11.1不等式 同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

不等式 一、单选题 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 3．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 4．不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 5．若实数2是关于x的不等式的一个解，则a可取的最小整数是（           ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 7．如果，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若，则下列不等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．与的差大于5，用不等式表示为 ． 12．不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 13．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 14．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 15．若，则 ． 16．已知，实数a，使得，则a为 数． 三、解答题 17．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 18．若，试比较a，b的大小． 19．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如． (1)___________； ___________． (2)若，求x的取值范围． 20．阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式 一、单选题 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 3．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 4．不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 5．若实数2是关于x的不等式的一个解，则a可取的最小整数是（           ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 7．如果，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若，则下列不等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．与的差大于5，用不等式表示为 ． 12．不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 13．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 14．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 15．若，则 ． 16．已知，实数a，使得，则a为 数． 三、解答题 17．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 18．若，试比较a，b的大小． 19．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如． (1)___________； ___________． (2)若，求x的取值范围． 20．阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A C D D A B B 1．C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了不等式的解，解一元一次不等式． 先解原不等式，得出，根据实数2是关于x的不等式的一个解，求出，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵实数2是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得：， ∴a可取的最小整数是3， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 7．D 【分析】本题考查了不等式的性质，注意在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向． 根据不等式的性质，逐一判断每个选项是否在的条件下成立． 【详解】解：A、两边同时加2，不等号方向不变，得，正确； B、两边同时除以2（正数），不等号方向不变，得，正确； C、两边同时乘以（负数），不等号方向改变，得，正确； D、两边同时乘以（负数），不等号方向改变，得，再两边同时加上1，得，不正确； 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟记不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质：两边加上或减去同一个数，不等号方向不变；两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，逐一验证各选项． 【详解】A：∵，∴（不等式性质1）． 又∵，∴（传递性），故A正确． B：∵，∴（不等式性质3），故B错误． C：∵，∴（不等式性质1），但选项为<，故C错误． D：∵，∴（不等式性质3），但选项为>，故D错误． 故选：A ． 9．B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原式成立，不符合题意； B、由，可得，则，原式不成立，符合题意； C、由，可得，原式成立，不符合题意； D、由，可得，即，原式成立，不符合题意； 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】选项A：仅知道，但不知道、的具体值，无法确定与的大小关系，该选项不一定正确； 选项B：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变．因为，两边同时乘以，不等号方向改变，所以，该选项一定正确； 选项C：可变形为，已知，但无法确定一定大于，该选项不一定正确； 选项D：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变．可变形为，两边同时乘以，不等号方向改变，得到，与已知矛盾，该选项错误． 故选：B． 11． 【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式，直接利用x减去y再大于5即可得出答案．正确理解题意是解题关键． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为∶ ． 12．/ 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 15．> 【分析】本题主要考查了乘方的定义以及实数大小的比较方法，熟记乘方的定义是解答本题的关键．根据乘方的定义以及实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 16．负实 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘以或者除以负数，不等式的符号改变，以及已知，实数a，使得，得出a为负实数．即可作答． 【详解】解：∵，实数a，使得， ∴， ∴a为负实数． 故答案为：负实 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 18． 【分析】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．两边同时减去，整理后得到，结合可得答案． 【详解】解：两边同时减去， 得，即． 又因为， 所以． 19．(1)0； (2) 【分析】（1）根据最大整数的定义即可解答； （2）根据最大整数的定义，即可得到一个关于x的不等式组，解不等式即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：0；； （2）解：， ， 解得， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义的概念，解一元一次不等式组，熟知新定义的概念，得到正确的不等式组是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $