第17章 因式分解（重难易错题）-【红卷】2025-2026学年八年级上册数学期末复习方案（人教版）

第十七章 因式分解 41. 39.利用平方差公式进行计算： 2 (1)503×493 (2)99×101×10001. 40.先观察下面的解题过程，然后解答问题 计算：(2+1)×(2+1)×(2+1) 解：(2+1)×(2+1)×(24+1) =(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1) =(22-1)×(22+1)×(24+1) =(24-1)×(24+1)=28-1. (1)(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×…× ) (2)(1+2)x1+分)×1+)xx(1+20)月 王心童《红卷》· 9 【问题情境】我们已经学过完全平方公式(a± b)2=a2±2ab+b2,通过对a2+b2进行适当的变 形，如a2+b2=(a+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+ 2ab,可以使某些问题得到解决 例如，已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值 解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19. 【独立思考】 (1)若x+y=10,y=24,求x2+y2的值 (2)已知a+-6,求a+的值 (3)若(9-x)(x-6)=1,求(9-x)2+(6-x)2 的值 【解决问题】 (4)如图，小唯家打算用长为28m的篱笆围 一个长方形院子（长方形ABCD).以AB, AD为边分别向外作正方形ABEF、正方 形ADGH,并在两块正方形空地上种植不 同品种的蔬菜，其种植面积和为100m2, 求长方形院子ABCD的面积， H A B G D (年级数学RJ版上册 42.把下列多项式分解因式： 44.阅读下列解答过程，然后回答问题： (1)4x3y-4x2y2+y3. 已知x2-7x+h有一个因式(x-3),求k的值 (2)3x3-12xy2. 解：设另一个因式为(x+a), 则x2-7x+k=(x-3)(x+a), 即x2-7x+k=x2+(a-3)x-3a(对任意实数x 成立) a-3=-7, 由此可得{ .k=12 -3a=k. (1)已知x2-15x-34有一个因式(x+2),则 另一个因式为 (2)已知x2+mx-24有一个因式(x+6),则m 的值为 (3)已知多项式x3-3x2+k有一个因式(x 2)2,求k的值. 43.阅读下列材料：将一个形如x2+px+g的二次 三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p= m+n,则可以把x+px+g因式分解成(x+m)· (x+n). 例如，①x2+4x+3=(x+1)(x+3); ②x2-4x-12=(x-6)(x+2) 根据材料，把下列式子分解因式 (1)x2-6x+8. (2)x2-2x-15. (3)(x-4)(x+7)+18. 王心童《红卷》 10·八年级数学R版上册 45.新考法阅读理解题对于形如x2+2ax+a2的46 二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+ a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2 就不能直接运用公式了.此时，我们可以在 二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2, 使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去 a2,使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax-3a2 =(x2+2ax+a2)-a2-3a2 =(x+a)2-4a2 =(x+a)2-(2a)2 =(x+3a)(x-). 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平 方式，再减去这项，使整个式子的值不变的 方法称为“配方法”.根据以上内容，解决下 列问题 (1)分解因式：a2-8a+15. (2)若△ABC的三边长是a,b,c,且满足a2+ b2-14a-8b+65=0,c为奇数，求△ABC的 周长的最小值 王心童《红卷》 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的 方式来分解用提公因式法和公式法无法直 接分解的多项式，比如，四项的多项式一般 按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组 分解 例1“两两”分组：ax+ay+bx+by 解：原式=(ax+ay)+(bx+by） =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y). 例2“三一”分组：2xy+x2-1+y2 解：原式=(x2+2xy+y2)-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1). 归纳总结：用分组分解法分解因式先要恰当 分组，然后用提公因式法或公式法继续 分解。 请根据材料分解因式： (1)x2-xy+4x-4y. (2)x2-y2+4y-4. 八年级数学RJ版上册 47.新情境数学文化我国古代数学的许多发现48 都曾位居世界前列，如图1所示的“杨辉三 角”就是其中的一例.如图2，某同学发现杨 辉三角给出了(a+b)"(n为正整数)的展开 式（按a的次数由高到低的顺序排列）的系 数规律，例如，此三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式 中各项的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰 好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式 中各项的系数；等等 g白白 …(a+b) 西云四口 …(a+b2 白面币面口 600白 1…(a+b3 图1 图2 (1)(a+b)4展开式中共有 项，第三 项是 (2)直接写出(a+b)的展开式. (3)利用上面的规律计算（不用材料中的规 律计算不给分)： 25-5×24+10×23-10×22+5×2-1. 王心童《红卷》· 12 探究应用根据以下10个乘积，回答问题： 11×29;12×28;13×27;14×26;15×25;16×24; 17×23:18×22:19×21:20×20. (1)将以上各乘积分别写成“a2-b2”(两数平 方)的形式，将以上10个乘积按照从小 到大的顺序排列起来， (2)用含有a,b的式子表示(1)中的一个一 般性的结论（不要求证明） (3)根据(2)中的结论回答下面的问题： 某种产品的原料提价，因而厂家决定对 产品进行提价，现有两种提价方案.方案 1:第一次提价p%,第二次提价g%;方案 2:第一二次提价均为%，其中p≠g, 且P,9是正数.比较哪种方案提价最多？ 八年级数学RJ版上册29.证明：如图，连接AF AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠B=∠C=30 :EF垂直平分AC, .·.CF=AF...∠FAC=∠C=30° ..∠BAF=∠BAC-∠FAC=90° 在Rt△ABF中，∠B=30°， .BF=2AF..BF=2CF. 30.解：如图，过点P作PE⊥OA于点E. OP是∠AOB的平分线， ∴.PE=PD. PC//OB 0≤ D .∠POD=∠OPC. .∴.∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD =∠A0B=30°. PE=2 PC=2..PD=2. 31.解：如图，作点A关于Ox,Oy的对称点A',A”,连接A' A",分别与Ox,Oy交于点C,D,则点C,D即为所求. A 0 14川 理由：结合题意可知，油罐车的行驶路线为A→C→ D→A. :点A关于Ox的对称点是A',∴.A'C=AC. 同理可知A”D=AD. .AC+CD+DA=A'C+CD+A"DA'A". 根据两点之间，线段最短即可确定点C,D即为两个 加油站的位置 32.解：如图，先确定AA'与河等宽，且AM'⊥L2,连接BA', 与河岸1，的交点就是点C,过点C作CD⊥12，交河岸 2于点D,CD就是所求的桥的位置. B C 第十六章整式的乘法 33.8 34.解：2x+5y-3=0,.2x+5y=3. .4.32'=224·2=22+5y=23=8. 35.解：(1)指数相同的两个幂指数相同，底数大的 幂大 (2)①450=(22)0=2100,83=(23)3=29， 100>99,.450>83 ②3100=(35)20=24320,560=(53)20=12520， 243>125,.3100>560 36解：(1)原式=[x-()][x+(2)] =-(分月 = (2)原式=[(a+3b)+c]2 =(a+3b)2+2c(a+3b)+c2 =a2+6ab+9b2+2ac+6bc+c2. 37.8a-6b+2 38.(1)B(2)2x+1(3)2 第十七章因式分解 39.解：()原式=(50+子)x(50-子) =250号2409号 (2)原式=(100-1)×(100+1)×(10000+1) =(10000-1)×(10000+1) =100000000-1 =99999999. 40.解：(1)(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×…×(34+ =7×(3-1x(3+1)x(3+1)x(3+1)x(3+1)xx 2×(3w-1)-3 2 3128131281 5222=2 2)(1*+2)x(1+2)×(1+*2)x…×(1+2员) =2x(1-3)x(1+2)×1+2)x(1+分)x…× (+20) 2x()200 41.解：(1)x+y=10,xy=24, ∴.x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×24=52. (2):a+1=6, a +(广2-6-2=4 a (3)(9-x)(x-6)=1, ∴.(9-x)2+(6-x)2=(9-x)2+(x-6)2 =[(9-x)+(x-6)]2-2(9-x)(x-6) =32-2×1=7. (4)设AB=m.AD=n, 则2(m+n)=28,m2+n2=100. .∴.m+n=14. ∴.2mn=(m+n)2-(m2+n2)=142-100=96. ∴.mn=48 ∴.长方形院子ABCD的面积为48m2. 42.解：(1)原式=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y）2. (2)原式=3x(x2-4y2)=3x(x+2y)(x-2y). 43.解：(1)x2-6x+8=(x-2)(x-4) (2)x2-2x-15=(x+3)(x-5). (3)(x-4)(x+7)+18 =x2+3x-28+18 =x2+3x-10=(x-2)(x+5). 44.解：(1)(x-17)(2)2 (3)设另一个因式为(x+a), 则x3-3x2+k=(x-2)2(x+a) 即x3-3x2+h=(x2-4x+4)(x+a) =x3+(a-4)x2+(4-4a)x+4a. [a-4=-3, ∴.4-4a=0, 4a=k. .a=1,k=4. 45.解：(1)a2-8a+15 =a2-8a+16-16+15 =(a-4)2-1 =(a-4+1)(a-4-1) =(a-3)(a-5). (2)a2+b2-14a-8b+65=0. (a2-14a+49)+(b2-8b+16)=0. (a-7)2+(b-4)2=0. ∴.a-7=0,b-4=0. ∴.a=7,b=4..3<c<11. c为奇数，.c=5,7,9. ∴.△ABC的周长的最小值为7+4+5=16. 46.解：(1)原式=x(x-y)+4(x-y)=(x-y)(x+4). (2)原式=x2-(y2-4y+4) =x2-(y-2)2 =(x+y-2)(x-y+2). 47.解：(1)56a2b2 (2)(a+b)3=a3+5a4b+10a3b2+10a2b+5ab4+b5. (3)25-5×24+10×23-10×22+5×2-1 =2+5×(-1)×24+10x(-1)2×23+10×(-1)3×22+5× （-1)4×2+(-1) .原式=[2+(-1)]=1. 48.解：(1)11×29=(20-9)×(20+9)=202-92， 12×28=(20-8)×(20+8)=202-82, 13×27=(20-7)×(20+7)=202-72, 14×26=(20-6)×(20+6)=202-62, 15×25=(20-5)×(20+5)=202-52, 16×24=(20-4)×(20+4)=202-42, 17×23=(20-3)×(20+3)=202-32, 18×22=(20-2)×(20+2)=202-22, 19×21=(20-1)×(20+1)=202-12, 20×20=(20+0)×(20-0)=202-02. 11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24< 17×23<18×22<19×21<20×20. (2)当a+b为定值时，1b-a越大，ab的值越小. (3)设原价为a,则 方案1a(1+p%)(1+g%).方案2：a(1空9%)月 ∴.I1+p%-(1+q%)1=1(p-q)%1, 1空%-(%)川=0 2 :p≠q,.1(p-q)%|>0. .由(2)的结论可知方案2提价最多. 第十八章分式 49.解：(1)当x+a=0时，分式b无意义， ata .x=-2,∴.-2+a=0.解得a=2. 当x-b=0时，分式=0， "x+a x=1,.1-b=0.解得b=1. .a的值为2，b的值为1. （2)把a=2be1代人2品得4 x+1 :分式年的值为正整数。 .x+1=1或2或4..整数x的值为0或1或3.