第四章　数列 单元测评卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知数列1,5,5，万，3，V11,…,2n-1,…,则21是这个数列的 () A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 2.(2024·全国甲卷)记Sm为等差数列{a}的前n项和，已知S5=S1o,a5=1,则 a1=() A.2 B.子 c.-青 D. 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，3a2十2a3=a4,{an}的前n项和为Sn,则 =() A.3 B.号 c. D.13 4.已知数列{am}的前n项和Sn满足1og2(Sm十1)=n,则数列的通项公式an=() (1,n=1 A.2,n22 B.2 C.2r1 D.2-1-1 5.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法， 为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4km的正方形纸，最多对 折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为a1,第2次对折后的纸张厚度为a2,…, 以此类推，设纸张未折之前的厚度为a毫米，则a13=() A.212a B.412a C.213a D.413a 6.观察下面的数表： 12 123 1/9 1234 12345 若第n行的各数之和为231，则n=( ) A.15 B.18 C.20 D.21 7.(2025·全国二卷)记Sm为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=一5，则 S6=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 8.(教材原题·P55复习参考题4T33)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能 够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三 等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进 行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1， 把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为C1,C2,C3,C4,则C4=() 3 ④ A.128 B.64 c.等 D. 婴 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.己知数列{an}的通项公式为a,=9一2n,则下列各数中是{a}中的项的是() A.0 B.3 C.5 D.7 10.记Sm为等差数列{am}的前n项和.已知S5=35,a4=11,则() A.an=4n-5 B.4m=2n+3 C.S=2n2-3n D.S=n2+4n 11.等差数列{a}中，是一个与n无关的常数，则该常数可能为( ) 2/9 A.1 B.- C. D.-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6,aga10=一8，则a7= 13.己知等比数列{am}是递增数列，Sm是{a}的前n项和.若a1,a3是方程x2一5x +4=0的两个根，则S6= 14.对于数列{an},若点(n,an)(n∈N都在幂函数x)=2mxm(m为常数)的图象 上，则数列{+}的前n项和S,= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤， 15.(本小题满分13分)等比数列{am}中，a1=1,a=4a. (I)求{an}的通项公式： (2)记Sm为{am的前n项和，若Sm=127,求m. 16.(本小题满分15分)教材原题·P41习题4.3T)已知数列{a}的首项a4=1,且 满足an+1十a,=3X2m, (1)求证：{an一2是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 17.(本小题满分15分)2025年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元， 每年应交付保险费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用， 第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元. 3/9 (I)设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、汽油费及维修费）为f (m),求n)的表达式： (2)这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？ 18.(本小题满分17分)（教材原题·Ps6复习参考题4T)已知等差数列{4}的前n 项和为Sm,且S4=4S2,a2m=2a,十1(n∈N). (1)求数列{am}的通项公式： (2)若bm=3-l,令cn=a,bn,求数列{cm}的前n项和Tn 19.(本小题满分17分)已知公比大于1的等比数列{4n}满足a2十a4=20,a3=8. (I)求{a}的通项公式： (2)记bm为{a,}在区间(0，m(m∈N中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S1oo. 综合测评卷参考答案 1B[观察可知该数列的通项公式为an=V2n-1,令21=2n-1,解得n=11,故 4/9 选B.] 2.B[由S10-S5=a6+a+as+ag+a410=5as=0,得a8=0, 则等差数列{a}的公差d=要=-青，故a1=a5-4d=1-4x(-专)=子 故选B,] 3.B[等比数列{an}的各项均为正数，3a2+2a3=a4,{an}的前n项和为Sn, ∫3a1q+2aq=aq3, …lq>0, 解得q=3, 13】 13 故选B,] 4.C[log2(Sn+1)=n曰Sm+1=2"与Sm=2"-1. 所以an=Sm-Sm-1=2n-2m-1=2m-l(n≥2)， 又41=S1=2-1=1,满足am=2m-1, 因此4n=2n-1.故选C.] 5.C[由题意可得a+1=2an,且a1=2a, 则数列{an}是以2a为首项，2为公比的等比数列， 则a13=2a×212=213a,故选C.] 6.C[设第n行的各数之和为S, 则S1=1+2=3,S2=1+2+3=6,S3=1+2+3+4=10,…, S=1+2+3+4+…+n+0+1)=nm1*2 2 令*1+2=231，即0m+23)0n-20)=0, 2 解得n=20或n=-23(舍去).] 7.B[根据S3=3a2=6得a2=2,根据S5=5s=-5得a3=-1,所以{an}的公 差d=a3-a2=-3,所以a6=a3+3d=-10,所以S6=S5+a6=-5-10=-15. ] 8.(教材原题·P5复习参考题4T33)B[因为每个图形中的一条线段在后一个 3, n=1, 图形中变成四条线段，所以第n个图形的边数M={4W1,≥2，由此可得 N,=3×41.因为每个图形中的每条线段的长度在后一个图形中变为原来的专， 5/9 n=1, 所以第n个图形的边长Tm= T1, ≥2，由此可得I,=(传)”1.于是由 C,=N·T,可得Cw=3×(侍)，则C4=3×(侍)3=皓.」 9.BCD[对于A,0=9-2,解得n=号，故A不满足： 对于B,3=9-2n,解得n=3,故B满足： 对于C,5=9-2n,解得n=2,故C满足； 对于D,7=9-2n,解得n=1,故D满足.] 10.AC[设等差数列的公差为d, 则由S5=35,a4=11, （5a1+10d=35, 可得1a+3d=11 解得a1=-1,d=4, 则am=-1+4(n-1)=4n-5, Sm=14n固=2m2-3n,故选AC.】 2 l1,AC[因为数列{am}是等差数列， 所以设数列{a,}的通项公式为a,=a1+(n-1)d, 则a2n=4+(2n-1)d, 所以密器。 因为器是一个与n无关的常数， 所以41-d=0或d=0, 所以器的值可能是1或·] 12.-2[法一：设数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,得a19· a1g3·a1g=a1g2·a1g5. 又a1≠0，且g≠0，所以可得a1g=1.① 又aa410=a4q3·a1g=￥g7=-8,② 所以由①②可得ql5=-8,q5=-2,所以a7=a1g5=a19·q=-2. 法二：设数列{an}的公比为q.因为a4a5=a3a6≠0，所以a2=1·又aa10=a2q· a293=g5=-8,于是g=-2,所以a=a93=-2.] 13.63.a1,a是方程x2-5x+4=0的两根，且q>1,∴.a=1,a3=4,则公 地g=2,因北8=2=63.】 6/9 14.Vn+1-1[由幂函数的定义知，2m=1,m=克，则)=x对，∴a,= 五，威=h+i-五，8=（柜-+(5-巨）++ (Wn+1-Va)=n+1-1.J 15.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题设得a=q”-1, 由已知得a1·q3=4a1·gf,即g8=4g5,解得q=0(舍去)，q=-2或q=2, 故an=(-2y-1或am=2n-1 2)若=(-2y-1,则8=2 3 由Sm=127得(-2)m=-380,此方程没有正整数解. 若an=2m-1,则Sn=2m-1,由Sm=127得2m=128,解得m=7.综上所述，m= 7 16.(教材原题·P41习题4.3T7)解：(1)由a+1+an=3·2",可得a+1-2m+1= (a-2m,因为a41=1,所以a41-2=-1.从而a+1-2+1=-(an-2≠0.于是 3281 r2°=-1，所以{an-2”}是首项和公比均为-1的等比数列. (2)设数列{a-2”的前n项和为Tn,则Tn=1边_坦 2 .故Sn=Tn+(2+ 22+…+20=9+2m1-2=号+2m1-月 17.解：(1)由题意，每年的维修费构成等差数列，n年的维修总费用为 f0+0.23n1 2 =0.1m2-0.1n万元)， 所以n)=16.9+1.2n+(0.1n2-0.1n) =0.1n2+1.1n+16.9(万元)，n∈N*. (2)这种轿车使用n年的年平均费用为 g-01169=0.1n+92+11 ≥2V0.1n9+1.1=3.7(万元) 当且仅当0.1n=时取等号，此时n=13 故这种汽车使用13年报废最合算， 18.(教材原题·Ps6复习参考题4T1)解：(1)设等差数列{am}的公差为d,则由 S4=4S2,a2m=2an+1(n∈N*)可得 7/9 4a+6d=8a+4d, a+(2m-1)d=2a+2n-1)d+1 a=1, 解得{d=2因此am=2n-1n∈N). (2)由(1)及bm=3m-1,知cn=(2n-1)·3n-l,于是可得数列{cn}的前n项和Tn=1× 30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,从而3Tn=1×31+3×32+5×33+…+(2n- 1)×3n 将以上两式相减，可得-2Tm=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3m=-2-2 (n-1)·3”,所以Tm=(n-1)·3n+1. 19.解：(1)由于数列{a}是公比大于1的等比数列， 设首项为a1,公比为q, ∫d9+dq=20, 依题意有1a92=8, ∫a=2 （a=32 解得1q=2 或 q= (舍)， 所以{an}的通项公式为am=2”,nEN* (2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128， 所以b1对应的区间为(0,1]，则b1=0: b2,b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]， 则b2=b3=1,即有2个1： b4,b5,b6,b对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]， 则b4=b5=b6=b7=2, 即有22个2： b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8=bg= =b15=3, 即有23个3： b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b16=b17=…=b31=4,即有24个4： b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b32=b33=…=b6=5,即有25个5： b64,b65,…,b10对应的区间分别为(0,64，(0,65]，…，(0,100]， 8/9 则b64=b65=…=b100=6,即有37个6. 所以S100=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480. 9/9