期末考点汇总与集训-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

期末考点汇总与集训-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 考点汇总 考点一：概率问题 考点二：数据的集中趋势与离散程度 考点三：一元二次方程定义问题 考点四：解一元二次方程 考点五：一元二次方程根与系数的关系 考点六：一元二次方程与实际问题 考点七：圆的对称性 考点八：圆周角问题 考点九：直线与圆的位置关系 考点十：弧长与扇形面积 考点集训 考点一：概率问题 1．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 3．桌上有3张不透明的卡片分别记上字母A，A，B，将它们背面朝上洗匀，从中随机翻开一张，记下字母后放回洗匀，再随机翻开一张．小南按上面过程翻开卡片两次，出现不同的字母的概率为（   ） A． B． C． D． 4．桌上有3张不透明的卡片分别记上字母，，，这些卡片背面朝上，随机翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，再次翻开一张卡片记录下字母后翻回打乱，如此继续．当小苍第三次翻卡片时，下列说法正确的是（   ） A．一定翻到卡片 B．一定翻不到卡片 C．可能会翻到卡片 D．翻到卡片比翻到卡片的可能性大 考点二：数据的集中趋势与离散程度 5．某校“魅力篮球节”活动中，有7位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，8，则这7位同学投篮进球次数的中位数为（    ） A．5.5次 B．6次 C．6.5次 D．7次 6．若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 7．4月某校初二年级举行了篮球比赛，甲、乙、丙三个班各选8名运动员参加比赛．若三个班级参赛运动员的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛运动员身高比较整齐的班级是（    ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 8．小智在计算一组数据的方差时，列式如下：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为5，平均数为4 B．样本容量为4，平均数为5 C．样本容量为5，平均数为5 D．样本容量为4，平均数为4 考点三：一元二次方程定义问题 9．已知是关于的一元二次方程，则的值为 ． 10．若是方程的一个根，则 ． 11．已知a是方程的一个实数根，则的值为 ． 12．已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为 ． 考点四：解一元二次方程 13．解一元二次方程： (1)； (2)． 14．解方程： (1)． (2) 15．解方程： (1)； (2)． 16．解方程： (1)； (2)． 考点五：一元二次方程根与系数的关系 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 19．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且，求的值． 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 考点六：一元二次方程与实际问题 21．某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22．在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 23．某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元．调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱． (1)填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱（用含x的代数式表示）； (2)若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 24．科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 考点七：圆的对称性 25．如图，在中，半径于点．已知的半径为．求的长． 26．如图，在圆O中，，于E． (1)求证：． (2)若圆O的半径为5，，求的长． 27．如图，是直径，是的弦，于点； (1)若的半径是10，，求的长? (2)若，，求的半径？ 28．如图，在中，，，求证： 考点八：圆周角问题 29．已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 30．已知是的直径，，点E是上一点，且，弦过点E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点C是半圆中点时，求的长． 31．如图，是的直径，弦于点E，连接． (1)已知，求的度数． (2)若，，求的半径． 32．如图，在以为直径的中，弦于点H，弦交于点F，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 考点九：直线与圆的位置关系 33．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 34．如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 35．如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，，求的长． 36．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，连接，过点O作交于点E，连接． (1)直线与相切吗？请说明理由． (2)若，，的半径为4，求的长． 考点十：弧长与扇形面积 37．如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且． (1)求证：； (2)若为，，求图中阴影部分的面积． 38．有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 39．如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 40．如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《期末考点汇总与集训-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B D B C A A 1．D 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 2．A 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握列表法列举所有可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．用5行5列表格呈现四名同学获前两名的所有排列情况，统计总结果数与甲、乙获前两名的结果数，再通过概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 第一名\第二名 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 总结果数： 甲、乙获前两名的结果数：2种（即“（甲，乙）” “（乙，甲）”）， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先列出表格，再分别求出所有可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：由题意，列表如下： A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，B 共有9种等可能的结果，小南按上面过程翻开卡片两次，出现不同的字母的结果有4种， 小南按上面过程翻开卡片两次，出现不同的字母的概率为， 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了简单的概率计算． 根据概率计算公式，计算每次翻到卡片的概率和每次翻到卡片的概率，即可判断A、B、D选项；由于卡片只有和，无，即可判断C选项． 【详解】解：卡片共3张，其中卡片有2张，卡片有1张， 每次翻到卡片的概率为，翻到卡片的概率为， 翻到卡片的可能性大于翻到卡片的可能性， 选项D是正确的，符合题意． 而选项A、B，因可能翻到，所以选项A、B错误，不符合题意； 选项C，因无卡片，所以不可能翻到卡片，所以选项C错误，不符合题意． 故选D． 5．B 【分析】本题考查中位数的定义，将数据按从小到大排列后，取中间位置的数即可． 【详解】解：∵数据从小到大排列为4，5，6，6，7，8，10，共有7个数据， ∴中位数为第4个数据，即6次； 故选B． 6．C 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用平均数的性质，当每个数据乘以相同常数时，新平均数为原平均数乘以该常数． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数为2， ∴． 对于新数据，，，，， 其和为， ∴新平均数为， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了根据方差判断成绩的稳定性，方差越小，数据波动越小，越整齐．比较三个班的方差大小即可判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴甲班参赛运动员身高最整齐． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了方差的概念，方差公式中分母表示样本容量，括号内的常数表示平均数. 【详解】解：∵方差的公式为，在给定的方差公式中，， ∴ ，，即样本容量为5，平均数为4． 故选：A． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将已知根代入方程，利用方程根的定义求解m． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 即， 整理得， 解得． 故答案为：4． 11．2025 【分析】本题考查一元二次方程根的应用、代数式求值．由是方程的根，可得，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即． 则． 故答案为：2025． 12．或 【分析】设公共解为，代入三个方程后相加得到关于和的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 【详解】解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴或， 当时，即时， 原式 ； 当时，分别代入三个方程可得，， 联立两式解得， 此时； 综上所述，代数式的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解的应用，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 13．(1) (2) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴或 解得； 14．(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解与公式法解一元二次方程”是解本题的关键． ()先移项，再把方程左边因式分解，再解方程即可； ()先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解： ， 移项得：， ， ∴或， 解得：， （2）解： ， ∴， ∴， 方程有两个不相等的实数根， 即． 15．(1) (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和整体思想是解题关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）移项后，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， 解得，，； （2）解：， 移项得，， 因式分解得，， 解得，，． 17．(1)见解析 (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据判别式即可判断； （2）根据根与系数的关系可知，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 所以该方程总有实数根； （2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下： 由根与系数的关系可知， ， ， ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）用根的判别式即可得到取值范围； （2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得：． （2）解：由根与系数的关系得：， ， ， 将代入得， 解得：或， ， ． 19．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及判别式与一元二次方程根的关系、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟记一元二次方程相关知识点是解决问题的关键． （1）根据题中一元二次方程，计算判别式，再确定判别式符号即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，代入题中条件，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：已知关于的方程， ∵，， ∴ ， 又∵无论取任何实数，都有 ∴ ∴无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根； （2）解：已知关于的方程， 由一元二次方程根与系数关系得，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 20．(1)2 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，新定义， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“倍根方程”的定义，得，结合，，进行列式计算，即可作答． （2）根据是倍根方程，得出或，然后进行分类讨论，再代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，得出设倍根方程的两根分别为，．得出，，代入化简，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为， ∴另一个根为． 则，， ∴， 即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴该方程的两根为，． ∵是倍根方程， ∴或． 当，即时， ， 当，即时， ＝， ∴代数式． （3）解：依题意，设倍根方程的两根分别为，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ， 整理得：， 21．(1)月增长率为 ． (2)每千克应涨价5元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）通过设月增长率为 ，根据10月和12月的销售量关系列出方程求解； （2）设每千克涨价 元，根据每天盈利6000元列出方程，并选择使顾客实惠的较小解． 【详解】（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%． （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元． 22．(1) (2)8米 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由长方形的性质可得，而的长等于用去的板材的总长减去3个的长度，再加上2个门的宽度，据此列式求解即可； （2）根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，，即米， 答：养鸡场的宽为8米． 23．(1) (2)每箱应降价20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，根据超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每箱降价x元，实际售价为元/箱， 平均每天售出箱，即箱， 故答案为：，； （2）解：设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大， 当时，销量为箱， 当时，销量为箱， 因为， 所以应取， 故舍去． 答：每箱应降价20元． 24．(1)10% (2)75元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用－增长率问题和利润问题，增长率问题：初始量为，终止量为，平均增长率为，则经过两次增长的等量关系为；利润问题：总利润＝单件利润×数量．熟练掌握根据等量关系建立一元二次方程是解题的关键． （1）初始量8月份为30万元，终止量10月份为36.3万元，设平均增长率为，根据增长率问题的等量关系建立一元二次方程即可求解． （2）可设智能摆件售价为元，则单件利润为元，每天销售量为，根据总利润＝单件利润×数量列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该企业这两个月投入资金的月均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：该企业这两个月投入资金的月均增长率为10%． （2）解：设智能摆件售价为元， 由题意得：， 解得，， ∵优惠力度要最大， ∴． 答：智能摆件售价为75元． 25． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 26．(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系、垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，则，易得，再根据垂径定理得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）并结合勾股定理列方程计算是解题的关键． （1）根据垂径定理，由得，再连接，利用勾股定理在中求． （2）设圆的半径为，则，结合垂径定理得，再用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：连接． ∵ 是直径，，， ∴ ， ∵ 是半径，， ∴在中，； （2）解：连接． 设的半径为，则，． ∵ 是直径，， ∴ ， 在中，∵ ， ∴ ， 解得； 28．见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由，得，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，得，故． 【详解】证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， 又， ∴是等边三角形， 即， ∴． 29．(1)25° (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 30．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可； （2）连接，过作于，根据弧、圆心角的关系可求出，根据勾股定理求出，结合垂径定理求解即可． 【详解】解：（1）连接， 由条件可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，过作于， 由条件可知， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 31．(1) (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． （1）连接OD，先根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，再根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解； （2）设的半径为r，则，，先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 的度数为， ， ， ， ； （2）设的半径为r，则，， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 32．(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接， 设半径， 为的直径， ， ， 解得：， 的半径为5； （2）解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 34．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． （1）连接，由直径可得，从而得到，再利用圆周角定理，得到，由平行线的性质得出，即可证明结论； （2）由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质，得到，再结合三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ，即， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：是的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 35．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，圆心角定理，菱形的判定和性质，理解圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的判定定理，只需证即可判定是的切线； （2）由四边形是平行四边形，可证四边形是菱形，接下来证是等边三角形，由可求得的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ． 36．(1)直线与相切，理由见详解 (2)12 【分析】本题考查了圆的切线判定及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理． （1）连接，根据已知条件得出，再利用平行线的性质及角的等量代换得出，证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出，，设，利用勾股定理列出方程求解x的值，即可求得的值． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直线与相切． （2）解：∵，直线与相切， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴． 37．(1)证明见详解 (2)阴影部分的面积是 【分析】（1）首先连接，再利用角度转化得到，即可得到，再利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到； （2）首先连接，，再发现阴影部分的面积是，即先根据已知条件利用三角函数求得的面积，再求得的大小，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积是． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 38．(1)见解析 (2)①裁出的两块木料的周长之和为；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积． （1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 39．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 40．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证； （）①连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；②设与的交点为，连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解； 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ②如图，设与的交点为，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由①可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $