第二章 相交线与平行线【章末复习】 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件系统梳理了相交线与平行线的核心知识，涵盖对顶角、补角、垂线等概念，平行线的判定与性质及尺规作图。通过概念对比表和逻辑关系图串联知识点，如明确“角的数量关系→直线位置关系”为判定，反之则为性质，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层复习策略，设置基础辨析题如指出图形中的同位角内错角，实际应用题如公路走向判断，中考综合题如机器狗站立角度计算。通过情境化练习培养学生的推理能力和应用意识，教师可借助知识框架图和错题诊断精准把握学情，提升复习效率。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 章末复习 第二章 相交线与平行线 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 平 行 线 概念 两直线平行的条件 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 同位角相等，两直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 两直线平行的性质 第二章 相交线与平行线 教学课件教学过程内容 第1页：导入与相交线概念 1. 情境导入：展示生活中的相交线实例（如十字路口、窗格边框），提问“这些线的位置关系有什么特点？”引导学生观察相交现象。2. 概念讲解：明确相交线定义——两条直线有且只有一个公共点时，称这两条直线为相交线，这个公共点为交点。3. 对顶角与邻补角：结合相交线模型，指出对顶角（如∠1与∠3）和邻补角（如∠1与∠2），引导学生观察其位置和数量关系。 第2页：对顶角与邻补角性质探究 1. 小组探究：让学生测量对顶角和邻补角的度数，记录数据并猜想性质。2. 性质总结：师生共同归纳——对顶角相等；邻补角之和为180°（互补）。3. 小练习：给出相交线图形，让学生快速说出对顶角和邻补角，并计算未知角的度数（如已知∠1=60°，求∠3和∠2的度数）。 第3页：平行线概念与判定方法（一） 1. 平行线定义：展示平行实例（如铁轨、书桌对边），定义同一平面内不相交的两条直线为平行线。2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。3. 判定方法1：引导学生观察“同位角相等”的模型（平移三角板画平行线），得出结论——同位角相等，两直线平行。 第4页：平行线判定与性质应用 1. 判定方法拓展：通过同位角性质推导内错角相等、同旁内角互补的判定方法。2. 例题讲解：已知图形中∠1=∠2（内错角），证明两直线平行；已知两直线平行，求同旁内角的度数。3. 课堂小结：梳理相交线（对顶角、邻补角）和平行线（定义、公理、判定与性质）核心知识点，强调“角的关系”与“线的平行关系”的转化。 知识回顾 1.对顶角：直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 两个特征: (1) 具有公共顶点； (2) 角的两边互为反向延长线。 对顶角相等 A C B D O 1 4 3 2 A C B D O 1 4 3 2 2. 补角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。 简称这两个角互补。 3.余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。 表示方法： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 它们的交点叫做垂足(如图O点) C D A B O ① 如图① 记作：AB⊥CD 如图②记作：l ⊥ m O ② l m 4.垂线 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 P A B O l C 线段 PO 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离。 5.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 具有∠1与∠5这样位置关系的角称为同位角。 具有∠4与∠6这样位置关系的角称为内错角。 具有∠4与∠5这样位置关系的角称为同旁内角。 A B C 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 A B C D E F G H EF∥GH 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 c b a 几何语言： 如果 b∥a,c∥a, 那么 b∥c。 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 判定 性质 角的数量关系 直线的位置关系 角的数量关系 判定：证平行，用判定 性质：知平行，用性质 6.平行线的性质与判定 (1) 借助三角尺画平行线。 a (1)落 (2)靠 (3)推 (4)画 P b 7. 尺规作图做已知直线的平行线 过点P作直线b 则c∥a 作∠2=∠1 （1） （2） （3） （4） (2) 通过画相等的同位角来构造平行线 作一个角等于已知角 作PQ⊥a 连接PS，则b∥a 作l⊥a，取RS=PQ （1） （2） （3） （4） 作一条线段等于已知线段 (3) 如图，利用 “在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行”作图 解：同位角：∠DCE与∠FEG (同位角“F”型) 内错角：∠DEC与∠ECB (内错角“Z”型) 同旁内角：∠ACE与∠DEC (同旁内角“U”型) 互余的角： ∠DCE与∠ECB 互补的角： ∠ECA与∠ECB 知识技能 1.指出下图中的同位角、内错角、同旁内角，以及互为余角的角、互为补角的角。 30° A B C D E F G 答案不唯一 2.如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东 42°。甲，乙两地同时开工，若干天后公路准确接通。从乙地测，所修公路的走向是南偏西多少度？为什么？ 北 北 甲 乙 42° 解：由“两直线平行，内错角相等”可知乙地所修公路的走向是南偏西 42°。 3.如图，点 D 是线段 BC 上的一点，请用尺规过点 D 作直线EF，MN，使 EF∥AB， MN∥AC，并判断 EF 和 MN 相交所成的锐角与 ∠A 的数量关系。 B A C D M N E F 解：如图所示。 EF 和 MN 相交所成的锐角等于∠A。 4.如图，直线 a 与直线 b 平行吗？请说明理由。 a b c 45° 135° 1 解：a∥b。 由图可知， ∠1 = 135°(对顶角相等)， ∠1 + 45°=180°， 所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。 (1) 4.如图，直线 a 与直线 b 平行吗？请说明理由。 a b c 110° 70° 1 (2) 解：a∥b。 由图可知， ∠1 = 180°-110°= 70°， 所以 a∥b (同位角相等，两直线平行)。 5.在下列各图中，a∥b，分别计算∠1 的度数。 解 因为 a∥b， 所以 ∠1=90°。 (两直线平行同位角相等) a b c （1） 1 a b c 36° 1 （2） 解 因为 a∥b， 所以 ∠2 = 36°， (两直线平行，同位角相等) 所以∠1=180°- 36°= 144°。 2 5.在下列各图中，a∥b，分别计算∠1 的度数。 a b c 120° 1 （3） 解 由图可知， ∠2=120°(对顶角相等)。 又因为 a∥b， 所以 ∠1=180°-∠2=60°。 (两直线平行，同旁内角互补) 2 5.在下列各图中，a∥b，分别计算∠1 的度数。 6.意大利的比萨斜塔始建于 1174年，1350年完成。因奠 基不慎，致塔身倾斜。目前，它与地面所成的较小的角为 85°(如图所示)，它与地面所成的较大的角是少度？为什么？ 85° 2 解 由图可知 ∠2 = 180°- 85°=95° 答：它地面所成的较大的角是95°。 数学理解 7.如图，如果 ∠B 与∠C 互补，那么哪两条直线平行？ ∠A 与哪个角互补，可以保证 AD//BC？ A B C D 解 因为 ∠B 与∠C 互补， 所以 DC∥AB (同旁内角互补，两直线平行)。 ∠A 与∠B互补，则 AD∥BC。 8.直线a，b，c，d 如图所示。 (1) 如果a∥b，那么图中有哪些相等的角和互补的角？ a b c 3 d 1 2 4 5 6 解： 相等的角： ∠1=∠2 ∠1=∠3 ∠2=∠3 互补的角： ∠3与∠4 ∠5与∠6 ∠1与∠4 ∠2与∠4 (2) 要使c∥d，需要哪两个角相等？ a b c 3 d 1 2 4 5 6 解 ①若 ∠4 =∠6 则 c∥d (内错角相等，两直线平行) ②若 ∠3 =∠5 则 c∥d (同位角相等，两直线平行) 8.直线a，b，c，d 如图所示。 ※9. 如图，已知点 P 在直线 l 外，利用如下方法也可以 作出过点 P 与直线l平行的直线： 在直线 l 上任取一点 A，以点 A 为圆心，以 AP 的长为半径作弧，交直线 l 于点 B；以点 P 为圆心，以 PA 的长为半径作弧；以点 A 为圆心，以 PB 的长为半径作弧，交前弧于点 C；作直线 PC，则PC∥l。 (1) 这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？ (提示：连接 PA ) 解：作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 (2) 如何说明这种作法的道理？ 解：由第一步得 AB = AP 由第二、三步得 PC = AP，PB = AC 所以 △PAB≌△APC 所以 ∠PAB = APC 所以 PC∥l (内错角相等，两直线平行) (3)连接 PB，AC，在图中能发现你熟悉的图形吗? 解：连接 PB， AC， 此时四边形PBAC为平行四边形。 问题解决 10.如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B=140°，第二次拐的角∠C是多少度？ 解 因为 拐弯前后两条路互相平行， 所以 ∠C =∠B =140°。 (两直线平行，内错角相等) 答：第二次拐的角∠C 是140°。 B C 11. 一个人从 A点出发沿北偏东 60°方向走到 B 点，再 从 B 点出发沿南偏西 20°方向走到 C 点，那么∠ABC是多少度？ A B C 北 北 60° 20° M N 解 根据题意作图 ∠MAB =∠ABN = 60°。 (两直线平行，内错角相等) 因为 ∠CBN = 20°， 所以 ∠ABC = ∠ABN- ∠CBN = 40°。 12.如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后 将红球撞入袋中，此时∠1 = ∠2，并且∠2 +∠3=90°。如果∠3 = 30°，那么 ∠1 应等于多少度，才能保证红球直接入袋？ 1 2 3 解 因为 ∠2 +∠3 = 90°，∠3 = 30°， 所以 ∠2 = 60°。 又因为 ∠1 =∠2， 所以 ∠1 = 60°。 答：∠1 应等于60°，才能保证红球直接入袋。 13.如图所示的是河南社旗县清代山陕会馆中窗棂图案的一部分。其中有哪些平行的线？请你设计一种类似的窗棂图案。 ※ 14. 从下面的第一个图出发，通过不断地作平行线，你就能得到一个美丽的图案。请你试一试。 先作一个正方形，再作该正方形旋转 45°后的正方形，接下来不断向外作外接正方形，即可得到第三个图案，依次对最外层形成的三角形涂上颜色，即可得到最终的图形。 联系拓广 ※ 15. 适当地剪几刀，可以把图中的十字变成一个正方形，有人说剪两刀就可以，你相信吗？不妨试试看。 1.在十字形中取两个相邻的小正方形沿对角剪一刀。 2.垂直于上面剪开的直线并过该线的点再剪一刀。 3.此时十字形被剪成了4个图块，移动拼上4个图块就是正方形了。 16. 结合你的学习经验谈一谈观察、操作、推理、交流等方法在研究几何图形过程中的作用。 一、核心考点巩固 考点1 对顶角、余角和补角 1.如图，直线，相交于点 ， ， ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 中考考法 37 2.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中 的图形有 ( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 中考考法 38 考点2 与垂直有关的概念及性质 3. 如图，笔直的公路一侧有两棵小树， ，张希 测得，，则点到公路 的距离可能为( ) A A. B. C. D. 中考考法 39 4.下列图形中，线段的长表示点到直线 的距离的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 40 5.（12分）如图，直线，相交于点， 。 （1）若 ， ，则 _____。 （2）若，判断与 的位置关系，并说明理由。 解：。理由如下：因为，所以 。 又因为,所以 。 所以 。所以 。 中考考法 41 （3）若，求和 的度数。 解：因为,所以。所以 。 因为，所以 ，所以 。所以 , 。 中考考法 42 考点3 同位角、内错角、同旁内角 6.[南京月考] 如图，直线，分别被和 所截，下列结论错误 的是( ) C （第6题） A.与 是一对内错角 B.与 是一对同位角 C.与 是一对内错角 D.与 是一对同旁内角 中考考法 43 考点4 平行线的性质与判定 （第7题） 7.[自贡中考] 如图，一束平行光线穿过一张对边平行 的纸板，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 44 8. [石家庄期末] 随着人工智能技术的进步，机器狗正变 得越来越“聪明”。它们不仅能完成预设任务，还能通过机器学习不断优 化自身行为。如图所示，机器狗平稳站立时， ， ， ,此时 的度数为_____。 中考考法 45 9.（8分）如图，在四边形中，点在 的 延长线上，点在的延长线上，连接， 相 交于点， ， 平分 ， 。 （1）试说明： 。 解：因为 ， ， 所以，所以 。 中考考法 46 （2）与 的位置关系如何？请说明理由。 解： 。理由如下： 因为平分 ， 所以 。 因为 ， 所以，所以 。 中考考法 47 10.（4分）如图，点，，， 在一条直线上， 与交于点，， ， 。试说明： 。 解：因为， ， 所以 ， 所以，所以 。 因为，所以 ， 所以，所以 。 中考考法 48 考点5 用尺规作直线的平行线 11.（4分）尺规作图：如图，在内有一点，过点 作直线 ，交于点 。（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，直线 即为所求。 中考考法 49 二、思想方法演练 思想1 方程思想 12.（4分）如图，，，判断 是否平分 ，并说明理由。 中考考法 50 解：平分 。理由如下： 因为，所以可设，则， 。 因为，所以 , 即 ，解得 。 所以 , 。 所以 。 所以，即平分 。 中考考法 51 思想2 分类讨论思想 13.（8分）如图，直线，交于点，射线 平 分， 。 （1）求 的度数； 解：因为 ， 所以 。 因为平分 ，所以 。 所以 。 中考考法 52 （2）若射线于点，请补全图形，并求 的度数。 解：①当射线在直线 左侧时，如图①。 因为，所以 ， ②当射线在直线右侧时，如图②。因为 ，所以 ，所以 。 综上所述， 或 。 所以 。 中考考法 53 $