2025-2026学年浙教版数学八年级上册期末复习三角形专题

三角形 1. 下面垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 4. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 4或8 D. 6或10 5. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形任何两边的和大于第三边 C. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 8. 如图，与相交于点E，已知，则添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，外角，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在上，，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 12. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形是全等三角形． B. 三个内角之比为3:4:5三角形是直角三角形． C. 平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离． D. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 13. 如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 14. 下列尺规作图中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 15. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 17. 如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 18. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部C处与E处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 19. “同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是_____________________________. 20. 某直角三角形两条直角边分别是，，则斜边长为______ ． 21. 在中，斜边上的中线，则斜边的长是______． 22. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 23. 已知，以为圆心，任意长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，以为腰作等腰三角形，且点在射线上，则的度数为________． 24. 如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是_____．（只需写出一种情况） 25. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为___________． 26. 已知的周长为16，，当的值为_____时，是等腰三角形． 27. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 28. 如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则______． 29. 如图，在中，，，，为角平分线，则的面积为____________． 30. 已知，，，则的长为________． 31. 如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 32. 如图，是由边长为 1 的正方形构成的 的网格图， 的顶点都在格点上． （1）判断是否为等腰三角形_____．（填是或否），并直接写出的面积为_____； （2）命题 “腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明； 若是真命题，请进行证明． 33. 下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． （1）如图1，作，使与关于直线对称． （2）如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 34. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 35. 如图，于点，为上一点，连结，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 36. 如图，，点在上． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 37. 如图，点D，E分别AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 38. 如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 39. 如图，是等边三角形，延长至点，延长至点，使，连结，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 40. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 41. 如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点是的中点，，，求的长． 42. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． （1）当是的中点时，求的度数． （2）当是边上的任意一点时，求证：． 43. 如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案． 方案1 方案2 根据上述材料，回答下列问题： （1）分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________； （2）请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形 1. 下面垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 3. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 利用三角形的三边关系定理进行分析即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 4. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 4或8 D. 6或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系， 根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，再结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】解：等腰三角形的两条边长分别是2和4， 若三边长为2，2，4；因为，所以不符合题意； 若三边为2，4，4；根据三角形三边关系，符合题意， 则等腰三角形的周长为． 故选：B． 5. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：中，，，点为斜边上的中点， ； 故选：C 6. 如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形任何两边的和大于第三边 C. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定方法，角平分线的性质，作出判断即可． 【详解】解：A．对顶角相等，正确，是真命题； B．三角形任何两边的和大于第三边，正确，是真命题； C．两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故不正确，是假命题； D．角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题； 故选C． 8. 如图，与相交于点E，已知，则添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合，，根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，不能判定，故A选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故B选项不符合题意； 当添加时，由“”可判定，故C选项不符合题意； 当添加时，由“”可判定，故D选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图，在中，外角，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，点在上，，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质．由题意可得，根据全等三角形的性质可得和 的值，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， ， 故选：A． 11. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 12. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形是全等三角形． B. 三个内角之比为3:4:5三角形是直角三角形． C. 平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离． D. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质进行判断即可． 【详解】A：对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误不符合题意； B：设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°， 则三个内角分别为：45°、60°、75°， ∴三个内角之比为3:4:5的三角形不是直角三角形，本选项错误不符合题意； C：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误不符合题意； D：角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确符合题意； 故选：D． 13. 如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 14. 下列尺规作图中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握4种基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线）．利用基本作图，逐一判断推导，从而得到只有选项C可以得到． 【详解】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意； B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意； C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意； D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意． 故选：C． 15. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，用证明三角形的全等，由作一个角等于已知角可得出，，，即可得出进而可得出答案． 【详解】解：由已知条件可得出，，， ∴， ∴， 即， 即说明的依据是． 故选：A． 16. 如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 17. 如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 连接，过点作于点H，过点作于点M，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，利用等积法求得，在中，求出，设，则，，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，连接，过点作于点H，过点作于点M， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵ ∴ 解得 在中， 设，则， 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：B． 18. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部C处与E处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用勾股定理先求出，再得出，进一步计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：A． 19. “同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是_____________________________. 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【详解】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补． 详解： 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为两直线平行，同旁内角互补． 点睛：考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 20. 某直角三角形两条直角边分别是，，则斜边长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的两条直角边分别是，和勾股定理，可以计算出斜边的长． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别是，， 斜边长为：， 故答案为：． 21. 在中，斜边上的中线，则斜边的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：． 22. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 23. 已知，以为圆心，任意长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，以为腰作等腰三角形，且点在射线上，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据作图可知平分，进而得到，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵以为腰作等腰三角形，且点在射线上， ∴，分两种情况进行讨论： ①当时，则：； ②当时，则：， ∴； 故答案为：或． 24. 如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是_____．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 25. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和垂直平分线的性质，首先利用勾股定理求得的长度，再利用垂直平分线的性质得出，最后在中利用勾股定理解得的长度． 【详解】解：连接， 利用勾股定理可得， 是的垂直平分线， ； 设，则，； 在中，利用勾股定理可得：， 即，解得， 所以的长度为． 故答案为： 26. 已知的周长为16，，当的值为_____时，是等腰三角形． 【答案】4 或 5 或 6 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：的边，周长为16， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，符合三角形的三边关系， 所以为6或5或4． 故答案为：4 或 5 或 6． 27. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故答案为：或． 28. 如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由的中垂线交于点，可得再利用的周长为22，列方程解方程可得答案． 【详解】解： 的中垂线交于点， ，的周长为22， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 29. 如图，在中，，，，为角平分线，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵为角平分线， ∴ 在中，，， ∴， ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 30. 已知，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，牢记相关性质是解题关键，先证明是等边三角形，得出，作，分当垂足在延长线上或当垂足在上时，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 作，垂足为E，当垂足在延长线上时，如下图： ，， ， ， ， ； 当垂足在上时，如下图： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为， 故答案为：． 31. 如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 证明： 【答案】条件：①②④，结论：③；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的含义，全等三角形的判定与性质，先写出①②④为条件，③为结论；再根据条件证明，从而可得结论． 【详解】解：条件：①②④，结论：③ 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 32. 如图，是由边长为 1 的正方形构成的 的网格图， 的顶点都在格点上． （1）判断是否为等腰三角形_____．（填是或否），并直接写出的面积为_____； （2）命题 “腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明； 若是真命题，请进行证明． 【答案】（1）是； （2）“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，图见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理以及全等三角形的判定． （1）根据勾股定理可判断是否为等腰三角形；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）根据等腰三角形的定义、全等三角形的判定方法判定方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等腰三角形； 的面积． 故答案为：是；； 【小问2详解】 解：“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，如图， ， ∴和是等腰三角形，且腰长相等，但与不全等． 33. 下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． （1）如图1，作，使与关于直线对称． （2）如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，作轴对称图形， 对于（1），作点B关于直线的对称点P，连接，则即为所求作； 对于（2），将点E，D分别绕点F顺时针旋转得到点Q，R，连接，则即所求作． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作． 34. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【小问1详解】 证明： ∵， ， ∴， 在和中 ； 【小问2详解】 解：， ∴； 35. 如图，于点，为上一点，连结，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 36. 如图，，点在上． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）根据即可证明； （2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出． 【小问1详解】 证明： 【小问2详解】 解：平分 ， 37. 如图，点D，E分别AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）65° 【解析】 【分析】（1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证； （2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 38. 如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）先由得，再推出，进而可由证明； （2）连结，先由已知推出，，再由勾股定理得，，设，在中由勾股定理得，解方程即可得长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：连结， ∵，， ∴，，， ∴在中由勾股定理得，， ∴为等腰直角三角形，令， ∴在中由勾股定理得，即， 解得，即． 39. 如图，是等边三角形，延长至点，延长至点，使，连结，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解： 是等边三角形， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ． 40. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）． 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝35°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠E＝25°； （2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）． 设∠B=n°，∠ACB=m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2=∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°， ∵∠B=n°，∠ACB=m°， ∴∠CAB=（180-n-m）°， ∴∠BAD=（180-n-m）°， ∴∠3=∠B+∠1=n°+（180-n-m）°=90°+n°-m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE=90°， ∴∠E=90°-（90°+n°-m°）=（m-n）°=（∠ACB-∠B）． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解题关键． 41. 如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点是的中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理证得，，进而可得，最后依据等腰三角形的判定，即可得证； （2）过点作于点，根据点是的中点，可得，在中，根据勾股定理可得，进而证得，最后根据是等腰三角形，，即可求的长． 【小问1详解】 证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：过点作于点， ， 点是的中点，， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形，， ． 42. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． （1）当是的中点时，求的度数． （2）当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 43. 如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案． 方案1 方案2 根据上述材料，回答下列问题： （1）分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________； （2）请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）方案1：首先求出，然后根据长方形面积公式求解；方案2：首先得到，是等腰直角三角形，勾股定理求出，得到，进而求解即可； （2）首先画出图形，设，然后根据列方程求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 方案1：如图，由题意可知， ∴， ∴； 方案2：如图，由题意可知， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 方案如下： 设， ∵ ∴， ∴在长方形中，，， 由得，， 解得， ∴， ∴长方形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $