专题2.2 切线长定理（知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦切线长定理这一核心知识点，系统梳理切线的判定与性质、切线长定义及定理、三角形内切圆与内心、圆与圆位置关系、尺规作图过圆外一点作切线等内容，构建从基础概念到综合应用的知识支架。 资料特色在于知识梳理结合易错点拨，如“连半径，证垂直”“见切线，连半径，得垂线”等技巧助力理解。题型讲练含典例与变式，中考真题链接实战，难度分层适配不同学生。通过几何直观培养数学眼光，推理训练提升数学思维，既辅助教师授课，又帮助学生课后查漏补缺。

专题2.2 切线长定理 （知识荟萃+2个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：切线 1 知识点梳理02：切线长 2 知识点梳理03：三角形的内切圆与内心 2 知识点梳理04：圆与圆的位置关系 2 知识点梳理05：尺规作图——过圆外一点作圆的切线 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：应用切线长定理求解 3 考点2：应用切线长定理求证 10 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 31 知识点梳理01：切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 【易错点拨】 ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点梳理02：切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 知识点梳理03：三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 【易错点拨】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 知识点梳理04：圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点梳理05：尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求. （3） （2） （1） 考点1：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于点，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，切线长定理，圆周角定理，角平分线性质定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，设与于点，由切线长定理可得，，，可证明垂直平分，则有，所以，，又，则，从而求证； （）连接，，设与于点，同（）得垂直平分，所以，又 ，则有，然后通过解直角三角形和线段和差即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，，设与于点，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，设与于点，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，小正六边形的6个顶点都在及大正六边形的边上，大正六边形的6条边都和相切，点A是大正六边形的一个顶点，线段OA与小正六边形的边交于点B，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查正多边形和圆、切线的性质、切线长定理、解直角三角形等知识．设C、D是小正六边形的两个顶点，连接、，由点A是正六边形的顶点，求得，由切线的性质得，，，则，，所以，，由，求得，，据此求解即可得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，设C、D是小正六边形的两个顶点，连接、， ∵点A是正六边形的顶点， ∴， ∵、分别与相切于点C、D， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【规范解答】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 考点2：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江大庆·月考）已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】设交于点G，连接，根据切线长性质，得，得，根据，得，故①正确；是的切线，，而，，即是的角平分线，根据平分，得E为的内心，故②正确；若，则应有，应有，应有，而与不一定相等，故③不正确；由②可知，又，，证明，得，得， 即得，故④正确． 【规范解答】解：设交于点G，连接， ∵与是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即是的角平分线， ∵平分， ∴E为的内心， 故②正确； 若，则应有， 应有， 应有， 而与不一定相等， 故③不正确； 由②可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． ∴正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证； （2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为． 【变式训练2】（23-24九年级下·陕西西安·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【思路点拨】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【规范解答】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【思路点拨】（1）切线的性质结合切线长定理，得到，，根据，得到，圆周角定理得到，即可得证； （2）切线长定理，得到，求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出的长，连接，圆周角定理，得到，利用，列出比例式进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵ 分别与相切于点B，D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ 分别与相切于点B，D， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的半径为6， 连接， ∵连接并延长，交于点F， ∴为直径， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 【答案】A 【思路点拨】连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【规范解答】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 3．（2024·全国·中考真题）如图，矩形中，，点E是边上一动点，于点G，连接并延长交于点F，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】要想求出的最大值，首先要找到当与圆弧相切时最大；在根据斜边上的中线等于斜边上的一半时求出3，根据切线长定理求出再根据相似即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴点在以为直径的一段圆弧上 显然当与圆弧相切时最大， 设圆心为，连接 ∴ 又， ∴ ∵是圆的切线， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴ 即 即AF的最大值为 ． 故答案为：． 4．（2024·河南周口·中考真题）如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得是解题的关键． 由、是的切线，A、B为切点，得，由切线的性质得，则，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）如图所示，已知点P是外一点，、是的两条切线，过点P作的割线，交于A、B两点，与交于点C，求证： 【答案】证明见解析 【思路点拨】如图，过作于，证明 ，连接，作直径，连接，证明，，再进一步证明即可． 【规范解答】解：如图，过作于， ∵、是的两条切线， ∴， ∴， ∴ ， 连接，作直径，连接， ∴， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解． 【规范解答】解： 、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【规范解答】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题重点考查切线长定理、三角形的周角等知识，推导出是解题的关键．由切线长定理得，，，而的周长是，可推导出，所以，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵射线，切于点A，B， ∴， ∵直线切于点C，交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【规范解答】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·四川自贡·月考）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【规范解答】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 6．（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明的周长等于是关键． 证明四边形是正方形，然后根据切线长定理证明的周长等于即可求解． 【规范解答】解：连接、． 和是的切线， ，，， 则四边形是正方形． ， 又是切线， ，， 的周长 ． 故答案是：4． 7．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 【答案】25 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【规范解答】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【思路点拨】本题考查了切线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【规范解答】（1）解：点O如图所示： （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【答案】 【思路点拨】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【规范解答】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C． (1)求证： (2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查三角形外接圆和切线性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识； （1）连接并延长，交于点E，根据外接圆和切线性质得到，推出，利用三角形的内角和定理即可证出； （2）由（1）得，根据相似性质得，计算得到，在中，由勾股定理，得，连接，在中，由勾股定理，得 ，代入数值计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接并延长，交于点E． ∵是的外接圆，， 所以． 又∵是的切线， ∴，． 所以． 所以， ∴ ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 所以． 因为， 所以， 在中，由勾股定理，得， 连接， 设的半径为r，则 所以 在中，由勾股定理， 得 ， 所以 解得 ∴半径为． 培优拔高 11．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的切线，A、B是切点，C是与的交点，D是与的交点，若，则①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】根据切线长定理，得，可以判定是等边三角形；根据推理的结论，可判定；根据等边三角形的判定和性质，判定其余结论． 本题考查了切线长定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据切线长定理，得，， 故垂直平分； 由， 故是等边三角形，故①正确； 故， 根据切线性质，得， 故，故④正确； 根据题意，得，， 故是等边三角形； 故，，， 故 故， 故，故②正确； 故③正确， 故选：D． 12．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆的切线的性质及切线长定理，熟练应用切线长定理是解题的关键．过点D作，又因为和与相切于点A、B，可证四边形是矩形，再由切线长定理可得，在中，由勾股定理即可求出与的函数关系． 【规范解答】解：过点D作，垂足为F，   和与相切于点A、B， ， ， 四边形是矩形， ， 切于E， ， ， 在中，由勾股定理得， 化简得，， ， 结合选项可知，B选项符合题意， 故选：B． 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了求扇形面积，相似三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等．过点A作，交于点F，过点B作于点G，根据切线长定理，可得，可得到是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，设，根据，可得，再由勾股定理可得，再根据，可得，设半径为r，则，，然后根据，求出r，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作，交于点F，过点B作于点G， ∵扇形分别与和的延长线相切， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴阴影部分的面积是． 故选：A 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是 ． 【答案】 【思路点拨】如图所示，连接，，，，首先推出点F，O，C三点共线，即是的直径，然后求出，然后由切线长定理得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，，，， ∵与边、、分别相切于点、、， ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴点F，O，C三点共线，即是的直径 ∵ ∴ ∴ ∵与边、、分别相切于点、、， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查切线性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握余弦定义是解答的关键．利用余弦定义可求得，在中，再利用余弦定义求解即可． 【规范解答】解：连接，， ∵，是的两条切线，切点分别为点A，B， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 设，， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 16．（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数，接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答． 【规范解答】解：∵切于点A，是半径， 分别切于点A、B， ． 故答案为：． 17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，， 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）连接、、、，根据切线长定理得出，根据正方形的性质得出，证明得出，，进而证明，得出，根据圆内接四边形对角互补可得，即可得出，即可得证； （2）过作 于 ， 于，证明得出，从而可得，根据，则，即可求解； （3）连接，交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，四边形 为正方形 ，由（2）可知，，进而得出则，令 ，推导出，，根据，求得，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）如图，连接、、、 在正方形中 ，边、分别切于、， ， 是正方形的对角线 平分 ， ， ， ， ，               为直径 （2）过作 于 ， 于， ， 四边形为矩形           ，           ， ， ，则， ． （3）如图，连接，交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形， 为的切线               四边形 为正方形   于 ， ， ，           由（2）可知，      ∴ ∴ 则 令      ， ，   ，     ， 又 ∴ 或 （ 舍 ） ∴， ∴， ． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【思路点拨】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【规范解答】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 20．（2025·河北·一模）如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． (1)当时，求的长； (2)当时，连接，求的外接圆的半径长； (3)若点在线段上，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的外接圆的半径长为 (3) 【思路点拨】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及弧长公式等知识．此题综合性很强，难度较大，注意辅助线的作法，注意利用数形结合思想； （1）首先连接，由圆周角定理，可求得的度数，然后由弧长公式，即可求得答案； （2）首先证得，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，结合含30度直角三角形的性质求出，，根据勾股定理求得答案； （3）分别求出与重合时和当与重合时的值，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：连接， ， ， ， ， 的半径为3， 的长为； （2）解：是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的直径， ， 的外接圆的半径长为； （3）解：如图，当与重合时， 是直径，， ， ，，共线， ， ， 在中，，， ； 如图，当与重合时， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，是半圆的半径， ∴，是半圆的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 切线长定理 （知识荟萃+2个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：切线 1 知识点梳理02：切线长 2 知识点梳理03：三角形的内切圆与内心 2 知识点梳理04：圆与圆的位置关系 2 知识点梳理05：尺规作图——过圆外一点作圆的切线 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：应用切线长定理求解 3 考点2：应用切线长定理求证 5 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 11 知识点梳理01：切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 【易错点拨】 ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点梳理02：切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 知识点梳理03：三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 【易错点拨】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 知识点梳理04：圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点梳理05：尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求. （3） （2） （1） 考点1：应用切线长定理求解 【典例精讲】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于点，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)过点作于点，若，，求的长． 【变式训练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，小正六边形的6个顶点都在及大正六边形的边上，大正六边形的6条边都和相切，点A是大正六边形的一个顶点，线段OA与小正六边形的边交于点B，则 ． 【变式训练3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 考点2：应用切线长定理求证 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江大庆·月考）已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的结论有 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【变式训练2】（23-24九年级下·陕西西安·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【变式训练3】（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 3．（2024·全国·中考真题）如图，矩形中，，点E是边上一动点，于点G，连接并延长交于点F，则的最大值为 ． 4．（2024·河南周口·中考真题）如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为 ． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）如图所示，已知点P是外一点，、是的两条切线，过点P作的割线，交于A、B两点，与交于点C，求证： 基础夯实 1．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 5．（24-25九年级下·四川自贡·月考）如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 6．（2025·四川绵阳·一模）如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 7．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C． (1)求证： (2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径． 培优拔高 11．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的切线，A、B是切点，C是与的交点，D是与的交点，若，则①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是 ． 15．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 16．（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 17．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，， 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 20．（2025·河北·一模）如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． (1)当时，求的长； (2)当时，连接，求的外接圆的半径长； (3)若点在线段上，直接写出的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $