专题02 期末复习计算专练11大题型180题（举一反三期末专项训练）八年级数学上学期人教版2024

专题02 期末复习计算专练11大题型180题 【人教版2024】 【题型1 幂的混合运算】 1 【题型2 幂的运算的逆用】 2 【题型3 整式的混合运算】 4 【题型4 整式的化简求值】 6 【题型5 整式混合运算中的不含某项问题】 7 【题型6 因式分解】 9 【题型7 利用因式分解进行计算或求值】 12 【题型8 分式的混合运算】 13 【题型9 分式的化简求值】 14 【题型10 解分式方程】 16 【题型11 根据分式方程解的情况求值】 17 【题型1 幂的混合运算】 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算或化简： (1)； (2) 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 3．计算：． 4．（25-26七年级下·北京·期末）计算： 5．（25-26八年级上·北京东城·期末）计算：． 6．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）计算：． 8．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算： 9．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 11．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）计算： 12．（25-26八年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 13．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）计算： (1) (2) 15．（25-26八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2) 【题型2 幂的运算的逆用】 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 3．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 8．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 10．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 11．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 12．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 14．（25-26八年级上·北京·期中）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 15．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【题型3 整式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁·期中）（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 2．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）计算：． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1) (2) 5．计算：． 6．计算： (1)； (2)． 7．（25-26七年级下·河南焦作·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算：． 11．（25-26八年级上·重庆江北·月考）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： (1) (2) 13．计算： （）． （）． 14．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·天津红桥·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 整式的化简求值】 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中． 4．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）化简求值∶ (1)，其中． (2)已知，求． 5．（25-26八年级上·四川·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 6．（25-26七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：．其中，． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． 10．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）先化简，再求值：，其中a满足． 11．先化简再求值：，其中． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26七年级下·北京平谷·期末）已知，求的值． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 【题型5 整式混合运算中的不含某项问题】 1．试证明代数式的值与无关． 2．已知，代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当x，y为何值时，有最小值？并求出最小值． 3．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）说明代数式的值，与的值无关． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 6．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 7．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 9．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 10．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 11．已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 12．（25-26八年级上·四川内江·期中）若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 14．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 15．（25-26七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【题型6 因式分解】 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2) 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 5．因式分解： 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式． (1) (2) 8．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）因式分解： (1) (2) 10．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）将下列各式分解因式： (1) (2) 11．（25-26八年级下·河南郑州·期末）因式分解： (1) (2) 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）因式分解： (1)； (2)． 13．（25-26八年级上·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 14．（25-26八年级上·广西钦州·期末）分解因式： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1) (2) 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）因式分解： (1)； (2)． 17．（25-26八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．（25-26八年级上·河北保定·期末）按要求完成下列各小题． (1)因式分解：； (2)计算：． 19．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)， (2)． 20．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）因式分解 (1) (2) 21．（25-26八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 22．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）分解因式： (1) (2) 23．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）因式分解： (1) (2) 24．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 25．（25-26九年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【题型7 利用因式分解进行计算或求值】 1．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）已知，，求的值． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）已知，求的值． 4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算下列各式的值，其中， (1) (2) 5．（25-26七年级上·上海普陀·月考）若，，，求代数式的值． 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）计算：． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用因式分解的方法计算：． 8．（25-26七年级上·上海·月考）利用因式分解简便计算：． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）用简便方法计算 （2）试说明两个连续的3的倍数的平方差一定是9的倍数． 10．先因式分解，再求值∶已知，其中． 11．已知实数满足，求的值． 12．（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 13．利用因式分解计算： (1)； (2)已知：，求的值． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知，，求，的值． 15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【题型8 分式的混合运算】 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）（1）计算：； （2）化简：． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 10．（）化简：； （）化简：． 11．计算： (1) (2)． 12．计算： (1)； (2). 13．（25-26八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 15．计算： (1) (2) 【题型9 分式的化简求值】 1．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26九年级上·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26九年级上·江西新余·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）先化简：，再从中选择一个适合的数代入求值． 13．（25-26八年级下·河南郑州·期中）先化简式子，再从如下三个条件中：①，且；②；③，且；选择一个合适的条件代入求值（三个条件中只能选择一个，若不做选择，则默认为①）． 14．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 15．先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3. 【题型10 解分式方程】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 2．（25-26八年级上·重庆江北·期末）解分式方程： (1)； (2) 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列分式方程： (1) (2) 4．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1) (2)． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）解分式方程 (1) (2) 6．（25-26八年级下·全国·期末）解方程： (1)． (2)． 7．解方程： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 10．解方程： 11．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 12．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程． 14．解方程：． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程：． 【题型11 根据分式方程解的情况求值】 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 4．（25-26八年级上·河北沧州·期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 5．已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值． 6．已知关于的方程： (1)当为何值时，原方程无解； (2)当为何值时，原方程的解为负数． 7．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 8．已知是关于的方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)若这个方程的解为，求的值． 9．当为何实数时，关于的方程有解． 10．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 12．（25-26八年级上·山东·阶段练习）（1）当a为何值时，关于x的方程无解？ （2）关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 13．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 14．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和． 16．（25-26七年级下·安徽·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 17．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 19．（25-26八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 20．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习计算专练11大题型180题 【人教版2024】 【题型1 幂的混合运算】 1 【题型2 幂的运算的逆用】 8 【题型3 整式的混合运算】 18 【题型4 整式的化简求值】 26 【题型5 整式混合运算中的不含某项问题】 35 【题型6 因式分解】 46 【题型7 利用因式分解进行计算或求值】 59 【题型8 分式的混合运算】 66 【题型9 分式的化简求值】 76 【题型10 解分式方程】 84 【题型11 根据分式方程解的情况求值】 95 【题型1 幂的混合运算】 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算或化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算法则计算即可． （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则． （1）按照幂的相关运算法则，逐步对式子进行化简计算； （2）同样依据幂的运算法则，分别计算各项后再进行合并运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】此题考查积的乘方、单项式乘除法运算，掌握运算法则是解题关键，根据积的乘方、单项式乘除法的运算方法，即可解答． 【详解】解：原式 ． 4．（25-26七年级下·北京·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算；根据同底数幂乘除法法则，积的乘方及合并同类项法则直接计算即可求解． 【详解】解： 5．（25-26八年级上·北京东城·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据题意，先算乘方，再算乘除，然后合并同类项即可． 本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项等知识．先根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识进行化简，再合并同类项即可求解． 【详解】解：． 12．（25-26八年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）将化为，进而根据多项式的乘方法则计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 13．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 0 【分析】本题考查幂的运算及整式的加减，正确计算是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方的运算法则计算，最后合并即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则计算，最后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 幂的运算的逆用】 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 3．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算计算； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算． 【详解】解：（1）∵， ． （2）∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 8．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 10．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 5 【分析】本题考查了幂的运算的逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方），解题的关键是将所求式子转化为已知底数的幂的形式，利用幂的运算法则逆用计算． （1） 将转化为，代入、求解； （2） 把、16化为以2为底的幂，利用同底数幂乘法法则合并，根据指数相等列方程求． 【详解】（1）解： （2）解： 解得． 11．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 12．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)4；64 (2)60 (3) 【分析】本题主要考查了乘方的应用，同底数幂相乘，幂的乘方，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据，再结合新定义解答； 对于（2），根据新定义得，进而求出，再根据可得，则此题可解； 对于（3），根据新定义得，再将化为 ，然后根据代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 14．（25-26八年级上·北京·期中）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：，， 即， ∴， 解得； （2）解：：，， ∴，, ∴， ∴， 解得． 15．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3 整式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁·期中）（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差和完全平方公式，解题的关键是掌握整式运算的法则． （1）先进行乘除运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式运算，再进行完全平方运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 2．（25-26八年级上·云南楚雄·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先化简中括号内的，然后再除以单项式即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式、多项式乘多项式法则以及整式除法法则． （1）先利用平方差公式展开，再进行整式的乘法运算，最后合并同类项； （2）先运用多项式乘多项式法则展开，再进行整式除法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘除． （1）根据单项式乘多项式法则，多项式除以单项式法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式，多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键： （1）先计算除法，再去括号； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项求解． 【详解】（1）解： （2）解： 7．（25-26七年级下·河南焦作·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算. （1）先计算括号里面的，再计算多整式除法与乘法即可. （2）先计算多项式乘以多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： 8．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级上·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算乘法，再计算整式加减法． 【详解】解： ． 11．（25-26八年级上·重庆江北·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘多项式运算法则将括号展开，再合并即可； （2）原式根据完全平方公式、多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并即可得到答案 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． （1）先根据多项式除以单项式运算法则和平方差公式，再合并同类项即可； （2）先将原式看作，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 13．计算： （）． （）． 【答案】（）；（）． 【详解】试题分析：利用整式的运算法则进行计算即可. 试题解析：（）原式, , ． （）原式, , ． 14．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算，整式的混合运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先用完全平方公式，平方差公式计算，再去括号，合并同类项； （2）利用平方差公式简化运算． 【详解】（1）解： （2） ． 15．（25-26八年级上·天津红桥·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9996 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式、幂的运算法则，以及整式混合运算的顺序是解题关键． （1）先用平方差公式展开，再用完全平方公式展开，最后将这两部分去括号后合并同类项． （2）先计算，系数相除，同底数幂相除，然后合并中的同类项，所得结果与相乘，最后合并两部分结果． （3）先计算，对系数、字母分别乘方，再计算单项式乘法，最后计算单项式除法． （4）先将转化为平方差公式的形式，再用平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型4 整式的化简求值】 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， 当，时， 原式 ． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先利用平方差公式和完全平方公式把整式展开，再合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中． 【答案】；9 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负性的应用，先将式子去括号，再合并同类项，然后计算整式的除法，接着利用绝对值和乘方的非负性求出，的值，再代入式子进行求解即可． 【详解】解：原式 ， ，， ， 原式 ． 4．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）化简求值∶ (1)，其中． (2)已知，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，多项式乘多项式展开原式后合并同类项，再代入数值求值即可． （2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式展开原式后合并同类项，再根据绝对值和平方的非负性，求出，，再代入数值求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵， ∴原式． （2）解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 5．（25-26八年级上·四川·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后利用非负数的性质求得x，y的值，代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴， ∴原式． 6．（25-26七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 7．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，涉及平方差公式的运用，多项式乘以多项式，根据平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则计算前两项，再合并同类项，最后将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】，5 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，非负性，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开再合并同类项，然后计算除法，根据绝对值及偶次方的非负性求得a，b的值后代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； ，，， ，， ，， 原式． 10．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则，运用完全平方公式、平方差公式去括号，合并同类项，然后括号内的数分别相除去括号，完成化简；把变形得到的值，代入化简后的代数式即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式． 答：化简后的代数式为，其值为． 11．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方差公式，再由去括号法则去括号，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，再将代入化简后的结果由有理数乘法及加法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数加法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘以多项式、积的乘方、整式的除法的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得，代入计算即可． 【详解】解： ∴原式． 13．（25-26七年级下·北京平谷·期末）已知，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查整式的化简求值，解题关键是利用平方差公式、完全平方公式化简式子，再整体代入已知条件求值． 把原整式用平方差公式和完全平方差公式展开化简，然后把化简，代入求原整式的值． 【详解】解； ； ∵， ∴ 原式． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再按照去括号、合并同类项的步骤完成化简，然后将，代入求值即可； （2）首先按照单项式乘多项式、多项式乘多项式运算法则进行运算，再去括号、合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则完成化简，根据题意知，之后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式 ； （2）解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式 ． 【题型5 整式混合运算中的不含某项问题】 1．试证明代数式的值与无关． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简，先把代数式去括号合并得到结果为不含字母的代数式，即可做出解释． 【详解】 这个代数式化简的结果是不含字母的代数式， 代数式的值与无关． 2．已知，代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当x，y为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当，时，此代数式有最小值为 【分析】（1）根据整式的乘法运算以及加减运算法则进行化简，令x项的系数为零即可求出答案． （2）将与b代入原式后，根据配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ∵此代数式的值与x的取值无关， ∴， ， ∴， （2）解：∵，， ∴ ∵ ， ∴当，时， 此代数式有最小值为． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项法则以及配方法，解题的关键是熟悉整式的乘法运算法则． 3．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）说明代数式的值，与的值无关． 【答案】（1），13；（2）见解析 【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式法则，先把多项式化简，再代入求值； （2）利用完全平方公式、平方差公式及多项式除以单项式法则，把多项式化简，根据结果说明与y无关． 【详解】解：（1） = = = 将，代入， 原式===13； （2）∵原式=[x2-2xy+y2-（x2-y2）]÷（-2y）+y =（x2-2xy+y2-x2+y2）÷（-2y）+y =（-2xy+2y2）÷（-2y）+y =x-y+y =x． ∴代数式[（x-y）2-（x+y）（x-y）]÷（-2y）+y的值，与y的值无关． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式、多项式除以单项式及合并同类项．熟练掌握计算法则并能正确进行计算是解决本题的关键． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉说的对，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）按照定义的运算规则代入数值计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 6．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 9．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算、合并同类项以及幂的运算，解题的关键是通过展开多项式乘积找到不含项的系数，建立方程求解参数，再利用幂的运算法则计算代数式的值． （1）先将两个多项式相乘并展开，合并同类项后找出项和x项的系数，根据“不含这两项”可知系数为0，列方程求解m和n的值； （2）将（1）中求得的m和n代入代数式，利用积的乘方、幂的乘方等运算法则化简计算． 【详解】（1）解：将多项式相乘并展开： ∵展开式中不含项和x项，故这两项的系数为0． 对于项：解得 对于x项：将代入得解得． ∴ ． （2）解：将代入式子： 11．已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 12．（25-26八年级上·四川内江·期中）若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 14．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 15．（25-26七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． （1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可； （2）根据求出B，再代入中计算即可． 【详解】解：（1）原式， 不含有项， ， ； （2），， ， ， 故正确的结果 【题型6 因式分解】 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将原式变形为，再提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，完全平方公式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解． 综合应用提公因式法和公式法，对原式进行因式分解即可． 【详解】解： 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式和公式法因式分解成为解答本题的关键． （1）先提取公因式，然后再运用完全平方公式因式分解即可； （2）直接运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法为解题关键 （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式求出结果即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）提取公因式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 10．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）将下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解和公式法因式分解，以及多项式乘多项式的运算． （1）根据提公因式法进行因式分解即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则展开代数式，再根据公式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26八年级下·河南郑州·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提取公因式，后套用完全平方公式分解即可； （2）先运用平方差公式，然后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）提公因式计算即可； （2）先利用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．（25-26八年级上·广西钦州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）提取公因式后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 17．（25-26八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据平方差公式可进行因式分解即可； （2）先提公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（25-26八年级上·河北保定·期末）按要求完成下列各小题． (1)因式分解：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，整式的四则混合运算，运用平方差公式进行运算等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式及单项式乘多项式将整式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方差公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解决本题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式； （2）原式整理后运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2）解： ． 21．（25-26八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先观察多项式各项是否存在公因式，提取公因式后再看是否能用公式继续分解． （2）观察式子特点，发现式子中两项都含有，可利用提取公因式法将提取出来，然后对括号内式子使用平方差公式进行计算． 本题主要考查了因式分解（提取公因式法和公式法）以及利用因式分解进行计算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 22．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再套用完全平方公式分解即可． （2）先提取公因式，再套用平方差公式分解即可． 【详解】（1） ． （2） ． 24．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 25．（25-26九年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：                                 ； （3）解：原式． 【题型7 利用因式分解进行计算或求值】 1．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．先提以因式进行因式分解，然后将，，变形为，．再整体代入进行计算即可． 【详解】解： ． 因为，， 所以，． 原式． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）已知，求的值． 【答案】16 【分析】此题主要考查了利用因式分解进行计算，本题中提取公因式法分解因式是解题关键． 直接提取公因式，进而分解因式，然后整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算下列各式的值，其中， (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的应用是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法因式分解得，再将，代入求解即可； （2）利用完全平方公式的变形得 ，再将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 5．（25-26七年级上·上海普陀·月考）若，，，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的运用，由，，，求出，，，然后通过 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，先运用平方差公式因式分解，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用因式分解的方法计算：． 【答案】6400 【分析】本题考查了因式分解的应用；先提取因式8，再用平方差公式分解计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级上·上海·月考）利用因式分解简便计算：． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的几种常用方法是解题的关键． 先将原式分组为，再利用平方差公式和提取公因式进行分解计算． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）用简便方法计算 （2）试说明两个连续的3的倍数的平方差一定是9的倍数． 【答案】（1）585；（2）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，完全平方公式与平方差公式的运用，解决本题的关键是运用平方差公式和完全平方公式计算． （1）运用平方差公式计算即可； （2）设这两个连续的3的倍数为和（其中n为整数），它们的平方差可以表示为：，将式子展开，再合并同类项计算，证明两个连续的3的倍数的平方差确实是9的倍数． 【详解】解：（1） ； （2）设这两个连续的3的倍数为和（其中n为整数）， 它们的平方差可以表示为： ， 由于n为整数，所以也是整数， 因此是9的倍数． 两个连续的3的倍数的平方差确实是9的倍数． 10．先因式分解，再求值∶已知，其中． 【答案】；1280 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式计算即可． 【详解】解∶ ． 当时， 原式 ． 11．已知实数满足，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得是解题的关键．由已知条件可得，将先变形整理得，然后将代入整理可得，再将代入运算即可． 【详解】解：， ， ． 12．（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用因式分解求值， （1）由已知可得，，再结合整体代入即可求解． （2）由已知可得，而 ，再整体代入即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， 当时，； 当时，． （2）∵， ∴， ∴， ∵ ． 13．利用因式分解计算： (1)； (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因数即可求解； （2）原式提取后运用完全平方公式因式分解，然后把整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解题的关键． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知，，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式的应用，由完全平方公式得出，代入计算即可得出的值，再由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ． 15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】300 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解等知识﹒先根据，，得到，再把因式分解为，再整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ ∴ 【题型8 分式的混合运算】 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可； （2）先分解分式，将除法转化为乘法，计算分式的乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先确定符合，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先进行幂运算，变分式除法为乘法，约分化简即可； （2）先将括号内式子通分，再将分子、分母因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据同分母分式加法运算法则即可求解； （）先算括号的分式减法，然后算分式除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算法则等知识点，灵活运用分式的运算法则成为解题的关键． （1）直接利用同分母分式加减运算法则计算即可； （2）直接运用分式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）先把除法变为乘法，并且因式分解，然后即可求解； （2）先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是关键． （1）先将两个分式整理成同分母分式，再按照同分母分式相加减即可； （2）先整理括号内的分式，再将除号变乘号，根据分式的乘法运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算； （1）直接利用分母不变，把分子相加，再约分即可； （2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级上·重庆南川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的加法，再计算分式的除法即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算分式除法，最后计算分式加法即可． 【详解】（1）解： （2） 10．（）化简：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 11．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）将除法转化为乘法然后约分，即可求解； （2）先计算括号内的，然后根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的混合计算，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． （1）先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】（1）解∶ 原式          ． （2）解∶ 原式          14．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键； （1）先通分，然后再进行分式的加减运算； （2）先算括号里，然后再进行分式的除法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则计算小括号内的，然后根据分式除法运算法则进行计算即可； （2）先将小括号内的分式进行约分，然后根据分式加减运算法则计算，最后根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 分式的化简求值】 1．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．首先把分式的分子分母分解因式，再计算括号里面的乘法，然后再变除法为乘法，再约分后相乘即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式． 2．（25-26九年级上·北京顺义·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再将变形，然后整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 4．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解： ∵ ， ∴整数 的值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时， 原式． 7．（25-26九年级上·江西新余·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【详解】解：原式 ； ∵是方程的解， ∴，即， ∴原式． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 10．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）先化简：，再从中选择一个适合的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用分式的乘除法法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．选取代入化简后的代数式即要求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ∴当时，原式． 13．（25-26八年级下·河南郑州·期中）先化简式子，再从如下三个条件中：①，且；②；③，且；选择一个合适的条件代入求值（三个条件中只能选择一个，若不做选择，则默认为①）． 【答案】；选择①，则原式；选择②，则原式；选择③原式 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后分别选择三个条件中的一个条件进行求值即可． 【详解】解： ， ①，时，原式； ②当时，原式； ③当，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴原式． 14．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的，然后利用完全平方公式，平方差公式化简，再算除法化简分式，最后将不等式的非负整数解代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 解不等式得：且是非负整数， 或或， 的值不能取，不能取， 的值只能取0， ． 15．先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3. 【答案】化简为，值为. 【分析】先对第二项两个分式的分子和分母进行因式分解，再约分，然后将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的减法进行计算. 【详解】解：原式                                     将，     原式. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解决本题的关键是能对原分式分母、分子进行因式分解，并进行约分，将异分母分式化为同分母分式，最终的结果能约分的一定要约分. 【题型10 解分式方程】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 2．（25-26八年级上·重庆江北·期末）解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可； （2）去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 4．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1) (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题关键． （1）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程可得的值，再代入进行检验即可得； （2）方程两边同乘以化成整式方程，解一元一次方程可得的值，再代入进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，当时，， 所以方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，当时， 所以不是分式方程的解， 所以方程无解． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，同时要注意验根，避免增根． （1）先整理方程消除分母符号差异，去分母化为整式方程求解，最后验根发现增根，确定方程无解． （2）先对分母因式分解找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，验根后确定解的有效性． 【详解】（1） 通分： 去分母： 去括号： 移项合并同类项： 经检验， 是原方程的增根 ， ∴原方程无解 （2） 去分母：． 去括号：    移项合并同类项： 系数化为1： 经检验， 是原方程的根， ∴原方程的解是． 6．（25-26八年级下·全国·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程： （1）先将分式方程去分母化为整式方程，求出解后再代入检验即可； （2）先将分式方程去分母化为整式方程，求出解后再代入检验即可． 【详解】（1）解：, 方程两边都乘，得：， 解得， 检验：当时，， 是增根， 即分式方程无解； （2）解：， 方程两边都乘，得， ， ， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解是． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 所以，是原方程的根． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键； 根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论进行解答即可． 【详解】（1） 解：方程两边乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 经检验，是原方程的解； （2） 解：方程两边乘，得， 由平方差公式，得， 化简，得， ∴， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 10．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先利用异分母分式加减法化简分式方程为，把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 整理方程为：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解． 11．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】， ， 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，再分情况计算即可． 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 12．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，将原方程变形再计算即可． 【详解】解：原方程变形得，， 化简得，， ， ， ， ， 即， 解得，， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 14．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【题型11 根据分式方程解的情况求值】 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解、求不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先解分式方程得出，根据题意得出且，则有且，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， a的取值范围为且． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘得 整理得， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即 所以把代入得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 5．已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分式方程的解．先求出一元一次不等式的解集，可得该不等式的最小整数解为，再把代入，即可求解． 【详解】解：解不等式，得， 所以该不等式的最小整数解为． 因为是分式方程的解， 所以， 所以． 6．已知关于的方程： (1)当为何值时，原方程无解； (2)当为何值时，原方程的解为负数． 【答案】(1)当或或时，原方程无解． (2)当且时，原方程的解为负数． 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解不等式，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． （1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到的值，然后根据已知条件列出关于的不等式，通过解不等式可以求得的值． 【详解】（1）解：方程两边同乘以得：      解得：， 原方程无解， 或或 当或或时，原方程无解． （2）解：原方程的解为负数 且 当且且时，原方程的解为负数． 当且时，原方程的解为负数． 7．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， 解得， ∵ ∴ 解得 ∴m的取值范围为且． 8．已知是关于的方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)若这个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原方程，解关于的方程即可求解； （2）将，代入原方程，解关于的方程即可求解 【详解】（1）解：依题意，将代入 即 去分母得： 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）将，代入， 即， 解得： 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 9．当为何实数时，关于的方程有解． 【答案】当，时，关于的方程有解 【分析】方程两边同时乘，得，进行计算解得，，根据方程有解得，进行计算即可得． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 整理，得， ∵方程有解， ∴， 解得，， ， 由于分式方程有增根及， 当时，解得：； 当时，解得：； 即当或时，分式方程有增根， 综上，当时，关于的方程有解． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是理解题意，掌握解分式方程的方法，正确计算．注意不要忽视增根的情况． 10．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得． 由分式方程有增根，得． ． 把代入，得． 解得． 的值为． （2）解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 12．（25-26八年级上·山东·阶段练习）（1）当a为何值时，关于x的方程无解？ （2）关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】（1）当、或时，方程无解 （2）、、、 【分析】本题考查了分式方程的无解问题和分式方程的解的应用，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情况（整式方程无解或分式方程产生增根）以及分式方程解的取值范围的确定方法． （1）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程产生增根两种情况讨论，求出的值． （2）先解分式方程，再根据解为非负数且分母不为零的条件，确定正整数的值． 【详解】解：（1） 方程两边同乘得： 展开并整理：，即． 当整式方程无解时，，即． 当分式方程产生增根时，增根为或． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 综上，当、或时，方程无解． （2） 两边同乘得： 展开并整理：，即，解得． 方程的解为非负数，且（即）， ，解得； ，解得． 又 是正整数， 的值为、、、． 13．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 14．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，根据不等式组的解集情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，分别求出分式方程和不等式的解集，根据解和解集的情况求出满足条件的的取值范围，进而得到整数的值，再相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：分式方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 由，得， 由，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴所有满足条件的的取值范围为且， ∴所有满足条件的的整数解有，，，它们的和为． 16．（25-26七年级下·安徽·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． （1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵分式方程有解且解为非负数， ∴且， 解得且． 17．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）或6；（2）且 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）先解方程可得，再根据这个分式方程有增根可得或，由此即可得； （2）先解方程可得，再根据这个分式方程的解是正数可得，然后根据方程有解可得，由此即可得． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 19．（25-26八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查了分式方程的相关知识，正确理解分式方程的增根是关键； （1）先解分式方程求出方程的根，再把增根代入即可求解； （2）根据题意可得：且，再代入方程的解，求解不等式即可； （3）先根据得到x的范围，进而得到方程的整数解，即可得出m的值，再求和即可． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 20．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $