专题04 走进几何世界全章常考易错压轴题型汇总（13易错+4压轴）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题04 走进几何世界全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 常见的几何体 易错考点08 几何体的展开图的认识 易错考点02 组合几何体的构成 易错考点09 由展开图计算几何体的表面积 易错考点03 几何体中的点、棱、面 易错考点10 由展开图计算几何体的体积 易错考点04 截一个几何体 易错考点11 正方体相对两面上的字 易错考点05 点、线、面、体关系 易错考点12 含图案的正方体的展开图 易错考点06 平面图形旋转后所得的立体图形 易错考点13 从不同方向看几何体 易错考点07 用七巧板拼图形 压轴考点 压轴考点01 点、棱、面的公式记忆 压轴考点03 由展开图计算表面积、体积 压轴考点02 三视图中所需立方体最少型问题 压轴考点04 正方体展开图综合 易错考点01 常见的几何体 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．根据棱柱的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，属于棱柱的有，，， ∴属于棱柱的有3个 故选：B 2．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了认识立体图形，根据棱柱的定义即可得解，熟练掌握棱柱的定义是解此题的关键． 【详解】解：从左到右依次是三棱柱、球、圆锥、正方体、圆柱、六棱柱， 故属于棱柱的有三棱柱、正方体、六棱柱，共个， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·月考）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ 易错考点02 组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】用大正方体体积除以小正方体体积即可得到答案． 【详解】解：∵大正方体的体积为 ，每个小正方体的体积为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形认识，解题的关键是掌握体积公式． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 易错考点03 几何体中的点、棱、面 7．（25-26七年级上·四川达州·月考）一个棱柱共有个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，直接利用棱柱的特点分析即可得出答案，解题的关键在于掌握常见几何体的模型． 【详解】解：∵一个棱柱共有个顶点， ∴此棱柱为十棱柱， ∴这个棱柱共有个面，共有条棱，即，， ∴ 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江西吉安·月考）观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)见解析 (2)16，28，42 (3)二十八 【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法． （1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可； （3）根据棱柱的定义判定即可． 【详解】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱， 所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； 故答案为：16，28，42； （3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； 故答案为：二十八． 9．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)8；6 (2)V+F-E=2 (3)这个多面体的面数为16 【分析】（1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数． 【详解】（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：8；6； （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； （3）解：由题意得：F+F-30=2， 解得F=16， ∴这个多面体的面数为16． 【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键． 易错考点04 截一个几何体 10．（25-26七年级上·江苏常州·月考）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱柱；截面可能为三角形的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，正确认识几何体的形状是解题的关键． 根据各立体图形的形状进行判断即可． 【详解】解：由题意得，截面的形状可能是三角形的有①正方体；③圆锥；⑤三棱柱； 用一个平面截②圆柱；④球；截面不可能是三角形， 故选C． 11．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量分别为（   ） A．7个顶点，13条棱 B．6个顶点，12条棱 C．7个顶点，12条棱 D．6个顶点，13条棱 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，新几何体与原长方体比较，棱的条数没有变化，顶点减少一个． 【详解】解：长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有12条棱，7个顶点． 故选C． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图所示，木工师傅把一个长为的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了，那么这根木料本来的体积是 ． 【答案】3200 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积，根据长方体的切割特点可知，切割成三段后，表面积是增加了4个长方体的侧面的面积，由此利用增加的表面积即可求出这根木料的侧面积，再利用长方体的体积公式即可解答问题． 【详解】解：把长方体木料锯成3段后，其表面积增加了四个截面，表面积比原来增加了， ∴每个截面的面积为， 这根木料本来的体积是： 故答案为：3200． 易错考点05 点、线、面、体关系 13．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的运动关系，熟练掌握“面动成体”的几何原理是解题的关键． 判断硬币（圆面）转动形成球体对应的几何原理，结合点、线、面、体的运动关系分析． 【详解】解：硬币是圆面（面），快速转动时该面的运动形成球体（体），这种现象反映的数学原理是面动成体， 故选：C． 14．（25-26七年级上·江苏常州·月考）天空划过一道流星说明 ．（用点、线、面、体关系说明） 【答案】点动成线 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，根据点动成线进行回答即可，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 【详解】解：天空划过一道流星说明点动成线， 故答案为：点动成线． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：    根据上表总结出这个关系为． 易错考点06 平面图形旋转后所得的立体图形 16．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，该图形绕着轴旋转一周后形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念是解题的关键． 根据旋转的定义分析各选项中的图形即可解答． 【详解】解：根据旋转的定义可知：该图形绕着轴旋转一周后形成一个上面是圆锥、下面是圆柱组成的几何体，即选项B符合题意． 故选：B． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图长方体纸片绕直线l旋转一周形成圆柱体，已知，则该圆柱体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该圆柱体的体积为， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）如图是一张长方形纸片，长为，长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是______； (2)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是______（结果保留π）； (3)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱 (2) (3)形成的几何体的表面积是． 【分析】此题考查了平面图形旋转后得到的立体图形，求几何体的表面积，体积， （1）矩形旋转一周得到圆柱； （2）绕旋转得到的圆柱的底面半径为，高为，从而计算体积即可； （3）根据题意计算表面积即可． 【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：绕旋转得到的圆柱的底面半径为，高为， 体积； 故答案为：； （3）解：绕边所在直线旋转得到的圆柱的底面半径为，高为， 表面积是：； 答：形成的几何体的表面积是． 易错考点07 用七巧板拼图形 19．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查七巧板的知识点，根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的．阴影的面积总面积空白的面积，从而求出阴影部分面积． 【详解】解：根据七巧板的结构可知，分成的最小等腰直角三角形面积=正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的； ∴阴影部分的面积之和 ． 故选：A． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，用边长为4的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了用七巧板拼平面图形，阴影部分的面积等于边长为4的正方形面积减去一个直角边的长为4的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为2的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为6， 故答案为：6． 21．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：3． 易错考点08 几何体的展开图的认识 22．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱． 故选：C． 23．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，原几何体相对的两个面上的数之和最大是 ． 【答案】 长方体 8 【分析】本题考查了长方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可． 【详解】解：将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是长方体， 由图可知：1与6相对，2与4相对，3与5相对， ，，， 原几何体相对的两个面上的数之和最大是8， 故答案为：长方体，8． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 【答案】（1）①，②；（2）58 【分析】本题考查了长方体展开图，熟练掌握长方体展开图的特征是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，即可解答； （2）观察图形可知，图（3）有4条高，4个宽，6条长，即可解答． 【详解】解：（1）由图可知，可能是该长方体展开图的有①②， ③只有5个面，不能围成长方体，④有7个面，且折叠后有面重叠，不是长方体展开图， 故答案为：①②； （2）由图可知：图（3）的外围周长． 易错考点09 由展开图计算几何体的表面积 25．（23-24七年级上·吉林·期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：设长方体一个上表面的面积为，一个右表面的面积为，一个前表面的面积为， 因为图1的表面积为，即， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得，，． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·广东湛江·期末）某种包装盒的形状是长方体，长比高的3倍多1分米，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示，（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，展开图中的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为10分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格是元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查了列代数式、长方体的表面积公式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据该包装盒的长比高的3倍多1分米，即可得到的长，再根据长方体的展开示意图即可得出的长； （2）由（1）得，从而求出，得到（分米），（分米），算出长方体的表面积为38平方分米，再乘以每平方分米涂料的价格即可解答． 【详解】（1）解：设该包装盒的高为分米， 长比高的3倍多1分米， 分米， 分米． 故答案为：；． （2）解：由（1）得，， ， 解得：， （分米），（分米）， 长方体的表面积（平方分米）， 涂色的费用（元）． 答：整个包装盒外表面涂色的费用是元． 易错考点10 由展开图计算几何体的体积 28．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 29．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 30．（23-24七年级上·山西临汾·月考）综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 【答案】（1）12，864  （2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： 3cm； ∴长方体纸盒的表面积为． 易错考点11 正方体相对两面上的字 31．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）一个正方体的展开图如图所示，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，那么（   ）    A． B．4 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对的两个面，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找出相对面，即可解答． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 则“a”与“8”是相对面，“b”与“4”是相对面，“c”与“25”是相对面， ∵每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数， ， ， 故选：C． 32．（25-26七年级上·四川成都·月考）一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，在桌子上翻动这个正方体，得到图中的三种情况，则数字5的对面是数字 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方体的相对面，根据正方体摆放的三种情况，通过相邻面进行推导，即可得出结果． 【详解】解：由图可知，1与3，4，5，6相邻，故1的相对面为2， 4与1，2，3，6相邻， 故4的相对面为5； 即数字5的对面是数字4； 故答案为：4． 33．（24-25七年级上·江西鹰潭·月考）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． (1)共有______种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙设计成功的图中，要把，，，6，8，10这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点： （1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法； （2）利用（1）的分析画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：如图所示，一共有4种弥补办法； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求。 易错考点12 含图案的正方体的展开图 34．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开． (1)你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图． (2)在你选择的展开图中标出“O”的位置． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别： （1）沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个图形的四个侧面成为四个正方形，并且这四个正方形在一条直线上，写有“O”的正方形，也就是底面是另一行，且不在两端，据此可得答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为沿图中粗线将正方体剪开后的示意图， 故答案为：③； （2）解：如图所示，即为所求． 35．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【答案】（1）D；（2）C 【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图． 【详解】（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项； （2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项 【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键． 36．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．      ① 　②　③　④   【答案】④ 【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可． 【详解】根据正方体的表面展开图， ①选项两条黑线在一列，折叠后成对面了，故①错误； ②选项两条相邻成直角，故②错误； ③选项正视图的斜线方向相反，故③错误； ④选项符合条件； 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 易错考点13 从不同方向看几何体 37．（24-25七年级上·江苏·月考）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如图．这堆纸箱至少有 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；由从上面看可进行求解． 【详解】解：如图， ∴（个）， 所以这堆纸箱至少有9个； 故答案为9． 38．（23-24六年级下·江苏常州·开学考试）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示．搭出这个立体图形至少要用 个这样的小正方体木块． 【答案】 【分析】本题主要考查了用小立方块所搭成的几何体的三视图，根据从前面和上面看到的形状一样，得出从上面看到的图形中，左侧两个正方形至少有1个是2层，中间和右边的正方形都是1层，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：从上面看到的图形中，左侧两个正方形至少有1个是2层，中间和右边的正方形都是1层，如图所示： ∴搭出这个立体图形至少要用的小正方体木块个数为： （个）， 故答案为：5． 39．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，是由若干个完全相同的棱长为的小正方体组成的一个几何体． (1)在下面网格中画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左面看到的形状不变，最多可以添加________个小正方体． (3)如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)这个几何体喷漆的面积为． 【分析】本题考查了从不同方向几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据从不同方向看作图即可； （2）如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再第2和3列各添加小正方体； （3）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： 在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方形； 故答案为：4； （3）解：， 故这个几何体喷漆的面积为． 压轴考点01 点、棱、面的公式记忆 40．（25-26七年级上·江苏常州·月考）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 41．（25-26七年级上·江苏南京·月考）欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】（1）4，6，；（2）；（3） 【分析】本题考查了正多面体，多面体的顶点数，面数和棱数的关系，掌握以上知识并正确理解题意是解答本题的关键； （1）直接观察多面体模型，即可求解； （2）根据正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：，通过分析即可得到规律； （3）先求得该多面体的棱数，然后根据（2）中的，即可求解； 【详解】解（1）由多面体模型图案可得：正四面体顶点数为4，正方体面数为6，正八面体棱数为， 故答案为：；6；； （2）∵正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：， ∴， 故答案为：； （3）∵该多面体有个顶点，每个顶点处都有条棱， ∴共有条棱， ∵， ∴， 解得， ∴该多面体外表面个数为个， ∴； 42．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　　　　　　 长方体 8 6 12 正八面体 　　　　　　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　　； (2)一个多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，则这个多面体的棱数是　　； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数． 【答案】(1)6；6；； (2)30 (3)10 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （2）根据多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，得到关于E，F，将其代入顶点数面数棱数即可求解； （3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为个，由题意可得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：； ； ∵， ∴顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是； 故答案为：6；6；； （2）解：根据题意得，，则有： ∴， 解得，； 故答案为30； （3）解：因为，所以 又因为， 所以 设八边形的个数为，则三角形的个数为根据题意，得 ， 解得 所以，即该多面体外表面三角形的个数为． 压轴考点02 三视图中所需立方体最少型问题 43．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)30 (3)7 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征画图即可； （2）观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡，再根据几何体的表面积公式计算即可； （3）由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层，第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：从正面、上面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡； ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：30； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要5个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：7． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)试求出该几何体的表面积； (3)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正体． 【答案】(1)画图见解析 (2)104平方厘米 (3)2 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的画法和性质是正确解答的关键； （1）直接利用三视图的画法的出答案， （2）先算出一个小正方形的面积，然后计算出一共多少面数，然后即可得出答案； （3）利用左视图不变和俯视图不变，得出可以添加的位置， 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：小正方体的每个面的面积为（平方厘米）， 表面所含有的面数有：（个） 几何体表面积：（平方厘米）； （3）在俯视图上标注相应位置所能添加数量，如图所示： ∵保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变， ∴最多在左起第一列第二行第二层和中间一列的第二行第二层上各填一个， ∴最多可以再添加2个小正方体． 故答案为：2． 45．（23-24七年级上·江苏·单元测试）如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的体积； (3)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)7个 【分析】本题考查了从不同方向看，熟练掌握意义是解题的关键． （1）根据从不同方向看的意义画图即可． （2）根据每个小正方体的棱长为，得到一个小正方体的体积为，数出正方体的个数乘起来即可． （3）根据各自的意义，看到最左边可以加上2个，最高层的右边同行上可加个，前一行可加1个，共加7个． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： ． （2）解：根据每个小正方体的棱长为，得到一个小正方体的体积为， 一共有个， 故该几何体的体积为． （3）解：根据各自的意义，看到最左边可以加上2个，最高层的右边同行上可加个，前一行可加1个，共加7个． 压轴考点03 由展开图计算表面积、体积 46．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)12，7 (3)长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体一共有4个侧面和上下2个底面，观察所给图形可知，多了一个底面，多余块涂黑如下图，为所求： （2）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开，那么若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， ． 答：长方体的体积为． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用， （1）根据题意，得：，，，设，则，求解即可； （2）分两种情况求解：①剪成长为，宽为的两个长方形；②剪成长为，宽为的两个长方形； （3）根据题意，得：，，继而得到，代入数据可得结论； （4）利用（3）的结论：设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为，根据“拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图”列出方程求解即可； 掌握长方体的展开图是解题的关键． 【详解】解：（1）如图2， ∵两张相同长方形纸片拼接成的“”型图是长方体的展开图，且长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是， ∴，，， 设，则， 依题意，得：， 解得：， ∴， 即的长为； （2）①剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； ②剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； 综上所述，该展开图折叠成的长方体的体积是或， 故答案为：或； （3）∵长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，且，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （4）设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为， 依题意，得：， 解得：， ∴甲长方形纸片的长为． 48．（24-25七年级上·山东济南·月考）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8；（2）4；（3） 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形中没有剪开的棱的条数，再求出剪开棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式求出长方体纸盒的体积即可． 【详解】解（1）图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪了条棱； 故答案为：8． （2）如图，四种情况． 故答案为：4； （3）长方体的高为：， 这个长方体纸盒的体积为． 压轴考点04 正方体展开图综合 49．（24-25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解； （2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解； （3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 50．（24-25七年级上·山西晋中·期中）综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可； 根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为； 根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体； B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体； C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体； D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体； 故选：C． （2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为， 当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形， 则纸盒的体积为：； （3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为， 折好的长方体纸盒的体积为， 当、时， 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． 51．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为15，长为3． (1)初步感受：如图①，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图②所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的边长； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)底面的边长为：3． (3)底面的边长为：，或底面的边长为：3，． 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键． （1）利用长方形的性质求解底面相邻的两边的长即可得到周长； （2）设，则，而，再建立一元一次方程求解即可； （3）先画出两种裁剪示意图，再结合（2）的方法建立一元一次方程求解底面边长即可． 【详解】（1）解：∵长方形硬纸板，长为15，长为3．在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形， ∴该长方体纸盒底面周长为； （2）设，则，而， 根据长方体纸盒的含义，得到， 解得， ∴， 故底面的边长为：3． （3）能，如图所示的两种示意图， 如图①、②所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面， 将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒即可． 图①中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的边长为：，． 图②中，设，而，， 根据，得， 解得， ∴底面的边长为：3，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 走进几何世界全章常考易错压轴题型汇总 易错考点 易错考点01 常见的几何体 易错考点08 几何体的展开图的认识 易错考点02 组合几何体的构成 易错考点09 由展开图计算几何体的表面积 易错考点03 几何体中的点、棱、面 易错考点10 由展开图计算几何体的体积 易错考点04 截一个几何体 易错考点11 正方体相对两面上的字 易错考点05 点、线、面、体关系 易错考点12 含图案的正方体的展开图 易错考点06 平面图形旋转后所得的立体图形 易错考点13 从不同方向看几何体 易错考点07 用七巧板拼图形 压轴考点 压轴考点01 点、棱、面的公式记忆 压轴考点03 由展开图计算表面积、体积 压轴考点02 三视图中所需立方体最少型问题 压轴考点04 正方体展开图综合 易错考点01 常见的几何体 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 3．（24-25七年级上·江苏常州·月考）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 易错考点02 组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 易错考点03 几何体中的点、棱、面 7．（25-26七年级上·四川达州·月考）一个棱柱共有个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，则 ． 8．（23-24七年级上·江西吉安·月考）观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 9．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 易错考点04 截一个几何体 10．（25-26七年级上·江苏常州·月考）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱柱；截面可能为三角形的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量分别为（   ） A．7个顶点，13条棱 B．6个顶点，12条棱 C．7个顶点，12条棱 D．6个顶点，13条棱 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图所示，木工师傅把一个长为的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了，那么这根木料本来的体积是 ． 易错考点05 点、线、面、体关系 13．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 14．（25-26七年级上·江苏常州·月考）天空划过一道流星说明 ．（用点、线、面、体关系说明） 15．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 易错考点06 平面图形旋转后所得的立体图形 16．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，该图形绕着轴旋转一周后形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图长方体纸片绕直线l旋转一周形成圆柱体，已知，则该圆柱体的体积为 ． 18．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）如图是一张长方形纸片，长为，长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是______； (2)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是______（结果保留π）； (3)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积（结果保留π）． 易错考点07 用七巧板拼图形 19．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，用边长为4的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为 ． 21．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 易错考点08 几何体的展开图的认识 22．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，原几何体相对的两个面上的数之和最大是 ． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 易错考点09 由展开图计算几何体的表面积 25．（23-24七年级上·吉林·期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 27．（24-25七年级上·广东湛江·期末）某种包装盒的形状是长方体，长比高的3倍多1分米，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示，（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，展开图中的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为10分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格是元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 易错考点10 由展开图计算几何体的体积 28．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 29．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 30．（23-24七年级上·山西临汾·月考）综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 易错考点11 正方体相对两面上的字 31．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）一个正方体的展开图如图所示，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，那么（   ）    A． B．4 C． D．12 32．（25-26七年级上·四川成都·月考）一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，在桌子上翻动这个正方体，得到图中的三种情况，则数字5的对面是数字 ． 33．（24-25七年级上·江西鹰潭·月考）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． (1)共有______种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙设计成功的图中，要把，，，6，8，10这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数． 易错考点12 含图案的正方体的展开图 34．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开． (1)你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图． (2)在你选择的展开图中标出“O”的位置． 35．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 36．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．      ① 　②　③　④   易错考点13 从不同方向看几何体 37．（24-25七年级上·江苏·月考）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如图．这堆纸箱至少有 个． 38．（23-24六年级下·江苏常州·开学考试）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示．搭出这个立体图形至少要用 个这样的小正方体木块． 39．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，是由若干个完全相同的棱长为的小正方体组成的一个几何体． (1)在下面网格中画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左面看到的形状不变，最多可以添加________个小正方体． (3)如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄漆，求这个几何体喷漆的面积． 压轴考点01 点、棱、面的公式记忆 40．（25-26七年级上·江苏常州·月考）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 41．（25-26七年级上·江苏南京·月考）欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 42．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　　　　　　 长方体 8 6 12 正八面体 　　　　　　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　　； (2)一个多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，则这个多面体的棱数是　　； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数． 压轴考点02 三视图中所需立方体最少型问题 43．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为_____． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_____个小立方块． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)试求出该几何体的表面积； (3)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正体． 45．（23-24七年级上·江苏·单元测试）如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的体积； (3)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 压轴考点03 由展开图计算表面积、体积 46．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． 48．（24-25七年级上·山东济南·月考）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 压轴考点04 正方体展开图综合 49．（24-25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 50．（24-25七年级上·山西晋中·期中）综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 51．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为15，长为3． (1)初步感受：如图①，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图②所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的边长； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $