第15章 轴对称（重难易错题）-【红卷】2025-2026学年八年级上册数学期末复习方案（人教版）

第十五章 轴对称 19. 17.思想方法转化与化归如图，等边三角形ABC 的边长为1cm,D,E分别是AB,AC上的点， 将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处， 且点A'在△ABC外部，则阴影部分的周长为 A.2 cm B.2.5 cm C.3cm D.3.5 cm 18.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线L1交 BC于点D,AC边的垂直平分线U,交BC于 点E,L1与L2相交于点O.△ADE的周长为 6 cm. (1)求BC的长 (2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长 为16cm,求OA. 20. 王心童《红卷》· 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与边BC 的垂直平分线交于点D,DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F,试猜想线段AB,AE,CF之间的 数量关系，并证明 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E (1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数， (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线. 年级数学RJ版上册 21.信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了24. 美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立 平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称 性画出另一半.若图中点A的坐标为(-3,2)， 则其关于y轴对称的点B的坐标为( A.(3,2) B.（2,3) C.(3,-2) D.(-3,-2) 22.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25. 40°，这个等腰三角形的顶角的度数为 23.思想方法分类讨论如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将这个 等腰三角形的周长分为15和6两部分，求 该等腰三角形的腰长及底边长 王心童《红卷》· 5 学科素养应用意识如图，∠AOB是一钢架， ∠A0B=15°，为使钢架更加牢固，需在其内 部添加一些钢管EF,FG,GH,…,添加的钢管 长度都与OE相等，则最多能添加这样的 钢管 ( A.7根 B.6根 C.5根 D.4根 学科素养推理能力（1)如图1，在△ABC 中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过 点O作EFBC分别交AB,AC于点E,F, 则线段EF与BE,CF之间有怎样的数量 关系？说明你的理由， (2)如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线 B0与三角形外角的平分线C0交于点 O,过O点作OE∥BC交AB于点E,交 AC于点F,直接写出EF与BE,CF之间 的数量关系 EA 图1 图2 (年级数学RJ版上册 26.新考法补充思维过程在学习了三角形全等27. 和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行 了更深入的研究，他发现，三角形一个角的 平分线上的点，如果满足到另外两个顶点的 距离相等，那么这个三角形有可能是等腰三 角形.他利用角平分线的性质和全等得出结 论.请根据小明的思路完成以下作图并 填空， (1)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC 于点E,点D在线段AE上，用尺规过点 D作AB的垂线，交AB于点F;(不写作 法，保留作图痕迹) (2)已知：点D在△ABC内，且在AE上，DB =DC,DG⊥AC于点G 求证：AB=AC. 28 证明：AE平分∠BAC,DF⊥AB,DGI AC, DF=DG. 在Rt△DBF和Rt△DCG中， .Rt△DBF≌Rt△DCG(HL). 又.DB=DC, ∴.∠DBC=∠DCB. 29 .∠ABC=∠ABD+∠DBC, ∠ACB=∠ACD+∠DCB, ∴.AB=AC 进一步思考，若点D在△ABC外，其余条 件不变，“AB=AC”还成立吗？写出你猜 想的结论： （填“成立”或“不 成立”) 王心童《红卷》 新考法过程性学习如图，在△ABC中，BC 的垂直平分线分别交边AC,BC于点D,E, BF⊥AC,垂足为F,∠ACB=30°，延长BF与 BC的垂直平分线交于点G,连接CG. 求证：△BGC是等边三角形， 证明：.BF⊥AC,∴.∠BFC=90° .∠ACB=30°，∴.∠FBC=60°. .EG垂直平分BC, ∴.∠ =ㄥGBC=60°， .·∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°， ∴.∠BGC=60° ∴.∠GBC=∠BGC=∠GCB. ∴.△BGC是等边三角形 如图，已知∠AOB=120°，D是∠A0B的平分 线上的一个定点，点E,F分别在射线OA和 射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论： ①△DEF是等边三角形：②四边形DEOF的 面积是一个定值；③当DE∥OB时，DF∥OA, 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 0 B D.3 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点 F.求证：BF=2CF 年级数学RJ版上册 30.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线 第十六章 整式的乘法 上一点，CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂 33.已知2+2.3+2=36-3，则x= 足为D,且PC=4,求PD的长， 34.已知2x+5y-3=0,试求4·32'的值. B 31.学科素养模型观念如图，Ox,Oy是两条公 路，在两条公路夹角的内部有一油库A,想在 两公路上分别建一个加油站，为使运油的油 罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加 油站，最后回到油库的路程最短，问加油站 应该如何选址？并说明理由. 35.【阅读理解】我们在学习了幂的有关知识后， 对两个幂am与b”(a,b都是正数，m,n都是 正整数)的大小进行比较，并归纳总结了如 下两个结论： ①若a=b,m>n,则am>b”(底数相同，指数大 32.如图，直线1,12表示一条河的两岸，且1∥ 的幂大) 1,,现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸 ②若a>b,m=n,则am>b”.（指数相同，底数 相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经 大的幂大) 过河到村庄B的路线最短？画出示意图. 【尝试应用】试比较210与35的大小 B. 解：210=(24)25=1625， 35=(33)25=2725,…第1步 .16<27, 所以210<35.…第2步 【问题解决】 (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思 路是将底数和指数都不相同的两个幂转 化为 ;第2步的 依据是 王心童《红卷》 八年级数学R版上册.∴.△ACD≌△EBD(SAS).∴.AC=BE. 在△ABE中，由三角形的三边关系可得 AE<AB+BE,2AD<AB+AC, AD(ABAC). 12.证明：如图，在线段CF上截取CH=BA,连接DH. .·BD⊥CD,BE⊥CE ∴.∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°. ,∠EFB=∠DFC, ∴.∠ABD=∠HCD. .·DB=CD,BA=CH, H .∴.△ABD≌△HCD(SAS). ∴.AD=HD,∠ADF=∠HDC. .AD∥BC,.∠ADF=∠DBC=45 .∴.∠HDC=45°..∴.∠HDF=45°. .∴.∠ADF=∠HDF AD=HD,DF=DF, ∴.△ADF≌△HDF(SAS).∴.AF=HF .∴.CF=CH+HF=AB+AF. 13.解：(1)证明：∠BAC=90°，BD LAE,CE⊥AE ∴.∠CAE+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90° ∴.∠CAE=∠ABD 又.∠ADB=∠CEA=90°，AB=CA, .Rt△ABD≌Rt△CAE(AAS): ∴.BD=AE,AD=CE. .AE=DE+AD=DE+CE, ∴BD=DE+CE. (2)BD=DE-CE. 证明：：∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAE=90°. 又.BD⊥DE,∴.∠BAD+∠ABD=90. ∴.∠ABD=∠CAE. 又.AB=CA,∠ADB=∠CEA=90°， ∴.△ADB≌△CEA(AAS).∴.BD=AE,AD=CE. .·DE=AD+AE=CE+BD. ∴.BD=DE-CE. (3)BD=DE-CE. (4)当点B,C在AE异侧时，BD=DE+CE; 当点B,C在AE同侧时，BD=DE-CE. 14.D 15.解：点P在∠AOB的平分线上. 如图，过点P分别作PE⊥OA于点E,PH⊥OB于点H. M HN 1 1 SAPFG=2FG·PE,SAPMN=2MN·PH, 2 FG=MN,S△PFG=S△PMN, ∴.PH=PE. ∴.点P是在∠AOB的平分线上. 16.解：(1)证明：如图，过点P作PW⊥BD于点N,PM⊥ BE于点M,PF⊥AC于点F. :∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP交于 点P, E ∴.PM=PN,PN=PF ∴.PM=PF. .AP平分∠CAE. (2).·∠PCD=∠BPC+∠PBC 2∠ABC, 1 =40° 1 1 2∠ACD=2LABC+409, .∴.∠ACD-∠ABC=80°. .∠BAC=∠ACD-∠ABC=80 :AP平分∠CAE, ÷.∠CAP=2(180°-LBAC)=50°， 第十五章轴对称 17.C【解析】由题意，得DA'=DA,EA'=EA. ∴.阴影部分的周长=DA'+EA'+DB+CE+BG+GF+CF =(DA+BD)+(BG+GF+CF)+(AE+CE) =AB+BC+AC=1+1+1=3(cm). 18.解：(1)，AB边的垂直平分线为l1,AC边的垂直平 分线为l2, .AD=BD,AE=CE. .△ADE的周长为6cm, .∴.AD+DE+AE=6. ∴.BD+DE+CE=6. .BC=6 cm. (2)如图，：AB边的垂直平分线为1，AC边的垂直 平分线为2， ∴.OA=OB,OA=0C. ∴.OA=OB=OC. :△OBC的周长为16cm, .∴.OB+OC+BC=16cm. ∴.OA+OA+BC=16cm BC=6 cm, .∴.OA=5cm. 19.解：AB=AE+CF.证明如下： 如图，连接DB. :点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF. ,点D在BC的垂直平分线上， .DB=DC. 在Rt△DCF与Rt△DBE中， (DF=DE, DC=DB, .Rt△DCF≌Rt△DBE(HL). ∴CF=BE. .·.AB=AE+BE=AE+CF 20.解：(1)∠BAC=50°，AD平分∠BAC, ·∠EAD=∠BAC=250, 2 DE⊥AB,.∠AED=90° .∠EDA=90°-25°=65. (2)证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠ACB=90°， ∴.DE=DC. .点D在线段CE的垂直平分线上 在Rt△ADE与Rt△ADC中， (AD=AD, DE=DC, .'.Rt△ADE≌Rt△ADC(HL) ∴AE=AC. ∴.点A在线段CE的垂直平分线上 ∴.AD是线段CE的垂直平分线。 21.A 22.80°或50°或130° 【解析】①如图1，等腰三角形为锐角三角形. 当∠DBC=40°时，底角∠C=90°-40°=50°， ∴.顶角∠A=180°-50°-50°=80°. 当∠ABD=40°时，∠A=90°-40°=50°. 图1 图2 ②如图2，等腰三角形为钝角三角形. ∠DBA=40°， .∠BAC=90°+40°=130° 综上，顶角的度数为80°或50°或130° 23.解：设AB=AC=2x,BC=y,则AD=CD=x. 有两种情况： ①3x=15,x+y=6,解得x=5,y=1. .该等腰三角形的三边长分别为10,10,1. ②x+y=15,3x=6,解得x=2,y=13. 此时该等腰三角形的三边长分别为4,4,13. .4+4=8<13,.这种情况不存在. ∴.该等腰三角形的腰长是10，底边长是1. 24.C【解析】15°n≤75°，n≤5. 25.解：(1)B0平分∠ABC,C0平分∠ACB, .∴.∠AB0=∠OBC,∠AC0=∠OCB. EF//BC, ∴.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB. ∴.∠EB0=∠EOB,∠FOC=∠FCO. ∴.EB=E0,FC=FO. EF=EO+FO, .∴.EF=BE+CF. (2)EF=BE-CF. 26.(1)解：如图，DF即为所求作. (2)DF=DGDB=DC∠FBD=∠GCD ∠ABC=∠ACB成立 27.GB GC GCB 28.C【解析】如图1，过点D作DM⊥OB于点M,DN⊥ OA于点N,由条件可知DN=DM. ,·∠A0B=120°，∠DN0=∠DM0=90°， .∴∠MDNW=60°. ∠EDF=60°，.∠EDN=∠FDM. ∴.△DEN≌△DFM(ASA).∴.DE=DF. .△DEF是等边三角形.故①正确； SADEN=SADFM ∴.S△DEN+S网边形DEOM=Sg边形DEOM+S△DFM, 即S四达形DNOM=Sg边形DEOP: 由条件可知四边形DNOM的面积是一个定值， .四边形DEOF的面积是一个定值.故②正确； O MF B O(F) B 图1 图2 如图2，当DE∥OB时，∠D=∠DFB=60°， 点0与点F重合， .DF一定与OA不平行.故③错误. 29.证明：如图，连接AF AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠B=∠C=30 :EF垂直平分AC, .·.CF=AF...∠FAC=∠C=30° ..∠BAF=∠BAC-∠FAC=90° 在Rt△ABF中，∠B=30°， .BF=2AF..BF=2CF. 30.解：如图，过点P作PE⊥OA于点E. OP是∠AOB的平分线， ∴.PE=PD. PC//OB 0≤ D .∠POD=∠OPC. .∴.∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD =∠A0B=30°. PE=2 PC=2..PD=2. 31.解：如图，作点A关于Ox,Oy的对称点A',A”,连接A' A",分别与Ox,Oy交于点C,D,则点C,D即为所求. A 0 14川 理由：结合题意可知，油罐车的行驶路线为A→C→ D→A. :点A关于Ox的对称点是A',∴.A'C=AC. 同理可知A”D=AD. .AC+CD+DA=A'C+CD+A"DA'A". 根据两点之间，线段最短即可确定点C,D即为两个 加油站的位置 32.解：如图，先确定AA'与河等宽，且AM'⊥L2,连接BA', 与河岸1，的交点就是点C,过点C作CD⊥12，交河岸 2于点D,CD就是所求的桥的位置. B C 第十六章整式的乘法 33.8 34.解：2x+5y-3=0,.2x+5y=3. .4.32'=224·2=22+5y=23=8. 35.解：(1)指数相同的两个幂指数相同，底数大的 幂大 (2)①450=(22)0=2100,83=(23)3=29， 100>99,.450>83 ②3100=(35)20=24320,560=(53)20=12520， 243>125,.3100>560 36解：(1)原式=[x-()][x+(2)] =-(分月 = (2)原式=[(a+3b)+c]2 =(a+3b)2+2c(a+3b)+c2 =a2+6ab+9b2+2ac+6bc+c2. 37.8a-6b+2 38.(1)B(2)2x+1(3)2 第十七章因式分解 39.解：()原式=(50+子)x(50-子) =250号2409号 (2)原式=(100-1)×(100+1)×(10000+1) =(10000-1)×(10000+1) =100000000-1 =99999999. 40.解：(1)(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×…×(34+ =7×(3-1x(3+1)x(3+1)x(3+1)x(3+1)xx 2×(3w-1)-3 2 3128131281 5222=2 2)(1*+2)x(1+2)×(1+*2)x…×(1+2员) =2x(1-3)x(1+2)×1+2)x(1+分)x…× (+20) 2x()200