精品解析：江苏省苏州大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期高一数学周练12 （试题范图：前四章及三角函数的概念、同角关系、诱导公式（1） 一、单项选择：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则p的否定是（ ） A. , B. ， C. ， D. ， 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 4. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（ ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A. 41 B. 43 C. 45 D. 47 6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 终边落在直线上的角的集合是 C. 若为第二象限角，则 D. 函数的定义域为 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，均有，且当时，恒有，则（ ） A. B. 当时，函数为减函数 C. 当时，的图像关于点对称 D. 当时，若为二次函数，且则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是______. 13. 计算的值为______. 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 16. （1）已知角α的终边经过点，求α的正弦值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：（，a为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（注：4小时内意思是小于或等于4小时）． （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高？并求出最大值； （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数a的取值范围． 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若，求x的取值范围． 19. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）证明：当时，； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一数学周练12 （试题范图：前四章及三角函数的概念、同角关系、诱导公式（1） 一、单项选择：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集，由，得，又， 所以. 故选：C 2. 若命题，，则p的否定是（ ） A. , B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】含有一个全称量词的否定，将全称量词改为存在量词再把结论否定即可. 【详解】命题，，则p的否定是， 故选：D 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式将转化为锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数数值求解. 【详解】 故选： 4. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当为第一或第四象限角时， ， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件， 当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角， 所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（ ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A. 41 B. 43 C. 45 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】设，则由题意(万公里)， 设至少对折次，纸张厚度超过38万公里， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 故选：B. 6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解. 【详解】的定义域为A， 所以， 所以或， ①当时，, 满足， 所以符合题意； ②当时， ， 所以若， 则有或， 所以或（舍） ③当时， ， 所以若， 则有或（舍）， ， 综上所述，， 故选：B. 7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用临界值结合对数的运算性质及对数函数性质判断即可. 【详解】由题意结合对数的运算性质得，， ， 因为函数在定义域内单调递增， 而，所以， 所以，即， 因为函数在定义域内单调递增， 而，所以，即， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 终边落在直线上的角的集合是 C. 若为第二象限角，则 D. 函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义，正切函数定义域进行判断即可. 【详解】对于选项，如，两角不相等，但是终边重合，故错误. 对于选项，终边落在直线上的角， 在第一象限的角为，在第三象限的角为， 合在一起后为，故正确. 对于选项，若为第二象限角，则， 所以， 当为偶数时，在第一象限； 当为奇数时，在第三象限， 第一，三象限的正切值均为正，故，故正确. 对于选项，令，得，故正确. 故选： 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ACD利用基本不等式即可证明，对于B利用等量替换即可求解. 【详解】由，当且仅当时成立，A错误； 由，得，故，B正确； 由，知，，当且仅当时成立，C正确； ，则，当且仅当时成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，均有，且当时，恒有，则（ ） A. B. 当时，函数为减函数 C. 当时，的图像关于点对称 D. 当时，若为二次函数，且则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；利用单调性的定义可判断B；由题意可得，可判断C；利用待定系数法求得，进而可判断D. 【详解】令，得，所以，故A正确； 当时，，所以， ，且，则， 又因为，所以，所以，所以， 所以，即， 所以函数为R上的单调递增函数，故B错误； 令，则可得，即， 所以，所以的图像关于点对称，故C正确； 当时，， 因为，所以， 所以 ， 又， 所以，解得，所以， 又因为当时，恒有，即对恒成立， 所以对恒成立，所以. 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形面积和周长公式，即可求解. 【详解】设扇形圆心角的弧度数为，半径为， 由题意知 故答案为： 13. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式. 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以则解得或， 故实数t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）根据交集结果得，分和讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，所以 ①若，则， ， 因为或，所以或 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得， ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 16. （1）已知角α的终边经过点，求α的正弦值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）（2）1（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求解； （2）由正余弦函数的齐次式化切即可得解； （3）根据同角三角函数基本关系中的平方关系得解. 【详解】（1）已知角α的终边经过点， 所以，. （2）因为, 所以. （3）已知①， 所以，即，解得， 所以， 由，知②， 由①②可得，， 故的值为. 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：（，a为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（注：4小时内意思是小于或等于4小时）． （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高？并求出最大值； （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时浓度最高，达到. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【小问1详解】 时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. 【小问2详解】 由题意可知，. 因为， 所以当时，可得恒成立，即， 在时单调递减，则， 所以； 当时，可得恒成立，即， 因为， 所以则当，即时，，所以. 又，综上可得. 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）证明： 由（1）得：， 即 ， 令， 对，规定， 由 因为函数在单调递增，且， 所以，且， 即， 所以， 所以函数在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性以及对数运算性质即可求解； （2）先表示出函数的解析式，化简得出，令，利用定义证明在上的单调性，然后根据对数函数的单调性以及复合函数单调性判断即可； （3）利用函数奇偶性结合单调性等价出不等式解出即可. 【小问1详解】 由， 所以 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 即， 因为，所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数是上单调递增的偶函数， 所以， 所以的解集等价于： ， 所以有：， 令，则， 所以， 解得：或， 即或， 解得：或， 所以不等式的解集为：. 19. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）证明：当时，； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数为偶函数；当时，函数既不是奇函数又不是偶函数. （2）由函数， 可得， 当时，因为，，所以； 当时，； 当时，， 综上可得，当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可得证； （3）设，问题可转化为函数有三个大于0的零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，，其定义域为，且， 所以函数为偶函数； 当时，函数，可得且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点， 当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意； 当时，，所以无零点，不符合题意； 当时，， 因为的图象的对称轴为，所以在上递增， 所以在上至多有1个零点； 又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点， 问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $