任务强化练28-30 圆锥曲线的综合问题-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练28圆锥曲线的综合问题一最值与范围问题 【基础保分练】 【能力提分练】 1.(2021·全国乙卷)已知抛物线C:y2=2px 3.已知点R(0,一2)，Q(0,2),双曲线C上除顶 (p>O)的焦点F到准线的距离为2. 点外任一点M(x,y)满足直线RM与QM的 (1)求C的方程； 斜率之积为4. (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满 (1)求C的方程； 足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值， (2)若直线1过C上的一点P,且与C的渐近 线相交于A,B两点，点A,B分别位于第一、 第二象限，A卫=2P克，求A户·P的最小值. 2.(2023·四川绵阳模拟)定义：由椭圆的两个 焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该 椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三 4.(2023·辽宁大连模拟)已知抛物线C:x2= 角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭 2py的焦点为F,抛物线上一点A(m,2)(m> 圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的 0)到F的距离为3 相似比已列精圆G:等+苦-1，韬圆G与 (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点B(2,0)且斜率为k的直线L与抛 C是“相似椭圆”，已知椭圆C2的短半轴长 物线C交于不同的两点M,N,若BM=λBN, 为b. (1)写出椭圆C2的方程（用b表示）： 入∈(，4)，求斜率的取值范围. (2)若椭圆C2的焦点在x轴上，且C2上存在 两点M,N关于直线y=2x十1对称，求实数b 的取值范围 -57 任务强化练29圆锥曲线的综合问题一定点与定值问题 【基础保分练】 【能力提分练】 1.(2023·宁夏石嘴山模拟)已知F是抛物线C: 3.（2023·河北邢台模拟)已知A1,A2为椭圆C: y2=2px(p>0)的焦点，点M(xo,4)在抛物线 父十兰-1的左、右顶点，直线x=与C交于 上，且MF=号. A,B两点，直线AA和直线A2B交于点P. (1)求抛物线C的标准方程； (1)求点P的轨迹方程； (2)若A,B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥ (2)直线l与点P的轨迹交于M,N两点，直 OB,O为坐标原点，求证：直线AB过定点， 线NA1的斜率与直线MA2的斜率之比为 一子求证：以MN为直径的圆一定过C的左 顶点。 《2023·湖北恩施模拟)已知双曲线C:二一兰 (a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x一y=0为双 4.(2023·河北石家庄二中模拟)已知双曲线C: 曲线C的一条渐近线。 云-茶-1a>0,6>0)的焦距为25，且过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过 A(2√2，一1)，直线1与曲线C右支相切（切点 点T(2,O)的直线l交双曲线C于点M,N(点 不为右顶点)，且1分别交双曲线C的两条渐 M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1,直 近线于M,N两点，O为坐标原点 线NB的斜率为，求证：冬为定值 (1)求双曲线C的方程； (2)求证：△MON的面积为定值，并求出该 定值 -58 任务强化练30圆锥曲线的综合问题一证明与探索性问题 【基础保分练】 【能力提分练】 1.(2023·四川资阳模拟)已知抛物线C:x2= 3.(2023·广东深圳模拟)已知抛物线C:y2= 2py(p>0)的焦准距为2，过C上一动点 2px(p>0)的准线上一点E(-1,t),直线l过 P(xo,yo)(xo≠0)作斜率为1，k2的两条直线 抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于不同 分别交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A, 的两点A,B. B三点互不相同)，且满足k2十λk1=0(入≠0， (1)求抛物线C的方程； λ≠一1). (2)设直线EA,EF,EB的斜率分别为k1,k2, (1)求抛物线C的方程； k3,求证：k1十k3=2k2. (2)设直线AB上一点M,满足BM=λMA,求 证：线段PM的中点在y轴上 4.(2023·重庆渝西九校联考)直线l过点P(0, b)且与抛物线y=2px(p>0)交于A,B(A,B 之已知椭圆C普+ 都在x轴同侧)两点，过A,B作x轴的垂线， b2 =1(a>b>0)的两个焦点 垂足分别为C,D 与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且 (1)若b>0,AC+|BD|=p,求证：l的斜率 椭圆C的短轴长为2√3. 为定值 (1)求椭圆C的标准方程 (2)若Q(0,一b),设△QAB的面积为S1,梯形 (2)是否存在过点P(0,2)的直线1与椭圆C ACDB的面积为S2,是否存在正整数λ，使 相交于不同的两点M,N,且满足O立·O 3S1=λS2成立？若存在，求入的值；若不存 2(O为坐标原点)？若存在，求出直线1的方 在，请说明理由。 程；若不存在，请说明理由. -59即6=3a,可得2-a2=3a,即c=4d,e==2. 16.ABD解析：对于A,易知l:x=一1，故1与⊙A相切，A正 确；对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线 时，P(4,4),.|PA|=4,|PQ|=√PA-7=√42-1 =√15，故B正确：对于C,当|PB=2时，P(1,2),B(一1， 2)或P(1,-2),B(-1,-2),易知PA与AB不垂直，故C 错误；对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F (1,0),由抛物线定义可知|PF|=PB|,|PA=|PB引， |PA=|PF|,点P在线段AF的中垂线上，易求得线段 AF中叠钱的方程为)y=子十吕即x=一吕代入= 4x可得y2一16y十30=0，解得y=8士√34，易知满足条件 的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 17.号解析：由AB=10及双曲线的对称性得AF,=AB =5,.1AF1|=13,∴.2a=AF|-|AF2|=13-5=8,2c 1F1F2|=√TAF2-AF27=√/132-5=12，∴a=4,c= 6,则C的离心率：=台-号-是 18.8解析：直线PF的斜率为W3,.∠PFx=∠MPF=60°， 由抛物线定义，得|PF|=|PM,△FPM为等边三角形， 设l交x轴于点A,则|MF=2AF=8. 19.[号，1解析：由椭圆的定义可得PR+P,=2a,又 |Pp=2PFPR=号，PE=号，在椭圆中， PF-PF≤2c,∴号≤2c,即e=≥行.又2a>2c, ∴e=台<1，心该椭圆高心率的取值范围是[弓，1) 20,2(满足1<≤5皆可)解析：C若- =1(a>0,b>0), C的渐远线方程为y=士会，结合渐近线的特点，只高 0名<2，中答<4，可满足条件“直线y=2z与C无公共 点ie-台-+号<1-5.xo1K w5. 任务强化练28圆锥曲线的综合问题 一最值与范围问题 1.解：(1)由题意，得=2. ∴.抛物线C的方程为y2=2px=4x. (2)由(1)知F(1,0).设P(,M),Q(x2,)(2>0). P2=9Oi,即(x2-2一y)=9(1一x2,一2)， :-%=90二) =101, x2-0=9(1-x2), 9十x x2= 10, 0=业=1o=y 229十五9+五 10 要求k0Q的最大值，则令h>0,得为=√4， 2 21 a-年号g十石293 x -75 当且仅当√石=9，即=9时，等号成立 √ 放直线0Q斜率的最大值为了 2解：(1)由椭圆G与G是相似椭圆，得号=告=2， 稀圆G的方程为流+芳=1取茶+言=1 (②由题设知，满圆G为品+芳-1， 设Mm,y),Nm2),M,N的中点为E,lN:0=一立x+m 1 ∴.联立Lw与椭圆C2的方程，整理得 3.x2-4m.x+4(m2-b)=0, “4A>0,即>号且西十=智 _4m=2xE, 由(，）在直线y=2x+1,得m=一是， 3 ∴.b> 2 :6的取值范周为(9+) 3解：0题意得.2=4脚= x 整理得兰-2=1， 4 C的方程为-t1 (2)由(1)可知，曲线C的渐近线方程为y=士2x, 设点P(x0%),A(,21),B(2,-2x2),>0,x2<0, 由A市=2PB,得(x一，为-2x)=2(x一，一2x2一%)， 整理得=西十2巫，为=2西4越，① 3 3 把①代人安-店=1，整理得石=一号.② A泸=(-4%-2)=（仁2g+22,-4-4红）， 3 3 i=--2m-为)-（写2，一24,2） ∴A市.P市=号10+10+12w). 由西=一号得五=一品 9 则a市.市-日a+106+12s)=日×[10(-2)广'+ 10d-12x号]≥日×(10×2×g-)=1, 当且仅当=-3平时，等号成立， 4 A市.P的最小值是1. 4.解：(1)由题意知，2十多=3，解得力=2， 2 .抛物线C的方程为x2=4y. 将点A(m,2)(m>0)代入x2=4y,得m=2√2， 点A的坐标为(2√2,2). (2)直线1：y=k(x一2)与抛物线C:x2=4y联立， 消去y,得x2-4kx十8k=0, △=16k2-32k>0,解得k<0或k>2. 设M,M),N(2,),则有十2=4k,=8k,B应= (x1-2,M),Bd=(x2-2,), 则1=2，即入=4.又后=4，号=4如， y2 =-()∈（是4， “∈(-2，-2)u(22 =2k, T1X2 =会++2=1 ∴设=受，则2k=叶号+2 e(-2,-)u(分2， 则+2c(-号，-2]u[2）, e(-0]u[2,) ,k<0或k>2, ∴k的取值范围是(-子，0)U(2,): 任务强化练29圆锥曲线的综合问题 定点与定值问题 上①解：由题位得1F=十号=，解得石=2a 点M(x0,4)在抛物线C上， .42=2=4p2,解得p=4. 又p>0,.p=2,即抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)证明：设A(y),B(x2,2). :OA1OB,.Oi·Oi=0,即G12十h2=0. :点A,B在抛物线C上，∴听=43呢=42， 代人得)+=0， 16 为2≠0，h2=-16. 直线AB的方程为x=my十，联立{2。，的 y2一4my一4n=0,则My2=一4n,.n=4, ∴.直线AB的方程为x=my十4，过定点(4,0). 2.解：(1)虚轴长为4，∴.2b=4,即b=2. ·直线2x一y=0为双曲线C的一条渐近线， 六治=2，解得a=, 故双曲线C的标准方程为2-兰=1， 4 (2)由题意知，A(一1,0)，B(1,0),直线1的斜率不能为0，故 可设直线l的方程为x=ny十2，M(,h),N(x2,), 联立 2-￥=·得4d-1)+16my412=0, x=ny十2， 16m 12 六1十为=一4n1h%=4m1 wy=-（0+y, “直线MA的斜率k,= 西十1’ 直线NB的斜率k2=为 3一1 y :点=西十1-%十1)=y必十业 k:22(nM十3)ny2+32 x2-1 子（+为)+ 3(m+)+3% 子，为定值 3.(1)解：由题意，得A1(一1,0)，A2(1,0), 设A(0,%),B(x0,-%)(%≠0)，P(x,y), 则kA=AM,kA=kA, 即y 即广1=+1'x-10-1'得 又点A%在C上，即后1=普得兰=3， y 一点P的轨迹方程为x一 3=10y≠0). (2)证明：=-号，设直线NA的方程为x=-3my 1(m≠0)，则直线MA2的方程为x=y十1， x=-3my-1, x-号-1， 联立 得(27m2-1)y2+18my=0(27m2-1≠0 且△>0). 54m2 -18m 设N(2Nw),则N-27与-1，=27m1! 同理设Mau,w).则w=n+1w=3妈 -6m -6m kat.6m+2(3m-1)-3m, yN 一180=一3m 1 kM-xN十154m kM·kM=-1,即MA⊥NA, ∴.以MN为直径的圆一定过C的左顶点 4.(1)解：设双曲线C的焦距为2c(c>0), 2c=25, 由题意可得 2=d+6,解得好=1， 1a2=4, 81 a2存=1， 双曲线C的方程为一Y=1. (2)证明：由于直线1与双曲线C右支相切（切点不为右顶 点)，则直线L的斜率存在。 设直线的方程为y=k虹十，则苦-寸=， (y=kx+m, 消y得(42-1)x2+8kmx+4m2+4=0, △=64km2-4(4k2-1)(4m2+4)=0→4k2=m2+1.① 设1与x轴交于一点D,则IOD=一爱， SAoN=SAMcO+SAN =2 OD I M 21-, 双曲线两条新近线方程为y=士， 联动-宁，得M(》 y=kx十m, 联立言得N叶）， y=kx十m, 则5w=20.1·226+2=20.1· =号·爱··=2（定值. 76 任务强化练30圆锥曲线的综合问题 —证明与探索性问题 1.（1)解：.抛物线的焦准距=2， 抛物线C的方程为x2=4y (2)证明：直线PA的方程为y一%=k(x一x), 由%1（红一)解得=锁一， x2=4y, 同理可求得x2=4k2一x0. .k2+λk1=0(≠0，A≠一1)，k2=一入k1, ∴.x2=-4λk1-x0. Bi=λMA,即(xM-2,yM-h)=λ（一xM,M一M)= (λx1一λxM,入y一入yM）, ∴.xM一x2=AI一入xM w=酒十2=4地-二4施一五=入-1 1+λ 1十λ 1+x0=-0, .+xM=0,即线段PM的中点在y轴上 2b=2√3， 2.解：(1)由题意，得a=2c, |a=2, 解得 (b=3, a2=+c2, 六满圆C的标准方程是号+ =1 (2)当直线1的斜率不存在时，M(0W3),N(0,一3)， OM·O不=一3，不符合题意，应舍去 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx十2，M(x1, y),N(x2,2). 由号+等得3+2+16十4=0， （y=kx十2， 则4=(16yP-163+4银)>0，解得K-或>分， 16k 4 西十=3十级西=3+4坡' ∴Oi.ON=西2十4为=(1十)西2十2k(十)十4= 3+3平级十4-16二12 4(1+k2)32k2 3十4k· .OM.ON=2, 16-12k 3+4k =2,解得&=土9，满足4>0， 故存在符合题意的直线，其方程为)一士受x十2 31解：由题意知，号-1p=2, ∴.抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明：直线1过抛物线C的焦点F(1,0),由题意知，直线 l的斜率不为0，.设l的方程为x=my十1， 设A(h),B(x),联立y十 消去x,得y=4my十4，即y2-4my-4=0, .△=16m+16>0,y十2=4m,h2=-4, k十=当二t+2二t x1+1x2+1 =十1)(y-0+(十1)(2-D (x1+1)(x2+1) =2十12一t(x十)+（十必）-24 (x+1)(x2+1) -2m2十(2-tm)(y十当)-4t m2hy2+2m(yh+2)+4 =-8mn+(2-tm)×4m-4t=-4tm2-4虹 -4m2+8m2+4 4m2+4 =-tX4m+4 、4m2+4 一t. 0-t E(-1,0,F1,0)k=1=号h=-台， .k1十k3=2k2. 4.(1)证明：由题意，设直线l的方程是y=kx十b(k>0), A(1,y),B(x2). :lAC+|BD|=p,h十2=p. 由二g得划-2py十20=0n十%=碧=p, y=2px, ∴.=2，即1的斜率为定值2， (2)解：由(1)得△=4p-8pb>0,即0<b<7A, ·点Q到直线1的距离d=2b1 √1+e 且|AB=√1+|x-2, ∴S=号ABd=b1|a-a, S,=号(IAC+BDI)ICDI =号n+%l函-%=房1西-， 罩-4-必总 0<h安00<安 假设存在正整数X,使35=XS,成立，则0<号<2， 0<是， .存在正整数λ=1，使3S=λS2成立， 任务强化练31函数的图象与性质 1.0解析：f(x)是奇函数，f(-x)+f(x)=0即x3十a十 (-x)3十a=0,故a=0. 2.C解析：对于f(x+1)=lnx2,令t=x十1，则x=t-1, ∴f(t)=ln(t-1)2=2lnt-1|,.f(x)=2lnx-1. x-2,x≥10， 3.B解析：fx=+6》,10,f5)=ff11》= f(9)=f(f(15)=f(13)=11. 4,C解析：令g(x)=f(x十2)，：g(x)=f(x十2)为奇函数， ∴.g(0)=f(2)=0. 5A解折：“函数-)-孟=，长R, “函数f()=品为偶函数，困象关于y轴对称，∴排除D, 又f(2)=1,排除B,C 6D解析：f(x)=-x,则f(-x)=-(-x)3=x2=-f(x), .f(x)为奇函数.又y=x3在（一∞，十∞）上单调递增，则 f(x)=一x3在(-o∞，十∞)上单调递减. 7.C解析：当x∈[0，十∞)时，f(x)=x一1是增函数， 又f(x)为偶函数，'.可以作出f(x)的图 y本 象如图所示. 由图象知，当f(x)>0时，f(x)>f(1)或 f(x)>f(一1)，根据奇偶性和单调性可 0 知f(x)>0的取值范围为{xx<一1或 -、1 1 x>1}. 6 8.B解析：f(-x) e中z+i,故f(-x)+f)= x 。+4g年+4-6放-202+202)-6 77-