知： 两位同学的解法中，大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为： ， 所以． 40．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律将括号内的每个数分别与相乘，再进行计算即可； （2）首先需要将带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后观察到各项都含有这个因数，可利用乘法分配律的逆运算来简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错考点11 有理数混合运算的实际应用 41．（25-26七年级上·江苏·期中）某超市一周内进出货物的吨数记录如下（“”表⽰进库，“”表⽰出库）：． (1)经过这一周，超市的货物是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若超市每周货物的装卸费按每吨15元计算，这一周的装卸费共需多少元？ 【答案】(1)货物增多了，增多6吨 (2)1260元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）将各数相加后判断即可； （2）将各数的绝对值相加后乘以装卸费即可． 【详解】（1）解：（吨）， 答：货物增多了，增多6吨； （2）解：总吨数（吨）， 装卸费（元）， 答：共需1260元． 42．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） +11 +19 +20 +22 (1)直接写出该外卖小哥这一周平均每天送餐 单． (2)该外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)49单 (2)1790元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数混合运算应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先求得表格数据的平均数，再加上标准数40即可求解； （2）根据工资底薪及补贴标准列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意， （单）， 故答案为：； （2）解： （元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1790元． 43．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）2026年冬奥会在意大利米兰举行，某工厂设计了冬奥会纪念品并进行生产，原计划每天生产1000个该款纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，如表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由； (3)若该款纪念品每个生产成本30元，并按每个40元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)204个 (2)实际生产总量达到了计划数量 (3)70100元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算． （1）根据表格数据，结合正负数的意义得出本周生产量最多的一天是周四，最少的一天是周五，用最多的减去最小的数即可； （2）将表格数据相加即可求解； （3）根据利润等于售价减去成本乘以数量即可求解． 【详解】（1）解：个， 则本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产204个； （2）解：， 本周实际生产总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 该工厂本周的生产总利润是70100元． 44．（25-26七年级上·江苏南通·月考）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表： 起步价（1.5千米以内） 超过1.5千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计） 5元 1.4元 等候的前4分钟不收费，之后每2分钟1元 某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：、、、、、． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点_____（东西）_____千米； (2)若出租车耗油量为0.1升千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟，求第三位乘客需支付车费多少元？ 【答案】(1)西，1 (2)出租车共耗油4.4升 (3)第三位乘客需支付车费20.4元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意，然后通过向东为正，向西为负即可求解； （）将小李接送这六位乘客的行程的绝对值相加，求出总路程，然后乘以即可； （）由题意得，然后通过运算法则即可求解． 【详解】（1）解：， ∴最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点西千米， 故答案为：西，； （2）解：（千米）， ∴出租车共耗油（升）， 答：小李接送这六位乘客，出租车共耗油升； （3）解：∵千米， ∴按6千米计费． 由题意得， （元）， 答：第三位乘客需支付车费元． 易错考点12 含乘方的有理数运算 45．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 46．（25-26七年级上·江苏南京·月考）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的运算顺序及符号法则． 先计算乘方运算，得出的结果；再依次进行乘除运算，计算的值；最后进行加减运算得到最终结果． 【详解】解： 48．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 易错考点13 根据点在数轴的位置判断式子正负 49．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可得，，，， 选项D正确，符合题意． 故选：D． 50．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①，②，③，④其中正确的是 填序号 【答案】①④/④① 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较式子大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．由在数轴上的位置可直接判断①②；根据有理数的加法和减法运算法则可判断③④． 【详解】解：由数轴得，，故①正确，②错误； ，，，故③错误； ，故④正确； ①④正确， 故答案为：①④． 51．（24-25七年级上·广东深圳·月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，且，则可得，，，再化简绝对值，计算除法与加减法即可得． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 52．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 易错考点14 科学记数法 53．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 54．（25-26七年级上·江苏常州·期中）天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，个天文单位约，将用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义．科学记数法表示绝对值大于的数时，形式为，需满足，由原数整数位数减确定，据此即可解答． 【详解】解：有位整数，因此，， 故用科学记数法表示为． 故答案为：． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 56．（25-26七年级上·江苏南京·月考）据报道，2025年国庆中秋长假（10月1日日），南京全市接待游客万人次，旅游总收入亿元，其中文博场馆接待游客万人次，将“万”用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：万； 故答案为：． 易错考点15 程序流程图 57．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图是一个数值运算的程序，若输入的值为5，则输出y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序图问题． 根据程序图计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 58．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是 ． 【答案】49 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，直至结果大于5即可． 【详解】解：输入的x的值是， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为： 59．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母 加密得到的． 【答案】G 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴密文对应的字母所对应的数为7，即密文对应的字母为G， 故答案为：G． 60．（24-25七年级上·江苏·期末）【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 【答案】（1）；；（2）见解析 【分析】本题主要考查列代数式，整式加减的应用，并对整式的相应的运算法则的掌握． （1）根据程序框图列出算式计算即可； （2）设这个两位数为，由题意知结果为，化简即可得出答案． 【详解】解：（1）如果小明想的数是， 那么他告诉魔术师的数是 ； 如果小明告诉魔术师的数是a， 那么他想的数是 ； 故答案为：、； （2）设这个两位数为， 由题意知，， 即将所得结果减去15即为原数． 易错考点16 算24点 61．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 62．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘，除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算．由“24点”游戏规则，根据2，，6，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 63．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 【答案】(1) (2)(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据3张卡片上数字乘积最小的数就是找一个负数和两正数且三数的绝对值较大的特征求解即可； （2）用加减乘除运算，只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是： 故答案为：； （2）解：由题意可得(答案不唯一). 64．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】(1)30 (2) (3)，． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：30； （2）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，① ② 故答案为：，． 压轴考点01 数轴上的动点问题 65．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 66．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 67．（24-25七年级上·江苏·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【答案】(1)； (2)6 (3)爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概念的正确理解是解题的关键． （1）求得，由题意即可求出点、点所表示的数； （2）由（1），据此结合木棒的长，求得；；据此求解即可； （3）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，把爷爷比小明大看作点移动到点，此时点所对应的数为，接下来可把小明比爷爷大时看作点移动到点，此时点所对应的数为110，据此可求出爷爷比小明大的岁数，进而可知爷爷和小明的年龄． 【详解】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 68．（24-25七年级上·江苏南京·月考）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)10 (3)8或12 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过8秒或12秒． 压轴考点02 数轴上的规律探究 69．（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 71．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2025次右移后，点A向右移动个单位，第2025次左移2025个单位，据此列式计算即可求解． 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 72．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，图形规律探究题目，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数即可得解． 【详解】解：第一次翻转后，点B所对应的数为1， 第二次翻转后，点C所对应的数为2， 第三次翻转后，点D所对应的数为3， 第四次翻转后，点A所对应的数为4， 第五次翻转后，点B所对应的数为5， … ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴数轴上数2025所对应的是点B． 故选：B． 压轴考点03 绝对值的几何意义 73．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，在数轴上找原点，绝对值的几何意义，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 根据题意设相邻两点之前的距离为，分别分析原点在不同位置时、、的取值范围，再结合来判断各个选项即可求解． 【详解】解：设， 若原点在上，则，，， 与不符， 原点不可能在上，故C、D选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，与不符， 原点不可能在上，且较接近点，故A选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，可能与相符， 原点可能在上，且较接近点，故B选项符合题意； 故选：B 74．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)，或； (3)； (4)． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的性质得到当时最小，求解即可； （4）根据绝对值的性质得到表示x到1，，2，这四个点的距离之和，令，分析得到，即可得出答案． 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 【详解】（1）解：数轴上表示5和2的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：数轴上表示x和两点之间的距离为， ∵若数轴上表示x和2两点之间的距离为3， ∴， ∴或 故答案为：，或； （3）解：∵式子有最小值， ∴当时最小，最小值为， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，表示x到1，，2，这四个点的距离之和， 令， 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上：， ∴ ， ∴a的取值范围是． 75．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 【答案】(1)或1 (2)，，,0,1；4 (3)；7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据绝对值的几何意义，然后画数轴，即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，当时，有最大值，然后即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离为6，在数轴上表示为： 由图可得，点表示的数为或1， ∴则的值为或1， 故答案为：或1； （2）解；根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离加上有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离之和，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离减去有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离，在数轴上表示： ∴①当时，取最小值，通过数轴可得：可以取整数有，，，0，1； ②当，可化简为；当，可化简为，此时最大值小于4；当，可化简为， 综上所述，当取最小值时，可以取整数有，，，0，1；的最大值为4， 故答案为：，，，0，1；4； （3）解：根据题意可得，表示数轴上表示数的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为7， 故答案为：；7； 76．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 压轴考点04 绝对值中的最值 77．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果是有理数，那么的最小值为 ． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 78．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为． 请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元/千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)或11 (2)，，，0，1；4 (3)；7 (4)菜鸟驿站建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是10元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，求解方程； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数5的点之间的距离， ∵ ∴当在5的左边时，则； ∴当在5的右边时，则； 则的值为：或11； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，或11； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数、、、0、1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：、、、0、1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民2000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∵， ∴当时，值为；当时，值为，此区间最小值为， ∴此时最低成本10（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是10元． 79．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 80．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 压轴考点05 数轴上的翻折问题 81．（24-25七年级上·全国·单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)①；②；1008 (3) 【分析】（1）根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算； （2）①根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算；②根据上A、B两点之间的距离为可计算A、B两点到折痕的距离，再根据A、B两点的位置计算即可； （3）根据数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b可计算折痕为，再根据与点c重合的点到的距离相等，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕左侧，且到折痕距离为， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为9， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：9； （2）①1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕右侧，且到折痕距离为：， 故3表示的点关于折痕的重合点在折痕左侧，到折痕距离为5， 则3表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：； ②，B两点之间的距离为2020，且A在B的左侧， 故A在折痕左侧，B在折痕右侧，且A、B到折痕的距离均为：， 则A点表示的数为：， B点表示的数为：， 故答案为：，1008； （3）数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b， 则折痕为：， 当表示的点在折痕左侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 当表示的点在折痕右侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 综上所述，表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的折叠问题，数轴上两点重合，中点表示的数等于重合两点表示的数之和的一半，且两点到中点的距离相等． 82．（24-25七年级上·江苏南京·月考）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是______； ②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是______； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为______； (2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为______； ③在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于M点；将点P与点M重合后折叠，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为______． 【答案】(1)①；②或5或；③； (2)①3；②；③16或． 【分析】（1）平移： ①根据右加左减的平移规律即可求解； ②分四种情况：①两次向左移动；②两次向右移动；③第一次向左移动，第二次向右移动；④第一次向右移动，第二次向左移动．根据右加左减的平移规律分别求解即可； ③设需将点向左移动个单位，根据，两点的距离是，两点距离的2倍列出方程，解方程即可； （2）翻折： ①设所求数为，根据重合点相同列出方程，解方程即可； ②设点表示的数为，根据与表示的点之间的距离等于4列出方程，解方程即可； ③根据中点坐标公式得出点、表示的数，根据点与点的距离为3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①由题意可得，笔尖的位置表示的数是：． 故答案为：； ②分四种情况： ①如果两次向左移动，那么点表示的数是：； ②如果两次向右移动，那么点表示的数是：； ③如果第一次向左移动，第二次向右移动，那么点表示的数是：； ④如果是第一次向右移动，第二次向左移动，那么点表示的数是：． 综上所述，点表示的数是或6或0． 故答案为：或5或； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数： ． 故答案为：； （2）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①设所求数为，根据题意得 ，解得． 故答案为：3； ②设点表示的数为，根据题意得 ，解得． 故答案为：； ③根据题意可得， 点表示的数为，点表示的数为． 点与点的距离为2， ，即， ，或， 或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． 83．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 84．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 压轴考点06 数轴上的线段定值问题 85．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 86．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 87．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 88．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5 (2)2．C，12 (3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或5． 故答案为：；或5． （2）①当时，则有： ， ∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为， 当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，， ∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 压轴考点07 有理数的新定义运算 89．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据新运算的规则，把新运算转化为一般的运算，再根据运算法则进行计算． 把，，代入中，利用新运算的规则转化为一般运算，再根据运算法则进行计算； 首先求出或，，再分情况进行计算． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是， ， 整理可得：， 解得：或， 是的相反数， ， 当，时， ； 当，时， ； 综上所述，的值为或． 90．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据定义，，。当 时，若 不是整数，则 ，因此 ；若 是整数，则 ．由于题干中包含非整数，且 时通常考虑非整数情况，因此值为 1． 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 91．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 92．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，，． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 压轴考点08 二进制运算 93．（25-26七年级上·江苏南通·期中）日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子 (当时， 可以转换为十进制数13；将转换为十进制数是 ；而有时我们会遇到八进制数，即数的进位方法是“逢八进一”，八进制数只使用数字0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制数3275记为， 通过式子： 可以转换为十进制数1725，将八进制数转换为二进制数是 【答案】 21 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，对于二进制数转换为十进制数，采用按权展开法，将每位数字乘以2的相应幂次后求和；对于八进制数转换为二进制数，利用每个八进制数字对应3位二进制数的规则，直接转换即可． 【详解】解：二进制数转换为十进制数：计算． 八进制数转换为十进制数为， ∵ ∴十进制数转换为二进制数为， ∴． 故答案为：21，． 94．（25-26七年级上·江苏常州·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）请写出第四个八卦符号表示的二进制数：． 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依次类推），然后相加．例如，，．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） （2）把（ICME﹣14）中的二进制数依次转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）． 由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办． 【类比迁移】 （3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】1．(1)(2)3745，2021，过程见解析(3)66天，过程见解析 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，六进制与十进制数的转换，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案，仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将五进制数各位上的数字乘以5的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为， ， ， ， ， 这个四位数是3745； ， 故答案为：3745，2021； （3）根据“满五进一”，从右到左绳子上的结数对应的权值分别为、、， 假设从右到左结数依次为1、3、2（结合图示规律），则转换为十进制数： ， 答：孩子已经出生66天． 95．（25-26七年级上·江苏南通·月考）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，例如二进制数1101记为通过式子（规定）可以转换为十进制数13，即=13． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：，，（二进制进位），举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；没有进位；，这里也需要进位的，如图，结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来）； (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算．关键是掌握二进制和十进制的转换方法． （1）根据例子中转换的方法求解即可． （2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可． （3）①类比十进制的乘法运算，得到二进制的乘法运算法则，进而求解即可； ②比十进制的减法运算，得到二进制的减法运算法则，然后计算二进制的乘法，最后计算二进制的加法，然后再转化成十进制即可． 【详解】（1）解：． （2）解：如图， ∴． （3）解：①类比十进制的乘法运算，二进制的乘法运算法则为：；；；， ∴ 从最低位开始相加，； ； ，这里需要进位； ，需进位； ， ∴结果为； ②类比十进制的减法运算，二进制的减法运算法则为：；；；（同一数位不够减时，向高一位借1当2）， ∴ 从最低位开始相减，； ，需向高一位借1当2； ； ，需向高一位借1当2； ； ； ∴结果为； ∴ 从最低位开始相加，； ，需进位； ； ，需进位； ； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ； ∴结果为， ∴ ． 96．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【分析】本题主要考查了二进制，三进制，六进制和十进制数之间的互相转化，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据表格先找到33所处的大约位置，再根据十进制转化为2进制的算法得到答案即可； （2）根据三进制转化为十进制的公式和表格算出答案即可； （3）先把二进制的数转化为十进制，再把十进制的数转化为六进制即可； （4）先把二进制和三进制的数转化为十进制，根据题意求出积，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 正负数的相关概念 易错考点09 有理数的混合运算 易错考点02 有理数的分类 易错考点10 有理数的简便运算 易错考点03 数轴上点的距离 易错考点11 有理数混合运算的实际应用 易错考点04 数轴上整点覆盖问题 易错考点12 含乘方的有理数运算 易错考点05 利用数轴比较有理数的大小 易错考点13 根据点在数轴的位置判断式子正负 易错考点06 求一个数的绝对值 易错考点14 科学记数法 易错考点07 绝对值的非负性 易错考点15 程序流程图 易错考点08 相反数的概念与应用 易错考点16 算24点 压轴考点 压轴考点01 数轴上的动点问题 压轴考点05 数轴上的翻折问题 压轴考点02 数轴上的规律探究 压轴考点06 数轴上的线段定值问题 压轴考点03 绝对值的几何意义 压轴考点07 有理数的新定义运算 压轴考点04 绝对值中的最值 压轴考点08 二进制运算 易错考点01 正负数的相关概念 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 3．（24-25七年级上·江苏连云港·月考）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 易错考点02 有理数的分类 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列7个数：，，，0，，，，其中正有理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列各数：，，0，，，，其中负有理数有 个． 7．（25-26七年级上·江苏南京·月考）下列各数中：，，，，，，，，其中负分数的个数是 个． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①5；②；③3.4；④；⑤；⑥0；⑦；⑧0.1010010001． 非负整数集：{___________________________________…}； 负分数集：{___________________________________…}； 正数集：{___________________________________…}． 易错考点03 数轴上点的距离 9．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）数轴上到原点的距离是3个单位长度的点表示的数（   ） A．3 B． C．3或 D．不能确定 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是 ．    12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 易错考点04 数轴上整点覆盖问题 13．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在数轴上，表示的点与表示3.5的点之间的整数的点有几（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 15．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 易错考点05 利用数轴比较有理数的大小 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，，b，按照由小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏常州·月考）如图所示，若是实数在数轴上对应的点，则关于，，的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n （选填、、）． 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 易错考点06 求一个数的绝对值 21．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）绝对值大于1且不大于5的负整数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26七年级上·江苏南通·月考）下列判断正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则或． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③ 23．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）若，则的范围为 ． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 易错考点07 绝对值的非负性 25．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，则的值为 ． 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 27．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当 时，代数式有最大值． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 易错考点08 相反数的概念与应用 29．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 30．（24-25七年级上·江苏连云港·月考）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 31．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在等式4×□-2×□=18的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立．则第一个方格内的数是 ． 易错考点09 有理数的混合运算 33．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 35．（25-26七年级上·江苏·期中）计算：． 36．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 易错考点10 有理数的简便运算 37．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 38．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 39．（24-25七年级上·江苏·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小华的解法： ． 大白的解法：原式的倒数为 第一步， 第二步， 第三步， 第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 40．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)； (2) 易错考点11 有理数混合运算的实际应用 41．（25-26七年级上·江苏·期中）某超市一周内进出货物的吨数记录如下（“”表⽰进库，“”表⽰出库）：． (1)经过这一周，超市的货物是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若超市每周货物的装卸费按每吨15元计算，这一周的装卸费共需多少元？ 42．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） +11 +19 +20 +22 (1)直接写出该外卖小哥这一周平均每天送餐 单． (2)该外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 43．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）2026年冬奥会在意大利米兰举行，某工厂设计了冬奥会纪念品并进行生产，原计划每天生产1000个该款纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，如表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由； (3)若该款纪念品每个生产成本30元，并按每个40元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 44．（25-26七年级上·江苏南通·月考）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表： 起步价（1.5千米以内） 超过1.5千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计） 5元 1.4元 等候的前4分钟不收费，之后每2分钟1元 某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：、、、、、． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点_____（东西）_____千米； (2)若出租车耗油量为0.1升千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟，求第三位乘客需支付车费多少元？ 易错考点12 含乘方的有理数运算 45．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）计算： (1) ； (2)． 46．（25-26七年级上·江苏南京·月考）计算题： (1)； (2)． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算． 48．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）计算：． 易错考点13 根据点在数轴的位置判断式子正负 49．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①，②，③，④其中正确的是 填序号 51．（24-25七年级上·广东深圳·月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 52．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 易错考点14 科学记数法 53．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级上·江苏常州·期中）天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，个天文单位约，将用科学记数法表示应为 ． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为 ． 56．（25-26七年级上·江苏南京·月考）据报道，2025年国庆中秋长假（10月1日日），南京全市接待游客万人次，旅游总收入亿元，其中文博场馆接待游客万人次，将“万”用科学记数法表示是 ． 易错考点15 程序流程图 57．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图是一个数值运算的程序，若输入的值为5，则输出y的值为 ． 58．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是 ． 59．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母 加密得到的． 60．（24-25七年级上·江苏·期末）【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 易错考点16 算24点 61．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 62．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）． 63．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 64．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 压轴考点01 数轴上的动点问题 65．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 66．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 67．（24-25七年级上·江苏·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 68．（24-25七年级上·江苏南京·月考）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 压轴考点02 数轴上的规律探究 69．（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 71．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 72．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 压轴考点03 绝对值的几何意义 73．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 74．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 75．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 76．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 压轴考点04 绝对值中的最值 77．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果是有理数，那么的最小值为 ． 78．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为． 请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元/千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 79．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 80．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 压轴考点05 数轴上的翻折问题 81．（24-25七年级上·全国·单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 82．（24-25七年级上·江苏南京·月考）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是______； ②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是______； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为______； (2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为______； ③在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于M点；将点P与点M重合后折叠，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为______． 83．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 84．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 压轴考点06 数轴上的线段定值问题 85．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 86．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 87．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 88．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 压轴考点07 有理数的新定义运算 89．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 90．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为 ． 91．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 92．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 压轴考点08 二进制运算 93．（25-26七年级上·江苏南通·期中）日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子 (当时， 可以转换为十进制数13；将转换为十进制数是 ；而有时我们会遇到八进制数，即数的进位方法是“逢八进一”，八进制数只使用数字0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制数3275记为， 通过式子： 可以转换为十进制数1725，将八进制数转换为二进制数是 94．（25-26七年级上·江苏常州·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）请写出第四个八卦符号表示的二进制数：． 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依次类推），然后相加．例如，，．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） （2）把（ICME﹣14）中的二进制数依次转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）． 由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办． 【类比迁移】 （3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 95．（25-26七年级上·江苏南通·月考）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，例如二进制数1101记为通过式子（规定）可以转换为十进制数13，即=13． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：，，（二进制进位），举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；没有进位；，这里也需要进位的，如图，结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来）； (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数． 96．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $