任务强化练12 正弦定理、余弦定理的简单应用-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练12正弦定 【基础保分练】 1.(2022·江苏南京模拟)在△ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,若ccos B=a,则这 个三角形的形状为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C,锐角三角形 D.等腰或直角三角形 2.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若 ∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A,C两点之间 的距离为( ) A.√6km B.√2km C.√3km D.2 km 3.在△ABC中，已知∠A=60°，2a-2c=b,那么 =( ) A. B号 c居 4.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA= 6sinB,则c=() A.W35 B.√31 C.6 D.5 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 Q,b,c若A=牙，b=4,△ABC的面积为33， 则sinB=() A.239 13 B.V39 13 C5② D.33 13 13 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b=26,cos A--1,sin B=2sin C, 则b=() A.1 B.2 C.3 D.4 -2 理、余弦定理的简单应用 7.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若a=2√2，b=√2，则角B可以 是() A.15° B.30° C.45° D.75° 8.(2023·重庆模拟)旅游区的玻璃栈道、玻璃 桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险 刺激的体验备受追捧.某景区顺应趋势，为扩 大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰 间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的 高度都是300m,从点B测得点M的仰角 ∠ABM=F,点V的仰角∠CBN=否以及 cos∠MBN=?,则两座山蜂之间的距离 MN=( A.300m B.300√2m C.600m D.600√2m 9.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航 行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度 是每小时 海里， 10.若a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边. 已知a2+bc=6+2,则cosA= 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是 a6c,且6=3，a-c=2,A=,则△ABC 的面积为 12.台风中心从A地以每小时20km的速度向东 北方向移动，离台风中心30km内的地区为危 险区，城市B在A的正东40km处，B城市处 于危险区内的持续时间为 h 【能力提分练】 13.(2023·海南海口模拟)在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2c,若 3sinC=2sinB,则cosA的值为() A.3 B D.- 14.(2023·山东聊城模拟)已知△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,C= 45°，accos B=b2+bccos A,则△ABC的面 积为() A司 B.1 C.2 D.4 15.（多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π，则下 列结论正确的是( ) A.cos C=3 3 B.sinB=② 3 C.a=3 D.SAABC=√2 16.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王 之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济 市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传 说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复 建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不 计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿 直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角 为45°，若BC=2AC,则楼高AB约为() 45 30>D A.65米B.74米 C.83米 D.92米 2 17.在△ABC中，若sinC=(W3cosA十sinA)· cosB,则() A.B-3 B.2b=a+c C.△ABC是直角三角形 D.a2=b2十c2或2B=A十C 18.(2023·辽宁丹东模拟)△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,那么当a= 时， 满足条件“b=2,A=30°”的△ABC有两个 (仅写出一个a的具体数值即可). 19.(2023·山东日照模拟)在△ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,且 sinA,sinB,sinC成等比数列，则cosA= 20.如图，现欲测量某博物馆正门柱楼顶部一点 P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)，若 从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别 为30°，45°，且∠ABO=60°，AB=602米， 则OP= 米 4一cos(2z+吾)，所以函数g()的值域为[-33]： 令2x≤2x十百≤x十2x:A∈Z解得一适十m≤≤登+ kπ，k∈Z, 令x+2r<2x+晋<2x+2x,∈Z.解得登+x≤< +kπ，k∈Z, 所以函数g()的单调递减区间为[一吾+x,登+如]， k∈Z, 单调递增区间为[臣+ka,+x],k∈乙 任务强化练12正弦定理、余弦定理的简单应用 1.A解析：“co0sB=4,由余孩定理可得c.a十=a, 2ac 即a2+c2-=2a2,.c2=a2十，.该三角形的形状为直角 三角形. 2.A解析：如图，在△ABC中，由已知可得 ∠Ac8=456=5aC 2 2w2×5-6(km. B660°754 3.B解析：根据余弦定理，得cos60°= 2+2824=之，化简得3x- 2(2a-2c)c 10ac+7c2=0,则(3a-7c)(a-c)=0. 又4=>0，有0>六治=号. 4.B解析：，'sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b.又a十2b 8,.a=6,b=1.C=60°，.c2=a2+-2 abcos C=62+12 2×6×1×号=31，解得c=V31. 5.A解析：S=-besin A-=3c=3W3,c=3.由余孩定理可得 a2=十c2-2 bccos A=l3,得a=√13.又由正弦定理可得 sin A-sin B''.sin B-bsin A239 a 13 6.D解析：：sinB=2sinC,.b=2c.在△ABC中，由余弦定理 可得8sA+4=-}→+24=-音，解得 2bc 4c2 c2=4.c>0,.c=2,故b=4. 7.AB解析：在△ABC中，由余孩定理，得cSB=心+之-&- 2ac 若渠+≥2√装-9当收 2X22c 42c 4c 8 当是-，即-6时，学号成立B长[9)，脚 0°<B30°，.A,B正确，C,D错误， 8.C解析：由题意可知AB=AM=CN=300,BM= √AB2+AM=300√2，BN=2CN=600.由余弦定理，得 MN=√Bf+BNe-2 BMX BNcos,∠MBN=6O0. 9.10解析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75° .∠CAD=∠CDA=15°，从而CD= CA=10. 在Rt△ABC中，得AB=5,于是这艘船D B 的速度是-10（涛里/时）. 10.4解析：a2+7bc=8+2,且a2=+2-2 ccosA, 1 ".cos A=14' -5 11.155解析：由余弦定理得ad2=8+C-2 bA,b=3, 4 Q-c=2,A-2牙，…(e+2)2=32+2-2X3c×(-司)，解得 3 c=5,则△ABC的面积为S=2 bcsin A=号×3X5× W5155 2 4 12.1解析：设th时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得 (20t)2+402-2×20t×40×cos45°=302，化简，得42 8W2+7=0,i十=2W2,4=4, 7 从而ih-t2|=√(41+2)2-42-1(h). 13.D解析：：3sinC=2sinB,由正弦定理可得3c=2b,.b= 36又a=2os4F+e-4（)+C-(2a2 2bc 2x号×0 14.B解析：已知accos B=b十bccos A,由余弦定理得ac· 。心+-8=十c.+C,解得G=26,故b=2, 2ac 26c ∴S=合sinC=合×2X2×号=1，∴△ABC的面积 为1. 15,AD解析：A十3C=,B=2C根据正弦定里品B= sC得2/3sinC=3X2 2sin CoosC又simC≠0，cosC= 停故A运确易知血C-9血B=血C=-2如GmC 2,故B错误，由余弦定理2=d十B-2 aosC,化简手 d-4a十3=0，解得a=3或a=l若a=3,则A=C-平，故B= 受，不满足题意，故a=l,C错误.S6c=名inC=号×1X 23×9-E,放D正瑰 16.B解析：设AC的高度为x,则由已知可得AB=3x,BC= AB BE-2x,BD-tan ADB-33DE-BD-BE-33x- 2x=79,解得x= 79≈24.7，楼高AB≈3X24.7= 3W3-2 74.1≈74（米）. 17.D解析：，C-=π-(A+B),.sinC=sin(A+B),代入sinC 3cos A++sin A)cos B,sin(A++B)=(3cos A+sin A)cos B, 化简可得，cos Asin B=√3 cos Acos B.① ,0<A<π，分两种情况讨论. (1)当cosA≠0时，①化为sinB=√3cosB,则tanB=√3. :0<B<,∴B=音，则A+C=元-B=经=2B (2)当cosA=0时，A=受，则a2=+2. 综上可得，a2=2+2或2B=A十C. 181.5(1,2)内任一数)解析：由正孩定理得A-品B sinB=sinA-.若满足条件的△ABC有两个，则二< a a a 1且a<b=2,∴.1<a<2. 19.-?解析：由smA,s血B,s血C成等比教列，得mB= sinA·sinC,.b=ac.文a=2c,.a:b:c=2:√2：1， “osA=+-a-W2)2+1-2=-2 2bc 2√2 4 20.30W2解析：设旗杆的高度为h米，由题意，知∠OAP=30°， Z0BP=45.在R△4OP中，0A==3A在 Rt△BOP中，OB=h.在△ABO中，由余弦定理，得AOP BA+OB一2BA·OBcos60°，代入数据计算得到h=30√2， .旗杆的高度OP为30√2米. 任务强化练13解三角形 1.(1)证明：设BC边上的高为AD,则AD=bsin C, ,∴.a=bsin C, 由正弦定理得sinA=sin Bsin C. (2)解：由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos45°=b2+c2一√2bc. :2csn45=aa,d-竖。 号x=8+2,即+口=2， “若+名-9 2 2.解：(l)由正弦定理得√3 sin Asin B-sin Bcos A=sinB, 又sinB≠0，∴W3sinA-cosA=1, 号A-osA=7即sm(A-吾）= A∈0，A-吾∈(-吾)， 小A否-否，即A=子， (2)由余弦定理得a2=6十c2-2 bccos A,即4=+c2-bc. .4=b+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4， 当且仅当b=c时，等号成立， s=2 tein A≤号×4xg-5, ∴.△ABC面积的最大值为√3 3.解：(l),(sinB-sinC)2=sin2A-sin Bsin C, .'sin2 B-sin2C-sin2A=sin Bsin C, .由正弦定理得十c2-a2=bc, 曲余弦定理得cA十立-会-司 A∈(0，，A=ξ. (2由三角形面积公式得Sc=2h=号×10y7。-5y。 7a, Sc-snA-号X5cX血音-55c。. 4c,即a=2红。 9a-5 4c, 由余弦定理得a2=25十c2-5c, 将a=c代人上式得c2+16c一80=0， 解得c=4或-20（舍去）， ∴.c=4. 4解：ID由eos(B+O=专，可得Bs C--如Bin C=子 又由os(B-O=是，可得BesC叶如Bsin C=是， 联立方程组，解得sin Bsin C=-子，BosC-号， 1 .tan Btan C=sin Bsin C1 cos Acos C2. -6 (2):cos(B+O=cs(x-A)=-osA=子， ∴.c0sA=- .1 4 A∈(0，x), smA=1-os万-√1-()-5 41 :三角形的外接圆的直径为2R=品A是 西=4， 4 “△ABC的面积为S=号ciA=号×2 Rsin BX2 Rsin CX 如A=含×4X4X}×④=四 2 5.解：(1)若选①，由正弦定理可得/2sinC--sin Asin C+-sin Ccos A. ,0<C<π，.sinC≠0， ∴W2=sinA+cosA=2sim(A+年)→sin(A+T)-1, 而0<A<,于是A=平. 若选②，由题意，得sin(π-A)=√2-cosA→sinA十cosA= VE,则/2sin(A+)=2→sim(A+）=1, 而0<A<,于是A=交. 若选③，由题意，得V2sinA=2 sin Acos A. 0<A<π， ∴mA0,则0sA-号>A-系 (②由题意，知S=6ainA=号c×号-6>c=4厄， ∴cosA=9+32-a2-2 2X3X4W2=2→a=V17. 6.解：(1)由正弦定理有√3 sin Asin C=sin Ccos A十sinC, 5sinA-cosA=1,2sin(A-晋）=1. 又0<A<元，A=吾 (2)如图，由于a=√7b,则sinB=sin4 得>加心=(o受）》， ..cos B=-5 √7 可知血C-mA+)-停×2十名×得得 设A8-3则异-盟急-号…8-=6 又Ad=号ABBD==b, 又CD=√/a2+b-2 abcos∠DBC=/13b, ∴.sin∠ADC-asin∠DBC_√39 √13b 26 7解：①由已知得会=1+儡合 在△ABC中，由正弦定理，得密吕-1+钿合 tan B* 化简得2 sin Ccos A=sin(A+B). ,'A+B=π-C,∴.sin(A+B)=sinC, 'cos A=2.