专题03 一元一次方程全章常考易错压轴题型汇总（20易错+7压轴）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题03 一元一次方程全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 方程的相关概念 易错考点11 销售盈亏 易错考点02 等式的性质 易错考点12 方案选择 易错考点03 方程的解 易错考点13 数字问题 易错考点04 一元一次方程 易错考点14 几何问题 易错考点05 解一元一次方程 易错考点15 动点问题 易错考点06 已知一元一次方程的解求参数 易错考点16 和差倍分问题 易错考点07 一元一次方程解的关系 易错考点17 水电费问题 易错考点08 绝对值方程 易错考点18 行程问题 易错考点09 配套问题 易错考点19 日历问题 易错考点10 工程问题 易错考点20 其他问题 压轴考点 压轴考点01 一元一次方程的含参问题 压轴考点05 一元一次方程应用之方案问题 压轴考点02 由一个方程的解求另一个方程的解 压轴考点06 一元一次方程应用之水电费问题 压轴考点03 一元一次方程应用之几何问题 压轴考点07 一元一次方程新定义运算 压轴考点04 一元一次方程应用之销售问题 易错考点01 方程的相关概念 1．（24-25七年级上·江苏南京·月考）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 易错考点02 等式的性质 4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同时乘（或除以）同一个不为的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；根据性质逐项判断即可． 【详解】选项A、若，则（等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，不符合题意； 选项B、若，则，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不符合题意； 选项C、若，，则（等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项C结论正确，不符合题意； 选项D、若，时，则不一定成立，选项D结论错误，符合题意． 5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）有一元五次方程，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式，由给定方程可得，两边乘以得，代入，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）方程移项得．这步变形的依据是 ． 【答案】等式的基本性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立是解题的关键． 直接根据等式的基本性质即可解答． 【详解】解：方程中，将从右边移到左边变为，同时将从左边移到右边变为，得到， 因此依据是等式的基本性质1． 故答案为：等式的基本性质1． 易错考点03 方程的解 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列方程的解是的有 ．（填序号）①；②；③． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把代入各方程验证即可． 【详解】解：①∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解； ②∵当时，左边，右边，左边右边， ∴不是的解； ③∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解． 因此，方程的解是的有①和③． 故答案为：①③． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 7 5 3 1 【答案】2 【分析】本题考查了求方程的解． 将方程转化为，从表格中直接找出当时，，从而得到方程的解． 【详解】解：方程可化为． 由表格数据可知，当时，， 因此方程的解为． 故答案为：2． 9．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 易错考点04 一元一次方程 10．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1且系数不为0，据此列出条件求解． 【详解】解：由题意得 且， 且， 解得． 故答案为3． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的特点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义即可求得，一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是(次)的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴二次项系数， 解得， 当时，一次项系数，满足条件． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 易错考点05 解一元一次方程 13．（25-26七年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）通过去括号、移项、合并同类项，解一元一次方程即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 化简，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解： 去分母，两边同时乘以，得， 去括号，得， 化简，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解： ， ， ， ． 易错考点06 已知一元一次方程的解求参数 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 17．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解方程得：，是正整数，据此即可求得的值． 【详解】解：，解得：， 解是正整数， 或3， 故答案为：1或3． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法． 根据题意可知是方程的解即可求出a的值，再代入原方程解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵由根据题意可得是方程的解， ∴， 化简，得：， 解得， ∴原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴原方程正确的解为． 易错考点07 一元一次方程解的关系 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．分别求解两个方程，得到第一个方程的解为，第二个方程的解为，要求两者均为正整数，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，可得出，进而可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴． 故答案为：2023． 21．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知关于x的一元一次方程的解与关于y的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及相反数的意义，熟练掌握一元一次方程的解法及相反数的意义是解题的关键；解方程得：，然后根据题意可知是方程的解，进而问题可求解． 【详解】解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程的解与关于y的一元一次方程的解互为相反数， ∴是方程的解， ∴， 解得：． 易错考点08 绝对值方程 22．（25-26七年级上·江苏·月考）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值方程的求解，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值方程转化为两个一元一次方程来求解． 根据绝对值的定义，可得或，分别求解这两个一元一次方程，得到或． 【详解】解：因为， 所以的值为或． 当时，； 当时，． 所以的值为或， 故选：C． 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 故答案为：8． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1)找出所有符合条件的整数x，使得； (2)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (3)若2时，求x的值． 【答案】(1)，，，，0，1 (2)有最小值，最小值为3 (3)x的值为或1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及含绝对值方程的求解，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上两点间的距离，或通过分类讨论去掉绝对值符号，进而分析问题、求解方程． （1）将理解为x与在数轴上的距离，理解为x与1在数轴上的距离，先计算与1的距离为5，由此可知x在与1之间（含端点）时，两距离和为5，再找出此范围内的所有整数； （2）同理，是x与3、x与6的距离和，当x在3与6之间（含端点）时，距离和等于3与6的距离，此距离即为最小值； （3）解方程，分、、三个区间去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解，最后验证解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由绝对值的几何意义可知，表示数轴上x与的距离，表示数轴上x与1的距离． 计算与1的距离：． 要使两距离和为5，則x需在与1之间（含和1），即， 此范围内的整数为：，，，，0，1． （2）解：表示数轴上x与3、x与6的距离和． 当时，距离和为，此时x越小，和越大； 当时，距离和为，和为定值； 当时，距离和为，此时x越大，和越大． 故有最小值，最小值为3． （3）解：分三种情况讨论： ①当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，此解满足，符合题意； ②当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，此解满足，符合题意； ③当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，但，不满足，不符合题意； 综上，x的值为或1． 易错考点09 配套问题 25．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）自上海迪士尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配9名工人生产手套，6名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键．设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应分配9名工人生产手套，6名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套． 26．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 27．（2018七年级上·全国·专题练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 易错考点10 工程问题 28．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 【答案】还需天完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设还需要天完成，根据工作量关系列方程求解． 【详解】解：设还需要天完成， 甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 根据题意，得， ， ， ， 解得． 答：还需天完成． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 30．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 【答案】4小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据整个工程为单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据题意得： ， 解得：， 答：乙挖掘机先单独做了4小时． 易错考点11 销售盈亏 31．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某体育用品店准备购进一批篮球和足球，准备在“双十二”期间销售，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需元．求篮球和足球的进价分别是多少元？ 【答案】篮球的进价为元，足球的进价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设篮球的进价为x元，则足球的进价为元，根据购进5个篮球和4个足球共需元列方程求解即可． 【详解】解：设篮球的进价为x元，则足球的进价为元， 解得： （元）， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元． 32．（25-26八年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】(1)A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2)a的值为560 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 33．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）某店销售两种产品，相关信息如下表： 产品 每件进价/元 每件售价/元 A产品 30 45 B产品 40 60 (1)该店十月份备货两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A产品备货多少件？ (2)该店准备在一月份的“欢庆春节”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折． ①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打________折． ②若两种产品均全部售完，则“欢庆春节”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该店计划为“欢庆春节”备货A产品500件，则B产品备货多少件？ 【答案】(1)240件 (2)①八；②1600件 【分析】（1）设产品备货件，根据产品的数量比产品数量的多40件，表示出产品备货件数，根据该店十月份备货、两种产品一共用去31200元，列出方程进行求解即可； （2）①根据产品实行的“买五免一”，即买五件花四件的钱，算出折扣即可； ②设“欢庆春节”产品的备货数量是件，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设产品备货件 ∵产品的数量比产品数量的多40件 ∴产品备件 ∵该电商十月份备货两种产品一共用去31200元， 解得： ∴ ∴产品备货件． （2）解： ①∵产品实行的“买五免一”，即买五件花四件的钱， ∴产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件产品打八折； 故答案为：八． ②设“双十一”产品的备货数量是件， ∵“双十一”产品的备货数量是件， ∴“双十一”两种产品的利润为元 ∵十月份两种产品的利润为： (元) 又∵“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加元， ∴ ∴解得：， ∴“双十一”B产品的备货数量是件． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 易错考点12 方案选择 34．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【答案】(1)元；元 (2)选择方案一费用最低； (3)120 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识． （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买本读物的费用元； 方案二：购买本读物的费用元； （2）解：当时， 方案一：购买本读物的费用（元）； 方案二：购买本读物的费用（元）； ， 选择方案一费用最低； （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：120． 35．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 36．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 【答案】(1)本市与A市之间的路程是400千米 (2)当时，选择火车运输合算；当时，选择汽车运输合算；当时，两种方式都一样 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类问题的关键． （1）设路程为x千米，题中等量关系是：汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程求解即可； （2）分别算出的火车和汽车所需的运费，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设本市与A市之间的路程是x千米， 根据题意得：， 解得：， 答：本市与A市之间的路程是400千米． （2）选择汽车运输的费用为：， 选择火车运输费用为：， 当两者相等时，， 解得：， 即当时，选择火车运输合算； 当时，选择汽车运输合算； 当时，两种方式都一样． 易错考点13 数字问题 37．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用一元一次方程解决有规律的数列问题”是解题的关键. 设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为，所以三个数的和为：，再分别列方程求解，再检验即可. 【详解】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为， 所以三个数的和为：， 当，则，故A不符合题意； 当，则，故B不符合题意； 当，则， 而，是数列中第85行最后1个数，故C不符合题意 当，则，是数列中第86行第3个数，故D符合题意； 故选：D． 38．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将16个数字填入的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做4阶幻方．下图是由1，2，．．．，16这16个自然数构成的4阶幻方的一部分，则灰色格子内应填入的数字为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了数字规律探索，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．先求出每行、每列、每条对角线上的4个数字的和为，然后表达，，，，，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：依题意，每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等， 则， 设幻方的格子如下：（用字母表示未知数） ∴， 即， ∴，，，， ∴，，，， 同理得， ∴， 依题意，目前该有共9个数字， 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则，（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴，， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴，， 当时，则，此时与相同，故舍去； 当时，则，， ∴， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴， 则（与格子数值相同，舍去）， 综上：满足题意的灰色格子内应填入的数字为， 故答案为： 39．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． (1)若，则A的值为_____； (2)的值为_______． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由第一列的和等于对角线的和相等列等式，代入求解即可， （2）由第三列的和等于对角线的和、第一列的和等于对角线的和相等列出方程，结合整式计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， 若，则，解得， 故答案为：7； （2）解：，， 则 ，， 故， 故答案为：13． 易错考点14 几何问题 40．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于两直角边分别为6和12的三角形面积减去两直角边分别为和的三角形面积，据此求解即可； （2）根据（1）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，， 解得． 易错考点15 动点问题 43．（24-25七年级下·四川乐山·期中）、两点在数轴上，点表示的数是，点在原点的右边且与点相距个单位． (1)求出点表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点和点； (2)若点以个单位每秒的速度向右运动，同时点以个单位每秒的速度向左移动，经过多长时间、两点相距个单位长度？ (3)、从初始位置分别以个单位每秒和个单位每秒同时向右运动，是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，表示点和点见解析 (2)秒 (3)存在，秒 【分析】本题主要考查了数轴上的点与距离、一元一次方程的应用、绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的位置表示及两点距离的计算方法是解题的关键． （1）根据点的数和、的距离，结合点的位置，计算点的数，再绘制数轴标注两点． （2）设运动时间为秒，表示秒后、的位置，根据两点相距个单位长度列绝对值方程，分情况求解． （3）表示秒后、到原点的距离，根据距离相等列绝对值方程，分情况求解． 【详解】（1）解：点表示的数：， 在数轴上标出点和点，如图， （2）解：设经过秒，、相距个单位长度．则秒后，的位置：；的位置：．由题意可得 ， 解得或 舍去， ∴经过秒、两点相距个单位长度； （3）解：秒后，到原点距离：，到原点距离：． 由题意可得， ∴或， 当时，解得（舍去）， 当时，解得． ∴存在时，点到原点的距离与点到原点的距离相等． 44．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【答案】(1)，； (2)①秒或秒； ②存在，的值为，这个定值为． 【分析】利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值； ①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点距离个单位长度，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可得出，，，将其代入中，可得出，结合的值是定值，可得出，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得：或， 答：运动秒或秒时，点与点距离个单位长度； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， 时，， 当时，为定值． 答：存在，的值为，这个定值为． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题关键是利用绝对值及偶次方的非负性，求出，的值；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 45．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，已知数轴的单位长度为，的长度为个单位长度． (1)如果点，表示的数是互为相反数，则点表示的数是 ． (2)如果点，表示的数的绝对值相等，则点表示的数是 ． (3)若点为原点，在数轴上有一点，当点到点的距离是点到点距离的倍时，求点表示的数． 【答案】(1)5 (2) (3)5或8 【分析】本题考查了相反数、数轴，一元一次方程的应用．解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）根据点A，B表示的数是互为相反数，即可确定数轴原点，即可求解； （2）根据点B，D表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点，即可求解； （3）设点表示的数为x，分两种情况进行讨论，当点F在点B，C之间时，当点F在点C的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵点，表示的数是互为相反数，点，之间的距离为2， ∴点O为原点， ∵点C到点O的距离为5， ∴点表示的数是5； 故答案为：5 （2）解：如图， ∵点，表示的数的绝对值相等， ∴点B、D表示的数是互为相反数， ∵点，间的距离为5， ∴原点O到点B的距离为， 即点B表示的数为， ∵点C，B间的距离为4， ∴原点O到点C的距离为； 即点表示的数为； 故答案为： （3）解：∵点为原点，点B，C到原点A的距离分别为2，6， ∴点B，C表示的数分别为2，6， 设点表示的数为x， 当点F在点B，C之间时，， 解得：， 此时点表示的数为5； 当点F在点C的右侧时，， 解得：， 此时点表示的数为8； 综上所述，点表示的数为5或8． 易错考点16 和差倍分问题 46．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 47．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 【答案】这个小组共有6名学生．一共剪66张彩纸 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这个小组有x名学生，根据彩纸数量列方程即可解得答案． 【详解】解：设这个小组有x名学生，则彩纸共有张， 根据题意得：， 解得：， （张）， 答：这个小组共有6名学生，一共剪66张彩纸． 易错考点17 水电费问题 49．（25-26七年级上·江苏南京·月考）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费___________元； (2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (3)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费166元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为___________，___________． 【答案】(1)68 (2)当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，水费为元 (3)18，32 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列式求解即可； （2）根据所给的收费标准列式求解即可； （3）设7月份的用水量为，则6月份的用水量为，分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴小明家3月份用水量为，应缴纳水费68元； （2）解：当时，应缴纳水费元， 当时，应缴纳水费元， 当时，应缴纳水费元； （3）解：设7月份的用水量为，则6月份的用水量为， ∵7月份用水量比6月份多， ∴， 当时，则，则， 解得，符合题意， ∴， ∴6月份的用水量为，七月份的用水量为； 当时，则，则，此时方程无解； 综上所述，6月份的用水量为，七月份的用水量为． 50．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【答案】(1)47 (2)， (3)12 【分析】本题考查了根据题意列代数式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列式，并化简即可求解； （3）根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：若每月用水量16立方米，需交水费（元）． 故答案为：47； （2）解：当不超过10立方米，需交水费元；当超过10立方米，需交水费元． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴由题意得， 解得． 答：小颖家11月份共用水12立方米． 51．（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)元 (2)立方米 (3)元 【分析】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键． （1）分两部分计费，400立方米的部分的单价为每立方米元，超过部分立方米的单价为每立方米元，再利用单价乘以数量即可； （2）先判断小王家全年用气量大于400立方米，小于800立方米，设全年用气量为立方米，列出相应方程再求解即可； （3）先按老政策计算小李一家应缴费为2812元，再按新政策，小李一家应缴费为2724元，从而可得答案． 【详解】（1）解：用气量立方米立方米， 前立方米按第一档气价元立方米计费，超过部分立方米按第二档气价元立方米计费． 费用元 答：需要缴纳的费用是元 （2）解：当用气量为立方米时，费用元 当用气量为立方米时，费用元 而， 用气量在立方米到立方米之间． 设全年用气量为立方米，则 ． 答：全年用气量是立方米． （3）解：政策出台前：用气量立方米立方米， 费用元 政策后：家庭人口人，超过人，增加人数为人，每增加人，各档基数增加立方米， 第一档基数变为立方米，第二档基数变为立方米， ∵全年用气量立方米，， 费用元 节省费用元 答：审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省元． 易错考点18 行程问题 52．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）根据背景素材，探索解决问题 背景素材 七 （2）班打算出去研学． （一）买票：一共有 46个学生和3名老师买乘车票． （二）落座：若租2辆车则有9人无座，若租3辆车则有11 个空位． （三）抵达：客车从起点驶向终点的速度为，另一辆同时由终点驶向起点的车速度为，它们在距离中点20千米的地方相遇． 车票价格 个人票：学生票10元，成人20元 打折票：每张票减3元 团体票：超过5人以上每人14元 注：只能按其中一种方式购票，不能混合购票 【问题解决】 (1)求买票最优惠时采取的购票方案及价格是多少？ (2)客车上的座位数量是多少？（用方程解决问题） (3)客车一共行驶的路程是 ． 【答案】(1)最优惠的购票方案是全部买打折票，价格为373元 (2)20 (3)320千米 【分析】本题主要考查方案优化问题一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别计算不同购票方案的价格，然后比较得出最优惠的方案即可； （2）设每辆车有x个座位，根据人数不变列一元一次方程求解即可； （3）根据时间=路程差÷速度差，可得行驶时间，根据路程=速度和时间，可得客车一共行驶的路程． 【详解】（1）解：方案一：全部买个人票 学生票总价为元； 老师票总价为元； 所以，全部买个人票的总价为元； 方案二：全部买打折票 因为学生打折后票价为元， 所以学生打折票总价为元； 因为成人打折后票价为元， 所以老师打折票总价为元， 因此，全部买打折票的总价为元， 方案三：全部买团体票 总价为元； ∵， ∴最优惠的购票方案是全部买打折票，价格为373元； （2）解：设每辆车有x个座位，根据题意得： ， 解得：， 答：客车上的座位数量为20个； （3）解：两车的速度差为； 路程差为千米， 行驶时间为 所以，客车一共行驶的路程为（千米）． 答：客车一共行驶的路程为320千米， 故答案为：． 53．（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)相同，不同 (2)①；；② 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车票上的信息即可得到答案； （2）①根据时间等于路程除以速度即可得到答案；②根据两车同时到达终点列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，两车都是从A地开往B地的列车，动车的发车时间为，高铁的发车时间为， ∴两车的行驶方向相同，发车时间不同； （2）解：①由题意得，动车行驶完全程所用的时间为，高铁行驶完全程所用的时间为； ②由题意得，， 解得， 答：A，B两地之间的距离为； 54．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）： 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B 地？ 【答案】A，B两地之间的距离为，两车在2025年1月1日到达终点B 地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 由题意得，该动车比高铁早出发1小时，设A，B两地之间的距离为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：由题意得，该动车比高铁早出发1小时， 设A，B两地之间的距离为， 根据题意，得， 解得， 则， ∵动车的出发时间为2025年1月1日， ∴两车在2025年1月1日到达终点B 地 答：A，B两地之间的距离为，两车在2025年1月1日到达终点B 地． 易错考点19 日历问题 55．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间的那个数为16 【分析】（1）根据月历的排列特征表示出，，，， 再求和即可得解； （2）根据月历的排列特征表示出，，再求和即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用，掌握月历特点是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解： ； 理由： 由题意得，， ∴； （3）解：设中间的数为x， 由（1）题意得这5个数的和为， ∴， 解得：， 答：中间的那个数为． 56．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则____，____，若，则 （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【答案】(1)9，16， (2)被框住的5个数字之和不可能为116，理由见详解 (3)是定值，且为14，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分析即可得出当时，则，，以及当时，，即可作答． （2）先理解题意，分别表示再求出被框住的5个数字之和，再进行列出，解得，即可作答． （3）根据，得，则化简，得出，结果为定值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵， ∴； （2）解：被框住的5个数字之和不可能为116，理由如下： 依题意， 则 ∵被框住的5个数字之和为116， ∴， ∴ ∴， 观察月历，26号是靠边， ∴被框住的5个数字之和不可能为116． （3）解：是定值，且为，理由如下： 由（2）得 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ． 故为定值，且为． 57．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【答案】(1)上下相差，左右相差 (2)小强一家是号外出 (3)不能 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律． （1）通过观察发现：上下相差；左右相差； （2）由已知直接表示出这个数和等于，即可求出； （3）分别表示出这个数，根据这个数的和是，得出方程，解出的值后判断即可． 【详解】（1）解：由图形可得：上下相差，左右相差； （2）解：设小强一家号外出， 由题意得：， 解得：， 答：小强一家是号外出； （3）解：设最中间的一个数为， 则这九个数可表示为：，，，，，，，，， 由题意得，， 解得：， 不能是中间数， 这个数的和不可能是． 易错考点20 其他问题 58．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)250； (2)该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据开水放出的热量等于温水吸收的热量，列出方程，求出温水和开水的体积，然后求出接温水的时间和接开水的时间即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得：， 即：接完后杯中水温为； （2）解：设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据题意得： ， 解得， 则接温水的时间为， 接开水的时间为：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 59．（25-26七年级上·江苏南通·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数一般是5-10个，这个数量是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)若每根竹签穿5个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数n成 比例关系； (2)若有m盘山楂，每盘40个，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了a串冰糖葫芦后，还剩余c个山楂．那么每串冰糖葫芦的山楂个数为 （用含m，a，c的代数式表示）； (3)若用100个山楂恰好制成代表五福临门的A款和代表六六大顺的B款共18串，其中A款每串卖9元，B款每串卖10元，且全部卖完．共卖出多少元？ 【答案】(1)；正 (2) (3)共卖出元 【分析】本题考查了正比例关系、代数式表示及鸡兔同笼问题，解题的关键是根据数量关系列表达式或方程． （1） 用每串山楂数乘串数得总数，根据正比例定义判断关系； （2） 先求用去的山楂数，再除以串数得每串个数； （3） 设未知数，根据山楂总数列方程求串数，再计算总销售额． 【详解】（1）解：每串穿5个，串需要个山楂； 山楂总数与串数的比值为定值5，故成正比例关系． 故答案为：；正． （2）解：总山楂数为，用去的山楂数为， 每串山楂个数为 故答案为： （3）解：设A款有串，则B款有串， 由题意得，，， B款串数为， 总销售额为元． 答：共卖出元． 60．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“2，58”翻译成明文为“”． (1)明文“A”对应的密文为“______”（写出符合条件的一种情况即可），密文“7，1，55，49”翻译成明文为“______”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ： 9 12 15 18 … ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为______； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 【答案】(1)或或（答案不唯一）， (2)①增加3；②明文为“W”或“X” 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解所给密文与明文的对应关系是解题的关键． （1）根据所给“密文”与“明文”之间的对应关系即可解决问题； （2）根据所给加密规则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，明文“A”对应的密文可以为“1，31，61”，密文“7，1，55，49”翻译成明文为“”． 故答案为：或或（答案不唯一），； （2）解：①因为， 所以密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为增加3； 故答案为：增加3； ②由得， 解得舍去； ， 解得，则明文为“W”， ， 解得，则明文为“X”， ， 解得，则明文为“W”， ， 解得，则明文为“X”， 综上所述，明文为“W”或“X”． 压轴考点01 一元一次方程的含参问题 61．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 【详解】解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 62．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【详解】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 压轴考点02 由一个方程的解求另一个方程的解 64．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 65．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 66．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 压轴考点03 一元一次方程应用之几何问题 67．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 68．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；秒；②当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，长方形面积，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键在于理清长方形运动情况，根据其运动情况建立方程． （1）利用数轴上两点之间的距离得到长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解，即可解题； （2）设点P在数轴上表示的数为，结合建立方程求解，即可解题； （3）①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，利用长方形面积公式即可求出S的最大值，由运动过程可知，当与重合时，面积S开始有最大值，当与重合时，面积S结束最大值，据此建立方程讨论求解，即可解题； ②根据S是长方形面积一半，分两种情况：当在之间时，当在之间时，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 是两个完全相同的长方形， ， 长方形的面积是； 故答案为：； （2）解：点P在线段上，且， 设点P在数轴上表示的数为， 则， 解得； 故答案为：； （3）解：①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，S的最大值是； 当与重合时，面积S开始有最大值， 长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动， 此时，有， 解得， 当与重合时，面积S结束最大值， 此时，有， 解得， 持续时间是（秒）， 故答案为：；秒； ②S是长方形面积一半， 当在之间时， 有， 解得， 当在之间时， 有， 解得， 当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒． 69．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1) (2) (3)或． (4)为秒或秒时 【分析】（1）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解； （2）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解；根据题意列出方程即可求解； （3）根据（2）的结论，分相遇前与相遇后分类讨论，即可求解． （4）分点在上，上，上三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ， 故答案为：． （2）解：当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∴、两点间的和谐距离；、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得， 故答案为：； （3）解：由（2）可得当、两点相遇前相距4，则 ， 解得： 相遇后相距4，则， 解得：； 故答案为：或． （4）解：当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或， 解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用． 压轴考点04 一元一次方程应用之销售问题 70．（23-24七年级上·江苏扬州·月考）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 【答案】(1)310 (2)825 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法， （1）先计算出顾客的消费金额，以确定顾客得到的奖券金额，再计算出顾客得到的“优惠率”即可； （2）设顾客购买的商品的标价为x元，先计算出商品的标价在的范围内顾客的消费金额的范围是，则顾客得到的奖券金额是50元或110元，列方程求出相应的x的值并进行检验，得出符合题意的结果即可． 弄清商品的标价与顾客的消费金额之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵（元），且， ∴顾客得到110元奖券， ∴（元）， 答：顾客得到的优惠率额是310元． （2）设顾客购买的商品的标价为x元， （元），（元）， ∴顾客的消费金额， ∴或， 由解得，不符合题意，舍去； 由解得， ∵，且， ∴符合题意， 答：顾客购买标价为825元的商品，可以得到的“优惠率”． 71．（2022七年级上·全国·专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 72．（24-25七年级上·重庆·期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【答案】(1)A种商品购进了200件，B种商品购进了300件； (2)12月份每件商品的售价是15元； (3)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【分析】（1）设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可； （2）设12月份每件商品的售价是y元，根据销售额-成本=利润，得一元一次方程求解即可； （3）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可. 【详解】（1）解：设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件， 由题意，得， 解得， ， 答：种商品购进了200件，种商品购进了300件. （2）解：设12月份每件商品的售价是y元， 由题意，得：， 解得， 答：12月份每件商品的售价是15元. （3）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元） 由（元），（元） 所以在甲厂家购进A商品数量为=120（件），或=135（件）， 由（元）， 所以在甲厂家购进B商品数量为=410（件）， 从乙厂家购买120件A商品需付款：（元）， 购买135件A商品需付款：（元）， 购买410件B商品需付款： （元）， 故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元） 从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元） 故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010-7598=412（元）或8010-7989=21（元） 答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，掌握销售问题中的各个量之间的关系，是解答此题的关键. 压轴考点05 一元一次方程应用之方案问题 73．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元；B种商品每件进价50元． (1)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A、B两种商品各多少件？ (2)在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打八折 超过600元 其中600元部分七折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款456元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1)购进A种商品40件，购进B种商品10件 (2)570元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）根据购进、两种商品共50件，总进价为2100元列出方程求解即可； （2）分情况讨论：①当时；②当时． 【详解】（1）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 购进种商品， 答：购进种商品40件，购进种商品10件； （2）解：设小华打折前应付款为元， ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， ， 解得． 综上，小华在该商场购买同样商品要付570元或660元． 74．（23-24七年级上·山东烟台·期末）《夺冠》影片讲述了中国女排的奋斗历程和拼搏精神，学校为了进行爱国主义教育和励志教育，计划组织师生观看该影片，经了解，甲、乙两家影院的电影票单价都是元．经协调，两家影院提供了不同的优惠方式：甲影院：购买电影票的数量不超过张时，每张元．超过张时，超过的部分打八折；乙影院：不论买多少张电影票，每张均打九折． 已知观影的师生共有人，请解决下列问题： (1)在甲影院的购票花费可表示为______元；在乙影院的购票花费可表示为______元； (2)若观影教师和学生共人，选择哪家影院观影比较合算？请说明理由； (3)观影教师和学生为多少人时，在两家影院购票的费用一样？ 【答案】(1)， (2)选择甲影院观影比较合算，理由见解析 (3)观影教师和学生为人时，在两家影院购票的费用一样 【分析】本题考查一元一次方程的应用，以及列代数式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）把代入求出代数式的值进行比较解题； （3）列出方程，解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）在甲影院的购票花费为元； 在乙影院的购票花费为元 故答案为：，． （2）选择甲影院观影比较合算；理由：把代入，可得： 甲影院所需费用为(元)． 乙影院所需费用为：(元)． 因为，所以选择甲影院观影比较合算． （3）由题意得．解得． 答：观影教师和学生为200人时，在两家影院购票的费用一样． 75．（23-24七年级上·广东广州·期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． (1)如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； (2)在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 【答案】(1)七（2）班有44人； (2)够买81张票最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据电影票价格表中的购票方式和价格，列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论：当购买76张票时，当购买81张票时，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴如果两个班联合起来作为一个团体购票，应付（元）， 设七（2）班有a人， ∴七（1）班有人， ∵， ∴， ∴七（1）班应付：元，七（2）班应付：元 ∴如果两个班都以班级为单位购票，一共应付元， ∴，解得：， 答：七（2）班有44人； （2）解：∵， ∴，即七（1）班有39人， ∵七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动， ∴总人数为人， 当购买76张票时：（元）， 当购买81张票时：（元）， ∵， ∴够买81张票最省钱． 压轴考点06 一元一次方程应用之水电费问题 76．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 超过10吨但不超过25吨的部分 3 超过25吨的部分 (1)如果小李家9月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ (2)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)小李家9月份用水13吨 (2)小李家11月份用水11吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨，列方程，解方程即可求解； （2）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨，根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【详解】（1）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨， 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （2）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 77．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 【答案】(1) (2)275； (3)485度 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据表格中的信息列出代数式即可； （2）根据表格中信息列出算式进行计算，列出代数式即可； （3）根据得出本户居民7月份用电超过450度，再列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费元； （2）解：某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费： （元）； 某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费为： 元； （3）解：根据解析（2）可知：当用电450度时，需缴电费275元，因为，所以本户居民7月份用电超过450度， 设本户居民7月份用电m度，根据题意得： ， 解得：， 答：本户居民7月份用电485度． 78．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【材料阅读】 某地对居民每月用电设定如下两种计费方式供居民选择： 方式一：“分档”计算电费，电价如表1，即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，总电费等于各档电费的总和； 方式二：“分档＋分时”计算电费，其中峰谷时段的电价差额如表2，总电费＝分档电费＋峰时段增加的电费－谷时段减少的电费． 表1 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230 表2 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（当日~当日） （每度电在各档电价基础上加价元） 谷时段（当日~次日） （每度电在各档电价基础上降低元） 例如：某居民家月用电量500度，其中峰时段电量360度，谷时段电量140度． 若使用方式一，总电费（元）． 若使用方式二，总电费（元）． 【问题解决】 (1)若小明家4月份的用电量为300度，其中峰电量200度，谷电量100度．则使用方式一计费，电费为 元，使用方式二计费，电费为 元； (2)若小明家5月份使用方式一交费，电费为192元，求小明家5月份的用电量． (3)若小明家6月份的峰电量是谷电量的倍，并且使用方式二计费会比使用方式一计费节约元，求小明家6月份峰时段、谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)， (2)小明家5月份的用电量为370度 (3)小明家6月份峰时段用电量250度，则谷时段用电量为100度 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）根据两种计费方式列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过230度，再列式计算即可； （3）设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据使用方式二计费会比使用方式一计费节约\[12.5\]元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：使用方式一，总电费（元）． 使用方式二，总电费（元）； 故答案为：，； （2）解：，则小明家5月份的用电量超过230度， 则（度） （度） 答：小明家5月份的用电量为370度； （3）解：设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据题意： ， 整理得：， 解得：，则（度） 答：小明家6月份峰时段用电量为250度，谷时段用电量为100度． 压轴考点07 一元一次方程新定义运算 79．（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 80．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算以及一元一次方程的求解．需要根据新运算的规则，分情况讨论并列出方程，进而求解未知数．关键在于准确判断与是否相等，然后根据不同情况代入相应的运算规则列出方程，同时在解方程过程中要注意计算的准确性． 根据新运算的定义，分两种情况讨论：当 时，运算规则为 ；当 时，运算规则为 ．分别代入给定表达式并解方程，验证条件是否满足． 【详解】解：设 ，． 当 时，． 令 ， ， ． 验证：，，，符合条件． 当 时，即 ， ， ． 验证：，，． 则 ，不满足方程． 综上所述，． 81．（24-25七年级上·江苏南通·月考）定义：对于形如的代数式（，，为常数，其中），若取两个不相等的数值，时，该代数式的值相等，则称数值和为代数式的一组“等值解”，记作．例如代数式，当取和时，代数式的值均为，则称和为代数式的一组“等值解”．记作． (1)下列各组数值中．是代数式的“等值解”的有________（填写序号） 和；    和；    与 (2)若是代数式的一组“等值解”，求的值． (3)若和是代数式的两组“等值解”，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的运算，解一元一次方程，绝对值的化简，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“等值解”的定义逐一分析即可； （）由是代数式的一组“等值解”，则有，即，然后求出的值即可； （）由是代数式的两组“等值解”，可得，又是代数式的两组“等值解”，则有，故有，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴和是“等值解”； 当时，，当时，， ∴和不是“等值解”； 当时，，当时，， ∴和是“等值解”； 故选：； （2）解：∵是代数式的一组“等值解”， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是代数式的两组“等值解”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是代数式的两组“等值解”， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 方程的相关概念 易错考点11 销售盈亏 易错考点02 等式的性质 易错考点12 方案选择 易错考点03 方程的解 易错考点13 数字问题 易错考点04 一元一次方程 易错考点14 几何问题 易错考点05 解一元一次方程 易错考点15 动点问题 易错考点06 已知一元一次方程的解求参数 易错考点16 和差倍分问题 易错考点07 一元一次方程解的关系 易错考点17 水电费问题 易错考点08 绝对值方程 易错考点18 行程问题 易错考点09 配套问题 易错考点19 日历问题 易错考点10 工程问题 易错考点20 其他问题 压轴考点 压轴考点01 一元一次方程的含参问题 压轴考点05 一元一次方程应用之方案问题 压轴考点02 由一个方程的解求另一个方程的解 压轴考点06 一元一次方程应用之水电费问题 压轴考点03 一元一次方程应用之几何问题 压轴考点07 一元一次方程新定义运算 压轴考点04 一元一次方程应用之销售问题 易错考点01 方程的相关概念 1．（24-25七年级上·江苏南京·月考）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 易错考点02 等式的性质 4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）有一元五次方程，则代数式的值为 ． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）方程移项得．这步变形的依据是 ． 易错考点03 方程的解 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列方程的解是的有 ．（填序号）①；②；③． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 7 5 3 1 9．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 易错考点04 一元一次方程 10．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）若是关于的一元一次方程，则 ． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 易错考点05 解一元一次方程 13．（25-26七年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 14．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）解方程 (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 易错考点06 已知一元一次方程的解求参数 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 17．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数 ． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）小马虎同学解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，试求的值并求方程正确的解． 易错考点07 一元一次方程解的关系 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 21．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知关于x的一元一次方程的解与关于y的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 易错考点08 绝对值方程 22．（25-26七年级上·江苏·月考）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1)找出所有符合条件的整数x，使得； (2)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (3)若2时，求x的值． 易错考点09 配套问题 25．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）自上海迪士尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 26．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 27．（2018七年级上·全国·专题练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 易错考点10 工程问题 28．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 29．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 30．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 易错考点11 销售盈亏 31．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某体育用品店准备购进一批篮球和足球，准备在“双十二”期间销售，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需元．求篮球和足球的进价分别是多少元？ 32．（25-26八年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 33．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）某店销售两种产品，相关信息如下表： 产品 每件进价/元 每件售价/元 A产品 30 45 B产品 40 60 (1)该店十月份备货两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A产品备货多少件？ (2)该店准备在一月份的“欢庆春节”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折． ①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打________折． ②若两种产品均全部售完，则“欢庆春节”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该店计划为“欢庆春节”备货A产品500件，则B产品备货多少件？ 易错考点12 方案选择 34．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 35．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 36．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 易错考点13 数字问题 37．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 38．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将16个数字填入的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做4阶幻方．下图是由1，2，．．．，16这16个自然数构成的4阶幻方的一部分，则灰色格子内应填入的数字为 ． 39．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． (1)若，则A的值为_____； (2)的值为_______． 易错考点14 几何问题 40．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C．3 D．4 41．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 易错考点15 动点问题 43．（24-25七年级下·四川乐山·期中）、两点在数轴上，点表示的数是，点在原点的右边且与点相距个单位． (1)求出点表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点和点； (2)若点以个单位每秒的速度向右运动，同时点以个单位每秒的速度向左移动，经过多长时间、两点相距个单位长度？ (3)、从初始位置分别以个单位每秒和个单位每秒同时向右运动，是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 44．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 45．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，已知数轴的单位长度为，的长度为个单位长度． (1)如果点，表示的数是互为相反数，则点表示的数是 ． (2)如果点，表示的数的绝对值相等，则点表示的数是 ． (3)若点为原点，在数轴上有一点，当点到点的距离是点到点距离的倍时，求点表示的数． 易错考点16 和差倍分问题 46．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 47．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 易错考点17 水电费问题 49．（25-26七年级上·江苏南京·月考）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费___________元； (2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） (3)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费166元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为___________，___________． 50．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 51．（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 易错考点18 行程问题 52．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）根据背景素材，探索解决问题 背景素材 七 （2）班打算出去研学． （一）买票：一共有 46个学生和3名老师买乘车票． （二）落座：若租2辆车则有9人无座，若租3辆车则有11 个空位． （三）抵达：客车从起点驶向终点的速度为，另一辆同时由终点驶向起点的车速度为，它们在距离中点20千米的地方相遇． 车票价格 个人票：学生票10元，成人20元 打折票：每张票减3元 团体票：超过5人以上每人14元 注：只能按其中一种方式购票，不能混合购票 【问题解决】 (1)求买票最优惠时采取的购票方案及价格是多少？ (2)客车上的座位数量是多少？（用方程解决问题） (3)客车一共行驶的路程是 ． 53．（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 54．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）： 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B 地？ 易错考点19 日历问题 55．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 56．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则____，____，若，则 （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 57．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 易错考点20 其他问题 58．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 59．（25-26七年级上·江苏南通·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数一般是5-10个，这个数量是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)若每根竹签穿5个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数n成 比例关系； (2)若有m盘山楂，每盘40个，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了a串冰糖葫芦后，还剩余c个山楂．那么每串冰糖葫芦的山楂个数为 （用含m，a，c的代数式表示）； (3)若用100个山楂恰好制成代表五福临门的A款和代表六六大顺的B款共18串，其中A款每串卖9元，B款每串卖10元，且全部卖完．共卖出多少元？ 60．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“2，58”翻译成明文为“”． (1)明文“A”对应的密文为“______”（写出符合条件的一种情况即可），密文“7，1，55，49”翻译成明文为“______”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ： 9 12 15 18 … ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为______； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 压轴考点01 一元一次方程的含参问题 61．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 62．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 压轴考点02 由一个方程的解求另一个方程的解 64．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 66．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 压轴考点03 一元一次方程应用之几何问题 67．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 68．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 69．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ； (2)当 时，M、N两点在折线段上相遇； (3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； (4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 压轴考点04 一元一次方程应用之销售问题 70．（23-24七年级上·江苏扬州·月考）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 71．（2022七年级上·全国·专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 72．（24-25七年级上·重庆·期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 压轴考点05 一元一次方程应用之方案问题 73．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元；B种商品每件进价50元． (1)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A、B两种商品各多少件？ (2)在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打八折 超过600元 其中600元部分七折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款456元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 74．（23-24七年级上·山东烟台·期末）《夺冠》影片讲述了中国女排的奋斗历程和拼搏精神，学校为了进行爱国主义教育和励志教育，计划组织师生观看该影片，经了解，甲、乙两家影院的电影票单价都是元．经协调，两家影院提供了不同的优惠方式：甲影院：购买电影票的数量不超过张时，每张元．超过张时，超过的部分打八折；乙影院：不论买多少张电影票，每张均打九折． 已知观影的师生共有人，请解决下列问题： (1)在甲影院的购票花费可表示为______元；在乙影院的购票花费可表示为______元； (2)若观影教师和学生共人，选择哪家影院观影比较合算？请说明理由； (3)观影教师和学生为多少人时，在两家影院购票的费用一样？ 75．（23-24七年级上·广东广州·期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． (1)如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； (2)在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 压轴考点06 一元一次方程应用之水电费问题 76．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 超过10吨但不超过25吨的部分 3 超过25吨的部分 (1)如果小李家9月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ (2)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 77．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 78．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【材料阅读】 某地对居民每月用电设定如下两种计费方式供居民选择： 方式一：“分档”计算电费，电价如表1，即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，总电费等于各档电费的总和； 方式二：“分档＋分时”计算电费，其中峰谷时段的电价差额如表2，总电费＝分档电费＋峰时段增加的电费－谷时段减少的电费． 表1 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230 表2 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（当日~当日） （每度电在各档电价基础上加价元） 谷时段（当日~次日） （每度电在各档电价基础上降低元） 例如：某居民家月用电量500度，其中峰时段电量360度，谷时段电量140度． 若使用方式一，总电费（元）． 若使用方式二，总电费（元）． 【问题解决】 (1)若小明家4月份的用电量为300度，其中峰电量200度，谷电量100度．则使用方式一计费，电费为 元，使用方式二计费，电费为 元； (2)若小明家5月份使用方式一交费，电费为192元，求小明家5月份的用电量． (3)若小明家6月份的峰电量是谷电量的倍，并且使用方式二计费会比使用方式一计费节约元，求小明家6月份峰时段、谷时段用电量分别是多少度？ 压轴考点07 一元一次方程新定义运算 79．（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 80．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ． 81．（24-25七年级上·江苏南通·月考）定义：对于形如的代数式（，，为常数，其中），若取两个不相等的数值，时，该代数式的值相等，则称数值和为代数式的一组“等值解”，记作．例如代数式，当取和时，代数式的值均为，则称和为代数式的一组“等值解”．记作． (1)下列各组数值中．是代数式的“等值解”的有________（填写序号） 和；    和；    与 (2)若是代数式的一组“等值解”，求的值． (3)若和是代数式的两组“等值解”，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $