专题1.1 锐角三角函数（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切的定义）、增减性（0°-90°间正弦正切随角度增大而增大，余弦反之）、特殊角值及三角函数关系，通过知识梳理搭建基础，9个题型讲练分层巩固，形成从概念到应用的学习支架。 资料特色在于知识梳理结合易错点拨助力抽象能力培养，9个考点覆盖概念辨析、求值、求边长等题型提升推理能力，中考真题与基础夯实、培优拔高分层练习发展应用意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺强化知识掌握。

专题1.1 锐角三角函数 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 1 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 2 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 3 知识点梳理04：锐角三角函数之间的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正弦的概念辨析 4 考点2：求角的正弦值 5 考点3：已知正弦值求边长 5 考点4：余弦的概念辨析 7 考点5：求角的余弦值 8 考点6：已知余弦求边长 10 考点7：正切的概念辨析 11 考点8：求角的正切值 13 考点9：已知正切值求边长 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 18 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【易错点拨】 (1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 知识点梳理04：锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 【易错点拨】 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级下·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级下·全国·课后作业）有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，若的中点C到弦的距离，，结合尺规作图的痕迹，计算的值为 ． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·河北廊坊·月考）两个等腰直角三角形和初始叠放在一起（点在边上，点在边上），分别是斜边的中点，．将绕顶点逆时针旋转一周． (1)如图1，连接，，求证：； (2)请直接写出旋转过程中点，距离的最大值和最小值； (3)将从初始位置绕顶点逆时针旋转一定角度后，点在同一条直线上（如图2所示）．嘉淇认为此时点也在同一条直线上，请你通过说理判断他说的对不对，并求． 【变式训练1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)将绕点顺时针旋转得到，连接、，取、的中点、． ①如图，连接与交于点，当点、、三点共线时，求证：为的中点； ②如图，若，，连接、，直接写出的范围______（用含有的式子表示）． 【变式训练2】（24-25九年级下·北京·期末）如图，在中，，，，平分交边于点． (1)直接写出线段的长： ； (2)过点作于点，补全图形，并求线段的长． 考点4：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 考点5：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图1，点E在矩形的边上，连结，．作点A关于的对称点F，当点F在上时，分别在，上取点G，H，使． (1)求证：． (2)①若，，求的余弦值． ②若，，，与相似，求的长． (3)如图2，连结交于点M，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【变式训练2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象． (3)直接写出的值为______． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练1】（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【变式训练2】（2025·广东·二模）如图，内接于，是的直径，P是上一点．若，，则的长为（    ）． A．2 B．4 C． D． 考点7：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·月考）已知平面直角坐标系（如图），一条抛物线经过点，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式，并在所给坐标系中画出其大致图像； (2)把该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线与y轴交于点C，顶点为P，连接、． ①如果，且，求点C的坐标； ②射线与新抛物线交于点D，如果，且，求m、k的值． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 考点8：求角的正切值 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，在矩形中，平分，将沿折叠至，点恰好落在上．延长交于点，交于点．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若．则下列结论：①；②；③；④点D到的距离为，其中正确的结论是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北石家庄·月考）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，是半圆O的直径，交半圆O于点A，D是的中点，分别交于点E，F．若，则的长为 ，的长为 ． 【变式训练1】（25-26九年级下·全国·课后作业）在中，是的高线．若，求的长． 【变式训练2】（2025·湖北·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点M，若点E为的中点，求的长度； (3)如图3，延长至点G，使得，连接交于点H，若，求的值． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是 （填正确结论的序号）． 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，轴于点B，，点C在x轴正半轴上，连接PC，，若的面积为6，则k的值为 ． 3．（2024·广东广州·中考真题）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上． (1)请在图中画出以为边的，使得，面积等于8； (2)请在图中将线段绕点顺时针旋转，使得点落在点处，画出旋转后的线段； (3)连接，并直接写出的长． 基础夯实 1．（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 5．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则的值为 ． 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知在中，，则AB的长为 ． 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 8．（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的边上找一点，使； (2)在图②中画的角平分线； (3)在图③中的边上画一点，使． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个等腰直角； (2)在图2中画出一个平行四边形，使平行四边形的面积是16，连接，并直接写出的正切值． 10．（2025·安徽·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段以及格点． (1)将线段向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段，请画出线段； (2)以点为对称中心，作线段的中心对称线段，请画出线段； (3)连接，求的值． 培优拔高 11．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 12．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，是的外接圆，点A，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·陕西西安·月考）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 14．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为 ． 15．（24-25九年级下·江苏常州·月考）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则= ． 16．（2025·吉林长春·三模）如图，是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连结．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 17．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，已知矩形，，，平面内有一动点，且．连接，将线段绕点逆时针旋转，使，得到线段．连接、，则的最小值为 ． 18．（2025·四川广元·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2)求的值． 19．（2025·江苏镇江·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C三点都是格点，且． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_________； (2)①如图，若线段与x轴交于点D，求点D坐标； ②在①的条件下，在你所画的平面直角坐标系的y轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请求出点P的坐标． ③直接写出在②的条件下的正切值____________ (3)请仅用无刻度的直尺在给定网格作图．在上找一点Q，使的面积为． 20．（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 锐角三角函数 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 2 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 3 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 3 知识点梳理04：锐角三角函数之间的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正弦的概念辨析 4 考点2：求角的正弦值 6 考点3：已知正弦值求边长 8 考点4：余弦的概念辨析 15 考点5：求角的余弦值 18 考点6：已知余弦求边长 24 考点7：正切的概念辨析 28 考点8：求角的正切值 34 考点9：已知正切值求边长 38 中考真题 实战演练 43 难度分层 拔尖冲刺 49 基础夯实 49 培优拔高 56 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【易错点拨】 (1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 知识点梳理04：锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 【易错点拨】 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键． 连接，作轴于，根据三角形中线平分面积求出的面积，再求证出是等边三角形，再利用反比例函数k的几何意义求出即可． 【规范解答】解：连接，作轴于， 的面积是2，， 的面积为1， ，， ， ， ， ， ∵， 为等边三角形， ， ， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ． 故答案为：1． 【变式训练1】（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式训练2】（23-24九年级下·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【规范解答】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．构造，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 在中，，， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级下·全国·课后作业）有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角函数和勾股定理，根据平行可得，在中，利用勾股定理可求得三边长，再根据即可求解. 【规范解答】解：如图． 由题可得，， 在中， ， ； 故选：． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，若的中点C到弦的距离，，结合尺规作图的痕迹，计算的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是垂径定理、解直角三角形．根据垂径定理的推论得到， ，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，再根据正弦的定义计算得到答案． 【规范解答】解：设的半径为r， 则， ∵点C是的中点， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·河北廊坊·月考）两个等腰直角三角形和初始叠放在一起（点在边上，点在边上），分别是斜边的中点，．将绕顶点逆时针旋转一周． (1)如图1，连接，，求证：； (2)请直接写出旋转过程中点，距离的最大值和最小值； (3)将从初始位置绕顶点逆时针旋转一定角度后，点在同一条直线上（如图2所示）．嘉淇认为此时点也在同一条直线上，请你通过说理判断他说的对不对，并求． 【答案】(1)见详解 (2)点，距离的最大值为3，最小值为1 (3)嘉淇说法正确，理由见详解， 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等腰直角三角形的性质，证明，即可得出答案； （2）根据直角三角形斜边中线定理，得出，在旋转过程中借助三角形三边关系可得出两点间的最大值和最小值； （3）利用等腰直角三角形的性质求出相关角的度数，利用平角得出三点在同一条直线上，过点作于点，求出相关线段的长度，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵点分别是斜边的中点， ∴, 如图所示， 当点在同一条直线上，且点位于之间时，点，距离的最大， 此时，最大值为； 如图所示， 当点在同一条直线上，且点位于之间时，点，距离的最小， 此时，最小值为； ∴点，距离的最大值为3，最小值为1； （3）解：嘉淇说法正确，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵与都是等腰直角三角形，且点分别是斜边的中点， ， 当点在同一条直线上时，， ∴， ∴点也在同一条直线上； ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点，， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ． 【变式训练1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)将绕点顺时针旋转得到，连接、，取、的中点、． ①如图，连接与交于点，当点、、三点共线时，求证：为的中点； ②如图，若，，连接、，直接写出的范围______（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形； （1）利用两角相等证明，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）①连接并延长至点，使，连接，，先证明，得到，，再由旋转得到，得到，结合，证明，得到，再证明，得到，根据中位线得到，得到，即可得到，则，即为的中点； ②由，设，则，，在图1中由面积得到，，，再由①可得，，，则，，代入即可得到，根据，得到，然后结合得到． 【规范解答】（1）证：，， ， ， ， ， 即； （2）解：①连接并延长至点，使，连接，， ∵的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， 由（1）可得， ∴， ， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴，即为的中点； ②如图， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则，，如图， 由①可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 整理得， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·北京·期末）如图，在中，，，，平分交边于点． (1)直接写出线段的长： ； (2)过点作于点，补全图形，并求线段的长． 【答案】(1)6 (2)图形见解析；3 【思路点拨】本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识，数形结合，是解题的关键． （1）利用得，设，，再利用勾股定理列方程，解方程求出的值，可得线段的长； （2）利用角平分线的性质，推出，再利用，列方程求解； 【规范解答】（1）在中，，， ， 设，， 由勾股定理得， ， 解得， ，， 线段的长为6． 故答案为：6． （2）如图所示： ， ， ，平分， ， ，，， ，，， 又， ， ， 线段的长为3． 考点4：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【规范解答】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【规范解答】（1）解：， ， 又，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 考点5：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图1，点E在矩形的边上，连结，．作点A关于的对称点F，当点F在上时，分别在，上取点G，H，使． (1)求证：． (2)①若，，求的余弦值． ②若，，，与相似，求的长． (3)如图2，连结交于点M，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【思路点拨】（1）由题易得，再根据平行线得，等量代换即可得解； （2）①证即可得解； ②分类讨论，若，此时， 若，此时是等边三角形，再设参求解即可； （3）过作交于点，过作交于点，由平行线分线段成比例可知：， 得：，从而得到，再由，得到，即可得解. 【规范解答】（1）证明：点关于的对称点， ∴ ∵ 矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）①由（1）知 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即的余弦值为； ② ∵ ∴与相似分两种情况：   若 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由①知 ∴ ∴ 设，则，   ∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ：（负值舍去） ∴ 若 ∴ ∵ ∴ 故是等边三角形   ∴ 设，则 ∴ 由①知 ∴即 整理得： ∴ ∴方程无解，即此种情况不存在。   综上， （3）过作交于点，过作交于点， 得： 由（1）知： ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了新定义．根据新定义得到，进一步即可得到答案． 【规范解答】解：过点A作轴于点H， 根据定义可知，， ∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B 【变式训练2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象． (3)直接写出的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，画反比例函数图象，求锐角的余弦值，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据题意得出，选取画出反比例函数图象，即可求解； （3）根据矩形的性质以及勾股定理得出，进而证明，即可求解． 【规范解答】（1）解：直线经过点、点 将、点代入得 解得 一次函数的表达式为 （2）解：∵反比例函数的图象经过点． ∴， ∴ 如图所示，选取 （3）解：∵、， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵，即 ∴ 故答案为：． 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质及解直角三角形的知识， （1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出，从而得，证出是等边三角形，利用三线合一即可得出结果； （2）先求出，在中利用三角函数求出即可求出结果． 【规范解答】（1）证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，x的取值范围为． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，再根据平行线的性质以及等腰三角形的判定定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据“边角边”即可证明结论； （2）由中点的定义可得，由可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式化简即可证明结论； （3）如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G，根据题意求出、根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出即可得到关系式；然后再根据确定x的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴, ∵, ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵（比值）， ∴，解得：． ∴，x的取值范围为． 【变式训练2】（2025·广东·二模）如图，内接于，是的直径，P是上一点．若，，则的长为（    ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据圆周角定理，余弦函数的应用解答即可． 本题考查了圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理和函数是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的直径，P是上一点． ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点7：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路点拨】本题主要考查了格点作图、相似三角形的判定与性质、正切的定义、平行四边形的定义等知识点，理解相关知识成为解题的关键． （1）根据垂直的定义以及格点的特点即可解答： （2）根据正切的定义、格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据平行四边形的定义作图即可； （4）根据格点的特点构造相似三角形求出相关线段的长度，然后运用勾股定理求解发现作法，然后作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1：线段即为所求． （2）解：如图1：点G即为所求． （3）解：如图2：即为所求． （4）解：如图：点E即为所求． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·月考）已知平面直角坐标系（如图），一条抛物线经过点，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式，并在所给坐标系中画出其大致图像； (2)把该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线与y轴交于点C，顶点为P，连接、． ①如果，且，求点C的坐标； ②射线与新抛物线交于点D，如果，且，求m、k的值． 【答案】(1) (2)①，②， 【思路点拨】本题考查了二次函数的综合，解题关键是求出二次函数解析式，利用点的坐标，通过三角函数等知识求解； （1）利用待定系数法求出解析式，画出函数图象即可； （2①）写出平移后的抛物线解析式，设，根据题意表示出，再表示C点坐标为，代入解析式即可；②根据得出，再根据得出点D坐标，代入解析式即可． 【规范解答】（1）解：抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得，，解得，， 抛物线解析式为； 抛物线函数图象如图： （2）解：抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线解析式为，顶点坐标为，过点P作，垂足为F， ①∵， ∴，， 设， 则， 解得，， 所以C点坐标为，代入得， ，解得（舍去），， C点坐标为， ②∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则C点坐标为，代入得， ，解得，（舍去），， ∵， ∴点D在第一象限， 过点D作，垂足为G， ∴ ∴， ∴点D的坐标为，代入得， ，解得，． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了利用网格作图，正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用网格作，，则； （2）利用网格特点，结合，为钝角三角形，作图即可； （3）利用网格特点，结合，为锐角三角形，作图即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求， （2）解：如图②、图③、图④，即为所求， （3）解：如图⑤，即为所作， 取格点，连接， 由勾股定理可得：，，， ∴，，， ∴为直角三角形， ∴． 考点8：求角的正切值 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，在矩形中，平分，将沿折叠至，点恰好落在上．延长交于点，交于点．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【思路点拨】利用矩形的性质和翻折的性质可得，利用证明，由平分可得，得出为等腰直角三角形，得，，得出，可得，故可判断A、B；由 得 ，由折叠得，又，可求出，故可判断C；利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，得，可判断D． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵将沿折叠至， ∴， ∴，，, ∴，，， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴, 又， ∴， ∴，故选项A错误，选项B正确； ∴， ∴，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项D正确； 故选：BCD． 【变式训练1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若．则下列结论：①；②；③；④点D到的距离为，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、等腰直角三角形性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识． 首先得、都是等腰直角三角形，可得，故①正确；中，，故②正确，根据，得，故③不正确；求出面积为8，设点D到的距离为x，则，可得点D到的距离为，故④正确． 【规范解答】解：∵正方形中，对角线与相交于点O， ∴O是中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中， ∴ ∴是等腰直角三角形， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵， 在正方形中， ∴， 在中，，故②正确， ∵F是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； 在中， ， ∴， ∵的面积为， ∵F是斜边的中点， ∴面积为8， 设点D到的距离为x，则， ∴，解得， ∴点D到的距离为，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北石家庄·月考）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题先证得，得到，然后即可求解； 【规范解答】解：如图： ， 由图可得：，，，，为直角三角形，，，，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，是半圆O的直径，交半圆O于点A，D是的中点，分别交于点E，F．若，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 1 / 【思路点拨】连接，由得，是等腰直角三角形；由D是的中点，得，结合为直径得；由勾股定理求得；由三角函数知识求得，则即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ∴； ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； ∵D是的中点， ∴， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：1，． 【变式训练1】（25-26九年级下·全国·课后作业）在中，是的高线．若，求的长． 【答案】或 【思路点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 分两种情况进行讨论：高在内部；高在外部． 【规范解答】解：如图，分以下两种情况讨论： ①当高在内部时， 在Rt中，． 在Rt中， ∴， ； ②当高在外部时， 综上所述：的长为或． 【变式训练2】（2025·湖北·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点M，若点E为的中点，求的长度； (3)如图3，延长至点G，使得，连接交于点H，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据矩形的性质得到，即，进而得到，即可证明； （2）过点E作交于点N．根据求出，根据平行线的性质得到，进而根据三角函数求出，根据勾股定理求出，证明，得到，可知，即可求出的长度； （3）设，证明，可得，即，求出，进而求出，即可证明，得到，根据求出，进而求出，即可求出的值． 【规范解答】（1）证明：∵在矩形中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作交于点N． ∵点E为BC的中点，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，设，则，． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是 （填正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【思路点拨】先过点D作的延长线于一点，运用四边形内角和以及邻补角互补的性质，证明，得，则平分，结合全等三角形的判定与性质得，故，所以，即，再证明，则，设，根据线段的关系，得，即，根据角的关系，整理得，再结合，故，运用勾股定理得，最后再在中，，即可作答． 【规范解答】解：过点D作的延长线于一点，如图所示： ∵，， ∴， ∵，的延长线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， 故①符合题意； ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 则； 故③符合题意； 延长，交的延长线于一点，过点A作，如图所示： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 设， 则 ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 则； 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，轴于点B，，点C在x轴正半轴上，连接PC，，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据正方形的判定和性质得到，设，则，根据三角形面积公式求出，根据k的意义作答即可． 【规范解答】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·广东广州·中考真题）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查网格中的三角函数，勾股定理求出的值，作于点，等积法求出的上，再利用锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：作于点， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．由矩形的性质得，，由翻折得，，由，，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是矩形，，， ，， 把△沿折叠，点落在边上的点处， ，， ，， ， ， 故选：C． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上． (1)请在图中画出以为边的，使得，面积等于8； (2)请在图中将线段绕点顺时针旋转，使得点落在点处，画出旋转后的线段； (3)连接，并直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，三角函数定义进行作图即可； （2）画出点B旋转后的对应点E，然后连接即可； （3）根据勾股定理求出结果即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的平行四边形； ，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接，则． 基础夯实 1．（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求角的正弦值，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是的直径，得到，在中利用正弦的定义得出，再根据，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是的直径，且半径是， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查求角的余弦值，勾股定理求出的长，根据余弦的定义，进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【规范解答】解：如图， ， 故选：D． 4．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【规范解答】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了求正切值．利用网格的特点得到，其中，根据正切的定义求出答案即可． 【规范解答】解：如图， 在中，， ∴ 故答案为： 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知在中，，则AB的长为 ． 【答案】. 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数定义，解题的关键是正确把握锐角三角函数的定义． 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义及勾股定理求出即可. 【规范解答】解：如图所示： 在中， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的边上找一点，使； (2)在图②中画的角平分线； (3)在图③中的边上画一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查三角函数的知识、等腰三角形三线合一的知识、相似三角形的知识． （1）线根据三角函数与边的关系得出，再代入即可得出答案． （2）根据等腰三角形的三线合一的知识，先构造等腰三角形，再找到底边中点连线即可． （3）根据相似三角形对应边成比例构造的等腰三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图所示： ∵，， ∴， 以点为顶点，构造等腰三角形， 根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线． （3）如图所示： 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个等腰直角； (2)在图2中画出一个平行四边形，使平行四边形的面积是16，连接，并直接写出的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，4 【思路点拨】本题主要考查网格作图，利用网格求面积，角的正切值； （1）连接，以B点为圆心，以长为半径作圆弧交正方形网格图与C点，再连接即可； （2）连接，平移，平移到平行四边形底为4高为4的位置即可，根据角的正切值公式计算即可． 【规范解答】（1）解：等腰直角如下图： （2）解：平行四边形如下图： ； 10．（2025·安徽·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段以及格点． (1)将线段向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段，请画出线段； (2)以点为对称中心，作线段的中心对称线段，请画出线段； (3)连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了平移作图，旋转作图，求余弦值，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据所给平移方向作图即可； （2）根据所给旋转方式作图即可； （3）如图所示，过点作于C，利用面积法求出，再用勾股定理求出，再由进行求解即可． 【规范解答】（1）线段即为所画： ； （2）线段即为所画： （3）解：如图所示，过点作于C， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 培优拔高 11．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于，利用证明，根据及全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，，根据三角形三条中线交于一点得出，根据中位线的性质得出，即可得出，根据正切的定义即可得答案． 【规范解答】解：如图，设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵、交于点，，分别是边，上的中线， ∴是边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 12．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，是的外接圆，点A，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，网格与勾股定理，掌握圆周角定理、正弦的定义是解题的关键． 作直径，连接，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据圆周角定理得到，得到答案． 【规范解答】解：如图，作直径，连接， 由勾股定理得：， ， 由圆周角定理得：， ， 故选：D． 13．（24-25九年级下·陕西西安·月考）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的性质和求锐角的正切值，解题的关键是掌握二次函数的平移规则，即上加下减，左加右减 ．先根据抛物线的平移得到平移后的抛物线的表达式，并转换为顶点式，得到平移后抛物线的顶点的坐标，并计算出平移后的抛物线与轴交点坐标，过点作轴，则，进而根据正切的定义，即可求解． 【规范解答】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为， 顶点的坐标为， 令，得， 解得：或， 点，， 过点作轴，则 ∴ ∴ 故选：D． 14．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．过作于，过作于，由等腰三角形的性质推出是的中点，是的中点，得到，判定，推出，，求出，令，，求出，，由勾股定理求出，得到，于是． 【规范解答】解：过作于，过作于， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 令，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏常州·月考）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则= ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【规范解答】解：由折叠知，，，， ， 在△中，， 设，则， ，， 在△中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·三模）如图，是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连结．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④⑤ 【思路点拨】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；根据题意无法证明；由直径得到，由弧弦的关系得到，得到，进而判断③；如图所示，当点落在线段上时，勾股定理求出，求出，证明出，得到，代数求出，进而判断④；根据题意得到当时，最大，设，则，勾股定理表示出，然后利用正切的定义求解即可判断⑤． 【规范解答】解：∵ ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故②错误； ∵是半圆的直径 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 如图所示，当点落在线段上时， ∵， ∴， ∵是半圆的直径 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； ∵ ∴当时，最大 设，则 ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 17．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，已知矩形，，，平面内有一动点，且．连接，将线段绕点逆时针旋转，使，得到线段．连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接、，证明两对相似三角形求解；连接、，先证明得得出，在上取，证明得，故，求出即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∵将线段绕点逆时针旋转，使， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在以为圆心，为半径的圆上， 在上取， ，， ， 即 ， ， 连接， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 18．（2025·四川广元·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2)求的值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了找圆的圆心，线段的中点，垂直平分线作法及性质，切线的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正弦的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①作线段与线段的垂直平分线，线段与线段的垂直平分线交点即为圆心，线段的垂直平分线与的交点，即为的中点； ②连接，过点作的垂线，即可解题； （2）连接，利用勾股定理分别算出，再结合勾股定理逆定理推出，最后根据正弦的定义求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：①所作圆心，以及的中点，如图所示： ②所作的切线如图所示： （2）解：连接， ，，， 且， ， ． 19．（2025·江苏镇江·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C三点都是格点，且． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_________； (2)①如图，若线段与x轴交于点D，求点D坐标； ②在①的条件下，在你所画的平面直角坐标系的y轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请求出点P的坐标． ③直接写出在②的条件下的正切值____________ (3)请仅用无刻度的直尺在给定网格作图．在上找一点Q，使的面积为． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)①；②或；③或 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据点A和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到点P的坐标； （2）①求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可得到点D的坐标； ②设点P的坐标为，求出出，，；再分点D为直角顶点和点C为直角顶点两种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可； ③根据（2）②所求结合正切的定义求解即可； （3）取点，点，连接交与Q，则点Q即为所求；利用割补法可求出，则，可得，可证明得到，即． 【规范解答】（1）解；如图所示的平面直角坐标系即为所求，则； （2）解：①设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点D的坐标为； ②设点P的坐标为， ∵，， ∴，， ； 当点D为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ③当点P的坐标为时，，， ∴； 当点P的坐标为时，，， ∴； 综上所述，的值为或； （3）解：如图所示，即为所求． 20．（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 【答案】（1）；（2）；（3）①是等腰三角形，；②是直角三角形，或 【思路点拨】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线与直线交点，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点； （1）先求出顶点坐标，代入得到，根据，得到，即可求解； （2）先按题目条件求出，，，，则，，，再根据，得到， ，代入求出，最后根据求解即可； （3）由（2）得，，，求出，，，再根据是等腰三角形或直角三角形列方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵抛物线开口向上， ∴，顶点坐标， ∵直线恰好经过抛物线的顶点D． ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得； （2）当时，解得， ∵抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧）， ∴，， 由（1）得，则直线与x轴交点， 联立，解得或， ∴抛物线与直线交于第一象限点， ∴，，， ∵与中，，， ∴当与相似时，只能是， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 如图，过作轴于，则，，， ∴； （3）由（2）得，，， ∴，，， ①如果是等腰三角形， 当时，，则，解得（负值舍去）； 当时，，则，方程无解； 当时，，则，方程无解； 综上所述，当是等腰三角形时，； ②如果是直角三角形， 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，方程无解； 当时，，解得（负值舍去）； 综上所述，当是直角三角形时，或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $