专题01 三角形（寒假复习讲义）八年级数学新教材浙教版

专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：认识三角形 1.三角形任意两边之和大于第三边。 2.三角形内角和为180°，三角形三个外角的和为360°，三角形任意一个外角等于不相邻两个内角的和。 3.三角形的“三线”： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 4.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义； 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题； 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 知识点2：全等三角形 5.能够重合的两个图形称为全等图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形对应边相等、对应角相等；全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等. 6.全等三角形的判定 （1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 7.常见的全等三角形的模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 8.在证明两三角形全等的复杂问题中，要通过具体问题具体分析，选择正确的依据，梳理思路证明之，具体如下： 条件 思路 依据 证明方式 已知两边对应相等SS 证明第三条边相等S SSS 证明边相等的思路： ①通过计算或等量关系证明边相等 ②通过证明这对边所在的另一组三角形的全等，证明这对边相等 证明角相等的思路： ①通过计算或等量关系证明角相等 ②通过证明这对角所在的另一组三角形的全等，证明这对角相等 证明这两边的夹角相等A SAS 已知一边和一边端点处的角对应相等SA 证明组成这个角的另一边相等S SAS 证明另一个角相等A ASA/AAS 已知一边和它的对角对应相等AS 证明另一个角相等A AAS 已知两个角对应相等AA 证明其中一条边相等S ASA/AAS 知识点3：垂直平分线与角平分线 9.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 10.角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 11.垂直平分线与角平分线的尺规作图 作图内容 作图留痕 作图步骤 垂直平分线 (1)以点A和点B 为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D 两点； (2)作为直线 CD，CD为所求直线． 角平分线 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 【考点1 三角形的三边】 例1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 变式2．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（   ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【考点2 三角形的内角和与外角性质】 例2 （25-26八年级上·福建龙岩·期中）一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1.（25-26八年级上·河南安阳·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 变式2.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 三角形的“三线”】 例3.如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若AE是△ABC中BC上的中线，且AC－AB=2，求△ACE与△ABE周长的差。 变式1.（25-26八年级上·河南安阳·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 变式2.（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【考点4 定义与证明】 例4.（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 变式1.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【考点5 全等三角形的性质】 例5.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． 变式1.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【考点6 全等三角形的判定】 例6.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 变式1.如图，在和中，，，若添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 变式2.如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式3.（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 【考点7 常见的全等三角形模型】 例7.（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 变式1.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【考点8 垂直平分线作图及性质】 例8.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为 ． 变式1.如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 变式2.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 【考点9 角平分线作图及性质】 例9.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是 ． 变式1.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点．若，则两平行线与之间的距离为 ． 变式2.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有 （填序号） 1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（   ） A．16 B．19 C．23 D．29 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是 ． 8．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为 ． 9．如图，中，，，直线l经过点M，，，垂足分别为B，C，若，，则的长为 ． 10．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 11．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：认识三角形 1.三角形任意两边之和大于第三边。 2.三角形内角和为180°，三角形三个外角的和为360°，三角形任意一个外角等于不相邻两个内角的和。 3.三角形的“三线”： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 4.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义； 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题； 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 知识点2：全等三角形 5.能够重合的两个图形称为全等图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形对应边相等、对应角相等；全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等. 6.全等三角形的判定 （1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 7.常见的全等三角形的模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 8.在证明两三角形全等的复杂问题中，要通过具体问题具体分析，选择正确的依据，梳理思路证明之，具体如下： 条件 思路 依据 证明方式 已知两边对应相等SS 证明第三条边相等S SSS 证明边相等的思路： ①通过计算或等量关系证明边相等 ②通过证明这对边所在的另一组三角形的全等，证明这对边相等 证明角相等的思路： ①通过计算或等量关系证明角相等 ②通过证明这对角所在的另一组三角形的全等，证明这对角相等 证明这两边的夹角相等A SAS 已知一边和一边端点处的角对应相等SA 证明组成这个角的另一边相等S SAS 证明另一个角相等A ASA/AAS 已知一边和它的对角对应相等AS 证明另一个角相等A AAS 已知两个角对应相等AA 证明其中一条边相等S ASA/AAS 知识点3：垂直平分线与角平分线 9.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 10.角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 11.垂直平分线与角平分线的尺规作图 作图内容 作图留痕 作图步骤 垂直平分线 (1)以点A和点B 为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D 两点； (2)作为直线 CD，CD为所求直线． 角平分线 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 【考点1 三角形的三边】 例1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【答案】5 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 变式2．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（   ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【答案】B 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵三角形的三边关系， ∴， 即， 只有B在范围内． 故选：B． 【考点2 三角形的内角和与外角性质】 例2 （25-26八年级上·福建龙岩·期中）一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 变式1.（25-26八年级上·河南安阳·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 变式2.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 【考点3 三角形的“三线”】 例3.如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若AE是△ABC中BC上的中线，且AC－AB=2，求△ACE与△ABE周长的差。 【答案】(1) (2) (3) 2 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． （3）若AE是△ABC中BC上的中线，则BE=CE，且AE=AE，所以（AC+AE+CE）－（AB+AE+BE）=AC－AB=2. 变式1.（25-26八年级上·河南安阳·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 变式2.（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【考点4 定义与证明】 例4.（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 变式1.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【考点5 全等三角形的性质】 例5.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 变式1.（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 【答案】/14度 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ，， ， ． 【考点6 全等三角形的判定】 例6.（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：为的高， ． 在与中，， ． （2）证明：， ． ， ， ． （3）解：， ． ， ， ． 变式1.如图，在和中，，，若添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， 故A不符合； ∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴ ， 故B不符合； 在和中， ∵，，， ∴ ， 故C不符合； 添加，仍然不能证明， 故D符合； 故选：D． 变式2.如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 变式3.（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，，过点作射线，点从点出发沿射线以的速度运动．同时点从点出发沿射线以速度运动，连接交于点，设点运动时间为． (1)求证∶． (2)求的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：， ， 由运动知，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 【考点7 常见的全等三角形模型】 例7.（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变式1.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变式2.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 【考点8 垂直平分线作图及性质】 例8.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】16 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长为． 故答案为：16． 变式1.如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】14 【详解】解：如图，连接PC． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故答案为：14． 变式2.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【详解】解：，分别是，的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 故答案为：． 【考点9 角平分线作图及性质】 例9.（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是 ． 【答案】5 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 变式1.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，作于点，作于点，交于点．若，则两平行线与之间的距离为 ． 【答案】4 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴. 故答案为：4. 变式2.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有 （填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：作于于． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴定值，故③正确， ∵到的距离相等， ∴，故④正确； 定值，故②正确； ，是等腰三角形， ∵P固定不动，M和N在动， ∴和长度会变，导致底边长度是变化的，故①错误． 故答案为：②③④ 1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【答案】C 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为的平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 故选：C． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（   ） A．16 B．19 C．23 D．29 【答案】B 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为13， ， 的周长， 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵， ， 即， 在与中 ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 过点作，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分，故④正确； 不能证明平分，故③错误； 故选：C． 5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线， ， ∴， ． ，故①正确． ， ． 、是的角平分线， ∴， ，故②正确． ， ， ． ． 是的角平分线， ， ． ，故③正确． ， ． 是的角平分线， ． ， ． ， ． ． ． ， ． ，故④正确． ∴正确的有4个， 故选：D． 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， 又， ， ， 为的中点， ， ， ， 如图，过点作，， ， 又平分， ， ， 即． 9．如图，中，，，直线l经过点M，，，垂足分别为B，C，若，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6． 10．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 11．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $