专题02 期末复习计算专练10大题型140题（举一反三期末专项训练）八年级数学上学期北师大版2024

专题02 期末复习计算专练10大题型140题 【北师大版2024】 【题型1 利用平方根、立方根解方程】 1 【题型2 实数的混合运算】 2 【题型3 算术平方根与立方根的综合应用】 3 【题型4 程序设计与实数的运算】 4 【题型5 新定义下的实数运算】 7 【题型6 二次根式的混合运算】 9 【题型7 二次根式的化简求值】 11 【题型8 解二/三元一次方程组】 13 【题型9 已知二元一次方程组的解求参数】 15 【题型10 二元一次方程组同解问题】 17 【题型1 利用平方根、立方根解方程】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）求下列各式中的x． (1) (2) 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x值： (1) (2) 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 6．（25-26八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 10．已知，，求式子的值． 【题型2 实数的混合运算】 1．计算下列各题， (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算：． 4．（25-26七年级下·吉林通化·期末）计算： 5．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 6．（25-26七年级下·新疆哈密·期末）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 9．（25-26七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 12．（25-26八年级上·全国·期中）计算： ； 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2) 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【题型3 算术平方根与立方根的综合应用】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 5．（25-26七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的值． 7．（25-26七年级上·山东·期末）的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求x，y的值； (2)求y的平方根． 8．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 10．（25-26八年级上·江西吉安·月考）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【题型4 程序设计与实数的运算】 1．（25-26七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 3．（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图所示的是一个数值转换器． (1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________． (2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 6．（18-19七年级下·江苏南通·期末）如图所示为一个计算程序； （1）若输入的x＝3，则输出的结果为　 　； （2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有　 　； （3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 8．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 9．（25-26七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【题型5 新定义下的实数运算】 1．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当，时，求的值． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______；______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)结合律在有理数的加法和乘法运算中成立，请你判断结合律在*（加乘）运算中是否成立？并举一个例子验证． 4．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 7．（17-18七年级上·江苏南通·月考）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）用“”，“”定义一种新的运算：对于任意有理数，都有和，例如：，． (1)求； (2)求的值． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 10．（25-26七年级上·湖南永州·月考），试计算 (1)， (2) 【题型6 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2) 2．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江西·期末）计算： (1) (2)． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 5．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 7．（25-26八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 8．（25-26八年级下·四川广安·期末）计算： (1) (2)． 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1) (2) 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）计算 (1)； (2) 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2)． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）计算： 13．（25-26八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2) 14．（25-26八年级下·山东德州·期末）计算下列各： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·福建莆田·期末）计算： (1)； (2)． 16．（25-26八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 18．（25-26八年级下·山东东营·期末）计算： (1)； (2)． 19．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1)； (2)． 20．（25-26八年级下·河南商丘·期末）计算： (1) (2) 【题型7 二次根式的化简求值】 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）（1）化简：； （2）已知，，求代数式的值． 4．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，试求代数式的值． 5．先化简、再求值．，其中，． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 9．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 10．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 12．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中. 14．（25-26八年级下·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 15．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 16．（25-26八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 17．先化简，再求值：，其中，． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．化简求值：已知，求的值． 20．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，求的值． 【题型8 解二/三元一次方程组】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）解方程组： (1)； (2) 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）解下列方程组 (1) (2) 7．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期末）解方程组： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）解方程组： (1)； (2)． 13．解方程组： (1)； (2)． 14．解方程组： (1) (2) 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程组： (1)； (2) 16．（25-26八年级上·重庆·期中）解方程组： (1) (2) 17．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 18．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程组 (1) (2) 19．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： (1)； (2)解方程． 20．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组： (1)； (2) 【题型9 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，求m的值． 4．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知是关于的二元一次方程组的解．求的值． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 7．已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 9．关于x，y的方程组的解满足，， (1)求的值． (2)化简 10．关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求的值． 11．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解的和是2，求的值． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 13．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 15．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 【题型10 二元一次方程组同解问题】 1．已知方程组与的解相同，求的值． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 3．若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 4．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 5．已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 6．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 8．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 9．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习计算专练10大题型140题 【北师大版2024】 【题型1 利用平方根、立方根解方程】 1 【题型2 实数的混合运算】 7 【题型3 算术平方根与立方根的综合应用】 13 【题型4 程序设计与实数的运算】 19 【题型5 新定义下的实数运算】 27 【题型6 二次根式的混合运算】 33 【题型7 二次根式的化简求值】 45 【题型8 解二/三元一次方程组】 55 【题型9 已知二元一次方程组的解求参数】 72 【题型10 二元一次方程组同解问题】 82 【题型1 利用平方根、立方根解方程】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）， ， 解得． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得； （2）解： ， ， 则， 解得． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根和平方根，熟知立方根和平方根的定义是解答的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ， ∴ 5．（25-26八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 6．（25-26八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或 ， 解得：或； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根和立方根，会利用平方根和立方根的定义解方程是解答的关键，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ， 解得：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握立方根，平方根的定义是解题的关键； （1）等式两边同除以，可得，再利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 或； （2）解：， ， ， ． 10．已知，，求式子的值． 【答案】27或7 【分析】本题考查了立方根解方程，平方根解方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别运用立方根，平方根的性质算出或，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴， 当，时，的值为27； 当，时，的值为7． 【题型2 实数的混合运算】 1．计算下列各题， (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟知算术平方根和立方根的概念和性质以及运算顺序是解题的关键． （1）依次化简计算、、、，然后根据运算顺序计算即可； （2）依次化简计算、、，然后找相反数计算和，即可获解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：立方根，绝对值的化简，熟练掌握定义是解本题的关键． （1）先计算立方根，化简绝对值，再算加减法； （2）先计算算术平方根，再算加减法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 4．（25-26七年级下·吉林通化·期末）计算： 【答案】 【分析】题目主要考查求一个数的算术平方根及立方根，熟练掌握求解方法是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式． 5．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据有理数的乘方、算术平方根的定义、绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算．掌握相应的运算法则、定义、性质及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级下·新疆哈密·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； 利用绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，正确计算是解题的关键． 分别计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，绝对值，立方根，乘方运算，再合并即可. 【详解】解： . 9．（25-26七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键． （1）先算术平方根，立方根，再加减即可； （2）先算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则及绝对值的性质是解答此题的关键．先分别根据乘方的计算法则、数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 【详解】解：原式 ． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1） ； （2） ． 12．（25-26八年级上·全国·期中）计算： ； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先开方，化简绝对值，再算加减即可； 【详解】解：原式； 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义化简即可得到结果； （2）利用绝对值，二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3 算术平方根与立方根的综合应用】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键．根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，进而代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的立方根是． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 5．（25-26七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，无理数估算； （1）由立方根、算术平方根的定义得，即可求解； （2）由得，代入即可求解； 会求立方根、算术平方根无理数估算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ， 由（1）知，， ， 的值为． 7．（25-26七年级上·山东·期末）的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求x，y的值； (2)求y的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，求平方根等知识，掌握这三个定义是解题的关键． （1）由算术平方根为4，可求得x的值；再由立方根为3即可求得y的值； （2）由（1）中所求及平方根即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； ∵的立方根是3， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴． 8．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 9．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 10．（25-26八年级上·江西吉安·月考）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 【题型4 程序设计与实数的运算】 1．（25-26七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 3．（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】(1) (2)36 (3)0或1 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值； （3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图所示的是一个数值转换器． (1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________． (2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【答案】(1)；25 (2)他输入的x值是0或者1 【分析】(1)把x=9代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，把x=25代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，从而可以得到输入的x的值． (2)根据题意可知，他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，找出符合条件的数即可求解． 【详解】（1）①当输入的x的值为9时， 所以输出的y值为, 故答案为： ②当输入的x的值为25时， 所以经过两次取算术平方根运算，输出的y值为； 所以输入的x值为25； 故答案为：25 （2）存在输入非负整数x后，始终输不出y的值，当x=0或者1时，始终输不出y的值； 所以他输入的x值是0或者1 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 6．（18-19七年级下·江苏南通·期末）如图所示为一个计算程序； （1）若输入的x＝3，则输出的结果为　 　； （2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有　 　； （3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围． 【答案】（1）31；（2）3个；（3）＜x≤． 【分析】（1）根据计算程序代入可解答； （2）逆着运算顺序，输出的结果是40，列3x+1=40依次计算可解答； （3）由经过2次运算结果不大于30及经过3次运算结果大于30，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论. 【详解】解：（1）当x＝3时，3x+1＝3×3+1＝10＜30， 当x＝10时，3x+1＝3×10+1＝31， 故答案为31； （2）当3x+1＝40时，x＝13， 3x+1＝13，x＝4， 3x+1＝4，x＝1， 则满足条件的x的不同值最多有3个，分别是13，4，1， 故答案为3个； （3）依题意，得：， 解得：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键. 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 8．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 9．（25-26七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 【题型5 新定义下的实数运算】 1．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当，时，求的值． 【答案】(1)61 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算、代数式求值、新定义运算等知识点，正确理解题目所给新定义是解题的关键． （1）根据题目所给定义求解即可； （2）先求出和的值，然后运用题目所给定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：当，时，， ． ． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查找规律与分式乘法运算，运用归纳推理思想，通过观察运算规律得出表达式，利用分式约分技巧简化连乘运算，解题关键是归纳的通式并发现交叉约分规律，易错点是忽略规律或约分不彻底．解题思路：先归纳\的表达式，再将各展开后通过交叉约分计算连乘结果． 【详解】（1）解：观察已知的运算可归纳出规律： 故答案为； （2）解：∵；；；；； ∴ 故答案为：； （3）解：由，可得： 故答案为：． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：______；______；______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)结合律在有理数的加法和乘法运算中成立，请你判断结合律在*（加乘）运算中是否成立？并举一个例子验证． 【答案】(1) (2) (3)不成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算， 对于（1），根据新定义：两个数进行新运算同号得正，异号得负，并把绝对值相加，正数加乘0等于本身，负数加乘0等于相反数，再计算； 对于（2），仿照新定义根据有理数的运算法则计算即可； 对于（3），根据结合新定义，并举例确定结论. 【详解】（1）解：；；； 故答案为：； （2）解：； （3）解：不成立，理由如下： ；. 所以不成立. 4．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查定义新运算，将新定义的运算转化为四则混合运算； （1）根据定义的运算规则直接代入数值进行计算； （2）需要先计算括号内的运算，再计算括号外的运算. 【详解】（1）解：∵， ∴. （2）解：先计算， 再计算， ∴. 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算． （1）代入计算即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数相应的运算法则进行求解即可； （2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数相应的运算法则进行求解即可． 本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（17-18七年级上·江苏南通·月考）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查新定义下的计算，有理数的加减，绝对值，理解新定义下的计算是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ， ∴． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）用“”，“”定义一种新的运算：对于任意有理数，都有和，例如：，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算；解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． （）根据题干信息列出算式进行计算即可； （）根据题干信息列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： . （2） ． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，根据新定义运算的法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26七年级上·湖南永州·月考），试计算 (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算规则下的计算，理解新的运算规则是解题的关键． （1）根据，表示出，计算后即可解题； （2）先根据完成小括号里面的计算，再第二次进行新定义运算即可完成此题． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型6 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和加减运算，将二次根式化为“最简二次根式”是解题关键． （1）先通过二次根式乘法法则化简，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·江西·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算、算术平方根、立方根等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用算术平方根、立方根化简，然后再计算即可； （2）根据绝对值以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、平方差公式、完全平方公式、乘方运算等知识点，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质以及乘方运算法则化简，然后再按照二次根式的混合运算法则化简即可； （2）先用完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26八年级下·四川广安·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算平方差公式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则． （1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，然后合并同类二次根式解题即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握二次根式和整式的运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据整式的乘法运算法则计算，去小括号，再根据整式的除法运算法则计算，去中括号，后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ； 解： ． 13．（25-26八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可； 先算算术平方根和完全平方，再去括号算加减． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ， 14．（25-26八年级下·山东德州·期末）计算下列各： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．（25-26八年级下·福建莆田·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： 16．（25-26八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式进行运算再计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解： （2） 18．（25-26八年级下·山东东营·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，进而去括号合并即可得到答案； （2）利用乘法公式分别化简，进而合并即可得到答案． 【详解】（1）解：原式，     ， ． （2）解：原式，    ， ． 19．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键掌握二次根式相关的运算法则． （1）先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可； （2）先展开，再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26八年级下·河南商丘·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先化简各项，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【题型7 二次根式的化简求值】 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）（1）化简：； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴ 4．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，试求代数式的值． 【答案】（1），；（2）42 【分析】（1）先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解． （2）先利用x、y的值计算出，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用整体代入的方法可简化计算． 5．先化简、再求值．，其中，． 【答案】； 【分析】根据二次根式混合运算的法则化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 9．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 10．（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则和对分子进行因式分解． 先对分子进行因式分解，再约分，合并即可化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 12．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】本题考查了分式、二次根式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 把代入： ． 14．（25-26八年级下·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简二次根式，再去括号后计算加减法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 16．（25-26八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简． （1）仿照题中给出的方法计算即可； （2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值是解题的关键． 先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除、加减运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把、的值代入计算． 【详解】解： 原式 当，时，原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值,熟练运算二次根式是解题关键． 19．化简求值：已知，求的值． 【答案】； 【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再代入a,b即可求解． 【详解】 = = = = ∵ ∴原式= = =． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 20．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求得，易得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 【题型8 解二/三元一次方程组】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有：代入消元法和加减消元法，灵活选用二元一次方程组的解法并正确计算是解题的关键． （1）直接用加减消元法求解即可； （2）先将第二个方程化为整数系数方程，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）方程组整理得， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是： 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 4．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）求出，再将代入求出即可； （2）求出，再将代入求出即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴； （2）， 整理得， 得， 解得， 将代入得 解得 ∴ 5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组． （1）把方程①代入②，消去m，求出n，再把n代入①，求出m即可； （2）方程①加②，消去y，求出x，再把x的值代入②，求出y即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 7．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①，得③， ②③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是； （2）解：原式整理，得， ④③，得， 解得， 把代入③，得， 解得， 所以原方程组的解是． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴； （2）解：， 把代入②，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， ∴． 9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法为解题关键． （1）利用加减消元法求解方程组的解即可； （2）利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， 整理得， 得：， 解得：， 将代入①得， 方程组的解为． 10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），可消去未知数，求出未知数的值，再把的值代入其中一个方程求出的值即可； （2）把方程组化简得，，可消去未知数，求出未知数的值，再把的值代入其中一个方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为； （2）解：把方程组化简得， ②①，得， 解得， 把代入②，得， 故原方程组的解为． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． （1）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，三元一次方程组，掌握消元法是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）先消去转换为二元一次方程组，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 把代入③得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 13．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法和换元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）先设，，求出m，n，再利用m，n的值建立二元一次方程组，再求解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③， 将③代入①得：， 解得： 将代入③得：， 所以原方程组的解为； （2）解：设，，则 原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：； ， 两式相加得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为． 14．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法、整体消元法解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法、整体消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）把代入，求出的值并代入，得出的值，即可得出方程组的解； （2）把整体代入，求出的值并代入，求出的值，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 把②代入①得：， 移项、合并同类项得：， 把代入②得：， 移项、合并同类项得：， ∴方程组的解为：． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和灵活运用代入消元法与加减消元法是解题的关键． （1）观察方程组，方程①已给出关于的表达式，将其代入方程②消去，求解一元一次方程即可得到的值，再回代求出； （2）先将方程①去分母整理，然后利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得， ， 将代入①，得 所以原方程组的解是； （2）解：①，得③ ③+②，得： 将代入②，得 所以原方程组的解是． 16．（25-26八年级上·重庆·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）直接使用加减消元法求解； （2）先化简方程，消去分母，得到整式方程组，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解： ②×3得： ①-③得：，解得 将代入②得：，解得 ∴方程组的解为 （2）解： 化简①：左边，所以 两边同乘6得：，即， 整理得 化简②：两边同乘30得：，即， 整理得， 两边同乘得 解方程组 ③×2得： ④+⑤得：，解得 将代入③得：，解得 ∴方程组的解为 17．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【分析】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，用到的知识点是消元法解方程组，关键是根据方程组的特点运用加减法进行消元． （1）先把，再利用加减消元法即可解答； （2）先用得，再用得，解得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 得：， 得：， ∴ 把分别代入得 解得 ∴方程组的解为 18．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用加减消元法消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解． （1）将第一个方程乘2，与第二个方程相加消去，求出后代入求； （2）先整理方程组为标准形式，再通过两方程相减消去，求出后代入求． 【详解】（1）解： ①得： ③ ③②得：，解得 将代入①得：，解得． ∴方程组的解为． （2）解：整理方程组得 ①②得：， 将代入①得： ，． ∴方程组的解为． 19．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： (1)； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题的关键是根据方程组的特点选择合适的消元方法（代入消元或加减消元）． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由②式，移项可得③， 把③代入①式中，得到． 解得， 把代入③式，得． 所以，方程组解为； （2）解： ①＋②：， 去括号得， 合并同类项后，解得． ①＋③：， 去括号得， 合并同类项后④， 把代入④式，即，解得． 把代入①式，即，解得． 所以，方程组的解为． 20．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）将方程组中的第二个方程变形为，代入第一个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入可得的值，由此即可得； （2）先将方程组变形为，再将第二个方程的两边同乘以，与第一个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可变形为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【题型9 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把x与y的值代入方程组得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． 【详解】解：把代入方程组， 可得， 解得：． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入 ，得 ， 解得 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．先利用加减消元法解方程组，得方程组的解，代入方程求解可得m值． 【详解】解： 得，解得 将代入①中，得，解得 ∴方程组的解为， ∵此解也是二元一次方程的解， ∴，即 ∴． 4．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知是关于的二元一次方程组的解．求的值． 【答案】35 【分析】​本题考查了二元一次方程组的解的概念及解法，理解方程组的解是解题的关键．先​将已知解代入原方程组，得到关于参数 a 和 b 的方程组，求出 a 和 b 的值，再代入求值即可． 【详解】解： 是方程组的解， ， 解得： ． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题关键． （1）将代入方程组，解得、，将其代入方程组即可求解； （2）若方程的解与无关，可得，求出的值，从而得到这个固定解． 【详解】（1）解： 根据题意，得：， 将其代入方程组①中，解得：， ， 将，代入方程组②中，得：， 解得：． （2）解：方程的解与无关， ， ，解得：， ∴这个固定解为． 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 7．已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【答案】(1) (2)不唯一， 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，得到，用含的式子表示出的值，代入计算即可． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解是一对相反数， ∴， 解得，． 9．关于x，y的方程组的解满足，， (1)求的值． (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将，，代入方程组解答即可， （2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：； （2）把代入得 原式 . 10．关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程、二元一次方程（组）的解，解答的关键是理解方程（组）的解得含义，能将二元一次方程（组）的解转化为关于k的一元一次方程的解． 先将方程组的解用k表示，根据方程的解的定义得到关于k的方程，解之即可． 【详解】解：由方程组得：， ∵ 此方程组的解也是方程的解 ∴， 解得：． 11．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解的和是2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握求解二元一次方程组的方法是解答本题的关键．先利用加减消元法解方程组，得，根据解得，再代回求出x，y的值． 【详解】解：②①，得③ ①②，得④ ③④，得． ， ，解得． 将代入③，得，解得． 将代入④，得，解得． ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组求出，，然后代入，再解关于p的一元一次方程即可． 【详解】解： ，得， ． ，得， ． ， ， 解得． 13．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 14．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 15．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解． （1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可； （3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可． 【详解】（1）解：， 由得，， ， ， 解得． （2）解：由题意，得， ， 解得，， ， 当取不同实数时，的值不变，都为． （3）解：由（2）得，， 当时，， ， 当时，， 此时，，为非自然数， ，的自然数解是． 【题型10 二元一次方程组同解问题】 1．已知方程组与的解相同，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可 【详解】解：∵方程组与的解相同 ∴ 解得： 将代入得 解得： ∴. 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 3．若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解， ∴的解即为两个方程组的公共解， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 4．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 5．已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组问题： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意可得，解方程得到，进而得到，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵上述方程组的解也是方程组的解， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入求值． 【详解】（1）解：由题意，得， ，得， ∴， 把代入①得， ∴， 它们的相同解为； （2）解：将代入，得， 解得． ， ． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题及代数式求值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）因为两个方程及方程组有相同解，所以先联立不含的方程与，解方程组求相同解． （2）将（1）中求得的解代入含的方程，求出，再代入计算 ． 【详解】（1）解：联立方程 方程的两边同乘得 ① 方程的两边同乘得 ② 得： 把代入得： ∴相同的解为； （2）解：把代入得： ∴． 8．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 9．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（方程组相同解问题），代数式求值等知识点，熟练掌握方程组相同解问题是解题的关键：利用同解方程组确定字母取值的方法：先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值． （1）将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，解之，即可求出这两个方程组的解； （2）把这两个方程组的解代入含字母、的两个方程并联立，解之，即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】（1）解：关于x，y的方程组与的解相同， 由题意得， 解得：， 这两个方程组的解为； （2）解：把代入，得： ， 解得：， ． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $