第17章 因式分解-【红卷】2025-2026学年八年级上册数学期末复习方案（人教版）

第十七章 因式分解 时间：90分钟满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是 A.（a+3)(a-3)=a2-9 B.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 C.2n2-mn-n=2n(n-m-1) D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 2.多项式12ab2-8a2bc的公因式是 A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abe 3.化简(-2)2025+(-2)2026，结果为 A.-2 B.0 C.-22025 D.22025 4.如图，长宽分别为a,b的长方形周长为16，面积为 12,则a2b+ab2的值为 ( ) A.80 B.96 C.192 D.240 5.下列多项式能用公式法进行因式分解的是 ( A.x2-3x B.x2+4x-4 C.m2-n2 D.a2+4b2 6.对于任何整数a(a≠0)，多项式(3a+5)2-4都能 A.被9整除 B.被a整除 C.被a+1整除 D.被a-1整除 7.把多项式ax2-☐ax+16a分解因式的结果为a(x-4)2,则“☐”中的 数为 A.-4 B.-8 C.8 D.16 8.先观察下列各式：①32-12=4×2：②42-22=4×3：③52-32=4×4； ④62-42=4×5；….下列选项成立的是 A.n2-(n-1)2=4n B.(n+1)2-n2=4(n+1) C.(n+2)2-n2=4(n+1) D.(n+2)2-n2=4(n-1) 9.若a,b,c是三角形的三边，则代数式(a-b)2-c2的值是( A.正数 B.负数 C.等于零 D.不能确定 10.思想方法转化与化归如图，阴影部分是边长为α的大正方形剪 去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过 割、拼，形成新的图形，嘉嘉（图1）和琪琪（图2）分别给出了各自 的割拼方法，其中能够体现分式法分解因式的是 h 图1 图2 A.嘉嘉 B.琪琪 C.都能 D.都不能 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法结论开放如果多项式m2+1加上一个单项式后，可以分 解因式，那么这个单项式可以是 (写出一个即可) 12.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 口0口视一日 13.多项式x2+mx+6分解因式得(x+2)(x+n),则m= 14.已知，y满足2+y=9,则-y= x+2y=6, 15.教材变式对于二次三项式x2+mx+n,如果能将常数项n分解成 两个因数a,b,使a,b的和恰好等于一次项系数m,即ab=n,a+b =m,就能将x+mx+n分解因式，这种分解因式的方法取名为“十 字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项 系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验 是否等于一次项系数，进而进行因式分解.则代数式x2+6x-16 因式分解的结果为 x-5x+6 -2 1 4-3 1×(-3)+1×(-2)=-5 ∴.x2-5x+6=(x-2)(x-3) 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16.(6分)(1)计算：20242-2022×2026. (2)分解因式：x2+4y2-4xy-25. 王心童®《红卷》·数学人教版·八年级上册 17.(7分)数学老师布置了一道题：化简(x+y)(x-y)-(x-y)2.下面 是甲、乙两位同学的部分运算过程。 甲同学 乙同学 解：原式=x2-y2-(x2-2xy+y2) 解：原式=(x-y)[(x+y)-(x-y)] (1)对于两位同学的第一步计算，表述正确的是 (填 序号) A.甲是整式的乘法，乙是因式分解 B.甲、乙都是整式的乘法 C.甲是因式分解，乙是整式的乘法 D.甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程 18.活动探究(8分)有一种用“因式分解法”产生的密码，其原理 是：将一个多项式分解因式，如多项式x2+y可分解为x(x+y), 当x=8,y=9时，各个因式的值是x=8,x+y=17,于是密码就是 “817”,其中的“8”“17”分别叫作这串密码的第一因式码、第二 因式码，类似地，对多项式x-y用“因式分解法”产生密码. (1)多项式x4-y可分解为(x-y)(x+y)( (2)在(1)的条件下，若第一因式码和第二因式码构成“24”时， 请求出第三因式码. 单元过关练/09 19.(8分)认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题 1+x+x(1+x)+x(1+x)2 =(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)[(1+x)(1+x)] =(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是 (2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3 (3)猜想：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n分解因式的结果 是 20.思想方法整体思想(8分)在因式分解中，把多项式中某些部分 看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要 分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察 如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进 行因式分解的过程 解：设x2-4x=y 原式=(y+1)(y+7)+9…第一步 =y2+8y+16…第二步 =(y+4)2.…第三步 =(x2-4x+4)2.…第四步 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号). A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式 分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式 分解 10 单元过关练 21.(9分)在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在 黑板上写了题目： 因式分解：x2-xy+6x-6y.下面是甜甜的解法： 解：x2-xy+6x-6y =(x2-xy)+(6x-6y)(分组) =x(x-y)+6(x-y)(提公因式) =(x-y)(x+6). 请利用上述方法，解答下列各题： (1)因式分解：m2-2m+2n-mm. (2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC 的形状，并说明理由， 红卷 王心童®《红卷》·数学人教版·八年级上册 22.新考法阅读理解题(9分)教科书中这样写道：“我们把a2+2ab+ b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式”，如果一个多项式 不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使 式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变， 这种方法叫作配方法，即将多项式x2+bx+c(b,c为常数)写成(x+ h)2+k(h,k为常数)的形式.配方法是一种重要的解决数学问题 的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能 解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题 【知识理解】 (1)若多项式x2+x+4是一个完全平方式，那么常数k的值 为 (2)配方：x2-4x-6=(x-2)2- 【知识运用】 (3)已知m2+2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值第十六章整式的乘法 一、选择题 1.C2.D3.C4.D5.B6.C7.A8.B 9.C 10.C【解析】：m+n=8,mn=15, .∴.(m-n)2=(m+n)2-4mn=64-60=4. ,'m>n,∴.m-n=2. ∴.S1-S2=(S1+Sg)-(S2+Sg)=m2-n2=(m+n)(m- n)=8×2=16. 二、填空题 11.312.3999613.±414.2515.6 三、解答题 16.解：原式=4(x-y)2-4(x2+y2) =4(x2-2xy+y2)-4(x2+y2) =-8xy. 当=3，y归分时。 原式=-8x3x(分）=12 17.解：(1)二去括号时，括号内第二项没有变号 (2)原式=[x2+3y2-(x2-4y2)]y =(x2+3y2-x2+4y2）÷y =7y2÷y =7y. 18.解：(1)5 (2)(2x-5)(x+2)=2x2+4x-5x-10=2x2-x-10. 19.解：(1)例如，11×17-10×18=7,3×9-2×10=7，符合 这个规律. (2)证明：设最小的一个数为x,其他三个数分别为 x+1,x+7,x+8, 则(x+1)(x+7)-x(x+8)=x2+8x+7-x2-8x=7. 20.解：(1)ab=4, ∴.(2a3b2-3a2b+4a)·（-2b) =-4a3b3+6a2b2-8ab =-4(ab)3+6(ab)2-8ab =-4×43+6×42-8×4 =-192 1 （2)x-=5, 21.解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, ∴.（2x-y-3)2=4x2+y2+9-4xy-12x+6y. (2).x+y+z=3,xy+yz+xz=4, ∴.2xy+2yz+2xz=8. .(x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=9. .x2+y2+z2=1. (3)100×6×(a+b)2=600a2+600b2+1200ab, ∴.需要600张A,600张C,1200张B. .所需费用为600×0.7+600×0.4+1200×0.5= 1260(元) 22.解：(1)C (2)x2-4y2=(x+2y)(x-2y). x2-4y2=20,x+2y=5, ∴.x-2y=20÷5=4. (3)x*1-1 (4)52024+52023+52022+.…+5+1 =4×(5-1)×(524+520+522+…+5+1） =4(52m-1). 1 第十七章 因式分解 一、选择题 1.D2.A3.D4.B5.C6.C7.C8.C 9.B10.C 二、填空题 11.2m(答案不唯一)12.x2+6x+8=（x+2)(x+4) 13.514.1515.(x-2)(x+8) 三、解答题 16.解：(1)原式=20242-(2024-2)×(2024+2) =20242-(20242-22) =20242-20242+4 =4. (2)原式=(x2-4xy+4y2)-25 =(x-2y)2-52 =(x-2y+5)(x-2y-5). 17.解：(1)A (2)选择甲同学的解法： 原式=x2-y2-(x2-2xy+y2) =x2-y2-x2+2xy-y2=2xy-2y2. 选择乙同学的解法： 原式=(x-y)[x+y-(x-y)] =(x-y)(x+y-x+y） =(x-y）·2y =2xy-2y2. (任选其一即可) 7 18.解：(1)x2+y2 (2)x-y=(x-y)(x+y)(x2+y2),第一因式码和 第二因式码构成“24”， y=2解得=3， (x+y=4. y=1. x2+y2=32+12=10. .第三因式码是10. 19.解：(1)提公因式法 (2)原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)(1+x)(1+x)(1+x) =(1+x)4.（方法不唯一) (3)(1+x)+1 20.解：(1)C (2)(x-2)4 (3)设x2+2x=y. 原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2 =(x2+2x+1)2=(x+1)4 21.解：(1)原式=(m2-2m)+(2n-mn) =m(m-2)+n(2-m) =(m-2)(m-n). (2)△ABC是等腰三角形，理由如下： .'a2-b2-ac+bc=0, ∴.(a-b)(a+b-c)=0. .a+b-c>0, ∴.a-b=0. ∴.a=b. ∴.△ABC是等腰三角形 22.解：(1)±4 (2)10 (3).m2+2mn+2n2-8n+16=0, .(m2+2mn+n2)+(n2-8n+16)=0. .(m+n)2+(n-4)2=0. ∴.m+n=0,n-4=0. ∴.m=-4,n=4. 第十八章分式 一、选择题 1.B2.A3.D4.B5.C6.B7.B8.D 9.C10.A 二、填空题 1.1或-3122025130或814弓或10 15.12090 v+3535-v 三、解答题 16.解：(1)原式=+1. x2(x+1)2 (2)原式=，a-1.(a-2)(a+2)】 a+2 (a-2)2‘(a-1)(a+1）(a-2)(a+1) 17.解：(1)方程两边同时乘(x-2), 得x-3+x-2=-3.解得x=1. 检验：当x=1时，x-2≠0， .原分式方程的解是x=1. (2)方程两边同时乘(x+1)(x-1), 得x+1-2(x-1)=4.解得x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0, ∴.原分式方程无解. 18.解：原式=4.(a-2)(a+2）.（a-1)=a-2 a+2 (a-1)2 a满足a2+2a=0,.a=0或-2. 根据分式的意义，a=0适合. 将a=0代人，得原式=0-2=-2. .原式的值为-2. 19.解：(1)②去括号时计算错误 (2)去分母，得5x-2(x+2)=4. 去括号，得5x-2x-4=4. 移项、合并同类项，得3x=8. 两边都除以3，得x三 经检验，：氵是原分式方程的根 20.解：(1)设第一次购进的“宸宸”玩偶单价为x元，则 第二次购进的“宸宸”玩偶单价为(x+1)元 根据题意，得3x10004500 名+解得x=2 经检验，x=2是分式方程的解，且符合题意 答：第一次购进的“宸宸”玩偶单价为2元. (2)设销售单价为m元. 根据题意，得上0×(m-2)+4500 2+1(m-2-1)≥ 1500. 7 解得m≥ 答，销皆单价至少为元 21.解：(1)小明没有考虑分式方程的分母不为0这个 条件 2)关于：的分式方程21的解为负数。