数学一模突破卷03（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B D C C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC CD CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．90 13．-26 14．64 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】(1)证明：由得，，又因为，所以，（2分） 因为  ①， 所以当时，  ②， 由①②得，即，（4分） 故是以为首项，为公比的等比数列， 从而.（6分） (2)由(1)中可知，（7分） 所以，（8分） 从而，（10分） 故，（12分） 解得，.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，设，当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元； 当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元，代入解得，即；（2分） 综上，可得（5分） （2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A， 由，即， 得，频数为， 故．（8分） （3）根据题中数据得到如下2×2列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 零假设为：重度污染与供暖无关，（11分） 因为，（14分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由，得， 又平面，则平面，（3分） 而平面，于是，由为中点，，得， 又平面，因此面，又平面， 所以平面平面．（6分） （2）由（1）知，二面角的平面角为，则， 由平面，得为与平面所成的角，（8分） 在中，，则，， 而，则，此时，（10分） 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，（12分） 在中，，则，（13分） 所以四面体的体积.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，，，得．（1分） 由，解得，即在上单调递增； 由，解得，即在上单调递减． ∴ 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．（3分） （2）已知，于是变形为，从而， 即， 整理得，（5分） 令，则，即在上是减函数， ∴．（7分） 令，则， 当时，，即此时单调递增； 当时，，即此时单调递减， 而，（9分） ∴． ∴．（10分） （3）由（1）知当时，在上是增函数． ∵ ， ∴，（11分） 即，同理． 所以，（13分） 又因为，当且仅当时，取等号．（14分） 又，，, ∴，（15分） ∴， ∴．（17分） 19．（17分） 【详解】（1） 直线代入，可得， 设，则，所以，于是，（2分） 又因为，而直线方程为，代入可得， 设，则，所以，所以， 又因为，于是直线方程为， 令，得，所以，同理可得， 所以；（4分） （2）设直线方程为，设， 由联立可得：，于是， 则有，即①， 于是可化为，（6分） 设直线方程为，设， 由联立得：，于是， 则有，即②，（8分） 下面证明成等比数列： 由①可得③， 由①③可得④， 由②④可得即⑤， 于是， 所以数列是等比数列，且首项为， 知， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，所以， 于是，所以，又， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，，所以， 于是， 则公比，则， 所以；（13分） （3）为定值. （17分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知角，点在直线上，则（    ） A． B．-1 C． D． 4．已知圆，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知点P在椭圆τ：(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某新品种荔枝的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种荔枝的亩产量的样本均值，样本方差.已知原品种荔枝的亩产量服从正态分布，新品种荔枝的亩产量服从正态分布（若随机变量服从正态分布，则），则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．使取得最小值的的集合为 11．在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（    ） A．当三棱锥的体积为时， B．当时，球与球的体积之比为 C．当三棱锥的体积最大时，球的半径为 D．当时，球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求的展开式中，的系数为 . 13．已知，，则 . 14．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 种不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和是，且. (1)证明数列是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求满足方程的的值. 16．（15分） 某市近年来空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下： PM2.5指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间内时对企业没有造成经济损失；当x在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型；当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元． (1)试写出的表达式； (2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率； (3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该市本年度空气重度污染是否与供暖有关． 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 17．（15分） 如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 18．（17分） 已知函数（为常数）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，求证：． 19．（17分） 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记. (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【详解】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C 2．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由虚数单位的性质求得，再利用复数的四则运算求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，故， 所以的虚部为. 故选：A. 3．已知角，点在直线上，则（    ） A． B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】根据点在直线上得到，然后利用二倍角公式解方程得到，根据同角三角函数基本关系得到，最后根据正切的和差公式求即可. 【详解】由题意得，即，解得， 因为，所以，，， . 故选：C. 4．已知圆，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的方程，求得圆心坐标和半径，再由直线方程，得到直线恒过定点，结合圆的性质，以及弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，圆，可化为圆， 可得圆心坐标为，半径为， 又由直线，可得直线恒过定点， 则， 根据圆的性质，要使得弦最小，此时直线， 如图所示， 所以的最小值为. 故选：B. 5．设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由恒成立，按照的符号进行分类讨论，推出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 当，即时，恒成立，故得； 当，即时，显然不等式恒成立； 当，即时，恒成立，故得. 综上分析，可得. 所以， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值是. 故选：D. 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用长方体模型举反例排除A，B，D，再证明C正确即可. 【详解】作长方体， 对于选项A，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，则，但直线异面，选项A错误； 对于选项B，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，则，但直线不垂直，选项B错误； 对于选项D，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，则，但平面垂直，选项D错误； 对于选项C，如图过直线作平面与平面相交，且， 因为，，，所以，又，所以， 因为，，所以，又，所以，选项C正确. 故选：C. 7．已知点P在椭圆τ：(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的坐标，由题意可得的坐标，再由向量的关系求出的坐标，求出的斜率，设坐标，在椭圆上，将的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得，再由可得的关系，进而求出离心率． 【详解】设，则，，则，设， 则两式相减得到：， 即， 故，即，故，故. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题. 8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得， 设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可. 【详解】由题意，，， 设上的切点分别为，则， 由得， ∴，即J与E重合，又x轴，故，同理可得. 设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则或，即或，则， ∵，则， 当时，；当，. 综上， 的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某新品种荔枝的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种荔枝的亩产量的样本均值，样本方差.已知原品种荔枝的亩产量服从正态分布，新品种荔枝的亩产量服从正态分布（若随机变量服从正态分布，则），则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】借助正态分布对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，， 则，， 则， ， ， 故A、B、C正确；D错误. 故选：ABC. 10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．使取得最小值的的集合为 【答案】CD 【分析】由图象可直接判断B，得周期，即可判断C，再结合可判断A，再结合函数解析式可判断D. 【详解】由图可得，的最小正周期为，所以，C正确. ，由图可得，结合，解得错误. 所以，由可得： 所以取得最小值的的集合为，D正确. 既不是奇函数也不是偶函数，B错误. 故选：CD 11．在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（    ） A．当三棱锥的体积为时， B．当时，球与球的体积之比为 C．当三棱锥的体积最大时，球的半径为 D．当时，球的表面积为 【答案】CD 【分析】设球、球的半径分别为，，取的中点，连接，，即可证明平面，则，即可求出，再由余弦定理求出，即可判断A；根据正四面体的内切球与外接球的关系判断B；当平面平面，则底面时三棱锥的体积最大，利用等体积法求出内切球的半径，即可判断C；取的中点，连接，确定外接球的半径，即可判断D. 【详解】设球、球的半径分别为，，取的中点，连接，， 因为与均为边长为的等边三角形，所以，，， 又，平面，所以平面， 所以三棱锥的体积 ， 所以，又为锐角，所以， 所以，故A错误； 当时，三棱锥为正三棱锥，此时球与球的球心重合，且在三棱锥的高上. 在线段上取点，使得，连接，则是的中心， 所以底面，此时球与的球心在线段上，且在的平分线上， 可得，所以球与球的体积之比为，故B错误； 当三棱锥的体积最大时，平面平面，则底面，底面， 所以，又，所以， 所以三棱锥的体积为， 由题可知，与的面积均为， 由等积法可得，解得，故C正确； 取的中点，连接，则，连接，， 因为，所以在平面上，又，且， 所以在线段上，且， 在中，由勾股定理得①， 同理在中，由勾股定理得②， ②①得，所以， 与联立得，所以， 所以球的表面积，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求的展开式中，的系数为 . 【答案】90 【分析】6个因式中，有2个因式取y，2个因式取，2个因式取，即可得到含x3y2的项． 【详解】依题意，表示6个因式的乘积，要得到x3y2的项， 需有2个因式取y，2个因式取，2个因式取， ∴的展开式中，的系数为. 故答案为：90. 【点睛】本题主要考查三项式的展开式的系数问题，组合数的计算公式，属于基础题． 13．已知，，则 . 【答案】 【分析】构造，得到为奇函数，由得到，进而求出，求出. 【详解】令，定义域为， 则， 故为奇函数， 又，故，即， 故. 故答案为： 14．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 种不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 ． 【答案】 64 【分析】用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子都有2种染色方法，根据乘法计数原理即可求出不同的染色方法种数；再利用分类讨论方法求出出现从左至右数， 不管数到哪个格子， 总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，从而根据古典概率模型的概率计算公式即可求解. 【详解】解：用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有种不同的染色方法； 出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子， 包含的基本事件有：全染黑色，有 1 种方法； 第一个格子染黑色，另外五个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； 第一个格子染黑色，另外五个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； 第一个格子染黑色，另外五个格子中有3个格染白色，剩余的都染黑色，列举法可知有5种方法； 所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子， 包含的基本事件有：种， 所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为：. 故答案为：64；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和是，且. (1)证明数列是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求满足方程的的值. 15．（13分） 【答案】(1)证明见解析；；(2)100. 【分析】(1)利用与之间的关系即可证明；(2)结合(1)中条件求出的通项公式，然后利用裂项相消的方法即可求解. 【详解】(1)证明：由得，，又因为，所以，（2分） 因为  ①， 所以当时，  ②， 由①②得，即，（4分） 故是以为首项，为公比的等比数列， 从而.（6分） (2)由(1)中可知，（7分） 所以，（8分） 从而，（10分） 故，（12分） 解得，.（13分） 16．（15分） 某市近年来空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下： PM2.5指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间内时对企业没有造成经济损失；当x在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型；当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元． (1)试写出的表达式； (2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率； (3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该市本年度空气重度污染是否与供暖有关． 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 16．（15分） 【答案】(1) (2) (3)列联表见解析；认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05． 【分析】（1）由题意列出分段函数即可得； （2）由概率公式计算即可得； （3）由题意得出列联表，计算出并与比较即可得. 【详解】（1）当时，设，当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元； 当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元，代入解得，即；（2分） 综上，可得（5分） （2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A， 由，即， 得，频数为， 故．（8分） （3）根据题中数据得到如下2×2列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 零假设为：重度污染与供暖无关，（11分） 因为，（14分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．（15分） 17．（15分） 如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）可得，再结合已知确定点位置，进而求出四面体的相关元素并求出体积. 【详解】（1）由，得， 又平面，则平面，（3分） 而平面，于是，由为中点，，得， 又平面，因此面，又平面， 所以平面平面．（6分） （2）由（1）知，二面角的平面角为，则， 由平面，得为与平面所成的角，（8分） 在中，，则，， 而，则，此时，（10分） 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，（12分） 在中，，则，（13分） 所以四面体的体积.（15分） 18．（17分） 已知函数（为常数）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，求证：． 18．（17分） 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）时，，求导即可求得函数的单调区间； （2）对于恒成立问题进行转化，并分离参数．将问题转化为或的形式，利用、的最值求解； （3）要证联想到证从而联想到函数，结合（1）中函数的单调性来证明． 【详解】（1）当时，，，得．（1分） 由，解得，即在上单调递增； 由，解得，即在上单调递减． ∴ 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．（3分） （2）已知，于是变形为，从而， 即， 整理得，（5分） 令，则，即在上是减函数， ∴．（7分） 令，则， 当时，，即此时单调递增； 当时，，即此时单调递减， 而，（9分） ∴． ∴．（10分） （3）由（1）知当时，在上是增函数． ∵ ， ∴，（11分） 即，同理． 所以，（13分） 又因为，当且仅当时，取等号．（14分） 又，，, ∴，（15分） ∴， ∴．（17分） 【点睛】方法点睛：本题主要考查的是利用导数求函数的单调区间，含参不等式的恒成立问题及对数运算性质与函数单调性相结合问题．属于难题.对于含参不等式问题要注意进行灵活的变形，转化为或的形式，对于不等式证明问题通常借助于函数的单调性进行证明，这里就需要构造函数. 19．（17分） 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记. (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由. 19．（17分） 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)是， 【分析】（1）由两点求得直线方程，联立抛物线方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，写出韦达定理，结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据三角形面积公式，整理化简，可得答案. 【详解】（1） 直线代入，可得， 设，则，所以，于是，（2分） 又因为，而直线方程为，代入可得， 设，则，所以，所以， 又因为，于是直线方程为， 令，得，所以，同理可得， 所以；（4分） （2）设直线方程为，设， 由联立可得：，于是， 则有，即①， 于是可化为，（6分） 设直线方程为，设， 由联立得：，于是， 则有，即②，（8分） 下面证明成等比数列： 由①可得③， 由①③可得④， 由②④可得即⑤， 于是， 所以数列是等比数列，且首项为， 知， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，所以， 于是，所以，又， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，，所以， 于是， 则公比，则， 所以；（13分） （3）为定值. （17分） 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知角，点在直线上，则（    ） A． B．-1 C． D． 4．已知圆，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知点P在椭圆τ：(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某新品种荔枝的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种荔枝的亩产量的样本均值，样本方差.已知原品种荔枝的亩产量服从正态分布，新品种荔枝的亩产量服从正态分布（若随机变量服从正态分布，则），则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．使取得最小值的的集合为 11．在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（    ） A．当三棱锥的体积为时， B．当时，球与球的体积之比为 C．当三棱锥的体积最大时，球的半径为 D．当时，球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求的展开式中，的系数为 . 13．已知，，则 . 14．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 种不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前项和是，且. (1)证明数列是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求满足方程的的值. 16．（15分） 某市近年来空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下： PM2.5指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间内时对企业没有造成经济损失；当x在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型；当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元． (1)试写出的表达式； (2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率； (3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该市本年度空气重度污染是否与供暖有关． 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 17．（15分） 如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 18．（17分） 已知函数（为常数）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，求证：． 19．（17分） 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记. (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $