寒假作业01 与三角形有关的线段（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 与三角形有关的线段 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【知识点3 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点4 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点5 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点6 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点7 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 三角形的分类】 1．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（　　） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 2．如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接BC，三角形ABC（　　） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 3．现有以下说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②三角形的两边之差大于第三边； ③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 三角形的计算问题】 4．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 5．如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（　　） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【题型3 三角形的稳定性】 6．下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4 三角形中的中线、角平分线、高线辨析】 8．如图，是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．中线、角平分线、高线 D．角平分线、中线、高线 9．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 10．在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（　　） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 11．在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，下列四个推断中错误的是（　　） A．若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线 B．若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高 C．若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线 D．若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线 12．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【题型5 三角形三边关系的应用】 13．已知两条线段a、b，其长度为2.5cm和3.5cm，另有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 15．已知△ABC的两边长分别为2和n+2，则能使得第三边长取到10的最小正整数n是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 16．已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝4c﹣3，a﹣b＝2c﹣4，则c的取值范围是（　　） A． B． C．1＜c＜3 D．1＜c＜4 17．把一条长250cm的铁丝截成a（a≥3）小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，点P为△ABC内一点，△ABC的周长为12，BC＝5，则PB+PC的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 19．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 20．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（　　） A．AB+AD＞BD B．PD+CD＞PC C．AB+AC＞BP+PC D．AP+BP+CP＞AB+BC+AC 21．已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）已知a＝3，b＝5，求c的取值范围； （2）若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24，求a的取值范围． 22．如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB．求证：AP+BP＜AC+BC． 【题型6 与三角形的中线有关的周长计算】 23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC周长L1比△ABD周长L2多6cm，△ABC的周长L为60cm，BD长为10cm，求AB和AC的长． 24．如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的中线，△ABE的周长比△BCE的周长长1，若AC＝4，BF＝3． （1）求AB，AE的长； （2）求△ABC的周长． 25．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【题型7 与三角形的中线有关的面积计算】 26．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE．若S△ABC＝12，△ADF的面积为S1，△CFE的面积为S2，则S1﹣S2＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 27．如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 28．如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE．若△ABC的面积为18，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 29．如图，BD是△ABC的AC边上的中线，AE是△ABD的BD边上的中线，BF是△ABE的AE边上的中线，若△ABC的面积是48，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．18 【题型8 与三角形的高线有关的计算】 30．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则是（　　） A． B． C． D． 31．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点且AD＝5，过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F，若S△ABC＝10，则BE+CF的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是射线BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP． （1）如图1，点P在边BC上，写出线段PD，PE，BF之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点P在BC的延长线上．当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，求线段PD的长． 33．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍．这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为（　　） A．3 B．1 C．1.5 D．4 34．定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知△ABC是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c，当b＝7时，则符合条件的△ABC有 　 　 个． 35．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若△AOC的面积为6，求△BOC的面积． 任务2：求的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 与三角形有关的线段 【知识点1 三角形的概念】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示. 【知识点2 三角形的分类】 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【知识点3 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点4 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【知识点5 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点6 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点7 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 三角形的分类】 1．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（　　） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【分析】根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【解答】解：根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 2．如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接BC，三角形ABC（　　） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【分析】分别画出图形判断即可． 【解答】解：由点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，可知△ABC可存在以下情况： 如图1，当∠ABC＜90°，∠ACB＜90°时，此时三角形ABC为锐角三角形； 如图2和图3，当∠ABC＝90°或∠ACB＝90°时，此时三角形ABC为直角三角形； 如图4和图5，当∠ABC＞90°或∠ACB＞90°时，此时三角形ABC为钝角三角形； 当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时，此时三角形ABC为等腰三角形； 综上，三角形ABC可能是①②③④． 故选：D． 3．现有以下说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②三角形的两边之差大于第三边； ③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解． 【解答】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确； ②三角形的两边之差小于第三边，故②错误； ③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确； ∴上述说法中正确的有2个． 故选：C． 【题型2 三角形的计算问题】 4．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据三角形的定义，即可得到结论． 【解答】解：图中三角形有：△ABD，△ABC，△ABE，△ADC，△ADE，△ACE，共有6个． 故选：C． 5．如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（　　） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【分析】根据三角形的概念即可解答． 【解答】解：根据三角形的定义，在同一平面内不在同一直线上的三个点确定一个三角形，可分情况讨论如下： 在直线a上一点A，在直线b上取两点，可构成的三角形有： △ADE、△ADF、△ADG、△AEF、△AEG、△AFG，共6个， 同理在直线a上一点B，在直线b上取两点，可构成的三角形有6个； 同理在直线a上一点C，在直线b上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线b上一点D，在直线a上取两点，可构成的三角形有： △DAB、△DAC、△DBC，共3个， 同样在直线b上一点E，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个； 在直线b上一点F，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个； 在直线b上一点G，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个； 所以总个数为6×3+3×4＝30个， 故选：B． 【题型3 三角形的稳定性】 6．下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：A、B、C中的图形里面都包含四边形，不具有稳定性；D的图形里面全部是三角形，具有稳定性． 故选：D． 7．如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可． 【解答】解：如图，他至少还要再钉上3根木条． 故选：B． 【题型4 三角形中的中线、角平分线、高线辨析】 8．如图，是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．中线、角平分线、高线 D．角平分线、中线、高线 【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【解答】解：由图①得，∠BAD＝∠B′AD， ∴AD是△ABC的角平分线（角平分线的定义）； 由图②得，∠ADB＝∠ADB′， ∵∠ADB+∠ADB′＝180°，即2∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝90°， ∴AD是△ABC的高线； 由图③得，BD＝CD， ∴AD是△ABC的中线； ∴综上所述，AD依次是△ABC的角平分线、高线、中线．所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 9．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的三条角平分线在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 10．在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（　　） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【分析】依题意得铅笔的支点是三角形薄板的重心，再根据三角形重心的定义即可得出答案． 【解答】解：依题意得：铅笔的支点是三角形薄板的重心， ∴画出三角形薄板的三条中线，取其交点，则可得出三角形薄板的重心． 故选：A． 11．在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，下列四个推断中错误的是（　　） A．若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线 B．若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高 C．若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线 D．若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线 【分析】根据三角形的高线，中线，角平分线的定义，逐项判断，即可求解． 【解答】解：根据三角形的高线，中线，角平分线的定义逐项分析判断如下： A、若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线，故本选项不符合题意； B、若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高，故本选项不符合题意； C、若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线，故本选项不符合题意； D、若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的角平分线，故本选项符合题意； 故选：D． 12．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【分析】根据题意得∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O， ∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE， ①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，所以结论①正确； ②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，所以结论②错误； ③在△ADC中，AE＝CE，DE是△ADC的中线，所以结论③正确； ④∠BED不一定等于∠CED，那么ED不一定是△EBC的角平分线，所以结论④错误； 综上所述，正确的有2个选项①③．所以只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【题型5 三角形三边关系的应用】 13．已知两条线段a、b，其长度为2.5cm和3.5cm，另有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【解答】解：由题知a＝2.5cm，b＝3.5cm， ∴b﹣a＝1，a+b＝6， ∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足1＜c＜6， ∴可选3cm、5cm，即能与a、b一起组成三角形的条数是2， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 14．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 15．已知△ABC的两边长分别为2和n+2，则能使得第三边长取到10的最小正整数n是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到6＜n＜10，即可得到答案． 【解答】解：设三角形的第三边长是x， 由三角形三边关系定理得：n+2﹣2＜x＜n+2+2， ∴n＜x＜n+4， ∵第三边长取到10， ∴n＜10＜n+4， ∴6＜n＜10， ∴能使得第三边长取到10的最小正整数n是7． 故选：C． 16．已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝4c﹣3，a﹣b＝2c﹣4，则c的取值范围是（　　） A． B． C．1＜c＜3 D．1＜c＜4 【分析】根据三角形的三边关系列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：∵a，b，c分别为△ABC的三边， ∴a﹣b＜c＜a+b， ∴， 解得：1＜c＜4， 故选：D． 17．把一条长250cm的铁丝截成a（a≥3）小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解． 【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是a1，a2，a3，a4，a5，…a10； ∵每一段不小于20cm， ∴a1+a2≥40，a3不与前两段组成三角形的话，a3≥a1+a2，即a3≥40，a4不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即a4≥a3+a2，即a4≥60，a5不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即a5≥a4+a3，即a5≥100， 此时剩下的a6≤250﹣20﹣20﹣40﹣60﹣100， 实际上a6≤10，那么前面四段中必有两段与a6组成三角形． ∴a的最小值为6． 故选：D． 18．如图，点P为△ABC内一点，△ABC的周长为12，BC＝5，则PB+PC的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】延长BP交AC于点D，根据三角形的三边关系求得BP+PC＜AB+AC，推出5＜PB+PC＜7，再根据题意求解即可． 【解答】解：如图，延长BP交AC于点D， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴BP+PD＜AB+AD，PC＜PD+CD， ∴BP+PD+PC＜AB+AD+PD+CD＝AB+AC+PD， ∴BP+PC＜AB+AC， ∵△ABC的周长为12，BC＝5， ∴AB+AC＝12﹣5＝7， ∵点P为△ABC内一点， ∴5＜PB+PC＜7， 故选：C． 19．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【解答】解：已知4条木棍的四边长为1、2、4、5； ①选1+2、4、5作为三角形，则三边长为3、4、5；4﹣3＜5＜3+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为5； ②选2+4、1、5作为三角形，则三边长为6、1、5；6＝1+5，不能构成三角形，两边重合，此时两个螺丝间的最大距离为6； ③选4+5、1、2作为三角形，则三边长为9、1、2；1+2＜9，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选5+1、2、4作为三角形，则三边长为6、2、4；2+4＝6，不能构成三角形，两边重合，此时两个螺丝间的最大距离为6； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为6． 故选：B． 20．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（　　） A．AB+AD＞BD B．PD+CD＞PC C．AB+AC＞BP+PC D．AP+BP+CP＞AB+BC+AC 【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【解答】解：由三角形三边关系，可得AB+AD＞BD；PD+CD＞PC，选项A、选项B不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， 可得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，AB+AD+CD＞PC+BD﹣PD，AB+AC＞PC+BP，选项C不符合题意； ∵AP+BP＞AB， BP+CP＞BC， AP+CP＞AC， ∴将不等式左边，右边分别相加，可得2（AP+BP+CP）＞AB+BC+AC， 选项D无法推出AP+BP+CP＞AB+BC+AC，符合题意． 故选：D． 21．已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）已知a＝3，b＝5，求c的取值范围； （2）若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24，求a的取值范围． 【分析】（1）根据三角形三条边的关系计算即可； （2）根据△ABC的周长不超过24求出a的取值范围，再根据三角形三条边的关系进一步缩小a的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系得，b﹣a＜c＜b+a， 即5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）∵b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过24， ∴a+b+c＝a+2a﹣1+a+5≤24， 整理得，4a≤20， 解得：a≤5， 则b﹣c＝2a﹣1﹣（a+5）＝a﹣6＜0， ∴b＜c， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系得，c﹣b＜a＜c+b， 即（a+5）﹣（2a﹣1）＜a＜（a+5）+（2a﹣1）， 解得：a＞3且a＞﹣2， 即a＞3， ∵a≤5， ∴3＜a≤5． 22．如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB．求证：AP+BP＜AC+BC． 【分析】根据“三角形两边之和大于第三边”得到AC+CD＞AP+PD、PD+BD＞BP，相加得到AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP，减去PD得到AC+（CD+BD）＞AP+BP，根据CD+BD＝BC即可证明AP+BP＜AC+BC． 【解答】证明：如图，延长AP交BC于点D． 在△ACD中，有AC+CD＞AD， 因为AD＝AP+PD， 所以AC+CD＞AP+PD①， 在△BPD中，PD+BD＞BP②， 将①和②相加，AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP， 同时减去PD，AC+（CD+BD）＞AP+BP， 因为CD+BD＝BC， 所以AC+BC＞AP+BP．即AP+BP＜AC+BC． 【题型6 与三角形的中线有关的周长计算】 23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC周长L1比△ABD周长L2多6cm，△ABC的周长L为60cm，BD长为10cm，求AB和AC的长． 【分析】根据三角形中线的定义，BD＝CD，所以△ADC和△ABD的周长之差也就是AC与AB的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：由三角形中线可知，BD＝CD， ∴L1﹣L2＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB＝6， 即AC﹣AB＝6①， ∵△ABC的周长L为60cm，BD长为10cm， ∴AB+AC+2BD＝60，即AB+AC＝40②， ①+②得2AC＝46cm， 解得AC＝23cm， ②﹣①得2AB＝34cm， 解得AB＝17cm． 24．如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的中线，△ABE的周长比△BCE的周长长1，若AC＝4，BF＝3． （1）求AB，AE的长； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）根据三角形的中线的定义直接求解即可； （2）根据三角形的中线的定义得到AE＝EC，根据△ABE的周长比△BCE的周长长1，得到AB﹣BC＝1，即可求解CB，继而可求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵BE，CF分别是AC，AB边上的中线， ∴点E，F分别为AC，AB的中点． ∵AC＝4，BF＝3， ∴，AB＝2BF＝2×3＝6． （2）∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝EC， ∵△ABE的周长比△BCE的周长长1， ∴（AB+AE+BE）﹣（BC+CE+BE）＝1， ∴AB+AE+BE﹣BC﹣CE﹣BE＝1， ∴AB﹣BC＝1， 由（1）可知：AB＝6， ∴BC＝5， ∴△ABC的周长为6+4+5＝15． 25．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【分析】（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，由中线的定义可得BD＝CD，即可解答； （2）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm． 【解答】解：（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长差：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4（cm）； （2）由图可知： △BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， ∴BE＝AE+AC， 又∵AB＝10cm，AC＝6cm，BE＝AB﹣AE， ∴AE+AC＝AB﹣AE， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． 【题型7 与三角形的中线有关的面积计算】 26．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE．若S△ABC＝12，△ADF的面积为S1，△CFE的面积为S2，则S1﹣S2＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出△ABE的面积和△BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝12，就可以求出△ABE的面积和△BCD的面积． 【解答】解：∵BE＝CE， ∴BEBC， ∵S△ABC＝12， ∴S△ABES△ABC12＝6． ∵AD＝2BD，S△ABC＝12， ∴S△BCDS△ABC＝4， ∵S△ABE﹣S△BCD＝（S1+S四边形BEFD）﹣（S2+S四边形BEFD）＝S1﹣S2， 即S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD＝6﹣4＝2． 故选：B． 27．如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】连接BE，如图，根据三角形面积公式，利用点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ACDS△ABC＝10，再利用点E为AD的中点得到S△EBDS△ABD＝5，S△ECDS△ACD＝5，所以S△EBC＝10，然后利用F点为CE的中点得到阴影部分的面积S△EBC． 【解答】解：连接BE，如图， ∵点D为BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC20＝10， ∵点E为AD的中点， ∴S△EBDS△ABD10＝5，S△ECDS△ACD10＝5， ∴S△EBC＝5+5＝10， ∵F点为CE的中点， ∴阴影部分的面积S△EBC10＝5． 故选：B． 28．如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE．若△ABC的面积为18，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】由中线平分三角形的面积可计算出答案． 【解答】解：由中线性质可得：， ， ， ∴． 故选：B． 29．如图，BD是△ABC的AC边上的中线，AE是△ABD的BD边上的中线，BF是△ABE的AE边上的中线，若△ABC的面积是48，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．18 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【解答】解：∵BD是△ABC的AC边上的中线， ∴， ∵AE是△ABD的BD边上的中线， ∴， 又∵BF是△ABE的AE边上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线， ∴， ∴S阴影＝S△BEF+S△CEF＝6+12＝18， ∴△ABC的面积是48，则阴影部分的面积为18． 故选：D． 【题型8 与三角形的高线有关的计算】 30．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则是（　　） A． B． C． D． 【分析】在△ABC中，因为AD是中线，所以△ABD和△ADC的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【解答】解：在三角形ABC中，AD是中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ADC． ∵DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为点E、F，AC＝4cm，AB＝6cm， ∴AB•DEAC•DF， ∴6DE4DF， ∴． 故选：B． 31．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点且AD＝5，过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F，若S△ABC＝10，则BE+CF的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三角形的面积公式得出，进而解答即可． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴， ∵S△ABC＝10，AD＝5， ∴， ∴BE+CF＝4， 故选：B． 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是射线BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP． （1）如图1，点P在边BC上，写出线段PD，PE，BF之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点P在BC的延长线上．当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，求线段PD的长． 【分析】（1）由题意得出S△ABC＝S△ABP+S△APC，则有，再结合AB＝AC即可得出结论； （2）由题意得出S△ABC＝S△ABP﹣S△APC，则有，再结合AB＝AC，得出BF＝PD﹣PE，由三角形的面积求出BF的长，最后即可得出答案． 【解答】解：（1）BF＝PD+PE，理由如下： ∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABP+S△APC，即， ∵AB＝AC， ∴BF＝PD+PE； （2）∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABP﹣S△APC，即， ∵AB＝AC， ∴BF＝PD﹣PE． ∵S△ABC＝10， ∴AC•BF＝10， ∵AC＝AB＝5， 所以， 整理得，5BF＝20， 解得BF＝4， ∴PD＝BF+PE＝4+2＝6， 所以线段PD的长为6． 33．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍．这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为（　　） A．3 B．1 C．1.5 D．4 【分析】根据“倍长三角形”的定义，第三条边可能是较短边的2倍或较长边的2倍，但结合“较短的两条边为2和3”可知第三条边必须不小于3，因此可能为4或6．再根据三角形三边关系排除6，得到答案为4． 【解答】解：一个三角形的一边长是另一边长的2倍．这样的三角形叫作“倍长三角形”． 设第三条边为c．∵较短两边为2和3， ∴c≥3． 若c是2的2倍，则c＝4；三边为2，3，4， ∵2+3＝5＞4， ∴能组成三角形． 若c是3的2倍，则c＝6；三边为2，3，6， ∵2+3＝5＜6， ∴不能组成三角形． 综上所述：c＝4． 故答案为：D． 34．定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知△ABC是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c，当b＝7时，则符合条件的△ABC有 　 　 个． 【分析】根据a≤b＜c，b＝7，可知a＝1，2，3，4，5，6，7，再根据三角形三边关系得，分情况讨论即可得出答案． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c， ∵b＝7， ∴a＝1，2，3，4，5，6，7， 根据三角形三边关系得， 当a＝1时，c不存在， 当a＝2时，c＝8， 当a＝3时，c＝8，9， 当a＝4时，c＝8，9，10， 当a＝5时，c＝8，9，10，11， 当a＝6时，c＝8，9，10，11，12， 当a＝7时，c＝8，9，10，11，12，13， 可知符合条件的△ABC有21个． 故答案为：21． 35．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若△AOC的面积为6，求△BOC的面积． 任务2：求的值． 【分析】任务1：根据点O为△ABC重心得AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，由此得S△ACE＝S△BCE，S△OAE＝S△OBE，由此得S△ACE﹣S△OAE＝S△BCE﹣S△OBE，即S△BOC＝S△AOC＝6； 任务2：根据BD＝CD得S△OCD＝S△OBD，则S△BOC＝2S△OCD，由任务1可知S△AOC＝S△BOC＝2S△OCD，再根据即可得出答案． 【解答】解：任务1：∵点O为△ABC的重心， ∴AD，CE，BF是△ABC的中点， ∴AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF， ∵△ACE的边AE上的高与△BCE的边BE上的高相同， ∴S△ACE＝S△BCE， 同理得：S△OAE＝S△OBE， ∴S△ACE﹣S△OAE＝S△BCE﹣S△OBE， ∴S△BOC＝S△AOC＝6； 任务2：∵△OCD的边CD上的高与△OBD的边BD上的高相同，且BD＝CD， ∴S△OCD＝S△OBD， ∴S△BOC＝2S△OCD， 由任务1可知：S△AOC＝S△BOC， ∴S△AOC＝2S△OCD， ∴△AOC的边AO上的高与△OCD的边DO上的高相同， ∴， ∴． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $