任务强化练24 统计、统计案例与概率的综合-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练24统计 【基础保分练】 1.某项目组对某种农产品的质量情况进行持续 跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合 格，且质量指标分值如下：38,70,50,43,48， 53,49,57,60,69.经计算知上述样本质量指 标平均数为53.7，标准差为9.9.生产合同中 规定：所有农产品优质品的占比不得低于 15%(已知质量指标在63分以上的产品为优 质品) (1)从这10件农产品中有放回地连续取两次， 记两次取出优质品的件数为X,求X的分布 列和数学期望； (2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质 量指标服从正态分布N(μ，o2),其中4近似为 样本质量指标平均数，σ2近似为方差，那么这 种农产品是否满足生产合同的要求？请说明 理由. 附：若X~N(u,o),则P(u-2o<X<u十2o)= 0.9545,P(μ-o<X<+o)=0.6827. 统计案例与概率的综合 2.(2023·湖北荆州模拟)某电器企业统计了近 10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告 费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对 数据做出如下处理：令u;=lnx,v:=lny:,得 到相关数据如下表所示： 空auai 24 w ud 30.5 15 15 46.5 个年利润额/千万元 10 8 4 2 年广告费用/十万元 024681012141618202224262830 (1)从①y=bx+a;②y=m·x(m>0,k> 0);③y=cx2十dx十e三个函数中选择一个作 为年广告费用x和年利润额y的回归类型， 判断哪个类型符合，不必说明理由； (2)根据(1)中选择的回归类型，求出y与x 的回归方程； (3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至 少投入多少广告费用？（结果保留到万元） 参考数据：80≈3.6788,3.6788≈49.787. 49 【能力提分练】 3.(2023·河北石家庄模拟)某中药企业计划种 植A,B两种药材，通过大量考察研究得到如 下统计数据.药材A的亩产量约为300千克， 其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格 如下表： 年份 20182019202020212022 年份编号x 1 2 3 4 5 单价y/(元/千克) 18 20 23 25 29 药材B的收购价格始终为20元/千克，其亩 产量的频率分布直方图如下： 小频率 组距 0.0200 0.0175------- 0.0125 0.0100 0.0050 0350370390410430450产量/千克 (1)若药材A的单价y(单位：元/千克)与年份 编号x间具有线性相关关系，请求出y关于x 的回归直线方程，并估计2023年药材A的 单价； (2)利用上述频率分布直方图估计药材B的 平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）； (3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大， 试判断2023年该药企应当种植药材A还是 药材B?并说明理由， 参考公式：回归直线方程y=bx十a,其中 全x,一nxy a=y-b元. -50 4.(2022·山东济宁模拟)为研究某种疫苗A的 效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如 下数据： 未感染 感染 合计 病毒B 病毒B 接种疫苗A 40 10 50 未接种疫苗A 20 30 50 合计 60 40 100 (1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分 析疫苗A是否有效； (2)现从接种疫苗A的50名志愿者中按分层 随机抽样方法（各层按比例分配）取出10人， 再从这10人中随机抽取3人，求这3人中感 染病毒B的人数X的分布列和数学期望， n(ad-bc)2 参考公式：X2=(a+b)(c十d)(a+十c)(b+d)' 其中n=a+b十c+d.参考数据：P(x≥ 10.828)=0.001.B(6,号)D0=6x号×3-手 18.1解析：设A,B两项技术指标达标的概率分别为p,p2,由题 [h(1-)+p(1-A)=2' 意，得 解得了 p= 1-1-A1-)= 1 p=2 =寻，即一个零件经过检测为合格品的概率为子，依题 意知XB(4,是)，…EX0=4X4=1 任务强化练23概率、离散型随机变量的分布列 1解：4)甲连胜四场的概率为（号）”-。 (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场 比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为。乙连胜四场的概率为后 丙上场后连胜三场的概率为8， 需要进行第五场比赛的概率为1一品一店-日-是。 (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为日； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按 照丙的胜、负、轮空结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负 空胜胜，概率分别为6,8,8· 故丙最终获胜的概率为号十。十号十日一 17 2.解：(1)两球颜色相同分为都是红球或白球， 其概率为P一得+得-品 (2)依题意，X的可能取值为2,3,4,5， P(x=3)=cC.g=2 C PX-0-晋·8+8-， P(X=5)= ·8+晋·8 C C 分布列为 2 3 4 5 P 4 15 1 15 :期望E0=2×品+3×号+4×告+5×号- 3.解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X为40或50， P(X=40)=(1-0.1)×0.5×0.5=0.225, P(X=50)=0.1×0.5×0.5+0.1×0.5=0.025+0.05= 0.075, .P=P(X=40)+P(X=50)=0.225+0.075=0.3. (2)Y的可能取值为0,20,30,40,50. P(Y=0)=0.8×0.6×0.6=0.288, P(Y=20)=0.8X0.4×0.6+0.8×0.6×0.4=0.384, P(Y=30)=0.2X0.6×0.6=0.072, P(Y=40)=0.8X0.4×0.4=0.128, P(Y=50)=0.2×0.6×0.4+0.2×0.4=0.128. 7 Y的分布列为 Y 0 20 30 40 50 P 0.288 0.384 0.072 0.128 0.128 则E(Y)=21.36. (3)乙通过测试的概率为P=P(Y=40)+P(Y=50)=0.128+ 0.128=0.256,甲通过测试的概率为0.3. .0.256<0.3, .甲通过测试的概率更大 4.解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取 值为300，一150，则X的分布列为 X 300 -150 P 1 9 ÷B(X)=300×号+(-150)X号 =200(万元). 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，X2的所有可能取值为 500,一300,0，则X2的分布列为 X2 500 -300 0 P 3 CEX)=500X3+(-300)X3+0X=200万元D, D(X)=(300-200)2×?+(-150-2002×8 35000, D(X)=(50-20)2×号+(-30-20)2×号+(0 20)2×号=1400. .E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上，建议该投资公司选择项目一投资. 任务强化练24统计、统计案例与概率的综合 1.解：(1)质量指标分值在63分以上的产品为优质品，∴.优质 品有2件. 由题意，X可取0,1,2，则 PX-0-g8-碧 PX-D-- P(X=2)=CC-2' C2C21 X的分布列为 X 0 2 心 6 25 25 2 数学期塑E00=0×碧+1×是+2×云-号. 12 (2)这种农产品满足生产合同的要求.理由如下： 记这种产品的质量指标分值为X,由题意可知，X~N(53.7, 9.92),则P(43.8<X<63.6)=P(4-o<X<4十o)= 0.6827. :P(X63)≥P(X63.6)=1-0,6827=0.15865>0.15, 有足够的理由认为这种农产品满足生产合同的要求。 2.解：(1)由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型 并不是直线型的，而是曲线型的， ∴.选择回归类型y=m·x更好. (2)对y=m·x两边取对数，得lny=klnx+lnm, 即v=ku十lnm. 由表中数据得，k=含-10z0_30.5-10X1.5X15-1 2-10 46.5-10×1.5×1.53 ×1.5=1, 1nm=元-ka=1.5-3 ∴.m=e, .年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=ex3. (3)由(2)知y=ex3,令y=ex3>10,得x青>10 解得x言>3.6788， .x>3.67883≈49.787 .x≈49.8（十万元）=498（万元）， .下一年应至少投入498万元广告费用. 3.解：1)z=1+2+3+4+5=3,5=18+20+23+25+29=23, 5 5 则6=%nz Zxi-nz 1×18+2×20+3×23十4×25+5×29-5X3X23=2.7, i= 12+22+32+42+52-5×32 ∴.a=y-b元=23-2.7X3=14.9, .回归直线方程为y=2.7x十14.9， 当x=6时，y=31.1, 从而2023年药材A的单价预计为31.1元/千克. (2)由频率分布直方图知，组距为20，自左向右各组的频率依 次为 0.1,0.2,0.35,0.25,0.1, 从而B药材的平均亩产量为360×0.1十380×0.2十400× 0.35+420×0.25+440×0.1=401(千克). (3)预计2023年药材A每亩产值为300×31.1=9330（元）， 药材B每亩产值为20×401=8020（元），8020<9330， ∴药材A的每亩产值更高，应该种植药材A. 4.解：(1)零假设为H:是否接种疫苗A与感染病毒B无关，即 疫苗A无效. 根据列联表可得7=100X40X3020X10》=0≈ 60×40×50×50 3 16.667>10.828. 当假设H。成立时，P(X≥10.828)=0.001， ∴根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H不成 立，即疫苗A有效，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)从接种疫苗A的50名志愿者中按分层随机抽样方法取出 10人，其中未感染病毒B的人数为10×9-8，感染病毒B的 人数为10X品=2 则X的所有可能取值为0,1,2. rX=1D=恶=7· C10 pX=》-瓷= 15 ,X的分布列为 X 0 2 1 15 5 故随机变量X的数学期望为E(X)=0×品+1X号+2× 品是 任务强化练25直线方程 1.D解析：由题得5X212=4,解得=-3或k=子。 √/52+(-12)z 2.A解析：由平行线间的距离公式可知，41与2间的距离为 |2-0_2W5 W√22+125 3.A解析：当a=0时，l2:x=2,此时1与l2不垂直，不符合题 意：当a≠0时，6Lk心号：(-日）=-1pa=号 4.C解析：由工二二0得“交点坐标为1,1.又直 x+y=2,（y=1, 线平行于向量=(3,2)，所求直线方程为y-1=号（红 1),即2x-3y+1=0. 5A解析：由题意知e一c,即背-写吕，即a-2a 1)=0,解得a=0或a=1士√2. 6.A解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斛率 0-1,“直线的斜率长=品=1.又直线1经过PQ的 中点(2,3)，.直线l的方程为y一3=x一2，即x-y十1=0. 7.B解析：m+2m-1=0,∴.m+2n=1.,mx十3y十n=0, 6mu十0+3y=0,当x=号时，mx十n=合m+n=合， 3y=y一言故直线过定点（合吉） 8.B解析：易知直线y=(x十1)过定点A(-1,0),设B(0, 一1)，则当线段AB与直线y=(x十1)垂直时，距离最大，为 |AB=√/(0+1)2+(-1-0)2=√2. 9.x一60叶6=0或x一6y-6=0解析：设直线1的方程为名+ 名=1，则合1山1=3，且-名=日解得份61或 （份16：直线1的方程为若+之-1或兰6+兰=1，即 1b=1, x-6y+6=0或x-6y-6=0. 01或=9解析：两平行线同的距离为d号 25,解得C=-9或C=11. 11.[0,10]解析：由题意得，点P到直线的距离为 4×4-3×a-1_115-3al.15=3a≤3，即115-3a≤ 5 5 15,解得0≤a10. 12.x=一3或7x十24y一75=0解析：(1)当直线l的斜率不存 在时，原点到直线1：x=一3的距离等于3，满足题意； (2)当直线1的斜率存在时，设直线L的方程为y一4=k(x十 3),即kx一y+3k十4=0.原，点到直线1的距离d= 36+4=3,解得=一员，…小直线1的方程为7红+ √2+(-1)严 24y一75=0.综上，直线1的方程为x=一3或7x十24y 75=0. 13.C解析：由题意知，当sin0=0时，直线l的斜率不存在，其 1 倾斜角a=受；当si血0≠0时，直线l的斜率k=sm)∈ (-,-1U[1,+∞)，倾斜角a∈[年，)U(受， ]综上[，] 2