专题03 期末复习压轴题21个考点（举一反三期末专项训练）六年级数学上学期沪教版五四制2024

专题03 期末复习压轴题21个考点 【沪教版五四制2024】 【选填压轴篇】 1 【考点1 化简绝对值求最值】 1 【考点2 数轴与绝对值的综合】 4 【考点3 幻方与程序框图】 6 【考点4 一次式的应用】 10 【考点5 由一元一次方程的解求参数】 15 【考点6 线段（含数轴）中的动态问题】 17 【考点7 动角问题】 21 【考点8 与钟面角有关的角度计算】 26 【考点9 规律探究】 29 【考点10 多结论问题】 31 【解答压轴篇】 36 【考点11 含字母的绝对值的化简问题】 36 【考点12 有理数运算的规律探究】 42 【考点13 有理数运算的实际应用】 49 【考点14 解特殊的一元一次方程】 55 【考点15 由一元一次方程的解求参数】 58 【考点16 一元一次方程的实际应用】 63 【考点17 与线段（数轴）有关的定值问题】 70 【考点18 与线段（数轴）有关的动点问题】 77 【考点19 角中的旋转问题】 83 【考点20 实际问题中的角度计算】 93 【考点21 与三角板有关的角度计算】 100 【选填压轴篇】 【考点1 化简绝对值求最值】 【例1】已知，则的最大值是 ．最小值是 ． 【答案】 【分析】先讨论∶ 、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，x最小取，最大取2， 当时，y最小取，最大取2， 当时，z最小取，最大取3 ∴的最大值为∶ ， 的最小值为∶ ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·月考）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 【变式1-2】若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 【答案】C 【分析】根据x的范围化简为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值即可. 【详解】∵， ∴x-p≥0，x-15≤0，x-p-15≤0， ∴ 故当x=15时，的最小值为30-15=15， 故答案为C. 【点睛】本题考查的是绝对值的解法，根据题干判断出绝对值符号里的式子的正负是解题的关键. 【变式1-3】设实数、、满足（），且，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a，b，-c在数轴上的位置，而|x-a|+|x-b|+|x+c|表示数轴上的点到a，b，-c三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】∵ac＜0 ∴a，c异号 ∴a＜0，c＞0 又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a| ∴a＜b＜-c＜0＜c |x-a|+|x-b|+|x+c|表示到a，b，-c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是a与-c之间的距离，即-c-a． 故选D． 【点睛】本题解决的关键是根据条件确定a，b，c，-c之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题． 【考点2 数轴与绝对值的综合】 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 【变式2-1】如图A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若则原点可能是 ． 【答案】B或E 【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点． 【详解】解：当为A为原点时，|a|+|b|＞3， 当B为原点时，|a|+|b|可能等于3， 当C为原点时，|a|+|b|＜3， 当D为原点时，|a|+|b|＜3， 当E为原点时，|a|+|b|可能等于3． 故答案为：B或E． 【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键． 【变式2-2】如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数． 【变式2-3】如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 【考点3 幻方与程序框图】 【例3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为 可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级上·重庆渝中·月考）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 【变式3-2】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ．    【答案】25或 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，由题意得出的关系式，分别求出的值即可，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关字母的值． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ，即． 由图知，的值由，，，2，3，4，6，7中取得， 的值可能为与7或与6或2与3三种情况， ， ， 当，时，，，不符合题意； 当，时，，，不符合题意； 当，，，，符合题意， 则， 当，，，，符合题意， 则， 故答案为：25或． 【变式3-3】如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（    ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．    A．11 B．12 C．21 D．23 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，一元一次方程的实际应用．根据，得到当输入的数字为时，输出结果，设设从1开始，经过次传输，得到，再列出方程进行求解即可．解题的关键是得到输入的数字为时，输出结果． 【详解】解：∵， ∴当，即：时，即可输出结果， 设从1开始，经过次传输，得到， ∴， 解得：． 故选B． 【考点4 一次式的应用】 【例4】在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，由可得，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可． 本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∵， ， ， ，， ， ∴阴影部分的周长和= ， ∴知道的长就可以求出图中阴影部分的周长和． 故选：B 【变式4-1】将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键． 设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果． 【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图： 左上角阴影部分的周长为：， 右下角阴影部分的周长为：， ∴两部分阴影周长值差为： ， ∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可， 故选：A． 【变式4-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则 . 【答案】2m-2n. 【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出2b+a=m，分别表示图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，作差后即可求出答案. 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知2b+a=m， ∴②阴影部分的周长为：=2（m+n）， ∴③阴影部分的周长为：=2m+2（n-a）+2（n-2b）=2m+4n-2(2b+a)= 2m+4n-2m=4n, ∴C2-C3=2（m+n）-4n=2m-2n. 故答案为2m-2n. 【点睛】此题主要考查整式加减的运用，做此类题要善于观察，在第②个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果． 【变式4-3】如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是，最小正方形的周长是，则 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），设，根据正方形的定义可得最小正方形的边长为，而且x和y满足等式：，再根据正方形的周长公式即可得． 【详解】如图，设，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下： 0号：1号+2号得， 5号：1号-2号得， 3号：2号-5号得， 4号：0号-2号-3号得， 7号：3号-4号得， 6号：4号-7号得， 10号：0号-1号得， 9号：0号-4号-6号-10号得， 8号：10号-9号得， 11号：6号-7号得， 或9号-6号得， 因此x和y满足等式：， 整理得：， 所以最大正方形（0号）的周长， 最小正方形（11号）的周长， 则． 【点睛】本题考查了用代数式表示几何图形的周长，设定未知数，利用正方形的性质将最大正方形的周长和最小正方形的周长求出是解题关键． 【考点5 由一元一次方程的解求参数】 【例5】（25-26七年级上·重庆·期末）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 【变式5-1】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 【变式5-2】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆万州·月考）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点6 线段（含数轴）中的动态问题】 【例6】如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 【变式6-1】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运动时间，设运动时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 【变式6-2】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当 s时，Q为线段的“好点”． 【答案】或8 【分析】根据题意，得；分、、三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动 ∴点P到达终点时，用时为： ∵点P，Q同时出发，点P速度点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止 ∴ 如图，Q为线段的“好点” ∵点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动 ∴，则 根据题意，分、、三种情况分析； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意； 当是， ∴ ∵ ∴不符合题意； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求解． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，， ，， ，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵， ， ， ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 【考点7 动角问题】 【例7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 【变式7-1】如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（    ） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案． 【详解】∵∠BOC=120°， ∴∠AOC=60°， ①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时， ∴∠BON=∠AOC=30°， 此时，三角板旋转的角度为90°−30°=60°， ∴t=60°÷10°=6； ②如图，当ON在∠AOC的内部时， ∴∠CON=∠AOC=30°， ∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°， ∴t=240°÷10°=24； ∴t的值为：6或24． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】或/21或3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据角平分线的定义、平角的定义、列方程是解题的关键． 【详解】解： ， 设， ， ， 解得， 即， 所在直线恰好平分， ， ， 或， 解得或， 故答案为：或． 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查了动角问题，角的和差，一元一次方程的应用；当时， 由角的和差得 ，列方程即可求解；当时，同理可求；当时，同理可求；能熟练利用角的和差表示出所求的角，能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， ， ， 解得：； 故答案：秒或秒或秒． 【考点8 与钟面角有关的角度计算】 【例8】我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°． 【答案】或30 【分析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可. 【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°， 分两种情况： 如图： 此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x， 则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°， 解得x=； 如图： 此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x， 则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°， 解得x=30； 综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°， 故答案为：或30 【点睛】本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键． 【变式8-1】从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 【变式8-2】（24-25七年级上·福建福州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 【答案】D 【分析】本题考查了钟表问题的实际应用，一元一次方程，熟练掌握钟表的特征是解题的关键．分针每分钟转，时针转，设分钟后时针与分针第一次成角，则有，再解方程即可求解． 【详解】解：设分钟后时针与分针第一次成角， 根据题意得：， 解得：， 故选：D． 【变式8-3】在2点到4点之间，时针和分针的夹角会有成的情形，请问这个时间点分别是 ． 【答案】2时分或3时整或3时分 【分析】先求出时针、分针每分钟转动的度数，分2点和3点之间，3点和4点之间两种情况，根据角的和差关系列一元一次方程求解． 【详解】解：∵ 时针每60分钟走一大格，即转动，分针每60分钟走一圈，即转动， ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动． 2时，时针与分针的夹角为， 2时和3时之间时，设2时x分，时针和分针的夹角会成， 则或， 解得或（舍）， 即2时分时，时针和分针的夹角会成； 3点时，时针与分针的夹角为， 3时和4时之间时，设3时x分，时针和分针的夹角会成， 则， 解得或（舍）， 即3时整或3时分时，时针和分针的夹角会成， 综上，2时分或3时整或3时分时，时针和分针的夹角会成． 故答案为：2时分或3时整或3时分． 【点睛】本题考查钟表的认识，角的和差关系，一元一次方程的实际应用等，解题的关键是求出时针、分针每分钟转动的度数，注意分情况讨论，避免漏解． 【考点9 规律探究】 【例9】一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式9-1】如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（    ） … A．15 B．16 C．21 D．22 【答案】C 【分析】根据已知，采用枚举法确定其中的规律，计算即可． 【详解】∵第一个图形中有2=1+1条射线，有个角， 第二个图形中有3=2+1条射线，有个角， 第三个图形中有4=3+1条射线，有个角， ∴第六个图形中有7=6+1条射线，有个角， 故选C． 【点睛】本题考查了角中的规律，熟练掌握图形中规律的枚举法寻找策略是解题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案，若第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，则n的值为（    ） A．100 B．99 C．98 D．60 【答案】B 【分析】本题考查图形变化规律，解一元一次方程．用含n的代数式表示出第n个图形中白色地砖及黑色地砖数量，再根据等量关系列方程，解方程即可． 【详解】解：由图可知，第1个图形有6块白色地砖，后面每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖， 第n个图形中黑色地砖有n块，白色地砖数量为：， 由第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，可得：， 解得， 故选：B． 【考点10 多结论问题】 【例10】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 【变式10-1】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵M为线段的中点 ∴ ∴，故②正确； ∵点P在线段上，且到M点的距离为 ∴如图所示，当点P在点M右边时， ∴ ∴ ∴，故④错误； ∴P为线段中点； ∴ ∴，即P为线段的四等分点； 如图所示，当点P在点M左边时， ∴ ∴，故③正确； ∴P为线段中点，故①正确； ∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 【变式10-3】（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 【解答压轴篇】 【考点11 含字母的绝对值的化简问题】 【例11】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 【变式11-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 【答案】(1)    (2)见解析 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查数轴、绝对值： （1）根据题干描述，即可求得答案； （2）化简，分，，三种情况讨论； 数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （3） 数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （4）当时，有最小值； （5）当时，有最小值； （6）当时，有最小值． 【详解】（1）解：与两点之间的距离，和两点之间的距离． 故答案为：   （2）当时，． 当时，． 当时，． 因为， 所以 数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 所以当时，有最小值为． （3）因为， 所以 数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 当时，有最大值，最大值． 故答案为： （4）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （5）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （6）根据题意可知，当时，有最小值， 最小值 ． 故答案为： 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）定义：将三个不等于0的有理数，，两两相除（其中对于，可得，两种商），得到的商是个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这个数为这三个有理数的“互商组”，为该“互商组”的基数． 例如，对于三个有理数1，2，3，得到“互商组”：，，，，，，其基数为6． (1)求，，的“互商组”； (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数，，的“互商组”的基数的所有可能取值； (3)已知三个不等于0的有理数，，的“互商组”是，，，它们在数轴上所表示的点分别是，，（如下图）．若的最小值为4，且，求的值． 【答案】(1)，，的互商组为：，，1； (2)基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6； (3)的值为或375． 【分析】本题主要考查有理数的运算，绝对值的意义，掌握绝对值的意义及有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“互商组”的概念求解即可； （2）根据题意列举，分①若三个有理数为，，；③若三个有理数都不相等，如，，，如，，，③若三个有理数都不相等，如，，，如，，，如1，2，3，再求“互商组”得基数即可； （3）由②可得，当互商组基数为3时，、、中存在两数相等情况，假设，再分情况讨论求的值即可． 【详解】（1）由题意：因为，， 所以，，的互商组为：，，1； （2）①若三个有理数为，，，此时 ②若有两个有理数相等， 如，，，则互商组为，，此时 如，，，则互商组为，，，此时 ③若三个有理数都不相等， 如，，，则互商组为，，，，此时， 如，，，则互商组为，，，，，此时， 如1，2，3，此时， 综上所述，基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6． （3）由②可得，当互商组基数为3时，、、中存在两数相等情况，假设， 则、、中有一个为1，结合数轴可得： 因为最小值为4， 所以当时取到最小值，即，得，． 所以，或 当时，由得，即 所以 当时，由得，即 所以． 综上所述的值为或375． 【变式11-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）对于非零的有理数，当时，；当时，．读以上材料，完成下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)已知个非零的有理数，，…，，，记，，…，，若，试说明：一定能被4整除． 【答案】(1) (2)2或 (3)见解析 【分析】解：本题考查绝对值，有理数的运算，数的整除，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将代入计算即可； （2）因为，分类讨论，若或，代入计算即可； （3）的值为1或，则中每一项的值为1或，由可知，值为1和值为的项数相同，所以是值为的项的个数的2倍，又因为，即，即其中值为的项有偶数个，所以为偶数的2倍，据此即可证明题目所求． 【详解】（1）解：若， ； （2）解：∵， 若， 则； 若， 则， 综上所述，的值为2或； （3）解：∵， 当时，， 当时，， ∴或， 则中每一项的值为1或， ∵， ∴其中值为1和值为的项数相同， ∵一共有项， ∴是值为的项的个数的2倍， ∵， ∴， 即其中值为的项有偶数个，设为有个（为正整数） ∴为的2倍， ∴， ∴一定能被4整除． 【考点12 有理数运算的规律探究】 【例12】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马库斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出：______． 规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为______； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为______． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”； 若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数17，则的值为______． 【答案】素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：32或64． 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键． 素材：设未知数，列方程求解即可； 规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可； 综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解； 拓展延伸：根据题意，验证求解． 【详解】解：素材：设， 解得：， ， 故答案为：； 规律总结：设， 解得：， 当时，，， 故答案为：49，99，101； 综合应用：， ， ， ， … ， 拓展延伸：当时，， 解得：， 此时， ， 当时，， 解得， 此时， ， 故答案为：32或64． 【变式12-1】（25-26七年级上·四川泸州·期末）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题，理解题意，找出规律是解题的关键． （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； （4）先对分式变形，再用裂项相消法计算． 【详解】（1）解：第4个等式： 第个等式：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【答案】(1) (2) (3)2660 【分析】本题主要考查了数字规律、列代数式、有理数的混合运算等知识点，发现规律是解题的关键． （1）类比前3个等式，写出第四个等式即可； （2）根据（1）归纳规律即可解答； （3）按（2）的规律变形原式，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）可归纳第n个等式为． （3）解： ． 【变式12-3】（25-26七年级上·四川·期末）同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 【考点13 有理数运算的实际应用】 【例13】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 … … … … ？ … 【答案】(1)， (2)元 (3) 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用．解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，按照题意的要求计算即可． （１）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可； （２）先计算每天的工资，再相加即可求解； （３）根据题意计算差值即可． 【详解】（1）解：， 日实际产量最多为：（个）， 日实际产量最少为：（个）． 故答案为：，． （2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为： （元）． 答：该厂这一周发放的工资总额为元． （3）解：由题意得，， “？”处的数据为：． 【变式13-1】（25-26七年级上·广东潮州·期末）数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 【答案】（1），41；（2）；（3）小辉的十进制的十位准考证号是2410272108 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的乘方运算及加法运算，根据题目所给定义和规律对题目提供的特殊问题进行讨论和解决是解决此类问题的主要思路． （1）按照题目所给方法计算即可； （2）由题意，先将转化为十进制，再转化为二进制即可求解； （3）将图形中的二进制转化为十进制，进而可得答案． 【详解】解：（1）由题意，， ， 故答案为：，41； （2）由题意，， ， ∴， ∵， ∴； （3）解：第一行：， 第二行：， 第三行：， 第四行：， 第五行：， 所以小辉的十进制的十位准考证号是2410272108． 【变式13-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 福州市地铁实行里程分段计价票制，具体票价标准如下： 起步价：5公里（含5公里）以内为2元． 里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）． 15~29公里（含29公里），每7公里加收1元（不足7公里按7公里计价）． 29公里以上，每9公里加收1元（不足9公里按9公里计价）． 备注： ①乘车途中若出站则需重新购票； ②两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同． 例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为6公里和16公里，乘车途中没有出站，按票价标准的计费分别为3元和5元，则此两站之间的里程应为6公里，票价定为3元． 素材2 福州市地铁通过多条线路形成高效便捷的交通环线，如图所示，从凤岗里站到城门站就有两条不同的线路形成一条环线．（图中各站点间距离均为近似值，帝封江站，城门站，南门兜站和金山站是不同线路的换乘站，整条环线共有26个站点，其余站点暂不标出） 素材3 中学生持学生卡享5折优惠，其中空卡工本费为28元（卡内金额0元，需充值后使用）；通过“e福州”APP乘车码，可享9折优惠． 问题解决 任务1 小莉乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A，B两站之间的最长里程是多少公里？ 任务2 小莉从凤岗里站出发，沿路线1（乘坐5号线再换乘4号线）前往城门站游玩，游玩后再从城门站出发沿路线2（依次乘坐1号线，2号线，5号线）返回凤岗里站，小莉在往返两地的途中没有出站．请你根据素材2中的地铁线路长度，分别计算路线1和路线2按票价标准的计费，并通过大小比较思考小莉往返全程的实际地铁票价． 任务3 若小莉沿路线1在凤岗里站和城门站之间往返，设其往返来回为一次里程，总里程数为a次，请你根据素材3的优惠方式分别用含a的代数式表示办学生卡出行和通过“e福州”出行的总花费，并思考当总里程数为8次时，哪种方式出行更合算． 【答案】任务1：10公里；任务2：路线1和2按票价标准的计费分别为4元和6元，小莉往返全程的实际地铁票价为8元；任务3：当总里程数为8次时，通过“e福州”出行更合算 【分析】本题考查了里程分段计费规则的理解与应用，有理数的加减法运算及逻辑推理． 任务1：先明确各里程段计费规则，根据票价判断里程范围，计算超过5公里部分的费用及里程最终计算出A、B两站间的最大里程即可； 任务2：根据地铁线路及各段里程，结合里程分段计价规则，分别计算两条线路的票价即可； 任务3：根据任务2和素材3得到路线1和路线2的里程和票价，再用含a的代数式表示两种出行方式的总花费并比较，分析办学生卡和“e福州”的优惠方式，最终比较出两种出行方式的总花费即可得到结果． 【详解】解：任务1： ∵起步价：5公里（含5公里）以内为2元，里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）， ∴当票价为3元时，A、B两站之间最长里程是（公里）， 即当票价为3元时，A、B两站之间最长里程是10公里； 任务2： ∵路线1地铁线路长度为（公里）， ∴路线1按票价标准的计费为（元）， ∵路线2地铁线路长度为（公里）， ∴路线2按票价标准的计费为（元）， ∵，两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同， ∴从凤岗里站到城门站的票价应为4元， ∴小莉往返全程的实际地铁票价为（元）， 即路线1和2按票价标准的计费分别为4元和6元，小莉往返全程的实际地铁票价为8元； 任务3： 由任务2和素材3可知， 办学生卡出行的总花费为：（元）， 通过“e福州”出行的总花费：（元）， 当时， （元）， （元）， ∵， ∴当总里程数为8次时，通过“e福州”出行更合算． 【变式13-3】（25-26七年级上·北京·期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，请你根据以下素材帮助小明探索在实际购买过程中哪种活动更优惠． 【素材1】超市的纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元减10元，满200元减30元，满300元减60元，，上不封顶． 活动二：所有商品打折． 【素材2】小明家用的两种纸巾信息如下：1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋；1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱． 【素材3】小明家平均3天用1包清风牌纸巾，平均5天用1包4D溶纸巾． 【解决问题】 按需要存半年（按180天计算）的量计算， (1)小明家半年需要消耗清风牌纸巾_____袋，消耗4D溶纸巾_____箱； (2)小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． ①小明需要购买2种纸巾，其中需要购买4D溶纸巾箱，在不参与促销活动的前提下，所需的总费用为_____元（用含的代数式表示）； ②当时，若小明选择活动一，则所需的总费用为_____元； ③若小明家4D溶纸巾没有存货，选择哪种活动更优惠？请说明理由． 【答案】(1)5，3 (2)①；②190；③活动一，见解析 【分析】（1）根据题意，（袋），（箱）解答即可； （2）①根据题意，小明需要购买清风牌纸巾（袋），需要购买4D溶纸巾箱，列代数式得（元）； ②当时，（元），选择活动一，满200元减30元，故所需的总费用为元； ③根据题意，时，（元），选择活动一，满300元减60元，故所需的总费用为（元）；选择活动二，（元），解答即可． 本题考查了代数式的值，有理数的运算，打折，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，（袋），（箱）， 故答案为：5，3． （2）解：①根据题意，小明需要购买清风牌纸巾（袋），需要购买4D溶纸巾箱，列代数式得（元）， 故答案为：； ②解：当时，（元）， 选择活动一，满200元减30元， 故所需的总费用为（元）， 故答案为：190； ③解：活动一更优惠； 根据题意，时，（元）， 选择活动一，满300元减60元， 故所需的总费用为（元）； 选择活动二，（元）， 故活动一更优惠． 【考点14 解特殊的一元一次方程】 【例14】（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 【变式14-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，进一步变形得到，再去括号解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式14-2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 【变式14-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 【考点15 由一元一次方程的解求参数】 【例15】（25-26七年级上·山东日照·月考）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 【变式15-1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1： ， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 【变式15-2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ②解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 【变式15-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点16 一元一次方程的实际应用】 【例16】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 【变式16-1】（25-26七年级上·江西南昌·月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)3750；6000 (2)213本 (3)第一次购买的数量为550本 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据售价表计算即可； （2）求出购买量位于第二阶梯，用总价减去第一阶梯的总价，再除以第二阶梯的单价即可； （3）设第一次购买本，第二次购买本，分情况求解即可． 【详解】（1）解：若购买350本这种经典名著，需花费元； 若购买650本这种经典名著，需花费元； 故答案为：3750；6000； （2）解：元， 元， 因为， 所以购买数量在200本到500本之间 超过200本的部分花费： （元），对应数量为（本）． 总数量： （本）； （3）解：设第一次购买本，第二次购买本． 分情况计算： 若，则第二次，花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：，化简后等式不成立，排除； 若，则第二次（且200），花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：， 解得，符合条件． 答：第一次购买的数量为550本． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 【变式16-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【答案】(1)17 (2)①；②；所有符合条件的k值为8或12或16；当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3；当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8；当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1．当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6 【分析】（1）根据“协同搬运指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先搬运指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为，“乙优先搬运指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的货架编号和乙最终停留的货架编号，然后根据甲、乙的位置间距为3个货架单位列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令” ∴甲移动后表示的数为，乙移动后表示的数为， ∴ ∴甲、乙两台机器人之间的货架间距为17个单位长度， 故答案为：； （2）解：①设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为， 故答案为：； ②∵“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为， ∴“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为 ∵设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为； ∴乙最终停留的货架编号为； ∵此时甲、乙的位置间距为3个货架单位， ∴ 整理得， ∵k和n都是正整数，且， ∴ ∴当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的k值为8或12或16； 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3； 当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8； 当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1． 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6； 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． 【考点17 与线段（数轴）有关的定值问题】 【例17】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及到线段长度、中点坐标、绝对值方程以及定值问题，熟练掌握数轴上点的运动规律和相关代数运算技巧是解题的关键． （1）根据点的数和的长度求出点的数，再根据的长度求出点的数． （2）先表示出运动秒后点、的位置，进而得出、的位置，再根据列方程求解． （3）先表示出和的长度，再代入，根据定值的条件求出的值． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为， ， 点对应的数为； （2）解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， ，（）， ， ， 当，即时， ， （舍去）， 当，即时， ， ， ， ∴所以t为时，； （3）解：（点在点左侧，）， ， ， 为定值， ， 解得， ∴存在常数使得为定值． 【变式17-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 【变式17-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 【变式17-3】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 【考点18 与线段（数轴）有关的动点问题】 【例18】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式18-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)m的值为3，的长度为5 (4)t的值为或 【分析】本题考查了数轴两点间的距离和一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意，将进行代入求解即可； （2）根据中点坐标公式求解即可； （3）先根据题意求出点R表示的数，再求出，再根据R，D两点间的距离保持不变进行求解即可； （4）先求出和，再根据进行分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，点表示的数：； 点表示的数：； ∴ 故答案为：4； （2）解：由（1）得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的数为：； （3）解：由题意得，点R表示的数：； ∴． ∵距离保持不变， ∴t的系数为0， ∴ 解得， 此时； （4）解：由题意得，，， ∵， ∴， 分情况讨论：当时：， 解得； 当时：， 解得； 当时：， 解得，故此情况无解． 综上所述，t的值为或． 【变式18-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)12或24 (2)①2.5或3.5；②2或 【分析】本题考查了一元一次方程、路程问题，数形结合思想，将几何问题转化为方程模型，对知识的综合应用的要求比较高． （1）点C在直线上，故分两种情况：①点C在点B左侧，②点C在点B右侧，再根据，求解； （2）①以点A为原点建立数轴，用含t的代数式表示出，列方程求t； ②分点P与点Q相遇前和相遇后两种情况，用含t的代数式表示出，再由列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①当点C在点B左侧时，， ②当点C在点B右侧时，， ∴， ∴； 故答案为：12或24； （2）解：①令点A表示的数为0，则点B表示的数为16，点D表示的数为4，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵不确定点P在点B左侧还是右侧， ∴， ∴， 解得：或， 答：当t为秒或秒时，； ②当点P与点Q相遇时，， 即， 解得：， 分两种情况： Ⅰ．点P与点Q相遇前即时， ，，， 当时，， 解得：或（不合题意，舍去）； Ⅱ．点P与点Q相遇后即时， ， ， ， 当时，， 解得：， 故答案为：2或． 【变式18-3】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论； （3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 【考点19 角中的旋转问题】 【例19】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 【变式19-1】已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式19-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【答案】(1)135；120；75 (2)①或；②4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间． ①当时，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分，，及四种情况考虑，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，； ； ． 故答案为：105，120，75； （2）解：（秒），（秒），（秒），（秒）． ①当时，，， ∴， 即或， 解得：或． 答：t的值为3或； ②当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴， 即或， 解得：或； 当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴，舍去． 综上所述，t的值为4或． 故答案为：4或． 【变式19-3】已知，、是内部的两条射线． (1)如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图，若、分别平分，且，若，求和的度数； (3)如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为，的度数为 (3)秒或秒 【分析】本题考查几何图形中角的计算，角平分线的定义， （1）利用角平分线的定义求出，可得结论； （2）设，则，，构建方程求解； （3）①当时，②当时，当时，列方程即可得到结论； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）设，则，， ∵、分别平分， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， 即的度数为，的度数为； （3）①当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或； ②当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或； ③当时， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去； 综上所述，的值为秒或秒． 【考点20 实际问题中的角度计算】 【例20】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【变式20-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 【变式20-2】游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12；45 (2)①；②转动时间为， ；③存在，t的值为或 【分析】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键． （1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而占其中的两份即可得解； （2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解； ②作的角平分线交于，则，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时转动的角度也是，从而求出； ③用t表示出和，再利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：，， 故答案为：12；45； （2）①∵，， ∴， 又∵， ∴； ②作的角平分线交于， 则， ∴，即转动的角度是， ∴转动时间为，转动的角度也是， ∴等于转动的角度减去原来的角度， 即； ③存在，t的值为或，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴点到达到最高处时，时间为：， ∴． 依题意得：，， ∵，即， 解得：或， ∴存在，t的值为或． 【变式20-3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：① 平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 【考点21 与三角板有关的角度计算】 【例21】如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)的度数为 【分析】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据的度数和的度数可以得到的度数； （3）根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到的度数． 【详解】（1）解：，， ,， 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ， ， ， ， 即的度数为． 【变式21-1】（24-25六年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图1摆放，使，在同一条直线上，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，其它条件不变，得到图2，请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． （2）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，，在同一条直线上， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴． 【变式21-2】（24-25六年级下·山东东营·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【答案】(1)； (2) ；当在的内部时，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平角、余角的定义，角度和差，角平分线的定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用平角、余角的定义可求解； （）由平角定义得，又恰好平分，，然后通过余角定义即可求解； 由题意得，通过，，得出，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 当在的内部时，，理由如下： 由题意得， ∵，， ∴， ∴． 【变式21-3】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】此题主要考查角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是熟知角平分线的定义及角度的运算法则． （1）设，则，根据得到方程，故可求出x，故可求出的度数； （2）根据平分，得到，再根据故可求解； （3）分别表示出，，由此即可得到和的关系． 【详解】（1）解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ； （3）解：， 理由：当始终在的内部时，， ， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题21个考点 【沪教版五四制2024】 【选填压轴篇】 1 【考点1 化简绝对值求最值】 1 【考点2 数轴与绝对值的综合】 2 【考点3 幻方与程序框图】 2 【考点4 一次式的应用】 4 【考点5 由一元一次方程的解求参数】 6 【考点6 线段（含数轴）中的动态问题】 6 【考点7 动角问题】 7 【考点8 与钟面角有关的角度计算】 8 【考点9 规律探究】 9 【考点10 多结论问题】 10 【解答压轴篇】 11 【考点11 含字母的绝对值的化简问题】 11 【考点12 有理数运算的规律探究】 12 【考点13 有理数运算的实际应用】 15 【考点14 解特殊的一元一次方程】 18 【考点15 由一元一次方程的解求参数】 18 【考点16 一元一次方程的实际应用】 19 【考点17 与线段（数轴）有关的定值问题】 21 【考点18 与线段（数轴）有关的动点问题】 22 【考点19 角中的旋转问题】 24 【考点20 实际问题中的角度计算】 26 【考点21 与三角板有关的角度计算】 28 【选填压轴篇】 【考点1 化简绝对值求最值】 【例1】已知，则的最大值是 ．最小值是 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·月考）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 【变式1-3】设实数、、满足（），且，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【考点2 数轴与绝对值的综合】 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若则原点可能是 ． 【变式2-2】如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【变式2-3】如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【考点3 幻方与程序框图】 【例3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【变式3-1】（24-25七年级上·重庆渝中·月考）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 【变式3-2】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ．    【变式3-3】如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（    ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．    A．11 B．12 C．21 D．23 【考点4 一次式的应用】 【例4】在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则 . 【变式4-3】如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是，最小正方形的周长是，则 ． 【考点5 由一元一次方程的解求参数】 【例5】（25-26七年级上·重庆·期末）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【变式5-1】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆万州·月考）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【考点6 线段（含数轴）中的动态问题】 【例6】如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【变式6-1】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 【变式6-2】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当 s时，Q为线段的“好点”． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【考点7 动角问题】 【例7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【变式7-1】如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（    ） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【变式7-2】（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 【考点8 与钟面角有关的角度计算】 【例8】我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°． 【变式8-1】从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级上·福建福州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 【变式8-3】在2点到4点之间，时针和分针的夹角会有成的情形，请问这个时间点分别是 ． 【考点9 规律探究】 【例9】一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【变式9-1】如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（    ） … A．15 B．16 C．21 D．22 【变式9-2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案，若第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，则n的值为（    ） A．100 B．99 C．98 D．60 【考点10 多结论问题】 【例10】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【变式10-1】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式10-3】（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【解答压轴篇】 【考点11 含字母的绝对值的化简问题】 【例11】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【变式11-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）定义：将三个不等于0的有理数，，两两相除（其中对于，可得，两种商），得到的商是个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这个数为这三个有理数的“互商组”，为该“互商组”的基数． 例如，对于三个有理数1，2，3，得到“互商组”：，，，，，，其基数为6． (1)求，，的“互商组”； (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数，，的“互商组”的基数的所有可能取值； (3)已知三个不等于0的有理数，，的“互商组”是，，，它们在数轴上所表示的点分别是，，（如下图）．若的最小值为4，且，求的值． 【变式11-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）对于非零的有理数，当时，；当时，．读以上材料，完成下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)已知个非零的有理数，，…，，，记，，…，，若，试说明：一定能被4整除． 【考点12 有理数运算的规律探究】 【例12】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马库斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出：______． 规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为______； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为______． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”； 若（且，均为不大于7的正整数）的分解中有奇数17，则的值为______． 【变式12-1】（25-26七年级上·四川泸州·期末）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【变式12-3】（25-26七年级上·四川·期末）同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【考点13 有理数运算的实际应用】 【例13】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 … … … … ？ … 【变式13-1】（25-26七年级上·广东潮州·期末）数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 【变式13-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 福州市地铁实行里程分段计价票制，具体票价标准如下： 起步价：5公里（含5公里）以内为2元． 里程价：5~15公里（含15公里），每5公里加收1元（不足5公里按5公里计价）． 15~29公里（含29公里），每7公里加收1元（不足7公里按7公里计价）． 29公里以上，每9公里加收1元（不足9公里按9公里计价）． 备注： ①乘车途中若出站则需重新购票； ②两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度，且往返票价相同． 例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为6公里和16公里，乘车途中没有出站，按票价标准的计费分别为3元和5元，则此两站之间的里程应为6公里，票价定为3元． 素材2 福州市地铁通过多条线路形成高效便捷的交通环线，如图所示，从凤岗里站到城门站就有两条不同的线路形成一条环线．（图中各站点间距离均为近似值，帝封江站，城门站，南门兜站和金山站是不同线路的换乘站，整条环线共有26个站点，其余站点暂不标出） 素材3 中学生持学生卡享5折优惠，其中空卡工本费为28元（卡内金额0元，需充值后使用）；通过“e福州”APP乘车码，可享9折优惠． 问题解决 任务1 小莉乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A，B两站之间的最长里程是多少公里？ 任务2 小莉从凤岗里站出发，沿路线1（乘坐5号线再换乘4号线）前往城门站游玩，游玩后再从城门站出发沿路线2（依次乘坐1号线，2号线，5号线）返回凤岗里站，小莉在往返两地的途中没有出站．请你根据素材2中的地铁线路长度，分别计算路线1和路线2按票价标准的计费，并通过大小比较思考小莉往返全程的实际地铁票价． 任务3 若小莉沿路线1在凤岗里站和城门站之间往返，设其往返来回为一次里程，总里程数为a次，请你根据素材3的优惠方式分别用含a的代数式表示办学生卡出行和通过“e福州”出行的总花费，并思考当总里程数为8次时，哪种方式出行更合算． 【变式13-3】（25-26七年级上·北京·期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，请你根据以下素材帮助小明探索在实际购买过程中哪种活动更优惠． 【素材1】超市的纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元减10元，满200元减30元，满300元减60元，，上不封顶． 活动二：所有商品打折． 【素材2】小明家用的两种纸巾信息如下：1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋；1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱． 【素材3】小明家平均3天用1包清风牌纸巾，平均5天用1包4D溶纸巾． 【解决问题】 按需要存半年（按180天计算）的量计算， (1)小明家半年需要消耗清风牌纸巾_____袋，消耗4D溶纸巾_____箱； (2)小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． ①小明需要购买2种纸巾，其中需要购买4D溶纸巾箱，在不参与促销活动的前提下，所需的总费用为_____元（用含的代数式表示）； ②当时，若小明选择活动一，则所需的总费用为_____元； ③若小明家4D溶纸巾没有存货，选择哪种活动更优惠？请说明理由． 【考点14 解特殊的一元一次方程】 【例14】（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）解方程： 【变式14-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程 【变式14-2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式14-3】解方程： (1) (2) 【考点15 由一元一次方程的解求参数】 【例15】（25-26七年级上·山东日照·月考）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【变式15-1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【变式15-2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【变式15-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【考点16 一元一次方程的实际应用】 【例16】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【变式16-1】（25-26七年级上·江西南昌·月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【变式16-2】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【变式16-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【考点17 与线段（数轴）有关的定值问题】 【例17】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【变式17-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【变式17-3】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【考点18 与线段（数轴）有关的动点问题】 【例18】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【变式18-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 【变式18-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 【变式18-3】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【考点19 角中的旋转问题】 【例19】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【变式19-1】已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【变式19-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【变式19-3】已知，、是内部的两条射线． (1)如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图，若、分别平分，且，若，求和的度数； (3)如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） 【考点20 实际问题中的角度计算】 【例20】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【变式20-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【变式20-2】游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式20-3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【考点21 与三角板有关的角度计算】 【例21】如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【变式21-1】（24-25六年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图1摆放，使，在同一条直线上，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，其它条件不变，得到图2，请直接写出的度数______． 【变式21-2】（24-25六年级下·山东东营·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【变式21-3】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $