专题02 空间向量的综合应用（10大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

专题02 空间向量的综合应用 【人教A版】 【知识清单1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【知识清单2 空间中直线、平面的平行】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【知识清单3 空间中直线、平面的垂直】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识清单4 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【知识清单5 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 空间中点、直线和平面的向量表示】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式1.2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系】 【例2】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·河北张家口·月考）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【变式2.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系】 【例3】（25-26高二上·山西·月考）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式3.1】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3.2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【变式3.3】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【题型4 异面直线夹角的向量求法】 【例4】（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·新疆喀什·月考）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为SB的中点，C是的中点，，则直线SA与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用空间向量求线面角】 【例5】（25-26高二上·重庆·月考）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·广东惠州·月考）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-3】（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中， ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且.    (1)求证：； (2)设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 【题型6 利用空间向量求面面角】 【例6】（25-26高二上·新疆·月考）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式6-3】（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 【题型7 利用空间向量求点到平面距离】 【例7】（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·北京东城·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 【变式7-3】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 【题型8 利用空间向量求平行平面距离】 【例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式8.3】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法】 【例9】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【变式9-1】（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【题型10 空间线段点的存在性问题】 【例10】（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式10-2】（24-25高二上·天津·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式10-3】（25-26高二上·福建福州·期中）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·月考）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，等边三角形中，，点、分别在边、边上，且，，将三角形沿DE折起，将点翻折至于点处，使得平面平面，则直线与所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二上·辽宁·月考）已知平面的一个法向量为，，，则（    ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 11．（25-26高二上·四川绵阳·月考）如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点分别在正方形对角线上移动，且和的长度保持相等．记，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，直线与平面所成角的余弦值为 D．不存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题 12．（25-26高二上·四川成都·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 13．（25-26高二上·重庆·月考）已知正方体 的棱长为 1，若 ，则点 到平面 的距离为 ． 14．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 16．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 17．（25-26高二上·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. (1)求证：； (2)若为棱上一点，满足，求二面角的正弦值. 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. (1)证明： 平面. (2)求点到平面的距离. 19．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的综合应用 【人教A版】 【知识清单1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【知识清单2 空间中直线、平面的平行】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【知识清单3 空间中直线、平面的垂直】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识清单4 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【知识清单5 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 空间中点、直线和平面的向量表示】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【解答过程】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【解答过程】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【解题思路】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【解答过程】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C. 【题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系】 【例2】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【解答过程】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一上·河北张家口·月考）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，有，结合空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【解答过程】由，则，即，可得. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【解答过程】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以， 所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以， 因为平面， 所以直线 平面. 【变式2.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得，由线面平行的判定定理证明即可； 证法2：求出平面的法向量，判断即可证明 （2）求出平面的一个法向量，判断与关系即可证明； 【解答过程】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，， 根据，可得， 令，则，，即， 因为，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，， 根据，可得，取，则， 所以，则， 所以平面平面． 【题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系】 【例3】（25-26高二上·山西·月考）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据，得，利用数量积坐标运算列式计算求解. 【解答过程】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 【变式3.2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【解答过程】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【变式3.3】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【解答过程】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点，， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 【题型4 异面直线夹角的向量求法】 【例4】（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·新疆喀什·月考）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【解答过程】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为，则， ， 设异面直线与所成角为， ， ，故A正确． 故选：A． 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为SB的中点，C是的中点，，则直线SA与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数值. 【解答过程】因为为的中点，所以. 如图：以为原点，建立空间直角坐标系，    则，，，，，因为为中点，所以. 所以，. 设直线SA与直线所成的角为， 则 . 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用已知正八面体的性质求出相关边长，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，进而求出，最后利用向量夹角余弦公式计算求解． 【解答过程】正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2， 正八面体的8个面均为边长是2的等边三角形，面是边长为的正方形， 连接交于点，则，， 连接，则交于点，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， ， ， 直线和夹角的余弦值为． 故选：C． 【题型5 利用空间向量求线面角】 【例5】（25-26高二上·重庆·月考）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量的余弦公式计算求解. 【解答过程】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， . 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·广东惠州·月考）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【解答过程】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【解答过程】（1）因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面， 所以如图建系， 可得， 则， 设平面法向量， ，令，则，所以， 则可得，所以，故直线平面PCD； （2）由题，， 设BM与平面PCB夹角为，设平面PBC法向量 ，令，则，所以， 则， 故与平面夹角正弦值为. 【变式5-3】（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中， ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且.    (1)求证：； (2)设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】（1）取中点，连接，因为三棱锥为正三棱锥， 所以为等边三角形，为全等的等腰三角形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）因为 ，所以， 由（1）知，所以四边形是矩形， 则，在直角三角形中，， 所以，所以， 所以，， 又因为，所以平面； 以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为. 又，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【题型6 利用空间向量求面面角】 【例6】（25-26高二上·新疆·月考）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【解答过程】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】由平面，且平面，所以 又由，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且为中点， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，则. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取的中点为，证得四点共面，由，利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到平面，得到，再证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，得到，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：取的中点为，连接，则， 因为，所以，则四点共面， 又由为等腰梯形，且为对称轴，可得， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，则平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形平面中，，且， 所以，则， 所以，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）解：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得 因为且，所以，可得， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面和平面所成的角为，由图像可得，为锐角， 则， 所以平面和平面所成的角的余弦值为. 【变式6-3】（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接，，设，连接，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，，由异面直线与所成角的余弦值可求得t的值，继而确定 相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【解答过程】（1）连接，，设，连接 因为四边形为正方形，则是中点，点是棱的中点， 则，因为平面，平面， 所以平面； （2）连接，正四棱锥中，平面，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，（负值舍去），故，，，， 所以，， 由题意知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【题型7 利用空间向量求点到平面距离】 【例7】（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用向量的方法计算点到平面的距离可得. 【解答过程】由，，得. 又因为平面的一个法向量为， 所以. 所以点到平面的距离为. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量法求解点面距即可. 【解答过程】以为原点建立如图空间直角坐标系，    ，，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 令，解得，，得到， 设点到平面的距离为，． 故选：C． 【变式7-2】（25-26高二上·北京东城·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离． 【解答过程】（1）矩形中，连接交于点，则为的中点. 连接，因为是的中点，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为平面，底面，所以. 所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则.所以平面的一个法向量为. 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 【变式7-3】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，先由三角形中位线得PB//EO，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量，利用空间点到平面的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO. 因底面ABCD是矩形，则， 又因是PD的中点，所以. 又平面，平面， 则平面. （2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直. 以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，E是PD的中点， 所以 ， 则，    设平面ACE的一个法向量为， 那么，所以， 令，则，所以， 于是， 所以点Q到平面ACE的距离为. 【题型8 利用空间向量求平行平面距离】 【例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量， 两平面间的距离. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式8.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【解题思路】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【解答过程】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式8.3】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法】 【例9】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由题意得，，再根据点到直线的距离的向量公式即可求解. 【解答过程】，，则在上的投影向量的模为， 则点到直线的距离为. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【解答过程】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究点线距离即可. 【解答过程】如图所示，建立空间直角坐标系，则， 因为为的重心，，所以， 所以，则， 故点到直线的距离为. 故选：A. 【变式9-3】（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【解答过程】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 【题型10 空间线段点的存在性问题】 【例10】（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【解题思路】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 【变式10-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【解题思路】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【解答过程】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【变式10-2】（24-25高二上·天津·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距，结合已知可得． 【解答过程】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点,∴且， 又，，∴且， ∴是平行四边形,∴， ∵平面，平面，∴平面；    （2）∵，，， ∴，所以， 又平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面，又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是，则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以．   【变式10-3】（25-26高二上·福建福州·期中）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点位于线段靠近点的三等分点 【解题思路】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【解答过程】（1）证明：，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. （2）解：由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·月考）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【解答过程】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 【答案】C 【解题思路】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者. 【解答过程】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【解答过程】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 4．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角. 【解答过程】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【解答过程】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 则，设平面的法向量为， 则有，即，取，则，即. 则点到平面的距离. 故选：B. 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 【答案】A 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，，, ， 即，，夹角为， 所以与夹角为，A错误 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 则，所以，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：A. 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，等边三角形中，，点、分别在边、边上，且，，将三角形沿DE折起，将点翻折至于点处，使得平面平面，则直线与所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值． 【解答过程】由已知，， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以，，两两垂直， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图，由已知，到直线的距离为， 则，，，， 从而，. 故， 设直线与所成的角为，则，， 所以. 故选：B． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解题思路】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【解答过程】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·辽宁·月考）已知平面的一个法向量为，，，则（    ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】AB 【解题思路】利用法向量定义可求得，根据共线向量定义可构造方程组求得的值，知A正确；根据投影向量的求法可求得B正确； 根据点面距离的向量求法可求得C错误；根据线面角的向量求法可求得D错误. 【解答过程】因为平面，则， 可得，解得，即. 对于选项A：若与共线， 则存在实数，使得， 可得，解得：， 所以，故A正确； 对于选项B：在上的投影向量为，故B正确； 对于选项C：点到平面的距离，故C错误； 对于选项D：因为直线与平面所成角为， 则， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误. 故选：AB. 11．（25-26高二上·四川绵阳·月考）如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点分别在正方形对角线上移动，且和的长度保持相等．记，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，直线与平面所成角的余弦值为 D．不存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解题思路】如图建系，求得各点坐标，根据条件，可得M、N点坐标，即可得表达式，代入，即可判断A的正误；当时，可得M到平面ABEF的距离及N到AF的距离，利用等体积转化法，结合体积公式即可判断B的正误；根据二次函数的性质，可得的长最小时，分别求出与平面的法向量坐标，根据线面角的向量求法，结合同角三角函数的关系，可判断C的正误；根据异面直线的向量求法，可得与所成角的余弦值的表达式，结合条件，可得关于的二次方程，利用其判别式，可判断D的正误. 【解答过程】由题意，以B为原点，BA，BE，BC为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 设，则， 由，得， 则，即， 由 ，同理可得， 所以. 选项A：当时， ，故A正确； 选项B：当时，M到平面ABEF的距离为， 因为，所以N到AF的距离为， 所以， 所以三棱锥的体积，故B正确； 选项C：因为， 所以当时，有最小值，且为， 此时，则， 因为平面在面内，所以即为平面的法向量， 设MN与平面所成角为，， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 选项D：， 设直线与所成角为，， 则， 由，得，则， 整理得，判别式， 所以方程无实数根，即不存在，使得直线与所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川成都·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 【答案】 【解题思路】利用线面平行的向量性质，将几何问题转化为向量的数量积运算问题，通过解方程求解实数即可. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 当，可得，所以， 即，所以，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·重庆·月考）已知正方体 的棱长为 1，若 ，则点 到平面 的距离为 ． 【答案】 【解题思路】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，然后利用向量的数量积求出点到平面的距离即可. 【解答过程】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，. 则，. 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，所以. 所以，而， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【解答过程】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【解答过程】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 17．（25-26高二上·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. (1)求证：； (2)若为棱上一点，满足，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积为零证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过两个法向量夹角余弦求二面角的余弦值. 【解答过程】（1）依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，， 由E为棱PC的中点，得， 所以，， 故，所以. （2）由（1）知，，，， 由点F在棱PC上，设， 故， 由，得，解得，即. 设为平面FAB的法向量， 则，令，可得， 易知向量为平面ABP的一个法向量， 则， 所以二面角的正弦值为. 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. (1)证明： 平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而得，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【解答过程】（1）取的中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以. 在等腰梯形中，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. （2）因为，故，故以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 则此梯形的高为. 因为， 则， 所以. 设平面的法向量为，则有，即， 取，则，，即. 则点到平面的距离. 19．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【解题思路】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【解答过程】（1）取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. （2）∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则； （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $