2025年第八届刘徽杯数学竞赛试题（两天全）

第八届“刘徽杯”数学竞赛 第一天(2025年11月8日) 第1题设复数e满足e7=1且e≠1.对于自然数n,定义多项式 ()=∑(c+e+e+e+e+em 1siKj<k<r<s≤6 +∑e+e+e+e+e)"+∑(e+e+e+en 1≤i<j<k<r≤6 1≤i<j<k≤6 +∑(x+e+e)r+∑(x+er. 1≤i<j≤6 1≤i≤6 (1)求方程F(x)=0的所有复根. (2)证明：对任何自然数n,1/2都是F2m+1(x)=0的一个根. (3)求方程F2(z)=0的所有复根。 第2题在三角形ABC中，AB|>|AC1,P是该三角形内一点，满足△PCA~ △PAB(顶点依次对应).M是线段BC的中点，N是线段AM的中点，O是三 角形ABC的外心.直线PN与三角形AOM的外接圆交于E,F两点.证明： ∠BAE=∠FAC. 第3题(1)设x1,x2,,x2026为非负实数，满足 202 ∑zk-xk+1l=2026. k= 令 张=(1+2x2十…+kk), (k=1,2,.,2026): 若对任意满足上述条件的（红1，x2,,x2026),不等式 2025 t5-11t+36t3-36t2+11t+2024≥》lk-张+1 k=1 恒成立，求实数t的取值范围 (2)设x1,x2,,x2026为非负实数，满足 2025 4-4=2026 令 班=西+++ ， (k=1,2,.,2026) 若对任意满足上述条件的(1，Z2,,2026),不等式 2025 t卢-11t4+36t3-362+11t+2024≥lk-3张+l k=1 恒成立，求实数t的取值范围。 2 第八届“刘徽杯”数学竞赛 第二天(2025年11月9日) 第4题计算 爱 1 (gcd(n,2025)2· 第5题在凸四边形ABPC中，|AB>|AC,∠BPC=180°-∠BAC.M是 三角形ABC外接圆的圆弧BAC的中点，E,F是与A不重合的两点，分别位 于三角形ABP的外接圆与三角形ACP的外接圆上，且IME=MF=|MA. 证明：E,F,P三点共线. 第6题有这样一种密室探险游戏：n2个正方形密室排列成n×n的方阵（其中 n>1),密室之间没有门相通，但在一些正方形顶点处安装了转轴门.已知：如果 两间密室恰有一个公共顶点，且该顶点处安有转轴门，则这两间密室互通；如果安 有转轴门的顶点位于方阵边界上，则含有该顶点的密室可与室外互通，并且从室 外可以进入任何一间与室外连通的密室（如图1所示，其中圆点表示转轴门，斜 线表示通道).玩家从某个密室出发能走遍所有密室则算挑战成功.为了保证可以 有玩家挑战成功，至少要在多少个顶点处安装转轴门？ 图1