精品解析：湖南省邵东市第四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2026届高三第四次月考试卷（数学） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 对于数据，下列说法错误是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 29 C. 30 D. 31 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，有甲､乙､丙､丁､戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 已知菱形的边长为是的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知定义在上的偶函数，其周期为，当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 值域 C. 在上有8个零点 D. 在上单调递增 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（）的观测值： 396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157 若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数 10. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64 C. 常数项为135 D. 常数项为-135 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若//，则______ 13. 已知点在线段上运动，则的最大值是____________． 14. 在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间及的最值及取得最值时x的集合． 16. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角大小； （2）求及的面积. 17. 已知是递增的等比数列，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设.求数列的前项和 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； 19. 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状 有疲乏症状 总计 未接种疫苗 100 20 120 接种疫苗 总计 160 200 （1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关. （2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为，求的分布列和数学期望. 0.150 0.100 0050 0.025 0010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第四次月考试卷（数学） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解，进而求解其虚部即可. 【详解】由，由此可得：的虚部为. 故选：B 3. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】平均数为，故A正确；众数为6，故B正确； 极差为，故C正确；数据的中位数为5，故D错误. 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定出的范围，从而可求得答案 【详解】因为， 所以为第一象限的角， 所以， 故选：A 6. “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，有甲､乙､丙､丁､戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，根据“特殊元素优先考虑”原则先安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解. 【详解】若丙和丁相邻，则将丙和丁捆绑，此时相当于只有4个元素，甲不坐两端，则甲在中间两个位置二选一，有种选法，另外三个元素全排列，另外丙和丁也可以交换位置，因此有种排列方式. 故选：B. 7. 已知菱形的边长为是的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，从而用、作为基底表示出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，则，，所以， 所以，所以， 故 . 故选：B 8. 已知定义在上的偶函数，其周期为，当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的值域 C. 在上有8个零点 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性、奇偶性、周期性，逐一判断即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：当时，单调递增，所以当时，函数的值域为由于函数是偶函数，且周期为，所以函数的值域为，故B正确； 对于C：令，得，由是偶函数，故由于函数的周期为4，所以，所以在上有6个零点，故C错误； 对于D：当时，单调递增，又函数的周期是4，所以在上单调递增，故D正确. 故选：C. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（）的观测值： 396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157 若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案． 【详解】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396+25＝421， 极差为最大值与最小值的差，要发生改变， 加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为176，发生改变， 众数为数据中出现次数最多的数，不会改变， 平均数体现数据的整体水平，要发生改变. 故选：C. 10. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64 C. 常数项为135 D. 常数项为-135 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知条件求出的值，再利用二项展开式的性质和通项逐个判断选项. 【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以，故AB正确； 展开式的通项公式为， 令，求得，故常数项为，故C正确，D错误； 故选：ABC. 11 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，结合正弦函数最值性质可判断A选项；整体代入法计算的范围结合正弦函数性质可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：， 当，，即，时，取最大值，最大值为2，A正确； 选项B：时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ACD． 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若//，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行求参数的值. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知点在线段上运动，则的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由题设可得：，即， ∴，即，当且仅当时取“=”， 故答案为：． 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】. 【解析】 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点，则.又， 当时，， 点A在曲线上的切线为， 即， 代入点，得， 即， 考查函数，当时，，当时，， 且，当时，单调递增， 注意到，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间及的最值及取得最值时x的集合． 【答案】（1）对称中心为，，对称轴为，， （2）的单调递增区间为和,当时，取最大值为1, 时，取最小值为. 【解析】 【分析】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴; （2）先求在的上的单调递区间，再取与区间上的交集部分即可.先求的范围，再结合正弦函数的图象求函数的最值； 【小问1详解】 ∵ ， 令，解得， 所以对称轴； 令，解得， 所以对称中心为. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 得， 又因为，所以的单调递增区间为和. ∵， ∴， ∴， 所以的最大值1，最小值. 当时，时，取最大值为1,此时的集合为， 当时，时，取最小值为.此时的集合为. 16. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 17. 已知是递增的等比数列，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设.求数列的前项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为，由题意及，知，成等差数列， ，即.解得或(舍去)，. 数列的通项公式为. （2）， . 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证； （2）求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式即可求解； 【小问1详解】 方法一：证明：连接， 是中点，是中点， 是的中位线，故. 又平面平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 方法二： 证明：取的中点，连接. 中点，是中点，. 又平面平面，故平面. 同理可证平面. 又平面，所以平面平面. 平面平面. 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，. .设平面的法向量为， 则， 令，得 .设平面PCD的法向量为， 则， 令，得 设平面与平面所成的夹角为，则 故平面与平面所成夹角的余弦值为. 19. 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状 有疲乏症状 总计 未接种疫苗 100 20 120 接种疫苗 总计 160 200 （1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关. （2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为，求的分布列和数学期望. 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解； （2）求出得分结果总和的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意得：，， ，， 因为. 所以有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关. （2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，；当这3人中没有人有疲乏症状时，. 因为；；. 所以的分布列如下： 10 13 16 期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $