专项4 拓展题-【红卷】2025-2026学年八年级上册数学期末复习方案（人教版）

专项四拓展题 1.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC边的中点， (1)如图，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF. 求证：△DEF为等腰直角三角形 (2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件 不变，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论 2.已知点O在△ABC内，且OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过 点O作直线EF分别交AB,AC于点E,F (1)如图1，已知EF∥BC. ①若∠A=76°，请求出∠B0E+∠COF的度数； ②猜想∠BOE,∠COF与∠A之间有怎样的数量关系，写出结 论，不用证明. (2)直线EF绕点O旋转到图2的位置时(EF与BC不平行)，上 面(1)中②的猜想的结论还成立吗？如果成立，请给出证明： 如果不成立，请说明理由 (3)当直线EF绕点O旋转到图3的位置时（点E在AB的延长线 上)，请直接写出∠BOE,∠COF与∠A之间的数量关系 图1 图2 图3 王心童®《红卷》·数学人教版·八年级上册 3.在△ABC中，AB=AC,点D在平面内， (1)当∠ADC=60°，且∠ACD=∠ABD时，如图1，求证：AD+BD=CD. (2)当∠ADC=120°，且∠ACD=∠ABD时，如图2，请写出线段 AD,BD,CD之间的数量关系，并说明理由. (3)当∠ADC=60°，且∠ACD+∠ABD=180时，如图3，请直接写出 线段AD,BD,CD之间的数量关系， K 图 图2 图3 专项强化练/19 4.（1)如图1，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点 A,BD⊥L,CE⊥L,垂足分别为点D,E. 证明：①∠CAE=∠ABD:②DE=BD+CE, (2)如图2，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点 都在直线L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a&为任 意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请 你给出证明；若不成立，请说明理由. (3)如图3，在△ABC中，以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正 方形ACFG,连接EG,AH是△ABC的BC边上的高，延长HA交 EG于点I,求证：I是EG的中点， 图1 图2 图3 20 八专项强化练 5.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点.如 果点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA 上由点C出发向点A运动.设运动时间为. (1)若点P的速度为3cm/s,用含t的式子表示BP,CP的长 (2)若点P比点Q的运动速度每秒快1cm,当t为何值时，△BPD 和△CPQ恰好都是以∠B,∠C为顶角的等腰三角形？ 红卷 王心童®《红卷》·数学人教版·八年级上册 6.如图，等边三角形ABC的边长为5cm,点P从顶点A向顶点B、点 Q从顶点B向顶点C同时出发，且它们的速度都为2cm/s. (1)设运动时间为ts,则何时△PBQ是直角三角形？ (2)如图1，连接AQ,CP,交点为M,在点P,Q的运动过程中， ∠CMQ的大小有变化吗？若变化，请说明理由：若不变，请求 出它的度数 (3)如图2，当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时，直线AQ, CP的交点为M,则∠CMQ的大小有变化吗？若变化，请说明 理由；若不变，求出它的度数 0 图1 图2∴.∠GAE=∠EAF. 在△AEG和△AEF中， (AG=AF, {∠GAE=∠EAF, AE=AE, .△AEG≌△AEF(SAS). .EG=EF. EG=BE-BG, ∴.EF=BE-FD. 10.解：(1)△ADC≌△EDB (2)1<x<4 (3)证明：如图，延长AD至点E,使得DE=AD,连接 BE,CE. 在△ADC和△EDB中， (CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=ED, ∴.△ADC≌△EDB(SAS) ∴.AC=BE,∠MAF=∠BEF AM=MF, .∴.∠MAF=∠MFA. ,∠BFE=∠MFA, .∴.∠BEF=∠BFE. ∴.BF=BE. ∴.BF=AC 11.解：(1)证明：△ABC和△ADE均是等腰三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. .∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. ∴.∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE. AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). ∴.BD=CE (2)60°BE=AD (3)∠AEB=90°，AE=BE+2CM.理由如下： 同(1)的方法，得△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC. ,:△CDE是等腰直角三角形， ∴.∠CDE=∠CED=45. .∴.∠ADC=180°-∠CDE=135°. ∴.∠BEC=∠ADC=135. .∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. .CM⊥DE, .DM=ME=CM. ∴.AE=AD+DE=BE+2CM. 专项四拓展题 1.解：(1)证明：如图1，连接AD 图1 :AB=AC,∠BAC=90°，D为BC边的中点， ∴.∠B=∠C=45°，AD⊥BC ∴.∠BAD=∠B=∠DAC=45. ∴.BD=AD. 在△BDE和△ADF中， (BD=AD, ∠B=∠DAF BE=AF, ∴.△BDE≌△ADF(SAS) ∴.ED=FD,∠BDE=∠ADF ∴.∠EDF=∠EDA+LADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°. ∴.△DEF为等腰直角三角形 (2)△DEF仍为等腰直角三角形.证明如下： 若E,F分别是AB,CA延长线上的点，如图2，连接AD. 图2 由(1)知AD⊥BC,AD=BD,∠DAC=∠ABD=45°， ∴.∠DAF=∠DBE=135°. 在△DAF和△DBE中， AD=BD. ∠DAF=∠DBE, AF=BE, ∴.△DAF≌△DBE(SAS). .∴.FD=ED,∠FDA=∠EDB. .∴.∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=9O°. ∴.△DEF仍为等腰直角三角形 8 2.解：(1)①.EF∥BC, ∴.∠BOE=∠OBC,∠COF=∠OCB. :OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB, ÷L0BC-=2∠ABc,∠oCB=LACR 1 ∴.∠BOE+∠COF=∠OBC+∠OCB LABG+LACB(LABG+LACB) 7(180-LA0=9074A s9001 ×76=520 ②LB0E+LC0F=90-1 < (2)成立.证明如下： :OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB, ∠OBC=}LABC,∠0CB=∠ACB. 2 ÷∠0BC+∠OCB= 2人ABC+ 1 1 =2(∠ABC+∠ACB)=2(180°-∠A)=90°- -∠A :∠BOE+∠COF+∠BOC=∠OBC+∠OCB+∠BOC =180°， ∴.∠B0E+LC0F=∠OBC+∠0CB=90°-2∠A.】 (3)∠C0F-∠B0B=90°-1∠A 2 3.解：(1)证明：如图1，在CD上截取CE=BD,连接AE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. ∠ABD=∠ACD, BD=CE. 图1 .△ABD≌△ACE(SAS). ∴.AD=AE. .∠ADC=60°， △ADE是等边三角形.∴.AD=DE. .AD+BD=DE+EC=CD. （2)BD=CD+AD.理由如下： 如图2，延长CD到点E,使CE=BD,连接AE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠ABD=∠ACD, BD=CE, ..△ABD≌△ACE(SAS) 图2 ∴.AD=AE. .∠ADC=120°， ∴.∠ADE=60°. .△ADE是等边三角形 .AD=DE. .BD=CE=CD+DE=CD+AD. (3AD=CD+BD. 【解析】如图3，延长DC到，点E,使CE=BD,连接AE. .·∠ACD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ACE=180°， .∠ACE=∠ABD. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠ABD=∠ACE, 图3 BD=CE, .△ABD≌△ACE(SAS). .AD=AE. .:∠ADC=60° .△ADE是等边三角形 ∴.AD=DE=DC+CE=CD+BD 4.解：(1)证明：①BD⊥l,CE⊥l, .∠BDA=∠CEA=90° ∴.∠BAD+∠ABD=90°. :∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90. ∴.∠CAE=∠ABD. ②在△ADB和△CEA中， 「∠ABD=∠CAE, ∠ADB=∠CEA, AB=CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS). ∴.BD=AE,AD=CE. ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (2)成立.证明如下： ∠BDA=∠BAC=, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a. ∴.∠DBA=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE. ∠ADB=∠CEA, AB=CA, .△ADB≌△CEA(AAS) .BD=AE.AD=CE. .·.DE=AE+AD=BD+CE. (3)证明：如图，过点E作EM⊥HI于点M,过点G作 GN⊥HⅢ交HⅢ的延长线于点N. ∴.∠EMI=GWN7=90°. 由题意可得AG=AC,AE=AB, 易证△ABH≌△EAM,△AHC兰△GNA, ∴.AH=EM,AH=GN. ∴.EM=GN. 在△EMI和△GNI中， 「∠EIM=∠GIN, ∠EMI=∠GNI, EM=GN, .△EMI≌△GNI(AAS). .EI=GI. .I是EG的中点. 5.解：(1)：BC=8cm,点P在线段BC上由点B出发 向点C运动， .当点P的速度为3cm/s,运动时间为t时， BP=3t cm,CP=(8-3t)cm. (2):△BPD和△CPQ恰好都是以∠B,∠C为顶角 的等腰三角形，AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB 的中点， .BD=BP=5 cm,CQ=CP=8-5=3(cm), BP-CQ=5-3=2(cm). :点P比点Q的运动速度每秒快1cm, .∴.t=2 6.解：(1)由题意，得AP=BQ=2tcm. ∴.PB=(5-2t)cm. 当∠PQB=90时， ∠B=60°， ∴.∠BPQ=90°-60°=30°. .PB=2B0. ·5-21=2×2,解得4= 6 当∠BPQ=90时， ∠B=60°， ∴.∠BQP=90°-60°=30°. ∴.BQ=2PB. 2=2(5-2),解得6= 3 5 8当运动时间为68或s时，△PB0为直角国 角形 2 (2)∠CMQ的大小不变. :△ABC为等边三角形， .AB=AC,AP=BQ,∠B=∠PAC=60°. 在△APC和△BQA中， (AP=BQ, ∠PAC=∠B, AC=BA, ∴.△APC≌△BQA(SAS). ∴.∠ACP=∠BAQ. '.∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠CAQ+∠BAQ =∠BAC=60° .在点P,Q的运动过程中，∠CMQ的大小不变，即 ∠CMQ=60. (3)∠CMQ的大小不变. 在等边三角形ABC中，AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°， ∴.∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ. 在△PBC和△QCA中， (PB=QC, ∠PBC=∠QCA, BC=CA, .△PBC≌△QCA(SAS). ∠BPC=∠AQC. .'∠PCB=∠MCQ, ∴.∠CMQ=∠PBC=120. .当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时， ∠CMQ的大小不变，即∠CMQ=120°. 专项五全国视野新颖题 一、选择题 1.D2.D3.A4.C5.D6.C7.B8.B 9.A10.D 二、填空题 11.812.6a(答案不唯一)13.x=6 14.10a3b2+10a2b15.yang8888 三、解答题 16.解（a-2)2+1b2-161 =0 b+4 .(a-2)2+1b2-161=0,b+4≠0. ∴.a-2=0,b2-16=0,b≠-4. ∴.a=2,b=4. ∴.3a-b=3×2-4=2. 17.解：(1)不是“相似方程”.理由如下： 解一元一次方程 2=2(x-1),得x=2 解分式方程2x+1