专题03 期末复习压轴题33个考点（举一反三期末专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题03 期末复习压轴题33个考点（九年级全册） 【苏科版】 【选填压轴篇】 3 【考点1 利用一元二次方程求取值范围】 3 【考点2 利用一元二次方程解决几何问题】 6 【考点3 利用二次函数的性质比较大小】 10 【考点4 利用二次函数的性质求最值】 13 【考点5 利用二次函数的性质求字母取值范围】 17 【考点6 二次函数的交点问题】 20 【考点7 利用圆的性质求角度】 24 【考点8 利用圆的性质求线段长度】 29 【考点9 正多边形与圆的综合】 35 【考点10 弧长与阴影部分的面积问题】 42 【考点11 判断组成相似三角形的点的个数】 48 【考点12 利用相似三角形的判定应性质求线段长度】 53 【考点13 利用相似三角形的判定应性质求最值】 59 【考点14 利用相似三角形的判定应性质求面积】 65 【考点15 网格中的锐角三角函数】 72 【考点16 与函数有关的多结论问题】 77 【考点17 与几何图形有关的多结论问题】 82 【解答压轴篇】 91 【考点18 由一元二次方程的解求参数】 91 【考点19 根的判别式与根与系数的关系的综合】 97 【考点20 一元二次方程的应用】 102 【考点21 二次函数中的定值问题】 108 【考点22 二次函数中的最值问题】 119 【考点23 二次函数中的存在性问题】 128 【考点24 二次函数的应用】 140 【考点25 圆与三角形的综合】 151 【考点26 圆与四边形的综合】 162 【考点27 圆与平面直角坐标系的综合】 173 【考点28 证明某直线是圆的切线】 183 【考点29 求不规则图形的面积】 191 【考点30 相似相关动点问题】 200 【考点31 相似相关折叠问题】 214 【考点32 相似三角形的实际应用】 227 【考点33 无刻度尺规作图】 236 【选填压轴篇】 【考点1 利用一元二次方程求取值范围】 【例1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先得出关于的方程有两个不相等的实数根，且，利用一元二次方程根的判别式可得，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义； 分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，可得，求出和，再根据确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可． 【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； ②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时， ∴或， 解不等式组得该不等式组无解； 解不等式组得：， 综上，m的取值范围为：或， 故选：D． 【变式1-2】设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据跟与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，，即， 方程的较大根的范围为． 故选：C． 【变式1-3】已知二次函数，若，，若，是方程的两个实根，则的范围是 ． 【答案】或. 【分析】先求出的取值范围，再根据根与系数的关系即可求得，则可得，得到关于的二次函数，又由得，根据其增减性即可求得答案． 【详解】解：由题意可得： =， 即， 从而， ∵、是方程的两个实根， ，， 那么 = = =， 此式是关于的二次函数，对称轴为：， 当时， ∴， ∴的取值范围是， ∴的取值范围是或. 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质、含有字母系数的一元二次方程的解法，注意根与系数的关系的应用． 【考点2 利用一元二次方程解决几何问题】 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ，，， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：B． 【变式2-1】如图，有一张矩形纸片，，，点为边上一动点（不与点重合），沿折叠该纸片使点的对应点为，再沿经过点的直线对折（点在边上），若点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一直线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得，，设，则，可证是等腰三角形，即，用含的式子分别表示出的长度，在中，根据勾股定理可求出的值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵沿折叠得，沿折叠得，且，，三点在同一直线上， ∴， ∴，，，，，， ∴，即是等腰三角形，则，且，， ∴在中，，，，由勾股定理得，， ∴，解得，，， ∵，当时，，不符合题意， ∴舍去， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，是外一点，在的垂直平分线上，若，，则 ． 【答案】 【分析】设，取的中点，连接，利用垂直平分线性质、勾股定理构建方程求解． 【详解】解：设，取的中点，连接，如图， ∵在的垂直平分线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， 变形为， 设，则原方程变形为：， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定和勾股定理的建模应用是解题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识．首先求出一元二次方程的解为或，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得或， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：D． 【考点3 利用二次函数的性质比较大小】 【例3】抛物线y＝x2-6x+n经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，且x1<x2<x3，|x1|＝|x3|，x2+x3＞6，则下列关于y1，y2，y3的大小关系的结论正确的是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1 【答案】A 【分析】直接将三个点的坐标代入抛物线方程，利用已有的条件对和的值进行符号判断即可求解． 【详解】将抛物线配成顶点式，得， 则可知抛物线的对称轴为直线x=3， 又∵， ∴，即，， ∵抛物线过A、B、C三点， 则有：， ①-③，结合，得， ∵， ∴，即， ③-②，得， ∵，， ∴， 综上有：， 故选：A． 【点睛】本题综合考查了抛物线的性质、解不等式、平方差公式进行因式分解等知识，对及的值用平方差公式进行因式分解是解答本题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江湖州·月考）三个关于x的方程：，，，已知常数，若，，分别是按上顺序对应三个方程的正根，则，，的大小顺序为 （用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化． 由得到顶点坐标是，抛物线与x轴的交点坐标是，，据此作出函数图象，结合函数图象作出判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数，，，它们的抛物线开口方向均向上，开口大小为：最小， 最大． ∴其函数图象大致为： 若，，分别是按上顺序对应三个方程的正根， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到，，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的符号由的符号决定， 当时，，当时，．故B选项错误， ∴． ∵（二次函数中），且， ∴．故C选项正确，D选项错误； 无法判断的符号；故A选项错误； 故选C． 【考点4 利用二次函数的性质求最值】 【例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于10，则满足条件的整数a共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当，函数的最大值与最小值的差为不大于10和二次函数的性质，可以得到关于的不等式，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线． 当时， ∴当时，二次函数的最小值为2， 当时，二次函数的最大值为． ∵函数的最大值与最小值的差不大于10， ∴，解得． ． 又∵为整数，或2． 当时， ∴当时，二次函数的最大值为2， 当时，二次函数的最小值为． ∵函数的最大值与最小值的差不大于10， ∴，解得． ． 又∵为整数，或． ∴满足条件的整数共有4个． 故答案为：4． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标 ； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与x轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与x轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线，再把代入得，从而有，求解即可得解． 【详解】解：（1）， ∴函数与x轴的交点为，， ∴函数必过点； 故答案为：； （2）∵函数与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得， ∴， 解得， ∵，即， ∴， ∴m的范围为． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式4-3】已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 【考点5 利用二次函数的性质求字母取值范围】 【例5】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为， ∴，且二次函数图象的开口向下， 把代入二次函数得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴，即二次函数顶点坐标为， ∵， ∴当时，，即， ∴方程的两根的关系为：， ∴， ∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为； 当时，是二次函数图象的顶点，即； ∵当时，总有， ∴或时，的最小值为； ∴的取值范围为：， 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时， ，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，掌握二次函数最值的计算是关键． 由二次函数开口向下及条件可知，顶点在点 处，故对称轴为，根据条件当 时，结合顶点坐标，推导出t必须小于2． 【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ， ∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ， ∵ 当 时 ，且函数开口向下， ∴ 在 时，， 设函数顶点式为 ， 则当时，， 即 ， ∵ 且（因）， ∴ 该不等式恒成立， ∴ ， 故 t 的取值范围为， 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则的取值范围为（） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质可知对称轴是直线，求出得抛物线开口向上，函数在处取得最小值，且距离对称轴越远，函数值越大，通过比较和时函数值的大小可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，进而可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，图象关于直线对称， 将点代入抛物线方程∶ 当时， ，即． 当时， ， 解得，即， ∴抛物线开口向上， ∴函数在处取得最小值，且距离对称轴越远，函数值越大， ∵， 即． ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵点到对称轴直线的距离为1， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-3】（2025·陕西汉中·二模）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键． 根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， 点，，在抛物线上，且， 当，则且，不存在； 当，则， 解得或 故选：C． 【考点6 二次函数的交点问题】 【例6】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 【变式6-1】我们约定：（a，b，c）为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 【答案】（1，0）、（3，0）、（0，3） 【分析】根据题意令，将关联数代入函数，则有，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的整交点坐标；令，可得，即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标（0，3）． 【详解】解：根据题意，令，将关联数代入函数，则有， ， ∴有两个实数根，且m≠3， 由求根公式可得， ∴，， ∵m为正整数， ∴当时符合题意，此时； 所以这个函数图象与x轴的整交点的坐标为（3，0），（1，0）； 令，可得，即得这个函数图象与y轴的整交点的坐标（0，3）． 综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（3，0）、（0，3）． 故答案为：（1，0）、（3，0）、（0，3）． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，理解“关联数”的定义是解答此题的关键． 【变式6-2】如果关于的方程有非负整数解，且关于的二次函数与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．6 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先解出分式方程，再根据非负整数解得出取值范围，再依据关于的二次函数与轴有交点，求出取值范围，最后求出的值，再求和即可． 【详解】 ∵关于的方程有非负整数解，是整数 ∴且 ∴，且,是整数 ∵关于的二次函数与轴有交点 ∴，且 ∴且 ∴取0，2， 4，5 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的解法和检验，二次函数与横轴的交点存在的判断条件，细心计算和全面考虑是解题的关键． 【变式6-3】对于二次函数，当时，函数图像与x轴有且只有一个交点，则以下不满足题意的a值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，可得．将 代入得y=0，x=0时，y=-1，可知该二次函数恒过点（0，-1）和（）．若a>0， 函数图象与x轴有且只有一个交点，由图象可知当x=1时，，可得a<1；若a<0，令y=0，则，解得，由图象可知，解得a>-2，可知 ，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设 ∴ ． 将 代入得y=0，x=0时，y=-1， ∴该二次函数恒过点（0，-1）和（）， ∴①若a>0， 若函数图象与x轴有且只有一个交点，如图1， ∴当x=1时， ∴a<1； ②若a<0，函数图象如图2所示， 令y=0，则， ∴ ∴， ∴a>-2， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据题意找到函数与坐标轴的交点坐标，并分情况画出图象是解题的关键． 【考点7 利用圆的性质求角度】 【例7】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（   ）． A．27 B．31 C．32 D．37 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 如图：设圆的圆心为O，连接，由圆周角定理可得，即，进而得到，则，由旋转的性质得，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：如图：设圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A、B、C在上，点为外一点，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角，勾股定理，直角三角形，三角形外角性质等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其各个知识体系的综合运用；由题得是直角三角形， ，则，根据，即可求解. 【详解】解：∵，点A、B、C在上， ∴； ∴是直角三角形， ∴ 如图， ∵ ∴ ∴选项中符合条件的为：A 故选：A. 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，折叠的性质，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键，设点关于的对称点为，连接，圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，进而求出的度数，三角形的外角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设点关于的对称点为，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故选C 【变式7-3】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，分两种情况：当点在劣弧上时，连接，则此时，当时，此时；当时，；当时，此时，此时点与点重合，不符合题意；当点在优弧上时，此时，再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， 如图，当点在劣弧上时，连接，则此时， ∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ， ∴， ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 当时，此时，此时点与点重合，不符合题意； 当点在优弧上时，此时， ， ∵为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在一种情况，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【考点8 利用圆的性质求线段长度】 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于 ， （）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得的半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明 ，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又 ， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式8-2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，，分别与圆O相切于点B，F，射线与的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接和，若，，则圆O的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键．连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，分别与圆O相切于点B、F，、是半径， ∴，，， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，直线与相切于点A，弦，E，F为圆上的两点，且，若的半径为，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】首先连接，并反向延长交于点H，连接，由直线与相切于点A，弦，可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，根据同弧或等弧所对圆周角相等和弧线、弦、圆心角的关系，可证得，继而求得答案． 【详解】解：连接，并反向延长交于点H，连接， ∵直线与相切于点A， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，垂径定理，弧线、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【考点9 正多边形与圆的综合】 【例9】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆与内切多边形，多边形的内角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先推导出是等边三角形，得到 ，求出，得到，可推导出，，同理可得：，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 【变式9-2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点．若，则的半径长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过作于，过作于，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】解：连接，过作于，过作于， ∴，     ∵是的切线，         ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故选：A． 【变式9-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A． B． C．点关于的对称点在上 D． 【答案】D 【分析】根据正八边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到点与点关于点对称，根据圆周角定理得到，都是的直径，求得，根据勾股定理得到，故可判断；在上截取，连接，则、，求得，得到，得到，于是得到，故可判断B；作于点，则，过作于并延长交，设，由 ，得到，求得，根据相似三角形的性质得到 ，推出点关于的对称点在上，故可判断C；根据矩形的面积公式得到,，于是得到，故可判断D． 【详解】解：解：正八边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点与点关于点对称， 为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心， 都是的直径， ， ， ， 故A正确，不符合题意； 在上截取，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 故B错误，符合题意； 作于点，则，过作于并延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于的对称点在上， 故C正确，不符合题意； ，则， ， 四边形是矩形， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点,解题的关键是掌握正多边形的性质． 【考点10 弧长与阴影部分的面积问题】 【例10】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式10-1】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，有，进而求得，再通过勾股定理求得，易证得是等边三角形，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点， ∴根据折叠的性质有：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解答本题的关键． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 【变式10-3】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，为矩形的中心，与相切于点，以为圆心、为直径的半圆交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，由垂径定理和矩形的性质可得，根据切线的性质可得四边形是矩形，得到，进而得到，即可得，再根据锐角三角函数可得，得到，，由求出弓形的面积，再根据即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∵与相切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴, 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，扇形的面积，锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点11 判断组成相似三角形的点的个数】 【例11】定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据题目中“自相似四边形”的定义，在网格中找到符合条件的点即可． 【详解】解：如图1，由，得，故为所求点； 如图2，由，得，故为所求点； 如图3，由，得，故为所求点； 如图4，由，得，故为所求点； 如图5，由，得，故为所求点； 符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图①，，时，． 如图②，，，则，故； 如图③，，，则，故△； 如图④，，，则△． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式11-2】如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是 个． 【答案】5 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性判定即可. 【详解】∵， ∴∠CFD=∠AFD=∠AFE=90°. ∵CD∥AB, ∴∠CDF=∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFE, ∴△CFD～△AFE； ∵∠ADF=∠EDA, ∠AFD=∠DAE, ∴△ADF～△EDA； ∵∠AEF=∠DEA, ∠AFD=∠DAE, ∴△DAE～△AFE； ∵∠DCF=∠DCA, ∠CFD=∠ADC, ∴△CDF～△CAD； ∵∠AEF=∠ABC, ∠EAF=∠BAC, ∴△AEF～△ACB； ∴△CFD～△AFE～△DFA～△DAE～△CDA～△ABC. 故答案为5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 【变式11-3】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，点不可能在轴上，如图， 所以这种情况不符合， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握上述知识点并能综合运用求解． 【考点12 利用相似三角形的判定应性质求线段长度】 【例12】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得相等边和角，证明，得出比例线段，可求出答案． 【详解】解：①如图所示，当点位于对角线上时， 由折叠的性质得，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点位于对角线上时， 设， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） 综上，的长度为4或， 故答案为：4或． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法和性质得到线段的数量关系是关键． 根据题意，连接，过点作于点，设，证明，，得到线段数量关系，由此列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，设， ∵点是中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为： ． 【变式12-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，点 ，分别是边，上的点，连接、，，点，分别是 ，的中点，连接 ，若 ，，，则 的长度为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】连接，并延长交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，证明，根据相似三角形的性质求出，再利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 又 ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 又∵点是的中点，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造三角形的中位线是解题关键． 【变式12-3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）直线，且与的距离为，与的距离为3，把一块含有角的直角三角形如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：分别过点、、作，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出及的长，在中根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定得出，故可得出的长，在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：别过点、、作，，， ∵是等腰直角三角形， ， ，，， ，， 在与中， ∴， ，， 与的距离为1，与的距离为3， ，， 在中， ，， ∴由勾股定理得， ，， ∴， ， 在中， ，， 所以． 故选：A． 【考点13 利用相似三角形的判定应性质求最值】 【例13】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题，明确问题中的不变元素，化折为直是解题关键． 由可证，进而可证，令为中点，可得，说明点的运动轨迹为在矩形内的半圆上，再根据“最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”求解即可． 【详解】解：如图，设中点为，连接． 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 则点的运动轨迹为以点为圆心，为半径，且在矩形中的半圆， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ． 故答案为：． 【变式13-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，中，，，于C，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，首先过点C作，使，连接、，利用勾股定理可求出，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点B、E、D三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点C作，使，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点B、E、D三点共线时有最大值，． 故选：A． 【变式13-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点是等腰的斜边的中点，，，连接，以为直角边，作等腰，其中，连接，求： （1）点到的最大距离为 ； （2）四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）作的中点H，连接，过点E作于点M，求出，，得到点O到的距离为，继而推导出，且，则当点E，O，H在同一直线上时，取得最大值为，即可解答． （2）通过证明，可得，当的面积有最大值时，的面积有最大值，即四边形面积有最大值，当点，点，点三点共线时，的面积有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）作的中点H，连接，过点E作于点M，如图 ∵点是的中点，点H是的中点， ∴，， ∴，即， ∴点O到的距离为， ∵，且， 即， ∴当点E，O，H在同一直线上时，取得最大值为． （2）如图，连接，过点作于， ，，， ，，， ， ，， ， ， ， 当的面积有最大值时，的面积有最大值，即四边形面积有最大值， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H是的中点， 是的中位线， ， ， 当点，点，点三点共线时，的面积有最大值， 的面积最大值， 的面积最大值为， 四边形面积的最大值， 故答案为：（1），（2）． 【变式13-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，点是的斜边上一点，且，，以为斜边作等腰，使在同侧，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】如图，过点作，使，连接，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到与的关系，则当取最小值时，最小；所以当，由于垂线段最短，此时最小，接着利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，使，连接， 则为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴当取最小值时，最小． ∴当时，此时最小． ∵， ∴， ， ， ， ∴的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 【考点14 利用相似三角形的判定应性质求面积】 【例14】（2025·天津·一模）如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得的长，延长和交于点G，证明，可得，，得，根据F是的中点，证明是的中位线，再证明，可得，根据，证明，可得，进而可以求出的面积． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 【变式14-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，我们可以认为物体所受重力的合力集中于该物体的某一点，这一点叫物体的重心．如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心G处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．如图，的中线，，相交于点G，三角形被三条中线分成六个小三角形，这六个小三角形（，，，，，）的面积相等.已知在中，中线，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质及三角形面积公式．先利用三角形中线性质和重心性质分析面积关系，再分析与、与的面积组成，紧接着利用中位线定理和相似三角形性质再计算四边形和的面积，最后根据计算S的值后继而求得的面积． 【详解】解：由题意知，设每个小三角形的面积为S， ∵是的中线， ∴， ∴，， 同理：是的中线， ∴， ∴，, 如图，连接， ∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，且相似比为， ∴， 此时， 又∵，且， ∴， ∵，，， ∴， 即，解得， ∴． 故答案为：16． 【变式14-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当 到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是（    ） A．一直减小 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数综合，由勾股定理可得，设边上的高为，由等面积法得出，证明，设，求得，，进而可得，表示出，再由二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设边上的高为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，阴影部分面积随着的增大而减小，当时，阴影部分面积随着的增大而增大， 故阴影部分面积的大小变化的情况是先减小后增大， 故选：C． 【变式14-3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形连结并延长，交于点，交于点连结，，若要求出的面积，只需知道（ ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，理解全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作于点，设，，，依题意得，，，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，再证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设，，， 依题意得：，，，，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 若要求出的面积，只需知道的面积即可． 故选：D． 【考点15 网格中的锐角三角函数】 【例15】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式15-1】如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则 ． 【答案】 【分析】在网格中找到格点M，证明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可． 【详解】解：如图：连接格点MA，由图可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足为N，连接BM， ，，，， ∵， ∴， ∴MN=， ∴MN=AM， ∴∠ACM=， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB，并且能够构建直角三角形，求三角函数值． 【变式15-2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，连接，从而可得，然后根据勾股定理的逆定理可证是等腰直角三角形，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，连接， ， 由题意得：，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式15-3】如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 ． 【答案】 【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4， ∵， ∴ ∴， 由勾股定理得：，，， 则，， 过C作CF⊥BD于F， ∵△BCD的面积， ∴△DCE的面积为， ∴， ∴ ， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键． 【考点16 与函数有关的多结论问题】 【例16】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，①根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线，可得抛物与x轴的另一个交点坐标为，当时，即可判断；③由，可得点，关于直线对称，即可判断． 【详解】解：①由图中可知函数与y轴的交点在负半轴， ，故①错误； ②抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线， 抛物与x轴的另一个交点坐标为， 当时，，即， 故②正确； ③点，都在该抛物线上，且， 点，关于直线对称， ， 故③正确， 综上，②③正确，共有2个， 故选：C． 【变式16-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式16-2】（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上） ． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了新定义，二次函数，反比例函数，一次函数的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据每个选项的情况，先作图，再结合二次函数，反比例函数，一次函数的图象性质，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：①依题意，分别作图， 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 综上：直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； 故①是正确的； ∵直线与反比例函数的图象交于点A，B，，， ∴作图如下所示： 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 故②是错误的； ∵直线与二次函数的图象交于点A，B， ∴如图所示： 当时，，此时最小值为，无最大值； 当时，，此时最小值为，最大值为2； 当时，，此时最小值为，无最大值； 综上所述，函数有最小值，无最大值． 故③是正确的； 故答案为：①③． 【变式16-3】（2025·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线，交于点，（不与，重合）．下列四个结论：①若轴，则；②线段长度的最小值为；③当时，；④四边形一定是平行四边形．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于结论①先把的坐标分别表示出来，再结合条件轴，则可求出的值，并判断正误；②利用两点坐标的距离公式表示出的长度，发现可以利用二次函数求最值；③利用抛物线解析式求出的坐标，即可表示出，的长度，结合，即可求出的值，并判断正误；④判定是平行四边形，这里可以利用对角线互相平分这个判定定理会更简单，分别求出对角线，的中点坐标，判断中点坐标是否相同，相同则互相平分，即可判断四边形一定是平行四边形． 【详解】解：①抛物线：，， ，，轴，，故①正确； ②， 当时，，故②错误； ③由题意，得，，则， ，解得， 则，则，故③正确； ④连接，设，， 联立得， 则，， 的中点为， 又的中点为， 中点与的中点重合，即与互相平分， 故四边形一定是平行四边形．故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 故选：B． 【点睛】本题是一道关于抛物线的综合题，涉及求抛物线的顶点坐标与x轴的交点坐标，利用二次函数求最值，两点的中点坐标公式以及平行四边形的判定．熟练掌握这些知识点是解此题的关键． 【考点17 与几何图形有关的多结论问题】 【例17】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在等腰中，，F为上一点，且，连接，将绕点F逆时针旋转得，点A的对应点D刚好落在上，分别交于M，N，连接． 下列说法：①；②连接，则平分；③四边形是矩形；④；⑤，正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】由旋转性质知，为等腰直角三角形，可求，则①可判断正确；因为可证明，利用角平分线的性质可推出②不正确；由旋转性质可证明，且，则四边形是矩形，故③正确，利用中位线定理和相似的性质可推得④正确，过作交延长线于，可证明，则可求长度，则可求，推出⑤正确． 【详解】解：绕点F逆时针旋转得， ， ， 故①正确； ， ， ， 但， 不是平分线， 故②错误； 绕点F逆时针旋转得， ， ∵等腰， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， 故③正确； ， 为中点， 又， ∴， ∴， ∴是中位线， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 故④正确； 如图，过作交延长线于， ， ， ， ， 故⑤正确； 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，中位线定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角函数的应用，掌握相关知识并能灵活应用是解决问题的关键． 【变式17-1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是 ．（请将正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确； ∵ ∴， ， ， ∴四边形为菱形，故④结论正确； ∵， ， ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， 故②结论正确； 设， ∴， ∴， ∴， ∴与不一定相等，故③结论不一定正确； 综上所述：正确结论有①②④． 故答案为：①②④． 【变式17-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】利用菱形的性质可以判断①的结论正确；利用等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值求出相应边的长度，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式求得和四边形的面积，即可判断②的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质和等量代换可以判断③的结论正确；利用特殊角的三角函数值可以判断④的结论不正确；利用含a的代数式分别表示出的长度即可判断⑤的结论正确． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴ 又即， ∴，故①正确； 设菱形的边长为a， ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故②的结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③的结论正确； ∵， ∴，故④的结论不正确； ∵， ∴，故⑤的结论正确． 综上，结论正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，为边的中点，连接并延长交的延长线于，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③点为的中点；④．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．延长交的延长线于点E，证明，判断①②，假设点为的中点，推出，判断③，证明，判断④即可． 【详解】解：延长交的延长线于点G， ∵是边上的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确；②错误； 假设点N为的中点，则：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，显然不成立， 故③错误； ∵连接并延长交的延长线于，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①④， 故选：B． 【解答压轴篇】 【考点18 由一元二次方程的解求参数】 【例18】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解； （）设方程的两个根为，且，由抛物线的对称轴可得，即得，进而把代入计算即可求解； 本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，一元二次方程根和系数的关系，二次函数的性质等，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴，， ∴方程的两个根为和， ∴， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为； （3）解：∵方程是倍根方程， ∴不妨设方程的两个根为，且， ∵相异两点，都在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， ∴， ∴， ∴方程的两个根为，． 【变式18-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2)0，4， (3) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“自反值”的定义列出关于x的方程求解即可； （2）根据“自反值”的定义可得，然后分和，分别根据列出关于a的方程求解即可； （3）根据“自反值”的定义列出关于x的方程，然后根据根的判别式列出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ， ， ． 所以代数式的“自反值”是，． （2）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程只有一个解， ∴当时，可得一元一次方程，有1个解（符合题意）； 当时，可得一元二次方程，有1个解， ∴，整理得：，解得：或． 综上，a的值为0，4，． （3）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程对于任意常数恒有两个解， ∴，即；， ∴对于任意常数恒成立， ∵， ∴要使对于任意常数恒成立，则，解得：． 综上，a的取值范围为． 【变式18-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为 【变式18-3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式 的“零值”为 ，“对称值”为 ； (2)若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； (3)若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 【答案】(1)和， 0 (2)当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为 (3)，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、因式分解、乘法公式等知识点，掌握“零值”和“对称值”定义是解题的关键． （1）由，再结合“零值”和“对称值”即可求解； （2）由题意令其“零值”为t，则，即可知，  ，可求得或，再求出对应的m即可； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为3，设两个“零值”为和可求得， ，即，． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为． 故答案为：和，0． （2）解：∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则，    ∴，                  ∴，，                            ∴或，                          当“零值”为时，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为； ． （3）解：∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴．                                   ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴，   ∴． ∴， ∴，． ∴，， 【考点19 根的判别式与根与系数的关系的综合】 【例19】（25-26九年级上·福建泉州·期中）我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知方程的两个实数根是，那么_____； (2)已知、满足，且，求的值； (3)已知、、满足，求正数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． （1）一元二次方程的两个实数根是，那么，由此可直接得出答案； （2）由题意得出是方程的两个实数根，进而求出和的值，相加即可； （3）由，可得，进而可得是方程的两个实数根，由根的判别式得，结合是正数即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：满足，且， 满足，且， 是方程的两个实数根， ， ， ． （3）解：， ， 是方程的两个实数根， ，即， 是正数， ， ， 正数的最小值是． 【变式19-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，“派生点”Q与的取值无关，直线过定点，故方程的“派生点”Q为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：， 解得，， ， 该方程的“派生点”Q的坐标为； （2）解：方程为， ， ，或，， ①当，即时，“派生点”Q的坐标为． ∵点Q在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时，“派生点”Q的坐标为， ∵点Q在直线上， 代入得， ，符合题意； 综上，m的值为或； （3）解：存在，满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的“派生点”Q为， 即，， ，． 【变式19-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 【变式19-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【详解】（1）解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； （2）解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； （3）解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 【考点20 一元二次方程的应用】 【例20】（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米 (2)①，；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【详解】（1）解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． （2）解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 【变式20-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式20-2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时， ，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 【变式20-3】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 【考点21 二次函数中的定值问题】 【例21】如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可； （2）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可； （3）过点作于点，作，过点作交于点，利用等腰三角形的性质，先求出时，直线的解析式，利用求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴， 当时，， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ， 直线过点，则， 解得，， 直线， 如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，， ， ， ∵ 过点作轴与直线交于点， ∴， ，， ， ∴当时，， ，， ， 的值是一个定值，这个定值为； （3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点， ， ，点是的中点， ，，设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线， ，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式可得，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得，， ， 直线的表达式为：， 联立， 解得， ． 【变式21-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【答案】(1) (2)h最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以； （2）解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 【变式21-2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M．      (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． (3)如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）令，求出，，根据，求出，即可得出答案； （2）先求出直线解析式为，分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点，设，则，求出，根据平行线分线段成比例定理得出：，根据，得出当时，有最大值为4，即可得出答案； （3）先求出顶点，对称轴为直线，设，，求出直线的解析式为：，求出当时，，根据根与系数的关系得出，，求出，根据，求出，为定值． 【详解】（1）解：令，则， ， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由得： ，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点， 则，， 设，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4． ∴的最大值为． （3）解：∵， ∴顶点，对称轴为直线， 设，， 点P关于直线的对称点， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为： ， 当时，， 由得： ， ∴，， ∴， ∵， ∴，为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式21-3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右边），交y轴于点C． (1)若． ①直接写出抛物线的解析式： ； ②如图1，连接，过抛物线第四象限上的点M作交y轴于N，若平分线段，求点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，点P在点B左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线的解析式为，当C为的中点时，试证明k为一个定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）①由待定系数法求解即可； ②过点作轴交于点，可求直线，设， 可求直线，则，那么，证明，则，同理可求直线，而，故，则，解得：或（舍），故； （2）联立直线和抛物线表达式，则，则，可得，则直线，同理可得直线，直线，可求得，，由为中点，得到，则，故． 【详解】（1）解：①将代入 ， 解得：， ∴抛物线解析式为； ②过点作轴交于点， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∵， ∴， 设直线， 代入点，得， 解得：， ∴直线， 当， ∴， ∴， ∵平分线段， ∴， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求直线， ∵轴， ， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴； （2）解：联立直线和抛物线表达式，则， 则， ∴， ∴， ∴直线， 同理可得直线， 直线， 对于直线，当，， ∴， 同理， ∵为中点， ∴， ∴， 又∵由题意可知， ∴， ∴． 【考点22 二次函数中的最值问题】 【例22】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求a的值； (2)将抛物线平移，使其顶点P落在直线上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D，则点D的纵坐标是否存在最值（最大值或最小值），若存在求出最值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系法法，抛物线的对称轴，平移，灵活运用函数的性质求解是解题的关键． （1）先求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式，再根据对称轴方程列二元一次方程组求解即可； （2）设平移后抛物线的顶点，先求出，然后根据二次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ，则， 解得：； （2）存在最大值，理由如下： 平移后的抛物线顶点在直线上，由于， 设平移后抛物线的顶点，则抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标存在最大值，为． 【变式22-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在最大值，且最大值为 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去； ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时： ； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，当点P在x轴上方时，矩形的周长存在最大值，且最大值为； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 【变式22-2】（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，以A为直角顶点，为腰作等腰直角，恰好C点落在抛物线上． （1）直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式； 【初步探索】 （2）如图2所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 【深度探究】 如图2所示，连接交于点E，在满足（2）最值的条件下，求． 【答案】（1），抛物线解析式为 （2） （3） 【分析】（1）令，则，得到，如图所示，过点作轴于点，证明，得到，，则，把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明，得，，则，由此即可求解； （3）由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，，，，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点， 令，则， ∴， ∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线中得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小， ∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动， ∴当时，的值最小， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点于点重合时，的值最小，最小值为； （3）根据上述计算可得，， 由（2）可得，是等腰直角三角形，，则， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解题的关键． 【变式22-3】（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)w有最大值为，此时 (3)直线过定点． 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H．    ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为，此时． （3）直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 【考点23 二次函数中的存在性问题】 【例23】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 【变式23-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）抛物线：经过点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，若直线：与抛物线交于点、，若过抛物线上、、三点确定的三角形面积为，求的值； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，直线与抛物线交于、，过、分别作轴垂线，垂足为、．若射线上存在一动点，使，直接写出的长度______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法直接求解即可； （2）过B作轴平行线交直线于点，则，据此建立方程求解即可； （3）先求出抛物线的解析式为，进而可得，在上取一点，使，得，设点，根据可得和得关系，然后再分类讨论，利用相似比可得和的关系，进而即可得解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 则点是抛物线顶点， 如图，过作轴平行线交直线于点， 恒过点， 直线与抛物线交于点， ， ， 联立和， 得， ， 或， ， ， 解得：； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为， 令，得或， 在上取一点，使， ∴， 则， 设点， 则， ， 整理得：， ， ， ， ①如图，当点在线段之间时， 此时， ， ， ， 整理得， 解得或（负值舍去）， ． ②如图，当点在线段延长线上时， 此时， ， ， ， 整理得：， 解得：或（负值舍去）， ， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式、解一元二次方程，二次函数的平移、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式23-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的横坐标为或4或2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与平行四边形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据二次函数的性质求得a的值，再将点代入求得c的值即可解答； （2）运用二次根式的性质求得抛物线在上的最大值和最小值即可解答； （3）由二次函数的性质可得，进而求得；又，即要求的最大值，只需确定的最大值即可；再求得直线的解析式为， 如图：过E作轴交与F，设，则，即；进而求得，即当， 最大，以、、、为顶点组成的四边形的面积最大，从而确定点E的坐标即可； （4）如图：设，然后分以为边和对角线两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴， 将点代入可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为的对称轴为直线， ∴当时，抛物线有最小值； 当时，，当时，抛物线有最小值， ∴抛物线在的最大值为， ∴抛物线在的取值范围为． （3）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴要求的最大值，只需确定的最大值即可， 设直线的解析式为则， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过E作轴交与F， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当，即时，最大，以、、、为顶点组成的四边形的面积最大． （4）解：如图：设， 如图：当为边时，四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为； 如图：当为边时，当四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为4； 如图：当为对角线时，当四边形是平行四边形时，设， ，解得：； ∴点的横坐标为2； 综上，点N的横坐标为或4或2． 【变式23-3】（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 【考点24 二次函数的应用】 【例24】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成．蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高．以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 尝试：（1）求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式； （2）若锅中心D到水面距离为，求水面直径的长度； 探索：如图2，矩形为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜色区分），F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为．在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上 （3）若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由； （4）若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当 时 S最大，S的最大值是 ． 【答案】（1）蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为；（2）；（3）锅与锅盖之间最多能放置6层笼屉，见解析；（4）； 【分析】由题易得，，，，再分别设顶点式即可得解． 根据可得，然后由两根即可求得的长度． 由题意易得F，G关于y轴对称，则有点G到y轴的距离为，即点G、H、K三点的横坐标为，即，然后由和表达式分别求出和，再根据求出笼屉的层数． 由（3）可知：，求出笼屉的层数，然后再由，根据二次函数求出时S取最大值，故分别取出或5计算出n和S，通过比较S的大小，进而确定出答案． 本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练应用二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由题可知，，， 设蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为， 将点分别代入和的表达式得，， 蒸锅截线表达式为，锅盖截线表达式为； 记与y轴交于点G， 由题意可知，则， ， 令， 解得， ； 如图，设直线交于点K， ∵四边形是矩形， ∴轴， ∵F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且， ∴F，G关于y轴对称， ∴点G到y轴的距离为，即点G、H、K三点的横坐标为， ∴当时，则， 把点G、K的横坐标分别代入：，：得：，， ， 锅与锅盖之间最多能放置6层笼屉． 由（3）可知：， ∵E，H恰好在锅盖截线上， ∴，， ， ∴， ， 把看作整体，则上述函数关系可看作是S关于的二次函数， ∵，开口向下， ∴当时，即，面积S有最大值，此时笼屉的层数为， ∵笼屉的层数为正整数， ∴当时，解得， ∴， 当时，，即， 同理可得， 当时，S的最大值为， 故答案为：；． 【变式24-1】（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） (1)根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； (2)如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 【答案】(1)4， (2)守门员可以阻挡住球，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，从而可得顶点为，进而可以判断当球踢出后4米时，离地面距离最大为3.5米；又可设抛物线为，再将代入计算即可得解； （2）依据题意，可得后退1米后的解析式为，即，又守门员的位置是，再令，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， 顶点为． 当球踢出后4米时，离地面距离最大为米． 故答案为：4． 又由题意，可设抛物线为， 且抛物线过点， ． ． 该抛物线的函数表达式为． （2）解：守门员可以阻挡住球．理由如下： 由题意可得，后退1米后的解析式为， 即， 又守门员的位置是， 当时，． 守门员可以阻挡住球． 【变式24-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； (2)若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 【答案】(1)见解析；；点的坐标为； (2)；为米；为米； (3)矩形周长的最大值为米． 【分析】（）建立如图所示的平面直角坐标系，求出点的坐标为，点为抛物线的顶点坐标，从而得出抛物线的函数表达式为，然后通过二次函数性质求出点的坐标为； （）由点，在抛物线上，点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，得出， ，，通过，得，然后解方程并检验即可； （）由点的坐标得，直线和的表达式分别为：，，设点，，，，则矩形周长为，然后通过二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点为抛物线的顶点坐标， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点，在抛物线上，点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴（米），（米）； （3）解：矩形周长的最大值为米，如图矩形灯带为， 由，，， 设直线解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，解析式为， 设点，，，， 则矩形周长为， ∴矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，垂直平分线性质，直角三角形性质，解一元二次方程，建立适当坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式24-3】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，其中种植金银花区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段、组成的封闭图形，点、分别在矩形的边、上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图、，，点是抛物线的顶点，于点，且． 小红设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点、（不与、重合），在上取动点、，，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 小明设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点（不与、重合），连结、，用篱笆沿、将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 方案实施：拟定，区域①、②、③、④分别种植白、黄、红、紫颜色的金银花；拟定，在图、中，以所在直线为轴，所在直线为轴，以为个单位长度，建立平面直角坐标系．解答问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若学校采用了小红的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若分隔中恰好用完所有篱笆材料，求与之间的距离； (3)若学校采用了小明的方案，求区域③（）的面积取到最大时点的坐标． 【答案】(1) (2)与之间的距离为 (3)当时，点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线经过的点及对称轴，代入一般式求解抛物线解析式； （2）设与的距离为参数，结合抛物线、直线的解析式表示出、的长度，根据篱笆长度列方程求解； （3）通过作辅助线，用点的坐标表示出的高，进而得到面积的函数表达式，利用二次函数性质求最大值及对应点的坐标． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线的解析式为， 由题意可知，对称轴为， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于，设， ∴． 设直线，则 ， 解得， ∴直线． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． ∴在的左侧， ∴，即与之间的距离为； （3）解：过点作轴于点，交于点． 设的坐标为， 由（）可知直线， ∴，． ∴ ． ∵，抛物线的开口向下，顶点为， ∵当仅当时， ∵当时， ， ∴当时，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的实际应用（线段长度与面积最值问题）、求一次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质、结合坐标系分析线段和面积的关系是解题的关键． 【考点25 圆与三角形的综合】 【例25】（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)①；②常数，使 成立 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可解题； （2）连接，证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可证明； （3）①连接，求出，结合三角函数求解；②直接计算，然后求出和的相似比，进而得到面积比，计算出，即可解题． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是直径， ∴是中点，且， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即，， ∵为半径， ∴是的切线； （3）解：①如图，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即存在常数，使成立． 【变式25-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①作图见解析 ，理由见解析 ② （2）证明见解析 （3），理由见解析 【分析】对于（1）①，分别作平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，然后根据三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得出答案；②连接，交于点L，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理求出，最后根据求出答案； 对于（2），连接，交于点E，先根据垂径定理得，，再根据“角角边”证明，可得，则答案可证； 对于（3），连接并延长交于点D，连接，先说明为等腰直角三角形，及是等腰直角三角形，再延长到点H，使得，连接，然后根据“边角边”证明，可得，进而说明，接下来说明，则答案可证． 【详解】解：（1）①如图所示； ，理由如下： ∵点I是的内心， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，交于点L， ∵的半径是5，，且点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 所以的最大值是； （2）连接，交于点E， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，连接并延长交于点D，连接， 由题意可知平分， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由对称可知， ∴是等腰直角三角形， 延长到点H，使得，连接， ∵点F为的外心， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式25-2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 【答案】（）等腰直角，；（）；（）或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出、、的数量关系； （）延长交于，连接、、，根据圆周角定理得到，由（）的结论解答； （）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，根据（）（）的结论计算，得到答案． 【详解】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，； （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴； （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故答案为：或． 【变式25-3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）阅读下列材料，解决相应的问题： 我们知道，三角形三条高所在直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．三角形的垂心有如下性质： 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到这个顶点所对边的距离的2倍．即：如图①，是的外接圆，高与交于点H，，垂足为G，则． 分析：如何证明？ 只需作出外接圆O的直径，分别连接则容易证明．若再能证明，则． 解决问题： (1)请你根据材料中的分析思路，证明垂心的上述性质； (2)这种通过“证明，得到”的方法，主要体现的数学思想是________；（填入字母代号） A．数形结合思想              B．转化思想                  C．归纳思想 (3)如图②，在中，，交于点D，交于点E，与的交点为H．若外接圆的半径为10，，则的面积为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)B (3) 【分析】（1）先证明为的中位线，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，则，即可证明； （2）根据题意可知运用了转化思想； （3）设外接圆圆心为O，连接，先证明A、O、D三点共线，由（1）的结论可得，由勾股定理得，，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴点G为的中点， ∵O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵的高与交于点H， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：这种通过“证明，得到”的方法，主要体现的数学思想是转化思想； 故选：B； （3）解；设外接圆圆心为O，连接， ∵， ∴D为的中点， ∴， ∴A、O、D三点共线， ∵，且交于H， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一定理，勾股定理，垂径定理的推理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【考点26 圆与四边形的综合】 【例26】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）主题学习． 【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作： （1）选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为；以点为圆心、长为半径作，则必与，两边同时相切，切点分别为，两点，如图． （2）沿着线段向下拖动圆心，逐渐变大．当足够大时，与矩形另外的边相交，如图，设与边交于点，与边交于点，连接，则为的一条弦．当点落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆． （不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （1）如图，已知正方形的边长为，求正方形内最大半圆的半径的长． （2）如图，在矩形中，，，则矩形内最大半圆的直径_______． （3）若矩形内最大半圆有无数个，则矩形的两边长和满足的关系为___________． 【答案】【实践操作】（）见解析；【探索发现】（）；（）；（）或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直线和圆的位置关系，切线的判定，尺规作图，圆周角定理，正确尺规作图是解关键． [实践操作]（）作角平分线，交于O，以O为圆心作，与相切于点E，即可得到最大半圆； [探索发现]（）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ，先证四边形为正方形，在中，由列方程求解即可； （）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ，需证，令的半径为，则，在中，根据勾股定理，列方程求了即可求出直径． （）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ， 【详解】解：[实践操作]（）如图，半圆为所求作的半圆； [探索发现]（）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ， 设正方形内最大半圆的半径为， ∵四边形是正方形， ∴， 由作图可知：， ∴四边形为正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得，； （）如图，矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，， 作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， 四边形是矩形， ， 令的半径为，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得（不合题意，舍去）， ； （）矩形内最大半圆的直径需满足其半径不超过矩形的最短边， 当矩形一边长为另一边长的2倍时(设长为，宽为，则)，以长为直径的半圆半径为， ∴当时，此时半圆可沿长边任意平移(因直径长度等于长边，圆心在中点时半圆刚好接触对边)，存在无数个这样的最大半圆， 同理，若时，以宽为直径的半圆也存在无数个最大半圆 故答案为：或． 【变式26-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，O是边上一动点，的半径为r （r为定值）． (1)当经过点B时，恰与对角线相切，如图①．求的半径r； (2)若与交于点P，Q，与交于点E，且Q是的中点，如图②．求的长， 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、切线的性质、弧中点的性质、三角函数的应用以及弧长公式，熟练运用相关性质作答是解题的关键． （1）通过作辅助线，利用勾股定理求出对角线的长度，再根据三角函数求出的度数，结合切线的性质即可求解； （2）连接，利用弧中点的性质得到，设，根据三角形内角和公式列关系式求解即可． 【详解】（1）解：如图①，设与相切于点，连接，则． ， ， ， ， ， ． （2）解：如图②，连接． 是的中点， ∴可设． ， ．， ， ， ，即， 的长为． 【变式26-2】（2025·浙江台州·二模）如图，是平行四边形的对角线，，的外接圆与边交于点（不与点，重合），连接． (1)求证：； (2)如图2，连接并延长交于点． ①求证：垂直平分； ②若的半径为13，，求的长； (3)如图3，连接，若是的平分线，的面积为10，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）由题易得，进而即可得证； （2）①由，，所以点D，O都在的垂直平分线上，进而得证； ②先证，可得，即，在中，利用勾股定理可得，，，由勾股定理，得，再由求解即可； （3）先证，由，得，进而可求，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ； （2）①证法1：如图，连接，， ，， 点都在的垂直平分线上， 即垂直平分， 证法2：， ， 经过圆心， 垂直平分； ②解：由①，得， ， ， ，即， 设，则， ， 由勾股定理，得， ， ，，， 由勾股定理，得， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得， ， ∴， ∵， ∴， ， ； （3）解： 是的平分线， ， ，， ， ， 又， ， 由， 得， 设，，则， 解得，（不合题意，舍去）， ， 记与之间的距离为， 则， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式26-3】（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①A；② 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图（1），连接，，．由菱形的性质可得、易得是等边三角形．再根据等边三角形的性质以及角的和差可得，即可与相切．同理可证与相切； （2）①设的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，易得垂直平分，即、、；经分析可知随着度数的增大，也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定的半径与的长的变化情况即可解答；②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图（1），连接，，． 四边形是菱形， ，． 是等边三角形． ． ， ． ， ． ，即． 点D在上， 与相切． 同理可得：与相切． （2）解： 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，，， ∵当时， ∴随着度数的增大，也随之变大， ∴，， ∵随的增大而增大， ∴随着度数的增大而增大，， 在中，， ． ，解得：． ∵随的增大而减小， ∴随着度数的增大而增大， 综上，的半径与的长都增大． 故选∶A． ②解：如图（2），连接，，，连接并延长，交于点N． 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，． 在中，， ． ，解得：． 在中，， ． ，解得． 【考点27 圆与平面直角坐标系的综合】 【例27】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”．    (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； (2)的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； (3)如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）由题意确定点的位置，再用勾股定理即可求解； （3）连接，过点P作，交x轴于点B，求出点P所在的位置，得到若直线与线段有公共点，则直线与有交点，从而求出b的取值范围． 【详解】（1）解：根据“外倍线”定义可知： ∴，是的“外倍线”， 故答案为：，； （2）解：如图，由（）得：    如图，点在以为圆心，半径为的圆上，该圆与直线在第一象限的交点的纵坐标为：， 根据对称性可知第四象限的交点的纵坐标为：， ∴； （3）解：连接，过点P作，交x轴于点B， ∵，点M是的中点，， ∴， ∴点A是中点，， ∵， ∴， ∵， ∴点P在以A为圆心，2为半径的圆上， 若直线与线段有公共点，则直线与有交点， 作直线与只有唯一一个交点P，交x轴于点C， ∴是的切线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点C的坐标为 把代入，得， 得直线的解析式为， 同理可得的解析式为， 若直线与有交点，则b的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义的概念，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，本题的关键在于理解新定义的概念，从而画出图象解题． 【变式27-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 (1)当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； (2)若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 【答案】(1)DE的长度为 (2)点A的坐标为或 【分析】（1）过点A作于F，连接，，由三线合一的性质得出，由等面积法得出，再根据勾股定理求出，进而可求出． （2）设与直线相切于点H，连接，设点A的坐标为，则， 证明 ，由相似三角形的性质得出，代数数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于F，连接，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 的长度为； （2）解：设与直线相切于点H，连接， 设点A的坐标为， 则， ， ， ∽， ， ， ， 或1， 点A的坐标为或 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，圆切线的性质，相似三角形的判定和性质等，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式27-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法．通过构造平面直角坐标系中的数，利用勾股定理将一元二次方程的根转化为圆与x轴交点的横坐标．如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作，若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，在中，，所以， 化简得：，同理可得：______． 所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）尺规作图；在图2中的x轴上作出以方程两根为横坐标的点M、N，M在N的左边； （3）已知点、，判断以为直径的与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）相切，理由见解析； （4） 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）分别以及两点为圆心，大于的长为半径画弧交于P，Q， 连接交于点G，以G为圆心，为半径画圆，与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图2； （3）与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ， 方程有两个相等的实数根， 与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， ， 化简得：， 同理可得：， 、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 【变式27-3】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为1，的长为，的最大值为2，的长为 【分析】（1）以点为圆心，分别以为半径画圆，进行判断即可； （2）当点A在外时，可得出，从而得出点A在以O为圆心，为半径的圆上，当点A在的内部时，A在O处符合条件； （3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形的各边长，利用四边形的不稳定性，画出最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：如图， 观察图象可知，只有线段能绕点旋转，得到圆的“关联线段”； 故答案为：； （2）如图2， 当点A在外时， 绕点A旋转后的对应和关于点对称，， 点A在以O为圆心，为半径的圆上， 当点A在的内部时，A在O处符合条件， 综上所述：点A组成的图形是以O为圆心，为半径的圆及其圆心； （3）的最小值为1时，此时的长为，的最大值为2，此时的长为 理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义， 可知，如图1， 利用四边形的不稳定性可知， 当A，O，在同一直线上时，最小，最小值为1，如图2， 此时， ， ， 当A，，O在同一直线上时，最大，如图3， 此时，过点A作于E，过点作于F． ， ， ， ， ， ， ， ， 综上的最小值为1，此时的长为，的最大值为2，此时的长为． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，确定圆的条件，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是理解题意，数形结合． 【考点28 证明某直线是圆的切线】 【例28】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，求出方程即可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 在△和△中， ， ， ， 设，则， ， 在△中有：，即：， （舍去）， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式28-1】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为 【分析】本题考查菱形的性质，圆的切线判定和三角函数，熟练运用垂径定理是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得，故，再由和菱形的性质可推出，进而可证是的切线． （2）由的半径与菱形的边长之比为，可设参数表示、，再由菱形的性质和垂径定理可推出，在中求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径与菱形的边长之比为，， ∴， 设，∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，∴，即， ∵， ∴． ∴． 答：的值为． 【变式28-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，点是外一点，过点的直线与交于点，过点作弦，连接交于点，连接，且满足． (1)在图1中，求证：直线是的切线； (2)图2中，过点作直线，直线与直线交于点，直线与圆相切，切点是，， ①求的度数； ②若，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；②的半径为 【分析】（1）连接、，如图所示，设，再由圆周角定理得到，进而由题意确定，然后利用等腰三角形的性质得到，结合三角形内角和定理表示出，即可得，进而由切线的判定定理即可得证； （2）①连接，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，再根据切线的性质以及全等三角形的判定与性质得到，则由全等性质得，再结合可得点在上，即为的直径，则；最后结合以及三角形内角和定理列式求解可得；②过作，先判定四边形是矩形，则，设的半径为，则，再根据含的直角三角形的性质可得，由求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： 设， ， ， ， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， ， 即， ， 为圆的半径， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， 即平分， ∵直线是的切线，直线是的切线， ， 在和中， ， ， ， 即平分， 平分， ∴点在上，即为的直径， ， ， ， ， ， 解得， 即； ②过作，如图所示： ， ，， ， 三点共线， ，，， 四边形是矩形， 则， 设的半径为，则， 在中，，，则， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查圆综合，涉及圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、切线的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质、角平分线定义、平行线性质、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质等知识点，熟记圆的相关性质、灵活运用相关几何性质与判定求解是解题的关键． 【变式28-3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点． (1)如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线； (3)如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，． ①求出的长； ②写出的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①② 【分析】（1）连接，作的垂直平分线即可； （2）连接，交于点，证四边形是矩形，即可求证； （3）①连接，作，由题意得：，，根据，，推出，，即可求解； ②根据，推出，得，求出，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：点D即为所求： （2）证明：连接，交于点，如图所示： ∵是的直径， ∴； ∵点D是弧的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴是的切线； （3）解：①连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∵， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆与三角函数的综合知识，涉及了垂径定理、圆周角定理，圆的切线证明等知识点，熟练掌握相关结论是解题关键； 【考点29 求不规则图形的面积】 【例29】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)劣弧长， 【分析】本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线； （2）连接，证明是等边三角形，进而根据圆周角定理可得的度数，进而根据弧长公式求解的长，，继而推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式29-1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式29-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线交线段于点E，且． (1)求证：直线与相切； (2)已知的半径是4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，与相切于点A，得，推导出，∠ODA=∠OAD，进而推导出，即可证明直线与相切； （2）先证明，再根据的半径是4，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得，，则，而，则 ． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． （2）解：∵，， ∴ ， ∵的半径是4，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 【变式29-3】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 【考点30 相似相关动点问题】 【例30】如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接． (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出的值，根据点的运动，即可求解； （2）根据点的运动，分类讨论，①当；②当；根据相似三角形的性质，图形结合分析即可求解； （3）如图所示，过点作于点，根据三角形函数值的计算分别求出的值，再证，根相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在，，， ∴， ∵动点从点到点的速度为每秒，动点从点到点的速度为每秒，运动时间为t秒（）， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）解：①当， ∴，即，垂足为点， 由（1）可知， ， ，，， ∵， ∴，即，解得，，符合题意； ②当， ∴，即，垂足为点， ∴，即，解得，，符合题意； 综上所述，与相似，的值为或． （3）解：如图所示，过点作于点，    在中，，， ∵，，， ∴在中，，得， ，得， ∴， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即，解得，或， ∵运动时间为t秒（）， ∴． 【点睛】本题主要考查动点与直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 【变式30-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①；②或；③ 【分析】（1）根据，，．进行列式代数计算，即可作答． （2）①先整理得，，当点在边上运动时，，因为，则，再把数值代入进行计算，即可作答． ②理解题意，分类讨论，再逐个情况作图，结合图中的性质以及相似三角形的性质，代入数值计算，即可作答． ③先证明，把数值代入，得，，则，然后证明，把数值代入进行计算，得，解得（舍），，此时的长为，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，． ∴在中，； （2）解：①由（1）得， 在中，可得， ∵动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为（秒）． ∴，， 当点在边上运动时，， ∵， ∴， 即， 解得； ②点在边上运动， 当与相似时， 分以下两种情况： 情况1：如图1， 当时， 则， 即， 解得， ； 情况2：如图2，当时， 则， 此时， 即， 解得， ； 综上，的长为或； ③， ， ， ， 即， .， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 则， 整理得， 解得，， ∵当时，则，此时点与点重合，不存在，故舍去． 此时的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式30-2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作 交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． (1)的值为___________． (2)当点与点重合时，求的长． (3)点在边上，当是直角三角形时，求的值． (4)点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或； (4)的长为或或． 【分析】（1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， 由（1）得 ∴在中，， ∴； （3）解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴， 则 ∴， ∵ ∴， ∴ 整理得 解得：， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， 综上，的值为或； （4）解：①点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ②当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用以及数形结合思想；掌握这些知识是解题的关键． 【变式30-3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________；（用含的代数式表示） (2)当时，求线段的长； (3)当点、同时在内部时，求的取值范围； (4)当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据即可列代数式； （2）由题意得，则，则根据得到，代入数据求解； （3）找出两个临界位置，当点在上时和点在边上时，分别求出此时对应的t值； （4）当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则，那么，过点作于点，同理，则，设，由，得到，可得方程，解得；当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点，由，得到，可得，而，则，设，同理可求，则得到方程，解得． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，则， 当时，如图： ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点在上时，如图： ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在边上时，如图： 由（2）知， ∴当点、同时在内部时，； （4）解：∵，，， ∴， 当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，同理， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， ∴， 解得； 当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列代数式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点． 【考点31 相似相关折叠问题】 【例31】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知正方形，点在边上（不与、重合），连接，把沿翻折得到，连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的长； (2)如图2，射线交于点，交于点，连接， ①求的度数； ②求证： 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质和翻折的性质，灵活运用所学知识点是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质可得的值； （2）①由（1）知，根据角的转换求解即可；②连接，证明可得，再根据翻折的性质可得，再利用证明可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：（1）在正方形中，， ， 是沿直线翻折得到的， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：①由（1）知， ，， 又， ， ； ②如图，连接， ， ， ∴ ， 又是沿直线翻折得到的， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【变式31-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知为等腰三角形，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点B的对应点为E． (1)如图1，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点F，与交于点O．某数学兴趣小组经过交流讨论，发现：无论点D在何位置，的度数始终等于α． ①方法1：如图2，延长到H，使，连接，通过证明得到结论； 方法2：如图3，由可得，再通过证明得到结论； 请你选择其中一种方法，写出证明过程． ②若点D是射线上一动点，且，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由翻折的性质和等腰三角形的性质即可得证； （2）①选方法1，先证明，再结合翻折的性质证明，再根据三角形的内角和即可得证；选方法2，先证明，再证明，再结合翻折的性质和外角的性质即可得证； ②分两种情况讨论，当D在线段上时，先证明，得，再分别求出，即可；当D在的延长线上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：由翻折可知， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：①选方法1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， 选方法2， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ②设交于N，交于M， 当D在线段上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D在的延长线上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，翻折的性质，运用分类讨论思想，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式31-2】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)或，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【详解】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式31-3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：． 又因为，，所以． 于是我们得出如下结论： （1）纸的长与宽之比为________． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，求的值； 【探究与拓展】 （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似图形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质； （1）依题意，即可得到，即，即纸的长与宽之比为； （2）由折叠得到四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形，由纸的长与宽之比为，得到． （3）过点作，交于一点M，垂足为点N，由纸得到，结合折叠得到，再证明，得到，设，，则，，． 在中，利用， 解得，即可得到，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴或（舍去）， 即， 即纸的长与宽之比为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵矩形是一张标准的纸，且（1）得纸的长与宽之比为， ∴． （3）过点作，交于一点M，垂足为点N， ∵矩形是一张标准的纸， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∴，即， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 设，， ∴，，． 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴． 【考点32 相似三角形的实际应用】 【例32】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】(1)（米） (2)（米） 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． （2）过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 【变式32-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式32-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证 ，用相似比求高度； （2）由证 ，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 【变式32-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为20米，斜坡长为米． 素材2 如图②，在素材1中的斜坡上和点处分别有指示路牌和，且，，，当太阳光线与指示路牌顶端P，所在直线平行时，的影子部分落在地面上，其中为影子． 素材3 为响应号召节约成本，指示路牌的高度按需调整为． 如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为米，长为米． 如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离为米． 问题解决 任务一 如图①，______． 任务二 如图②，求影子AT的长度． 任务三 如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾的距离． 【答案】任务一： 任务二：影子的长度为米． 任务三：小李距大巴车尾的距离为米 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质， 任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度； 任务二：延长和交于点，容易证明，进而可得，结合已知数据求解即可； 任务三：延长和交于点，则；作延长线于点O，作与点I，交于点R，则四边形为矩形，四边形为矩形，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，，根据性质求出结论即可． 【详解】解：任务一：∵，米，米， ∴（米） ∴ 任务二：如图②，延长和交于点，由题意得：，∴． ∵，∴， 又∵，∴， ∴，即， 解得， 答：影子的长度为米． 任务三：如图④，如图，延长和交于点，则；作延长线于点O，作与点I，交于点R，则四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，，米． ∵，，∴， ∴，即． 解得米，米． 则米，米，（米）， 又∵，， ∴，∴，即， 解得，即． 答：小李距大巴车尾的距离为米． 【考点33 无刻度尺规作图】 【例33】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 如图，点即为所作； （2）， ，即， 如图：连接，点即为所作； （3）如图：点即为所作； 【变式33-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点； （3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点； （4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求； ∵四边形为矩形， ∴为的中点， 连接即为△ABC的中线； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 为中点， ∴为边中线， 则与的交点为三角形的重心， 根据重心性质可知， ∴点即为所求； （3）解：如图，连接交于，即为所求； ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则与交点即为点， 故即为所求； （4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式33-2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，，均在格点上，点是线段与竖格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，将线段绕点逆时针旋转，画对应线段； (2)在（1）的基础上，在线段上画点，使； (3)在图（2）中，作线段垂直于，交于点； (4)在（3）的基础上，在线段上作点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺格点作图． （1）根据旋转的性质及格点的特点即可解答： （2）根据平行四边形的性质结合直角三角形的性质及格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据相似三角形的判定与性质，正方形的性质结合格点的特点作图即可； （4）根据矩形的性质，正方形的性质等腰直角三角形的性质及格点的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示点G为所求： 由网格线的特点得且，则四边形是平行四边形， 点G为平行四边形对角线的交点， ∴，即点G为的中点， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即； （3）解：如图所示为所求： 连接， 由网格线的特点得：四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （4）解：如图所示为所求： 由网格线的特点得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图题，涉及全等三角形，相似三角形，等腰直角三角形，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质等，熟练掌握基本几何图形的性质是解题的关键． 【变式33-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过点B画边上的高（H为垂足）． (2)在图2中，在边上找一点D，连结，使． (3)在图3中，在边上找一点P，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点，连接，延长交于，则即为所求； （2）由三角形面积可知，，取格点、，连接、、，利用相似三角形对应边成比例可知，与的交点为点， （3）取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 取格点，连接，延长交于，则即为所求； 由网格的特点可知，则； （2）解：如图所示，即为所求； ，，， ， 即求的三等分点； 取格点、，连接、、，与的交点为点； （3）解：如图所示，点即为所求； 取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求；由网格的特点可知，，，则，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题33个考点（九年级全册） 【苏科版】 【选填压轴篇】 2 【考点1 利用一元二次方程求取值范围】 2 【考点2 利用一元二次方程解决几何问题】 2 【考点3 利用二次函数的性质比较大小】 3 【考点4 利用二次函数的性质求最值】 4 【考点5 利用二次函数的性质求字母取值范围】 4 【考点6 二次函数的交点问题】 5 【考点7 利用圆的性质求角度】 5 【考点8 利用圆的性质求线段长度】 7 【考点9 正多边形与圆的综合】 8 【考点10 弧长与阴影部分的面积问题】 9 【考点11 判断组成相似三角形的点的个数】 10 【考点12 利用相似三角形的判定应性质求线段长度】 11 【考点13 利用相似三角形的判定应性质求最值】 12 【考点14 利用相似三角形的判定应性质求面积】 14 【考点15 网格中的锐角三角函数】 15 【考点16 与函数有关的多结论问题】 16 【考点17 与几何图形有关的多结论问题】 17 【解答压轴篇】 19 【考点18 由一元二次方程的解求参数】 19 【考点19 根的判别式与根与系数的关系的综合】 20 【考点20 一元二次方程的应用】 21 【考点21 二次函数中的定值问题】 23 【考点22 二次函数中的最值问题】 25 【考点23 二次函数中的存在性问题】 27 【考点24 二次函数的应用】 28 【考点25 圆与三角形的综合】 31 【考点26 圆与四边形的综合】 33 【考点27 圆与平面直角坐标系的综合】 36 【考点28 证明某直线是圆的切线】 38 【考点29 求不规则图形的面积】 40 【考点30 相似相关动点问题】 41 【考点31 相似相关折叠问题】 43 【考点32 相似三角形的实际应用】 45 【考点33 无刻度尺规作图】 48 【选填压轴篇】 【考点1 利用一元二次方程求取值范围】 【例1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-2】设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知二次函数，若，，若，是方程的两个实根，则的范围是 ． 【考点2 利用一元二次方程解决几何问题】 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，有一张矩形纸片，，，点为边上一动点（不与点重合），沿折叠该纸片使点的对应点为，再沿经过点的直线对折（点在边上），若点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一直线上，则的长为 ．    【变式2-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，是外一点，在的垂直平分线上，若，，则 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【考点3 利用二次函数的性质比较大小】 【例3】抛物线y＝x2-6x+n经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，且x1<x2<x3，|x1|＝|x3|，x2+x3＞6，则下列关于y1，y2，y3的大小关系的结论正确的是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江湖州·月考）三个关于x的方程：，，，已知常数，若，，分别是按上顺序对应三个方程的正根，则，，的大小顺序为 （用“<”连接） 【变式3-2】已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点4 利用二次函数的性质求最值】 【例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于10，则满足条件的整数a共有 个． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标 ； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为 ． 【变式4-2】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【考点5 利用二次函数的性质求字母取值范围】 【例5】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时， ，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）若抛物线经过点，则的取值范围为（） A． B．或 C． D．或 【变式5-3】（2025·陕西汉中·二模）已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考点6 二次函数的交点问题】 【例6】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【变式6-1】我们约定：（a，b，c）为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 【变式6-2】如果关于的方程有非负整数解，且关于的二次函数与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．6 B．11 C．12 D．15 【变式6-3】对于二次函数，当时，函数图像与x轴有且只有一个交点，则以下不满足题意的a值为（    ） A． B． C． D． 【考点7 利用圆的性质求角度】 【例7】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（   ）． A．27 B．31 C．32 D．37 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A、B、C在上，点为外一点，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【考点8 利用圆的性质求线段长度】 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于 ， （）若，，则的长为 ． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ． 【变式8-2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，，分别与圆O相切于点B，F，射线与的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接和，若，，则圆O的半径为 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，直线与相切于点A，弦，E，F为圆上的两点，且，若的半径为，，则弦的长为 ． 【考点9 正多边形与圆的综合】 【例9】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点．若，则的半径长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式9-3】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A． B． C．点关于的对称点在上 D． 【考点10 弧长与阴影部分的面积问题】 【例10】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 【变式10-3】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，为矩形的中心，与相切于点，以为圆心、为直径的半圆交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点11 判断组成相似三角形的点的个数】 【例11】定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是 个． 【变式11-3】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 【考点12 利用相似三角形的判定应性质求线段长度】 【例12】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，平分交于点，，点为中点，连接．若，则的长度为 ． 【变式12-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，点 ，分别是边，上的点，连接、，，点，分别是 ，的中点，连接 ，若 ，，，则 的长度为（    ） A． B． C．3 D．2 【变式12-3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）直线，且与的距离为，与的距离为3，把一块含有角的直角三角形如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【考点13 利用相似三角形的判定应性质求最值】 【例13】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 【变式13-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，中，，，于C，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点是等腰的斜边的中点，，，连接，以为直角边，作等腰，其中，连接，求： （1）点到的最大距离为 ； （2）四边形面积的最大值为 ． 【变式13-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，点是的斜边上一点，且，，以为斜边作等腰，使在同侧，连接，则的最小值为 ． 【考点14 利用相似三角形的判定应性质求面积】 【例14】（2025·天津·一模）如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 【变式14-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，我们可以认为物体所受重力的合力集中于该物体的某一点，这一点叫物体的重心．如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心G处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．如图，的中线，，相交于点G，三角形被三条中线分成六个小三角形，这六个小三角形（，，，，，）的面积相等.已知在中，中线，，若，则的面积为 ． 【变式14-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当 到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是（    ） A．一直减小 B．不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式14-3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形连结并延长，交于点，交于点连结，，若要求出的面积，只需知道（ ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【考点15 网格中的锐角三角函数】 【例15】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则 ． 【变式15-2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，相交于点E，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【变式15-3】如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 ． 【考点16 与函数有关的多结论问题】 【例16】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式16-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是 ． 【变式16-2】（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上） ． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 【变式16-3】（2025·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线与轴交于点，，顶点为，抛物线，交于点，（不与，重合）．下列四个结论：①若轴，则；②线段长度的最小值为；③当时，；④四边形一定是平行四边形．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点17 与几何图形有关的多结论问题】 【例17】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在等腰中，，F为上一点，且，连接，将绕点F逆时针旋转得，点A的对应点D刚好落在上，分别交于M，N，连接． 下列说法：①；②连接，则平分；③四边形是矩形；④；⑤，正确的是 ．（请填写序号） 【变式17-1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是 ．（请将正确结论的序号填在横线上）． 【变式17-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，为边的中点，连接并延长交的延长线于，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③点为的中点；④．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答压轴篇】 【考点18 由一元二次方程的解求参数】 【例18】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【变式18-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【变式18-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【变式18-3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式 的“零值”为 ，“对称值”为 ； (2)若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； (3)若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 【考点19 根的判别式与根与系数的关系的综合】 【例19】（25-26九年级上·福建泉州·期中）我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知方程的两个实数根是，那么_____； (2)已知、满足，且，求的值； (3)已知、、满足，求正数的最小值． 【变式19-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【变式19-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【变式19-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【考点20 一元二次方程的应用】 【例20】（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【变式20-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式20-2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【变式20-3】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【考点21 二次函数中的定值问题】 【例21】如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【变式21-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【变式21-2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M．      (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． (3)如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 【变式21-3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右边），交y轴于点C． (1)若． ①直接写出抛物线的解析式： ； ②如图1，连接，过抛物线第四象限上的点M作交y轴于N，若平分线段，求点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，点P在点B左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线的解析式为，当C为的中点时，试证明k为一个定值，并求出这个定值． 【考点22 二次函数中的最值问题】 【例22】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求a的值； (2)将抛物线平移，使其顶点P落在直线上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D，则点D的纵坐标是否存在最值（最大值或最小值），若存在求出最值；若不存在，说明理由． 【变式22-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【变式22-2】（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，以A为直角顶点，为腰作等腰直角，恰好C点落在抛物线上． （1）直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式； 【初步探索】 （2）如图2所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 【深度探究】 如图2所示，连接交于点E，在满足（2）最值的条件下，求． 【变式22-3】（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【考点23 二次函数中的存在性问题】 【例23】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式23-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）抛物线：经过点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，若直线：与抛物线交于点、，若过抛物线上、、三点确定的三角形面积为，求的值； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，直线与抛物线交于、，过、分别作轴垂线，垂足为、．若射线上存在一动点，使，直接写出的长度______． 【变式23-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式23-3】（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点24 二次函数的应用】 【例24】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成．蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高．以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 尝试：（1）求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式； （2）若锅中心D到水面距离为，求水面直径的长度； 探索：如图2，矩形为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜色区分），F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为．在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上 （3）若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由； （4）若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当 时 S最大，S的最大值是 ． 【变式24-1】（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） (1)根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； (2)如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 【变式24-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； (2)若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 【变式24-3】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，其中种植金银花区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段、组成的封闭图形，点、分别在矩形的边、上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图、，，点是抛物线的顶点，于点，且． 小红设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点、（不与、重合），在上取动点、，，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 小明设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点（不与、重合），连结、，用篱笆沿、将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 方案实施：拟定，区域①、②、③、④分别种植白、黄、红、紫颜色的金银花；拟定，在图、中，以所在直线为轴，所在直线为轴，以为个单位长度，建立平面直角坐标系．解答问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若学校采用了小红的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若分隔中恰好用完所有篱笆材料，求与之间的距离； (3)若学校采用了小明的方案，求区域③（）的面积取到最大时点的坐标． 【考点25 圆与三角形的综合】 【例25】（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【变式25-1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式25-2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 【变式25-3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）阅读下列材料，解决相应的问题： 我们知道，三角形三条高所在直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．三角形的垂心有如下性质： 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到这个顶点所对边的距离的2倍．即：如图①，是的外接圆，高与交于点H，，垂足为G，则． 分析：如何证明？ 只需作出外接圆O的直径，分别连接则容易证明．若再能证明，则． 解决问题： (1)请你根据材料中的分析思路，证明垂心的上述性质； (2)这种通过“证明，得到”的方法，主要体现的数学思想是________；（填入字母代号） A．数形结合思想              B．转化思想                  C．归纳思想 (3)如图②，在中，，交于点D，交于点E，与的交点为H．若外接圆的半径为10，，则的面积为________． 【考点26 圆与四边形的综合】 【例26】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）主题学习． 【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作： （1）选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为；以点为圆心、长为半径作，则必与，两边同时相切，切点分别为，两点，如图． （2）沿着线段向下拖动圆心，逐渐变大．当足够大时，与矩形另外的边相交，如图，设与边交于点，与边交于点，连接，则为的一条弦．当点落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆． （不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （1）如图，已知正方形的边长为，求正方形内最大半圆的半径的长． （2）如图，在矩形中，，，则矩形内最大半圆的直径_______． （3）若矩形内最大半圆有无数个，则矩形的两边长和满足的关系为___________． 【变式26-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，O是边上一动点，的半径为r （r为定值）． (1)当经过点B时，恰与对角线相切，如图①．求的半径r； (2)若与交于点P，Q，与交于点E，且Q是的中点，如图②．求的长， 【变式26-2】（2025·浙江台州·二模）如图，是平行四边形的对角线，，的外接圆与边交于点（不与点，重合），连接． (1)求证：； (2)如图2，连接并延长交于点． ①求证：垂直平分； ②若的半径为13，，求的长； (3)如图3，连接，若是的平分线，的面积为10，求平行四边形的面积． 【变式26-3】（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 【考点27 圆与平面直角坐标系的综合】 【例27】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”．    (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； (2)的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； (3)如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【变式27-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 (1)当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； (2)若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 【变式27-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法．通过构造平面直角坐标系中的数，利用勾股定理将一元二次方程的根转化为圆与x轴交点的横坐标．如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作，若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，在中，，所以， 化简得：，同理可得：______． 所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）尺规作图；在图2中的x轴上作出以方程两根为横坐标的点M、N，M在N的左边； （3）已知点、，判断以为直径的与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______． 【变式27-3】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【考点28 证明某直线是圆的切线】 【例28】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式28-1】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【变式28-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，点是外一点，过点的直线与交于点，过点作弦，连接交于点，连接，且满足． (1)在图1中，求证：直线是的切线； (2)图2中，过点作直线，直线与直线交于点，直线与圆相切，切点是，， ①求的度数； ②若，求的半径． 【变式28-3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点． (1)如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线； (3)如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，． ①求出的长； ②写出的长为______． 【考点29 求不规则图形的面积】 【例29】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【变式29-1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式29-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线交线段于点E，且． (1)求证：直线与相切； (2)已知的半径是4，，求阴影部分的面积． 【变式29-3】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【考点30 相似相关动点问题】 【例30】如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接． (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 【变式30-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 【变式30-2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作 交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． (1)的值为___________． (2)当点与点重合时，求的长． (3)点在边上，当是直角三角形时，求的值． (4)点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【变式30-3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________；（用含的代数式表示） (2)当时，求线段的长； (3)当点、同时在内部时，求的取值范围； (4)当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 【考点31 相似相关折叠问题】 【例31】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知正方形，点在边上（不与、重合），连接，把沿翻折得到，连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的长； (2)如图2，射线交于点，交于点，连接， ①求的度数； ②求证： 【变式31-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知为等腰三角形，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点B的对应点为E． (1)如图1，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点F，与交于点O．某数学兴趣小组经过交流讨论，发现：无论点D在何位置，的度数始终等于α． ①方法1：如图2，延长到H，使，连接，通过证明得到结论； 方法2：如图3，由可得，再通过证明得到结论； 请你选择其中一种方法，写出证明过程． ②若点D是射线上一动点，且，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值． 【变式31-2】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【变式31-3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：． 又因为，，所以． 于是我们得出如下结论： （1）纸的长与宽之比为________． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，求的值； 【探究与拓展】 （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【考点32 相似三角形的实际应用】 【例32】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【变式32-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【变式32-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【变式32-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为20米，斜坡长为米． 素材2 如图②，在素材1中的斜坡上和点处分别有指示路牌和，且，，，当太阳光线与指示路牌顶端P，所在直线平行时，的影子部分落在地面上，其中为影子． 素材3 为响应号召节约成本，指示路牌的高度按需调整为． 如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为米，长为米． 如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离为米． 问题解决 任务一 如图①，______． 任务二 如图②，求影子AT的长度． 任务三 如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾的距离． 【考点33 无刻度尺规作图】 【例33】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【变式33-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【变式33-2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，，均在格点上，点是线段与竖格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，将线段绕点逆时针旋转，画对应线段； (2)在（1）的基础上，在线段上画点，使； (3)在图（2）中，作线段垂直于，交于点； (4)在（3）的基础上，在线段上作点，使． 【变式33-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过点B画边上的高（H为垂足）． (2)在图2中，在边上找一点D，连结，使． (3)在图3中，在边上找一点P，画射线，使． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $