精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

2025—2026—1高一年级月考（2） 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合,再根据交集的定义求解即可. 【详解】因，， 故. 故选：D. 2. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即， 又，所以. 故选：B 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 4. 已知函数的图象恒过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，可得点的坐标，再利用三角函数的定义求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点, 则, 则， 故选：C. 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可. 【详解】一方面：， 另一方面：，但， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到的一个周期为4，结合函数奇偶性和对数运算法则得到. 【详解】因为，所以， 故，即的一个周期为4， 由为偶函数，故， 所以， 其中，即， 所以. 故选：A 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以当且时， 根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增， 所以， 若对恒成立，则， 整理得，所以， 由，可得， 故选：A. 【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数， 是函数的4个零点，且，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】先绘制出函数，将函数的零点的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题，以此确定的取值范围，根据零点的大小关系，确定函数值之间的关系，再逐一判断即可. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数 对于A：有4个零点等价于函数与有4个交点， 由图可知，当时，函数与有4个交点，故A错误； 对于B：由题可知，，即，得， 因此，故B正确； 对于C：由题可知， ，即， 得，即，， 当且仅当，即时等号成立，与矛盾， 故的最小值不是，故C错误； 对于D：由C可知，，当且仅当， 即时，等号成立. 因此，，故的最大值为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 12. 函数定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】求使式子有意义实数的集合即可. 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知= ，则 =_____. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可 【详解】 故答案为： 14. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解． 【详解】由题意知，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，即， 令，其定义域为， ，满足题意， 故答案为：4． 15. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出函数在区间上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案. 【详解】解： 令，得； 令，得或，即或， 又，所以或或或， 因为恰有3个零点， 所以，当时，有3个零点，，； 当时，有3个零点，，； 所以取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算公式计算得到结果； （2）利用诱导公式先化简，结合题中等式得到，最后计算式子的值. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 由得， 所以 17. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. 【小问2详解】 由，可得，整理得， 解得，即. 18. 已知函数. （1）求的对称中心及的单调减区间； （2）求在区间上的最值及取得最值时的的值. 【答案】（1）； （2）时，；或时， 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 对于函数， 令，解得， 所以的对称中心为， 由，解得， 所以的单调减区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以，所以 所以当，即时，取得最小值，即； 所以当或，即或时，取得最大值， 即. 19. 已知关于的一元二次不等式的解集 （1）求实数，的值； （2）集合，且是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理或直接展开对比系数来求解实数，的值； （2）先求出和集合，再根据充分条件得到集合间的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 关于的一元二次不等式的解集， 所以和是方程的两个根，且 所以，所以， 【小问2详解】 由，根据对数函数的单调性可知，即， 故， 又集合， 是的充分条件，所以， 所以，所以 故实数的取值范围为 20. 已知函数. （1）当时，求的单增区间； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性求解即可； （2）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 令，其在上单调递减，在上单调递增， 而函数是增函数， 所以的单增区间为； 【小问2详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，则，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 21. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【小问1详解】 由是型函数，得，即， 所以. 【小问2详解】 由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. 【小问3详解】 由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026—1高一年级月考（2） 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数图象恒过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数图象的对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数， 是函数的4个零点，且，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C. 的最小值是4 D. 的最大值是 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 12. 函数的定义域为______. 13. 已知= ，则 =_____. 14. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 15. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围是___________. 四、解答题（本题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）已知，且，求的值. 17. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围. 18 已知函数. （1）求对称中心及的单调减区间； （2）求在区间上的最值及取得最值时的的值. 19. 已知关于的一元二次不等式的解集 （1）求实数，的值； （2）集合，且是的充分条件，求实数的取值范围． 20. 已知函数. （1）当时，求单增区间； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 21. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $