期末考点汇总与集训-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

期末考点汇总与集训-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024） 考点汇总 考点一：实数的初步认识 考点二：平面直角坐标系 考点三：线段垂直平分线与角平分线 考点四：全等三角形的判定 考点五：等腰三角形 考点六：勾股定理及其应用 考点七：一次函数的图象与性质 考点八：用一次函数解决实际问题 考点九：一次函数与二元一次方程 考点集训 考点一：实数的初步认识 1．在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B． C． D．的平方根是 3．实数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 考点二：平面直角坐标系 5．下列各点中，位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 6．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 8．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点三：线段垂直平分线与角平分线 9．如图，在中，直线是的垂直平分线，分别交于点D，E，若，的周长是，则的长是 ． 10．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 11．如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为 12．如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 考点四：全等三角形的判定 13．如图，点、在线段上，，，．求证：． 14．已知：如图，，，．求证：． 15．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 16．如图，在中，，延长至点使得． (1)请在图中连接，求证：； (2)分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． 考点五：等腰三角形 17．如图，在等边三角形中，，点D在边上，，E为边上一动点，连接．将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)当时，求的长． (2)当点F在边上时，求证：． (3)直接写出的最小值． 18．如图，、都是等边三角形，点、点、点在同一直线上．、相交于点，、相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 19．如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 20．如图，为等边的高，，点为射线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)如图1，当点在射线上时，求证：，； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)当时，请求出线段的长度． 考点六：勾股定理及其应用 21．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 22．如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 23．2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 24．在中，，，，如图①，当时，． (1)如图②，当时，小明猜想，理由如下：过点A作，垂足为D，设，⋯，完成小明的证明过程； (2)如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)若一个钝角三角形中，两条较短边长分别是9和12，请直接写出最长边c的取值范围． 考点七：一次函数的图象与性质 25．定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则_________； (2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 26．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求平移后的一次函数的解析式． 27．如图，一次函数与轴、轴交于、两点，过点的直线交轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)在线段上找点，使得，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． (1)填空：_____，_____，点的坐标为_____； (2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积； (3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标． 考点八：用一次函数解决实际问题 29．小明用的练习本可在甲，乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本元．但甲商店的优惠条件是：购买本以上，从第本开始按标价七折卖；乙商店的优惠条件是：从第本开始就按标价的八五折卖．若小明购买练习本数量为本，在甲商店购买后的总费用为元，在乙商店购买后的总费用为元． (1)写出，与之间的函数关系式． (2)购买多少本练习本时，这两家商店的收费一样？ (3)小明现有元，最多可买多少本练习本？ 30．伴随着网络媒体技术的持续迭代与迅猛发展，其影响力不断渗透至社会经济的各个层面．在此背景下，直播间带货作为一种创新且高效的网络营销模式，成为当下商业营销领域的重要力量．如图所示的折线反映了某主播在直播期间的在线观看人数y（万人）与其直播时间之间的函数表达式． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)当直播期间的在线观看人数大于20万人时，求时间t的取值范围． 31．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 32．综合与实践 【问题背景】共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：元每分钟； B品牌：起步价6元（含分钟骑行时间），超过分钟的部分按照元每分钟收费． 【模型构建】 （1）得到骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： ______（）； （2）为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图），图中点P表示的实际意义是______． 【模型应用】 （3）①根据图象，当骑行时间_______时，选A品牌更省钱；当骑行时间_______时，选B品牌更省钱． ②若郑老师家距离学校，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 考点九：一次函数与二元一次方程 33．如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 34．如图，直线：与直线：相交于点，与轴交于，两点， (1)求的面积； (2)垂直于轴的直线与直线，分别相交于，，若线段长为，求的值． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，若的面积为8，请求出点的坐标． 36．如图， 直线 与x轴相交于点，直线 经过点， 与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求直线，直线与轴围成的三角形面积； (3)根据图象，直接写出 的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《期末考点汇总与集训-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D D A A 1．C 【分析】本题考查无理数的判定，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数有0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，共3个； 故选C． 2．B 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐项分析即可得解，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、的平方根是，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项正确，符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、负数没有平方根，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，明确算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根“非负的平方根”这一定义，可知实数的算术平方根应为非负形式，进而确定的算术平方根． 【详解】解：算术平方根是非负数，且， 的算术平方根是． 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查绝对值与算术平方根的非负性，熟练掌握非负性是解题的关键；利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均非负，它们的和为零则每个部分都为零，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴； 故选C． 5．D 【分析】本题考查了判断点所在的象限．根据平面直角坐标系中象限的定义，第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负，因此，只需检查各选项点的坐标符号，即可判断． 【详解】解：依题意，位于第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负， 观察四个选项，唯有符合横坐标为正，纵坐标为负， 故选：D 6．D 【分析】本题考查点所在位置，通过判断点的横纵坐标符号确定象限即可． 【详解】解：∵， ∴，即横坐标为正； 又∵纵坐标为， ∴点 在第四象限． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征及有理数的乘方，解题的关键是利用“关于轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”求出、的值． 根据关于轴对称的点的坐标规律，列等式求、，再计算的值． 【详解】解：点与关于轴对称， ，， 解得，， 则． 故选：A． 8．A 【分析】此题主要考查了规律型：点的坐标、行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题． 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，以及P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是， 第四次相遇点是， 第五次相遇点是， 第六次相遇点是……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2024次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即 故选：A． 9．7 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据线段垂直平分线得出，则的周长，因为，则可求． 【详解】解：的垂直平分线分别交、于点、， ∴ 的周长为，， ， ， ， 故答案为：7． 10．35 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 12． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 13．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． ，， ， ， 在和中， ， ，          ∴，   ∴． 14．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由线段和得到，再由平行线的性质得到，再结合已知条件即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：，，理由如下： ， ， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）证明，得出，根据，得出，从而得出，说明射线和重合，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴射线和重合， ∴三点共线． 17．(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用旋转性质和等边三角形的判定与性质、平行线的性质求解即可； （2）先证明，然后利用全等三角形的判定可得答案； （3）过点E作于点M，过点F作于点N，连接，设，先根据三角形的外角性质和含30度角的直角三角形的性质得到，，则，，再证明，得到，，进而利用勾股定理可得到，利用平方式的非负性可得答案， 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴ 由旋转性质，得， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：由题意得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）解：过点E作于点M，过点F作于点N，连接 设 ∵，， ∴，， ∴， ∴，则 ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当时取等号． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，都是等边三角形得，，，则，即可证明，则可证明； （2）由点、、在同一直线上，，得，由得，即可证明，得． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：点、、在同一直线上，， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ． 19．(1) (2) (3)，见解析 (4)或 【分析】（1）依题意补全图形；根据轴对称可知：，得出，则可得出答案； （2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解； （3）在上截取，由对称可知：，得出，则，证明，得出，则可得出结论； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质及轴对称的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图， 为等边三角形， ， 根据轴对称可知：， ，， ； （2）解：由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 在上截取，如图： 是等边三角形， ， 由对称可知：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由对称可知：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （4）解：分以下三种情况： ①当时，延长交于点，如图所示： ，， 垂直平分，即垂直平分， 为等边三角形， ， ， 根据轴对称可知：； ②当时，如图： 根据轴对称可知：， ， 是等边三角形， ， ； ③当时，如图： ，， 垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， 三点在同一条直线上， （不合题意，舍去）， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，连接，根据等边三角形的性质，利用得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）如图，由（2）知，根据根据的直角三角形的性质求出长，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）证明：连接 由旋转可知：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 为等边的高， ， ； （2）解：成立，理由如下： 连接，由旋转得为等边三角形， ， 为等边三角形, ， ， ， 即：， 在与中， ， ， ，， （3）解：，， ， 即点在的延长线上 在中，， ， 即， 由旋转知为等边三角形， ． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质画图即可，由图可得，即△是等腰三角形． （2）利用网格按照题意画图即可，由图可得可得，得出． 【详解】（1）解：如图1，等腰△即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，△即为所求（答案不唯一）． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由旋转性质得：，，结合等腰直角三角形性质可利用证明，最后由全等三角形性质即可得证； （2）结合全等三角形性质、等腰直角三角形性质推得是直角三角形，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 23．(1)，理由见解析 (2)小亮的路线更短 【分析】（1）根据，，可得，进而可得； （2）根据可得，根据勾股定理计算的长，然后比较即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ， ； （2）解：点D在点C的正北方，点A在B的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ∵ ∴ ∴ ∴， 小亮的路线更短． 24．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的运用是解答的关键． （1）过A作于D，则，由勾股定理得出，，得出，即可得出结论； （2）过点C作的垂线并截取，连接，，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，于是得到结论； （3）过点A作，交的延长线于点D，如图4，由三角形三边关系及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：过A作于D，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作的垂线并截取，连接，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点A作，交的延长线于点D，如图4， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 综上所述，若是钝角三角形，最长边c的取值范围为． 25．(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解二元一次方程组，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键． （）根据定义得到“逆反函数”为，把点代入即可求得； （）根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，的“逆反函数”图象为， ∵点在的“逆反函数”图象上， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：由题意得的“逆反函数”图象为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴，解得：， ∴点的坐标． 26．(1)与的函数关系式为； (2)平移后的一次函数的解析式为． 【分析】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，一次函数图象的平移． （1）根据题意，设，把，代入，可得，即可得与的函数关系式； （2）设平移后的解析式为，把点代入，可得，即可得平移后的一次函数的解析式． 【详解】（1）解：根据题意，设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为． （2）解：设平移后的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴平移后的一次函数的解析式为． 27．(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，求出，根据，求得，代入即可求解； （3）过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，证明，得到，，求得，求出直线的解析式为，可求得点的坐标，在轴的正半轴上取，可求得的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 把代入中，得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， 过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，如图： ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 在轴的正半轴上取，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：点坐标为或． 28．(1)，， (2) (3)点或 【分析】（1）把点的坐标代入，求得的值，进而将以及代入求解即可． （2）设与轴交于点，根据直线解析式分别求得的坐标，勾股定理得出，进而可得是等腰三角形，进而根据点是的中点，根据三线合一可得垂直平分，得出点的位置，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3），，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将代入 得，解得， 故直线的解析式为． 把，代入，得，解得， ∵直线的解析式为； 当时，，解得： ∴点的坐标为 故答案为：，，． （2）解：如图，设与轴交于点， ∵直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴， ∴，，的中点为 又∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴ ∴ 又∵点是直线上一点， ∴当点为直线与轴的交点时最小 ∵直线的解析式为； 当时， ∴ ∵ ∴ （3）解：设点，如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，， ∴， ∴，， 解得， 故点； 如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，，， 解得， 故点； 综上所述，点或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键 29．(1)（为整数），（为非负整数） (2)购买本时，两家收费一样 (3)元最多买本 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是准确理解优惠条件，建立函数关系． （1）根据题意，可以分别写出和关于的函数关系式； （2）先判定范围：本及以内甲单价高于乙单价，故只考虑的情况，令等于，然后求出即可解答； （3）将代入（1）中相应的函数解析式，分别计算在甲、乙商店用元能购买的数量，求出相应的值即可解答． 【详解】（1）解：甲商店： ①且为整数时，无优惠，； ②且为整数时，前本按原价，后本七折，； 综上（为整数）， 乙商店：全程八五折，（为非负整数）； （2）设购买本练习本时，这两家商店的收费一样（，因为时）， 令， 解得， 答：购买本时，两家收费一样； （3）甲商店：代入， 解得， 乙商店：代入， 解得，故最多买本， 元最多买本， 答：小明现有元，最多可买本练习本． 30．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，通过函数图象灵活运用数形结合来解答问题是解题的关键． （1）分两段，利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据（1）所求分别求出两个函数的函数值为20时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入中得，解得， ∴； 设当时，， 把，代入中得， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴当直播期间的在线观看人数大于20万人时，． 31．(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． （1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 32．（1）；；（2）骑行20分钟时，两种共享电动车所花费用相同，都是8元；（3）①；；②选B品牌更省钱，省元 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练分析函数图象是解题关键． （1）根据题意可得，当时，； （2）观察图象可得根据点P的坐标为即可得交点P表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌共享电动车所花费用相同，都是8元； （3）①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，选A品牌更省钱；当骑行时间分钟时，选B品牌更省钱； ②先求出郑老师从家去学校所需时间为，再由①可得当时，，由此即可得选B品牌更省钱，分别代入两个函数解析式计算即可确定差值． 【详解】解：（1）∵A品牌元每分钟， ∴， ∵B品牌起步价6元（含分钟骑行时间），超过分钟的部分按照元每分钟收费， ∴当时，； 故答案为：；； （2）观察图象可得根据点P的坐标为即可得交点P表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌共享电动车所花费用相同，都是8元； 故答案为：骑行20分钟时，两种共享电动车所花费用相同，都是8元； （3）①观察函数图象可知，当骑行时间分钟时，选A品牌更省钱；当骑行时间分钟时，选B品牌更省钱； 故答案为：，； ②∵郑老师家距离学校，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为，， ∴郑老师从家骑行到学校所需时间为， 由①可得当时，， ∴选择B品牌更省钱， 当时，（元），（元）， （元）， ∴省元， ∴郑老师选B品牌更省钱，省元． 33．(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，见解析 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． ∴存在，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 34．(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点，直线围成的图形面积，两点间的距离等知识点，解题的关键在于对相关知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再将点的坐标代入直线中，即可求出值，进一步求出点和点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求值； （2）由点、的横坐标，即可得出点、的纵坐标，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴把点代入中得，， 解得，， 又∵点在直线上， ∴把点代入中得，， 解得，， 直线： 把分别代入和中， 分别解得，，， 即点，点， ， ． （2）解：设，， 当点在点上方时，则， ∵， ∴，解得，； 当点在点下方时，则， ∵， ∴，解得，． 综上所述，或． 35．(1)一次函数关系式为，正比例函数关系式为； (2)当时，； (3)或． 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数图像的性质． （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图像，写出在上方时，的取值范围； （3）设，求出，，结合题意得到，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，代入得：， 解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）解：根据函数图像可得，当时，； （3）解：设， ，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 36．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，一次函数交点问题，根据两条直线交点求不等式解集，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）分别求出直线，直线与轴的交点，再求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式求解即可． （3）根据图像解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： ， 解得：， ∴； （2）解：设与轴的交点为，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 联立和可得：， 解得：， 把代入可得：， ∴， ∴， ∴直线，直线与轴围成的三角形面积为：； （3）∵，，， ∴由图可得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $